Universidad Nacional Autónoma de México

Facultad de Ingeniería

Sistemas de Control

Examen

Integrantes: Flores Santoyo Alberto Guzmán Hernández Cristina Sac-Nicté López Vences Judith Elizabeth Pacheco Aguilar José Jaime Tavera García Rigoberto José Toledo Flores Miguel Ángel

FECHA DE ENTREGA: 19 DE JUNIO DE 2009

1.- Para el sistema mostrado es la figura, se desea obtener dos representaciones matemáticas; una en el dominio del tiempo (ecuación diferencial) y otra en el dominio de la frecuencia (función de transferencia, a partir de un reograma):

Para el primer caso:

V(t) Ws(t)

………………2

……………..3

…………….4

………17

……………8

…………….9

De 13 y 14 obtenemos

Sustituyendo 1, 3, 4 y 5 en 20

SISTEMA

Sustituyendo 15 en 21 tenemos

Con la 2 en 22 obtenemos

Sustituyendo 14 en 23

Sustituyendo la ec 3, 4 y 5 en 23 y derivando

Sustituyendo 19 en 18 obtenemos

Con 8, 9, 11 y 12 en 25 tenemos

Igualando la ec 26 con la ec 6 y despejando iLm y usando 17 se tiene

Ahora igualando la ec 10 y 19 obtenemos

Sustituyendo 11 y 12 en 25

Despejando

Sustituyendo 30 en 27 y derivando tenemos

…………31

Igualando 26 y 7 tenemos

Despejando θm se tiene

Sustituyendo θe en θm obtenemos

De la ecuación 24 se factorizan iRm y su 1a derivada, asi como se hace la sustitución de θe y θm aplicando sus derivadas correspondientes en la ec 24

Se hizo el desarrollo de la ecuación diferencial del sistema, el cual resulto en función de θs

donde es

2. Sea un sistema descrito mediante la función de transferencia

Trazar la respuesta escalón para los valores de los parámetros siguientes:

a) Z = 0b) Z = 0.5c) Z = 1d) Z = 5.0e) Z = 100

Y los valores para todos los casos de:

A partir de las gráficas obtenga: tr, tl, tp, Mp y ta . Comente que ocurre con dichos parámetros.

a) Z = 0

tr= 0.12 [s]tl = 0.18 [s]tp= 0.36 [s]Mp= 0.16 [s]ta = 0.8 [s]

b) Z = 0.5

tr= 0.09[s]tl = 0.19 [s]tp= 0.35 [s]Mp= 0.17 [s]ta = 0.8 [s]

c) Z = 1

tr= 0.11[s]tl = 0.18 [s]tp= 0.36 [s]Mp= 0.18 [s]ta = 0.82 [s]

d) Z = 5.0

tr= 0.09[s]tl = 0.15 [s]tp= 0.32 [s]Mp= 0.19 [s]ta = 0.78 [s]

e) Z = 100

tr= 0.0[s]tl = 0.01 [s]tp= 0.32 [s]Mp= 5.00 [s]ta = 1.01 [s]

Resolviendo el denominador para todos los casos

tenemos las raíces siguientes:

Son raíces complejas conjugadas y está entre 1 y 0. Por lo tanto la respuesta del sistema es “subamortiguado” para todos los casos.

Los parámetros de respuesta transitoria que son el tiempo de retardo(tr), el tiempo de levantamiento (tl), el sobrepaso máximo (Mp), el tiempo pico (tp) y el tiempo de asentamiento (ta) lo que nos dan del desempeño del sistema, dándonos el tiempo en que se recupera el sistema frente a una perturbación.

En nuestro caso estas variables no varían mucho las primeras 4(z=0,0.5,1 y 5), como se puede ver en sus gráficas y numéricamente en los parámetros de respuesta transitoria, la diferencia son en centésimas de segundo; mientras tanto en el último

resultado(cuando z=100), hay una gran diferencia tanto en la gráfica como en los valores numéricos de tiempos, por lo que se concluye que entre más grande es “z”(es decir, el denominador de la función de transferencia), el tiempo de respuesta es menor.

¿Será posible que este modelo se ajuste al sistema físico de la figura siguiente? Eligiendo como variables de interés iL o Vc. Comente y justifique su respuesta.

Pasando a impedancias para reducir el circuito:

Za = ZR3 + ZC Zb = ZR2 + ZL

Si:ZR = RZL = SL

y Zc =

Para saber si se puede ajustar el modelo al sistema, es necesario que las funciones de transferencia sean la misma; en el ejercicio las ecuaciones son diferentes por lo que el sistema no se puede ajustar al circuito.

3.- Para el sistema que se muestra en la figura:

Con:

¿Qué comportamiento presentará el sistema realimentado con los siguientes controladores?

Como el analisis estara basado en señales en el tiempo de la señal de salida , la señal de control ,y la señal de error y sabiendo que la señal de referencia r(t)= 10 u(t), calcularemos el valor de cada una de estas señales , a partir del modelo:Por lo que tenemos que la funcion de transferencia del sistema de la figura es:

Y sabemos que :

Entonces:

Ahora bien sabemos , por lo visto en clase que la señal U(s)

Y la señal de error:

Si sustituimos la segunda ecuacion en la ecuacion anterior:

Caso 1:Gc(s) = Kc ; a) Kc=1;

Gc(s)=1;

Grafica 1 Kc=1

b) Kc=2.6;

Grafica 2 Kc=2.6

c) Kc=10

Grafica 3:

Caso 2:

a) k=3; Ti = 0.8

s+1/0.8

s

Transfer Fcn1

10

s +7s+102

Transfer Fcn

Step InputMux

Mux

3

Gain

Auto-ScaleGraph

Gráfica

b) k=5 ; Ti=1.6

Gráfica

Caso 3: Kc=2;Td=0.19;Ta=0.02

Grafica:

Caso 4:K=2; Td=0.19; Ta=0.02

Caso 5

a) Kc=1; i)a=5; b=10

Kc=1; a=2 b=10

a) Kc=5 a=5 b=10

Kc=5 a=2 b=10

Kc=7 a=5 b=10

Kc=7 a=2 b=10

Caso 6

Ti= 0.8 ; Td=0.19 Ta=0.02

a) Kc=1.8 ;

Gráfica

b) Kc=4;

Gráfica: