Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4

CICLO ESCOLAR 2010 – 2011SECUNDARIA

CONSIGNAS PRIMER PERIODO – CUARTO BIMESTRE

Nombre: ___________________________________________Gpo._____N.L. _____

Consigna1: Organizados en equipos, analicen la siguiente sucesión de figuras y respondan lo que se cuestiona. Si lo desean pueden utilizar su calculadora.

a) Si la sucesión continúa en la misma forma, ¿cuántos cubos se necesitan para formar la figura 5? ¿Y para la figura 10? ¿Y para la figura 100?

b) ¿Cuál es la expresión algebraica que permite conocer el número de cubos de cualquier figura que esté en la sucesión?

c) Se sabe que una de las figuras que forman la sucesión tiene 2 704 cubos, ¿qué número corresponde a esa figura en la sucesión?

d) Una figura con 2 346 cubos, ¿pertenece a la sucesión? ¿Por qué?

Consigna2: En equipos, con base en la siguiente sucesión de figuras, contesten las preguntas que se plantean.

Fig 1 Fig 2 Fig 3 Fig 4

a) ¿Cuántos cuadritos tendrá la figura 7, 10 y 13, respectivamente?

b) ¿Cuántos cuadritos tendrá la figura 100?

c) Encuentren una expresión algebraica que permita determinar la cantidad de cuadritos de cualquier figura que corresponda a la sucesión anterior.

Sucesiones

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Consigna3: En la figura 1 de la siguiente sucesión se ven tres caras del cubo, en la figura 2 se ven nueve caras.

Determinen lo siguiente:

a) ¿Cuántas caras se ven en la figura 3? _______¿Cuántas se verán en la figura 4?______

b) Si la sucesión de figuras continúa en la misma forma, ¿cuántas caras es posible ver en la figura que ocupa el lugar 15? _______

c) ¿Cuál es la expresión algebraica que permite conocer el total de caras que es posible ver en cualquier figura que esté en la sucesión?

La regla general de la sucesión es n2+ 3n –1. Aunque es posible encontrarla por ensayo y error, la situación se presta para proponer el método llamado de diferencias, que consiste en lo siguiente:

Paso 1: Se representa la sucesión de números (en este caso número de caras que se ven) de las primeras figuras: 3, 9, 17, 27, 39, …

Paso 2: Se calculan las primeras y segundas diferencias, como se muestra en la siguiente tablas:

Sucesión 3 9 17 27 39Primeras diferencia

s

9 – 3 = 6 17 – 9 = 8 27- 17 = 10 39 – 27 = 12

Segundas diferencia

s

8 – 6 = 2 10 – 8 = 2 12 – 10 = 2

Cabe señalar que el hecho de que la segunda diferencia es constante, indica que se trata de una expresión cuadrática, por tanto la expresión general es: an2+ bn + c en la que n representa la posición de las figuras.Paso 3: Se resuelve la siguiente tabla.

n= 1 n= 2 n = 3 n = 4 n =5Expresión obtenida al sustituir el valor de n

a(1)2+b(1)+c= a+b+c

a(2)2+b(2)+c= 4a+2b+c

a(3)2+b(3)+c= 9a+3b+c

a(4)2+b(4)+c= 16a+4b+c

a(5)2+b(5)+c= 25a+5b+c

Primeras diferencias

(4a+2b+c) – (a+b+c)=3a+b

(9a+3b+c) – (4a+2b+c)

(16a+4b+c) – (9a+3b+c) =7a+b

(25a+5b+c) – (16a+4b+c)

Figura 1 Figura 2 Figura 3

=5a+b =9a+bSegundas diferencias

(5a+b) – (3a+b) = 2a

(7a+b) – (5a+b) = 2a

(9a+b) – (7a+b) = 2a

Paso 4: Al combinar los resultados de la tabla anterior, se pueden establecer cualquiera de los tres siguientes sistemas de ecuaciones:

2a=23a+b= 6a+b+c=3

2a=25a+b=84a+2b+c=9

2a=27a+b=109a+3b+c=17

Paso 5: Al resolver, por ejemplo, el sistema I se tiene: De la primera ecuación: 2a=2, a=2/2, a=1Sustituyendo a en la segunda ecuación del sistema: 3(1)+b=6, 3+b=6, b=6 – 3, b=3Sustituyendo a y b en la tercera ecuación del sistema: (1)+(3)+c=3, 4+c=3, c=3 – 4, c= –1 Y finalmente sustituyendo los valores de a, b y c en la expresión general de segundo grado an2+ bn + c, se obtiene la expresión algebraica buscada.(1)n2+ (3)n + (–1)= n2+ 3n –1

Una vez que los alumnos conozcan la expresión algebraica que permite conocer el número de caras que se pueden ver, se les puede plantear el siguiente problema para que la usen.

¿Qué número corresponde en la sucesión a la figura en la que es posible ver 153 caras de los cubos que la forman?

Con la finalidad de que los alumnos se familiaricen con esta técnica, hay que plantearles muchos otros problemas como los siguientes:

¿Cuál es la regla general que permite determinar el número de cuadritos de cualquier figura de la siguiente sucesión?

Encuentra la regla general que permite determinar cualquier término de cada una de las siguientes sucesiones:

a) 5, 12, 21, 32, 45, …

I II III

b) 1, 6, 13, 22, 33, …

Consigna 4: De manera individual, haz lo que se indica enseguida. Necesitas cartulina, tijeras y juego geométrico.

Traza un triángulo rectángulo con tres medidas diferentes que tú elijas.

Traza sobre cada uno de los lados un cuadrado.

Sobre el cuadrado mediano traza dos rectas que pasen por el centro, pero que sean paralelas a los lados del cuadrado grande. (Observa el dibujo de abajo).

Recorta el cuadrado mediano sobre las rectas trazadas para obtener cuatro partes.

Recorta el cuadrado más pequeño.

Con las cuatro piezas y el cuadrado menor cubre el cuadrado construido sobre la hipotenusa, de manera que no queden huecos ni piezas sobrepuestas.

a)

Comenten sus resultados y anoten las conclusiones acerca de la relación que existe entre el área de los cuadrados de los catetos y el área del cuadrado de la hipotenusa.

b) Escriban una expresión algebraica que represente dicha relación.

CONSIGNA 5: En equipo resuelvan los siguientes problemas, pueden utilizar calculadora.

a) En la figura se ilustran tres poblados, el pueblo B está, en línea recta, 40 km al norte de A y el pueblo C está, en línea recta, 30 km al este de B. ¿Cuál es la distancia entre los pueblos A y C?

CONSIGNA 6: Los dos triángulos que aparecen abajo son semejantes. Encuentra el perímetro de cada uno.

x

32 cm

60 cm

1y

z

8 cm2

108

6

CONSIGNA 7: Organizados en equipos de tres integrantes, resolverán los siguientes problemas, pueden utilizar calculadora.

1. Un albañil apoya una escalera de 5 m contra un muro vertical. El pie de la escalera está a 2m del muro. Calcula a qué altura se encuentra la parte superior de la escalera.

2. En la esquina de una plaza rectangular se encuentra un puesto de helados. Si estoy en la esquina opuesta diagonalmente, ¿cuántos metros tengo que recorrer en diagonal para llegar al puesto? Los lados de la plaza miden 48m y 64m.

3. ¿Cuál es la máxima distancia que puedes recorrer sin cambiar de dirección en una pista de patinaje en forma de rombo si el lado es 26m y la diagonal menor 40m?

Consigna 8: Organizados en equipos, contesten lo que se plantea enseguida.

¿Cuánto suman los ángulos M y N en el triángulo rectángulo que aparece abajo?________¿Qué nombre reciben esos ángulos?________________

¿Qué relación existe entre el seno de un ángulo y el coseno de sus complemento?__________________________________________________________________________________________________________________

sen M =

cos M =

tan M =

sen N =

cos N =

tan N =

20 m

?

37°N

M

L

BC

A

60 m

53º

?

35°

50 m

sombran

¿Si el seno de un ángulo de 30 grados es igual a 0.5, ¿a qué es igual el coseno de un ángulo de 60 grados?______________

¿A qué es igual el producto de la tangente de un ángulo de 30 grados por la tangente de un ángulo de 60 grados?__________________

Consigna 9. Organizados en parejas calculen la altura del asta bandera, si a cierta hora del día el ángulo que forma el extremo de su sombra con la punta del asta mide 37º.

Consigna 10. En parejas, resuelvan los problemas siguientes:

a) ¿A qué altura del piso se encuentra la punta del papalote, cuando el hilo que lo sostiene mide 60 m y forma con el piso un ángulo de 53º.

b) Calculen cuánto mide la sombra de la torre.

A C

B

c

b

23

a)

37°A C

B

19°

5 a

b

A C

B

62°ca

34

d)

A C

B

c

3.4

a38°

c)

Consigna 11. Individualmente, calculen los valores que se piden.

Consigna 12. Resuelve el siguiente problema. El metro cuadrado de cristal cuesta $200.00, ¿cuánto costará una pieza de cristal que tiene forma de triángulo equilátero cuyos lados miden 40 cm cada uno?.

a = __________ b = __________ B = __________

b = __________ c = __________ B = __________

b)

a = __________ c = __________ B = __________

a = __________ c = __________ A = __________