¿Qué es el Interés?

El interés (I) es el costo de utilizar recursos de terceros y depende de tres variables:

· Capital inicial (c)· Capital inicial (c)· El tiempo (t)· El tiempo (t)· La tasa de interés (i)· La tasa de interés (i)

Por lo anterior:

I = c * i * tI = c * i * t

¿Por qué se cobran intereses? ¿Es por la inflación?

Se cobran intereses porque el dinero tiene un costo de

oportunidad, entendiéndose por costo de oportunidadcosto de oportunidad lo

que dejo de ganar al elegir un curso de acción alterno.

El hecho de que haya inflación sólo exige que se cobre

una tasa de interés mayor a ella, de manera que en

términos reales no se deteriore el rendimiento esperado.

Por ejemplo: mi costo de oportunidad podría ser lo que

pagan los bancos en Ahorros… 3% y 1.58% en M.N. y

en M.E. respectivamente.

Supongamos que “A” le presta a “B” S/.100 con la condición de que le devuelva S/.150 luego de un período de tiempo dado.¿Qué incluye el pago de S/. 150?

C C

I

C = 100 S = 150

Monto (S)

Horizonte de Tiempo

Dado que el monto incluye la devolución del capital más los intereses, se puede ver y deducir lo siguiente:

S = C + I e I = S – C

Reemplazando en “I” tenemos:

S = C + C * i * t

S = C(1 + i * t)

¿Qué tasa de interés me están cobrando en este ejemplo en concreto?

En este ejemplo resulta muy fácil deducir que me están

cobrando una tasa de interés (i) del 50%.

Por lo que: i = S – C = I

C C

Pero, en general, es fácil hallar la tasa de interés ( i ) para

un período de tiempo dado (t = 1), a partir de la fórmula

del monto:

Utilizando la fórmula anterior, su cálculo se haría de

la siguiente manera:

i = 150 - 100 = 50% 100

Y el interés hallado es el interés efectivo para ese

período, por lo que será mensual, trimestral, etc., en

función del período de tiempo que se esté analizando.

Interés Simple e Interés CompuestoInterés Simple e Interés Compuesto

Vamos a explicar el tema de interés compuesto mediante un ejemplo:

Si pido prestados S/. 1 000 al 50% anual durante 3 años, el Interés Simple a pagar en cada año será:

cc i i t t I IPara el año 1 1 000 0,50 1

500

Para el año 3 1 000 0,50 1 500

Total en tres años 1 500

Para el año 2 1 000 0,50 1500

También podríamos haber calculado el interés acumulado en estos tres años de la siguiente manera:

I = c * i * tI = 1 000 * 0,50 * 3I = 1 500

Interés Simple e Interés CompuestoInterés Simple e Interés Compuesto

Nótese, que para el cálculo del Interés Simple, el capital sobre el que se calcula el interés correspondiente para cada año es de S/. 1000.

Hagamos ahora los cálculos, para este mismo ejemplo, considerando que los intereses se capitalizan:.

c i t IPara el año 1 1 000 0,50 1

500

Como puede observarse, tanto el Interés Simple como el Interés Compuesto se calculan en función de las variables c, i y t; siendo la única variante que para el cálculo del Interés Compuesto, el interés del período pasa a formar parte del capital para el cálculo del interés del período siguiente.

Para el año 2 1 500 0,50 1750

Para el año 3 2 250 0,50 1 1125

Proceso de Capitalización de los interesesProceso de Capitalización de los intereses

S = C(1 + it)S1 = 1 000(1+0,50*1)S1 = 1 500

S1

S = C(1 + it)S2 = 1 500(1+0,50*1)S2 = 2 250

S2

S = C(1 + it)S3 = 2 250(1+0,50*1)S3 = 3 375

S3

Si hubiéramos hallado el monto acumulado en tres años con interés simple, éste sería igual a 2 500.

S = 1 000(1 + 0,50*3)= 2 500

C=1000

0 1 2 3

i = 50% i = 50% i = 50%

Cuando los intereses se capitalizan podemos hallar el monto acumulado para “n” períodos con la fórmula: S = C(1 + i)n y C = S (1+i)-n

Donde:

S = Monto Acumulado o Valor Futuro al final del enésimo período.C = Capital Inicial o Valor Actual. i = Tasa de interés efectiva por período. n = Número de períodos.

Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior tenemos lo siguiente:

S = 1 000(1+0,50)3 = 3 375

TASAS DE INTERÉS:TASAS DE INTERÉS: NOMINAL, EFECTIVA, TASA NOMINAL, EFECTIVA, TASA

EFECTIVA ANUALEFECTIVA ANUAL (TEA) (TEA) Y TASAS EQUIVALENTES Y TASAS EQUIVALENTES

La tasa de interés nominal ( j ) siempre es anual y es una tasa referencial que como tal puede ser engañosa.

Ej. : j = 18% capitalizable mensualmente.

La tasa de interés efectiva se representa por la variable “i”, y muestra el costo o rendimiento verdadero – efectivo como su nombre lo dice – de una operación financiera.

A veces, la tasa efectiva (i) se puede hallar de una manera muy fácil, a partir de la tasa nominal y conociendo la frecuencia de capitalización de los intereses.

Es decir, i = j / m

¿Cuál sería la tasa efectiva trimestral?

Ejemplo: Si la tasa de interés es del 18% capitalizable mensualmente, entonces la tasa efectiva mensual se puede hallar fácilmente dividiendo j/m, es decir;

i = 18 % /12 = 1,5% mensual.

Para hallar esta tasa de interés tenemos que hacerlo a través del método de tasas equivalentes, como veremos a continuación.

(1 + 0.015)12 = ( 1 + itrim)4

(1.015)3 = ( 1 + itrim)1

i = 4.5678% trimestral

(1 + i)n = ( 1 + iequiv)n1

Y por definición, dos tasas de interés, con diferentes períodos de conversión, son equivalentes si producen el mismo monto compuesto al cabo de un mismo período de tiempo. Por lo general, el horizonte de comparación suele ser de un año.

Tasa Efectiva Anual (TEA): Es usada como unidad de comparación del costo de las deudas o del rendimiento de las inversiones. Nótese que la TEA es una “i” más; sólo que por su importancia y para distinguirla de las demás “ies” se le denomina de otra manera.

¿A qué tasa efectiva anual equivale una tasa del 10% efectiva trimestral?

¿A qué tasa nominal capitalizable trimestralmente equivale una tasa efectiva trimestral del 10%?

¿Qué es mejor endeudarse a una TEA del 46,41% o a una tasa nominal capitalizable trimestralmente del 40%?

Calcular el monto a pagar dentro de quince meses por un

préstamo bancario de S/. 75000, por el cual se paga una tasa

nominal del 18% con capitalización trimestral.

Manualmente se haría de la siguiente manera:

i = 18% / 4 = 4.5% trim. S = C (1 + i)n

0 1 2 3 4 5 TrimestresC=75000 S=?

S = 75000 (1 +0.045)5

S = 93463,64

También podríamos haber resuelto este problema

dividiendo el horizonte de tiempo en periodos

mensuales, como se muestra a continuación:

0 1 2 ... 15 mesesC=75000 S=?

Primero se halla la tasa de interés mensual equivalente:

i = 1.478% mens. S = C (1 + i)n

S = 75000 (1 +0.01478)15

S = 93463,64

Lo que siempre hay que tener presente es que

las variables “i” y “n” deben estar referidas a

un mismo período de tiempo; es decir, si la tasa

de interés es mensual, como en este último caso

i = 1,478 % , entonces el número de períodos

también deberá expresarse en meses; es decir,

n = 15

Un empresario debe pagar S/. 5 000 dentro de diez meses. Si desea cancelar el total de esta deuda al final del quinto mes, ¿Cuánto tendría que pagar suponiendo que la deuda fue pactada a una tasa de interés del 36% anual (TEA), tomando como fecha focal el día de hoy?

Ecuaciones de ValorEcuaciones de Valor

a) Tomando como "fecha focal" el día de hoy

Manualmente se haría de la siguiente manera:

Primero encuentro la tasa efectiva mensual

(1+0,36)1 = (1+i)12

i = 2,59548 % mensual

Al tomar como fecha focal el día de hoy, la ecuación de valor quedaría de la siguiente manera:

x(1+0,0259548)-5 = 5000(1+0,0259548)-10

x = S/. 4398,74

b) Tomando como "fecha focal" al final del mes 8.

Un empresario debe pagar S/. 5 000 dentro de diez meses. Si desea cancelar el total de esta deuda al final del quinto mes, ¿Cuánto tendría que pagar suponiendo que la deuda fue pactada a una tasa del 36% anual (TEA), tomando como fecha focal el final del octavo mes?

Manualmente se haría de la siguiente manera:

Primero encuentro la tasa efectiva mensual

(1+0,36)1 = (1+ i)12

i = 2,59548 % mensual

Al tomar como fecha focal el final del mes 8, la ecuación de valor quedaría de la siguiente manera:

x(1+0,0259548)3 = 5000(1+0,0259548)-2

x = S/. 4398,74

Abel debe $500 con vencimiento en dos meses, $1000 con vencimiento en cinco meses y $1500 con vencimiento en ocho meses, él desea saldar las deudas mediante dos pagos iguales, uno con vencimiento en seis meses y el otro en diez meses. Determinar el importe de dichos pagos suponiendo un interés del 6% mensual.

0 2 5 6 8 10 500 1000 x 1500 x

i = 6% mensual

FF

x + x(1 + 0.06)-4 = 500(1 + 0.06)4 + 1000(1 + 0.06) + 1500(1 + 0.06)-2

x= 1688.65

FF= fecha focal

Interés RealInterés Real

El propósito de la tasa de interés real es quitar a la tasa de interés efectiva el efecto de la variación del poder adquisitivo de la moneda.

Se calcula: r = i - f 1 + f

En un contexto inflacionario es imprescindible hablar de tasas de interés reales, dado que evaluar el costo de una deuda o el rendimiento de una inversión en términos efectivos puede llevarnos a tomar decisiones equivocadas.

r = i – f = 0,25 – 0,40 r = - 10.7143% mensual 1 + f 1 + 0,40

i = (1+ r)(1+f) - 1

i = (1 + 0,08)(1+ 0,07) – 1 i = 15,56% anual

Ejemplo 1 : Calcule el interés real que se pagaba en el año 89, si se sabe que la tasa efectiva mensual que cobraba el banco en esa época era del 25% y que la tasa de inflación mensual era del 40%.

Ejemplo 2: Si se desea obtener una rentabilidad real del 8% anual, y se espera que la inflación acumulada en ese mismo período sea del 7% ¿ A cuánto tendría que ascender la tasa de interés efectiva?Nuevamente podemos despejar la incógnita “i” a partir de la fórmula utilizada para hallar el interés real. Entonces tenemos que:

i = 25%

f = 40%

Costo en dólares equivalente en solesCosto en dólares equivalente en soles

Si quisiéramos comparar una tasa de interés en soles

con una tasa de interés en dólares, tendríamos que

ajustar esta última teniendo en cuenta que su costo final

tiene dos componentes: el interés (i$) propiamente

dicho y la tasa de devaluación (Td); por lo que se hace

imprescindible hacer el ajuste correspondiente de la

tasa de interés en dólares, equivalente en soles (is/),

antes de efectuar el análisis.

¿Qué será mejor: endeudarse en soles o en dólares, si se sabe que el costo anual del crédito que se puede conseguir en soles es del 21%, y que su similar en dólares es del 13%?.Se espera una devaluación anual del 2%.

i (s/.) = (1 + i$ ) (1 + Td ) - 1

i (s/.) = (1 + 0,13) ( 1 + 0,02) - 1

i (s/.) = 15,26% versus 21%

Dado los supuestos (proyecciones) del ejemplo anterior, ¿cuál sería la máxima tasa de interés en dólares que podría aceptar para que me siga resultando conveniente endeudarme en dólares antes que en soles?

0,21 = (1 + i$ ) (1 + 0,02) – 1

i$ = 18,6275% anual

Hallar el monto acumulado que produce un capital de S/.4500 depositados durante 9 meses a una tasa anual del 18%.

Manualmente se haría de la siguiente manera:

c = 4 500i = 18% anualt = 9 mesesS = ?

S = c (1 + i * t) S = 4 500(1 + 0,18 * 9 / 12)

S = 5 107,50

Es importante tener en cuenta que la tasa de interés (i) y el tiempo o plazo de la operación (t) deben estar referidos a una misma unidad de tiempo, es decir, si por ejemplo la tasa de interés fuese anual, el tiempo también debería estar expresado en años.

Si fuese el caso que el tiempo se deseara expresar en meses, tendríamos que hallar, a partir de la tasa de interés anual, la "tasa de interés mensual proporcional" .

Hallar el monto acumulado que produce un capital de S/.4500 depositados durante 9 meses a una tasa anual del 18%.

Manualmente se haría de la siguiente manera:

c = 4 500i = 18%/12 = 1.5% mensualt = 9 mesesS = ?

S = c(1 + i * t) S = 4 500(1 + 0,015 * 9 )

S = 5 107,50

Formas de calcular el Interés:

El Interés Simple Exacto es aquel tipo de interés cuyo cálculo se efectúa tomando como base que el año tiene 365 días (366 en años bisiestos).

El Interés Simple Ordinario se calcula, en cambio, tomando como base que el año tiene 360 días.

Para entender mejor lo anterior, veamos el siguiente ejemplo:

Calcular el Interés Simple Exacto y Ordinario de un capital de S/.5000 que genera un interés del 12,7% en un plazo de 240 días.

c = 5 000 I = c * i * t

i = 12,7% ISE = 5 000 * 0,127 * 240 / 365 = 417,53

t = 240 días ISO = 5 000 * 0,127 * 240 / 360 = 423,33

Formas de calcular el Tiempo: Conociendo las fechas, el número de días que ha de calcularse el interés puede ser determinado de dos maneras:

Cálculo exacto del tiempo: considera el número de días de forma exacta, tal como se encuentran en el calendario.

Cálculo aproximado del tiempo: se hacen los cálculos asumiendo que todos los meses tienen 30 días.

Ejemplo: Sí el Banco América cobra por los préstamos personales una tasa efectiva anual del 28%., ¿Cuánto tendrá que cobrar mensualmente para no afectar a su rentabilidad ?

(1 + 0.28)1 = (1 + i mens)12

i = 2.0785 % mensual

Ejemplo de tasas equivalentes …

Ejemplo: Calcule la tasa de rentabilidad efectiva bimensual de un bono comprado en S/.4 000 y vendido al cabo de 79 días en S/.4 900.

0 79 días

C = 4000 i=? S = 4900

S = C (1 + i)n

4900 = 4000 (1 + i)79

i = 0.257217 % diaria

(1 + 0.00257217)360 = (1 + i)6

i = 16.6645% bimensual

En la fecha una empresa se dispone a pagar una deuda de S/. 7000 vencida hace tres meses y otra de S/. 3000 que vencerá dentro de dos meses. Las deudas vencidas generan una tasa efectiva anual del 36% y las deudas vigentes generan una tasa efectiva trimestral del 6%. ¿Qué importe deberá cancelar la empresa?

Ecuaciones de ValorEcuaciones de Valor

-37000

-2 -1 0x=?

1 23000

(1+0,36)1 = (1+i)12

i = 2,5955% mensual

(1+0,06)4 = (1+i)12

i = 1,9613% mensual

Manualmente se haría de la siguiente manera:

X = 7000(1+0,025955)3 + 3000(1+0,019613)-2

X = 10 445,01

-37000

-2 -1 0x=?

1 23000

Conociendo la tasa de interés efectiva (i) y la tasa de inflación(f), podemos calcular la tasa de interés real(r), deflactando la tasa de interés efectiva del siguiente modo:

1 + r = 1 + i 1 + f

(1 + r)(1 + f) =(1 + i)1 + f + r + rf = 1 + i r + rf = i – f r(1 + f)= i – f

r = i - f 1 + f

Interés RealInterés Real