Circuitos Eléctricos en Corriente Continua Unidad 8 Circuito RLC 8_ver_18-19.pdf · 2019. 1....

Circuitos Eléctricos en Corriente Continua

Verano 2018-2019

Ing. Sergio Arriola-Valverde. M.Sc

Escuela de Ingeniería Electrónica

Instituto Tecnológico de Costa Rica

Unidad 8Circuito RLC

Contenidos y Cronograma

• Cronograma

• Circuito RLC

Cronograma del CursoDía Fecha Tema / Actividad

1 L 10-12-2018 1. Definiciones fundamentales

2 K 11-12-2018 2. Introducción a los circuitos eléctricos

3 M 12-12-20183. Técnicas de análisis para circuitos eléctricos simples

4 J 13-12-2018

5 V 14-12-2018

4. Técnicas de análisis para circuitos eléctricos complejos6 L 17 -12-2018

7 K 18 -12-2018

8 M 19-12-2018

9 J 20-12-2018 5. Dispositivos de almacenamiento de energía eléctrica

Receso de Navidad y Fin de Año

10 M 02-01-20196. Circuitos eléctricos simples RL y RC

11 J 03-01-2019

V 04-01-2019 Examen 1 (Temas 1,2,3 y 4)

12 K 08-01-2019

7. Circuitos RL y RC con excitación13 M 09-01-2019

14 J 10-01-2019

15 K 15-01-2019

8. El circuito RLC16 M 16-01-2019

17 J 17-01-2019

L 21-01-2019 Examen 2 (Temas 5,6,7 y 8)

18 J 24-01-2019 Entrega de actas

Contenidos y Cronograma

• Cronograma

• Circuito RLC

8.1 Circuito RLC en paralelo sin fuentes

Los circuitos RLC se conforman al menos por resistencias, inductores

y capacitores, los cuales puede ser interconectados de diversas formas.

Para modelar la corriente y tensión, es necesario utilizar las ecuaciones

que describe corriente y tensión para el inductor y capacitor, las cuales

mediante un proceso matemático dan origen a una ecuación diferencial

de segundo orden, es por ello que les llaman también circuitos de

segundo de orden.

En este apartado se estudiarán configuraciones RLC serie, paralelo y

mixta.

El circuito RLC paralelo se caracteriza por tener interconectado de

forma paralela elementos resistivos, inductivos y capacitivos.

Considérese el siguiente circuito eléctrico RLC paralelo, el cual posee

un corriente inicial en el inductor de 𝐼0 y para el capacitor de 𝑉0.

De forma matemática es posible decir que:

Donde se conoce que una interconexión paralelo, el potencial en los

nodos comunes es el mismo, esto no permitirá aplicar una análisis

nodal respetando la ley pasiva de signos.

Aplicando un análisis de nodos se tiene que:

Con las siguiente condiciones iniciales para el inductor y capacitor

Para reducir la siguiente ecuación integro-diferencial, se derivará en

ambos lados

El siguiente resultado, al aplicar el operador de derivación en ambos

Según la ecuación diferencial de segundo orden

Es necesario determinar v(t), es por ello que para su solución

asumiremos, algo semejante al caso de circuito RC y RL

𝒗 𝒕 = 𝑨𝒆𝒔𝒕

Donde es posible que A y s puedan ser números complejos

Sustituyendo la señal v(t) y sus derivadas en la ecuación diferencial se

tiene que:

𝑪𝑨𝒔𝟐𝒆𝒔𝒕 +𝟏

𝑹𝑨𝒔𝒆𝒔𝒕 +

𝑳𝑨𝒆𝒔𝒕 = 𝟎

Simplificando se tiene

𝑨𝒆𝒔𝒕 𝑪𝒔𝟐 +𝟏

𝑹𝒔 +

𝑳= 𝟎

Para que está expresión sea 0, al menos uno de los términos debería ser

𝑨𝒆𝒔𝒕 𝑪𝒔𝟐 +𝟏

𝑹𝒔 +

𝑳= 𝟎

Analicemos

• Si 𝑨𝒆𝒔𝒕 = 𝟎 → 𝒗 = 𝟎 𝑵𝑶 𝑺𝑰𝑹𝑽𝑬

• Nos quedaría analizar 𝑪𝒔𝟐 +𝟏

𝑹𝒔 +

A la ecuación cuadrática que nos queda por analizar se le conoce como

ecuación característica o auxiliar.

𝑪𝒔𝟐 +𝟏

𝑹𝒔 +

𝑳= 𝟎

Debido a que la forma que posee la ecuación característica es de forma

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

Se sabe que sus soluciones se determinan como: 𝒙 =−𝒃± 𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

Resolviendo la ecuación característica se tiene que:

𝒔𝟏 =−𝟏

𝟐𝑹𝑪+

𝟐𝑹𝑪

−𝟏

𝑳𝑪

𝒔𝟐 =−𝟏

𝟐𝑹𝑪−

𝟐𝑹𝑪

−𝟏

𝑳𝑪

Utilizando las soluciones 𝒔𝟏 y 𝒔𝟐 en la ecuación característica, se

formula que:

𝒗𝟏 𝒕 = 𝑨𝟏𝒆𝒔𝟏𝒕

𝒗𝟐(𝒕) = 𝑨𝟐𝒆𝒔𝟐𝒕

Con base en las expresiones 𝒗𝟏 𝒕 y 𝒗𝟐 𝒕 se infiere que existen dos

tensiones eléctricas que dan solución a la ecuación.

Por lo tanto habrían dos ecuaciones diferenciales descritas como:

𝑪𝒅𝒗𝟏

𝒅𝒕𝟐+

𝒅𝒗𝟏

𝒅𝒕+

𝑹𝒗𝟏 = 𝟎

𝑪𝒅𝒗𝟐

𝒅𝒕𝟐+

𝒅𝒗𝟐

𝒅𝒕+

𝑹𝒗𝟐 = 𝟎

Véase que sucede si se suman estas ecuaciones diferenciales.

Aplicando una suma entre ambas ecuaciones diferenciales se tiene que:

𝑪𝒅𝟐 𝒗𝟏 + 𝒗𝟐

𝒅𝒕𝟐+

𝒅 𝒗𝟏 + 𝒗𝟐

𝒅𝒕+

𝑹𝒗𝟏 + 𝒗𝟐 = 𝟎

Se ve que hay linealidad, y que entonces la suma de 𝒗𝟏 + 𝒗𝟐 ,

también es una solución por lo que la respuesta natural es:

𝒗 𝒕 = 𝑨𝟏𝒆𝒔𝟏𝒕 + 𝑨𝟐𝒆𝒔𝟐𝒕 𝑽

Donde hay que determinar a 𝑨𝟏 y 𝑨𝟐 utilizando v(0) y dv(0)/dt, que

deben satisfacer condiciones iniciales.

Caracterización de los términos de la ecuación

La solución obtenida para la tensión eléctrica v(t), no proporciona

mucha información es por que será reescrita para tener una mejor

percepción.

Véase que 𝒆𝒔𝟏𝒕, el exponente es completamente adimensional, esto

quiere decir que 𝒔𝟏,𝟐 →𝟏

𝒔y como:

𝒔𝟏,𝟐 =−𝟏

𝟐𝑹𝑪±

𝟐𝑹𝑪

−𝟏

𝑳𝑪

Implica 𝒔𝟏,𝟐 →𝟏

𝒔→ 𝑯𝒛 → frecuencia

En relación a lo anterior se tiene entonces que:

𝜔0 =1

𝐿𝐶→ 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑟𝑎𝑑

𝛼 =1

2𝑅𝐶→ 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑒𝑝𝑒𝑟𝑖𝑎𝑛𝑎

𝑁𝑝

Por lo tanto se puede escribir

𝒔𝟏,𝟐 = −𝜶 ± 𝜶𝟐 − 𝝎𝟎𝟐

Factor de amortiguamiento

Determinación de valores iniciales y finales

Como se vio en el análisis de circuitos RC y RL, era muy común

determinar las condiciones iniciales i(0) y v(0) y finales i(∞) y v(∞)

para inductores y capacitores.

Para los circuitos RLC, además de las condiciones iniciales es

necesario determinar ahora las condiciones iniciales de sus derivadas,

dv/dt y di/dt.

Es importante tener en cuenta la polaridad v(t) del capacitor y la

corriente en el inductor i(t), respetando siempre la ley pasiva de

signos.

Ejemplo

Determine las siguientes condiciones, para t > 0.

a) 𝑖 0− y 𝑣 0−

b) 𝑖 0+ y 𝑣 0+

c) 𝑑𝑖 0+ /𝑑𝑡 y d𝑣 0+ /𝑑𝑡d) 𝑖 ∞ y 𝑣 ∞

a) Calculo de 𝑖 0− y 𝑣 0−

Simplificando el circuito se tiene que:

b) Calculo de 𝑖 0− y 𝑣 0−

c) Calculo de 𝑑𝑖 0+ /𝑑𝑡 y d𝑣 0+ /𝑑𝑡

Se sabe que:

También se sabe:

d) Calculo de 𝑖 ∞ y 𝑣 ∞

8.2 Circuito RLC en serie sin fuentes

La descripción matemática para un circuito RLC, es proceso de análisis

es similar a un circuito RLC paralelo. No obstante al ser un circuito

RLC serie la diferencia radica primordialmente en que la variable que

se desea determinar es la corriente i(t)

Con base en lo anterior considere el siguiente circuito RLC serie sin

fuente.

Ahora bien, para este análisis tomaremos como condiciones iniciales

para en el inductor y capacitor.

A partir de las condiciones iniciales, al aplicar una malla al circuito se

obtiene, la siguiente ecuación integro-diferencial.

Simplificando la ecuación y aplicando el operador de derivación en

ambos lados se tiene que:

Del mismo modo, se asumirá como una posible solución a la ecuación

diferencial la siguiente expresión

Derivando la expresión de i(t), y evaluándola en la ecuación diferencial

se tiene que:

Simplificando la ecuación diferencial anterior, se tiene:

Se había inferido que la una parte de la ecuación que puede ser 0, es

Únicamente tenemos la ecuación característica, encontrando sus

raíces de modo que:

Reescribiendo las soluciones para 𝒔𝟏,𝟐, en términos de 𝜶 y 𝝎𝟎 se tiene

Con 𝜶 y 𝝎𝟎

Reescribiendo la ecuación característica en términos de 𝜶 y 𝝎𝟎

Ahora suponiendo que la ecuación característica, posee dos posibles

soluciones se puede afirmar que:

Mediante una combinación lineal la solución para i(t) es:

Finalmente las constante 𝑨𝟏 y 𝑨𝟐 se determinan a partir de los valores

iniciales de i(0) y di(0)/dt

8.3 Circuito RLC con respuesta sobreamortiguada

De manera general se han estudiado circuitos de segundo orden, los

cuales están conformados por elementos pasivos tales como R, L y C.

No obstante ahora se estudiarán casos particulares donde sus respuestas

dependerán directamente de los parámetros 𝜶 y 𝝎𝟎, esto quiere decir

1. Si 𝜶 > 𝝎𝟎, su respuesta es tipo sobreamortiguada, lo que implica

soluciones reales para la ecuación característica.

2. Si 𝜶 = 𝝎𝟎, su respuesta es tipo críticamente amortiguada, lo que

implica una única solución para la ecuación característica.

3. Si 𝜶 < 𝝎𝟎, su respuesta es tipo subamortiguada, lo que implica

soluciones complejas para la ecuación característica.

Caso sobreamortiguado

Según la configuración del circuito RLC, sea serie, paralelo o mixto, es

necesario determinar las constantes 𝜶 y 𝝎𝟎.

Para que la respuesta sea sobreamortiguada, se tiene que cumplir que:

𝛼 > 𝜔0

RLC Serie RLC Paralelo

En relación a lo anterior, se puede decir al ser 𝜶 > 𝝎𝟎 las soluciones

de la ecuación característica 𝒔𝟏,𝟐 son reales negativas. Esto implica

Por lo tanto

−𝜶 − 𝜶𝟐 − 𝝎𝟎𝟐 < −𝜶 + 𝜶𝟐 − 𝝎𝟎

𝟐 < 𝟎

Lo anterior implica que la relación entre los componentes pasivos del

circuito son:

𝑪 >𝟒𝑳

𝑹𝟐

Finalmente su respuesta en dominio del tiempo será:

𝑖 𝑡 = 𝑣 𝑡 = 𝐴1𝑒𝑠1𝑡 + 𝐴2𝑒

𝑠2𝑡

Según la respuesta anterior, se sabe que al ser 𝒔𝟏,𝟐 constantes reales

negativas, y como 𝒔𝟐 > 𝒔𝟏 , el término 𝑨𝟐𝒆𝒔𝟐𝒕 decrece más rápido

en relación al término 𝑨𝟏𝒆𝒔𝟏𝒕.

De manera gráfica se muestra un ejemplo de una señal de corriente de

tipo sobreamortiguada.

Ejemplo

Determine la respuesta v(t), suponiendo que v(0) = 5V e i(0) = 0A

Como no hay fuentes

encontraremos la respuesta

natural, mediante una ecuación

diferencial.

Aplicando nodos

Para eliminar las integrales, se

aplica una derivada a ambos lados

Reacomodando a la forma de la

ecuación característica se tiene:

𝑠2 + 2𝛼𝑠 + 𝜔02 = 0

𝒔𝟐 + 𝟓𝟐𝒔 + 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎

Calculando las constantes 𝜶 y 𝝎𝟎.

𝛼 =1

2𝑅𝐶=

2 ∗ 1.923 ∗ 10𝑚= 26

𝜶 = 𝟐𝟔

𝜔0 =1

𝐿𝐶=

1 ∗ 10𝑚= 10

𝝎𝟎 = 𝟏𝟎Según los resultados 𝜶 > 𝝎𝟎,

respuesta sobreamortiguada

Determinando la raíces de la ecuación

característica.

𝑠1 = −26 + 262 − 102 = −2𝒔𝟏 = −𝟐

𝑠2 = −26 − 262 − 102 = −50𝒔𝟐 = −𝟓𝟎

La respuesta será:

𝒗 𝒕 = 𝑨𝟏𝒆−𝟐𝒕 + 𝑨𝟐𝒆−𝟓𝟎𝒕 𝑽

Para determinar las constantes 𝑨𝟏 y

𝑨𝟐 , se deberán utilizar condiciones

iniciales.

𝒗 𝒕 = 𝑨𝟏𝒆−𝟐𝒕 + 𝑨𝟐𝒆−𝟓𝟎𝒕 𝑽

𝒗 𝟎 = 𝑨𝟏𝒆−𝟐∗𝟎 + 𝑨𝟐𝒆−𝟓𝟎∗𝟎𝒕 𝑽

𝟓 = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐

iniciales de su derivada

Determinar la derivada de𝑑𝑣

𝑑𝑡

𝑑𝑣

𝑑𝑡= −𝟐𝑨𝟏𝒆−𝟐𝒕 − 𝟓𝟎𝑨𝟐𝒆−𝟓𝟎𝒕

Evaluada en t = 0

−𝟐𝑨𝟏 − 𝟓𝟎𝑨𝟐 = −𝟐𝟔𝟎

Resolviendo el sistema de ecuaciones

se tiene que:

𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 = 𝟓

−𝟐𝑨𝟏 − 𝟓𝟎𝑨𝟐 = −𝟐𝟔𝟎

𝑨𝟏 =−𝟓

𝟐𝟒

𝑨𝟐 =𝟏𝟐𝟓

𝟐𝟒

Rescribiendo la respuesta de v(t)

𝒗 𝒕 =−𝟓

𝟐𝟒𝒆−𝟐𝒕 +

𝟏𝟐𝟓

𝟐𝟒𝒆−𝟓𝟎𝒕 𝑽 𝒕 > 𝟎

Ejemplo

Determine la respuesta v(t) para t > 0.

Cálculo de condiciones iniciales para L y C

𝒗 𝟎+ = 𝒗 𝟎− =𝟓𝟎

𝟑𝟎 + 𝟓𝟎∗ 𝟒𝟎𝑽 = 𝟐𝟓𝑽

𝒗 𝟎+ = 𝒗 𝟎− = 𝟐𝟓𝑽

𝒊 𝟎+ = 𝒊 𝟎− =−𝟒𝟎𝑽

𝟖𝟎Ω= −𝟎. 𝟓𝑨

𝒊 𝟎+ = 𝒊 𝟎− = −𝟎. 𝟓𝑨

Caso t < 0

Cálculo de condiciones iniciales para la

derivada de v.

Por nodos

𝒊𝑹 + 𝒊𝑪 + 𝒊𝑳 = 𝟎𝒗

𝑹+ 𝑪

𝒅𝒗

𝒅𝒕+ 𝒊𝑳 = 𝟎

Reescribiendo

𝒅𝒗(𝟎)

𝒅𝒕= −

𝒗 𝟎 + 𝑹𝒊 𝟎

𝑹𝑪= −

𝟐𝟓 − 𝟓𝟎 ∗ 𝟎. 𝟓

𝟓𝟎 ∗ 𝟐𝟎µ𝒅𝒗(𝟎)

𝒅𝒕= 𝟎

Caso t > 0

Como no hay fuentes

diferencial.

Aplicando nodos

𝑠2 + 2𝛼𝑠 + 𝜔02 = 0

𝒔𝟐 + 𝟏𝟎𝟎𝟎𝒔 + 𝟏𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎 = 𝟎

𝛼 =1

2𝑅𝐶=

2 ∗ 50 ∗ 20µ= 500

𝜶 = 𝟓𝟎𝟎

𝜔0 =1

𝐿𝐶=

0.4 ∗ 20µ= 354

𝝎𝟎 = 𝟑𝟓𝟒Según los resultados 𝜶 > 𝝎𝟎,

característica.

𝑠1 = −500 + 5002 − 3542 = −854𝒔𝟏 = −𝟏𝟒𝟔

𝑠2 = −500 − 5002 − 3542 = −854𝒔𝟐 = −𝟖𝟓𝟒

La respuesta será:

𝒗 𝒕 = 𝑨𝟏𝒆−𝟏𝟒𝟔𝒕 + 𝑨𝟐𝒆−𝟖𝟓𝟒𝒕 𝑽

iniciales.

𝒗 𝒕 = 𝑨𝟏𝒆−𝟏𝟒𝟔𝒕 + 𝑨𝟐𝒆−𝟖𝟓𝟒𝒕 𝑽

𝒗 𝟎 = 𝑨𝟏𝒆−𝟏𝟒𝟔∗𝟎 + 𝑨𝟐𝒆−𝟖𝟓𝟒∗𝟎 𝑽

𝟐𝟓 = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐

𝑑𝑡

𝑑𝑣

𝑑𝑡= −𝟏𝟒𝟔𝑨𝟏𝒆−𝟏𝟒𝟔𝒕 − 𝟖𝟓𝟒𝑨𝟐𝒆−𝟖𝟓𝟒𝒕

Evaluada en t = 0

−𝟏𝟒𝟔𝑨𝟏 − 𝟖𝟓𝟒𝑨𝟐 = 𝟎

se tiene que:

𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 = 𝟐𝟓

−𝟏𝟒𝟔𝑨𝟏 − 𝟖𝟓𝟒𝑨𝟐 = 𝟎

𝑨𝟏 =𝟏𝟎𝟔𝟕𝟓

𝟑𝟓𝟒

𝑨𝟐 =−𝟏𝟖𝟐𝟓

𝟑𝟓𝟒

𝒗 𝒕 =−𝟏𝟖𝟐𝟓

𝟑𝟓𝟒𝒆−𝟖𝟓𝟒𝒕 +

𝟏𝟎𝟔𝟕𝟓

𝟑𝟓𝟒𝒆−𝟏𝟒𝟔𝒕 𝑽 𝒕 > 𝟎

8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguada

Caso críticamente amortiguado

De la misma forma que el caso sobreamortiguado, el circuito RLC, sea

serie, paralelo o mixto, es necesario determinar las constantes 𝜶 y 𝝎𝟎.

Para que la respuesta sea críticamente amortiguada, se tiene que

cumplir que:

𝛼 = 𝜔0

En relación a lo anterior, se puede decir al ser 𝜶 = 𝝎𝟎 las soluciones

de la ecuación característica 𝒔𝟏,𝟐 son iguales. Esto implica que:

Por lo tanto

−𝜶 − 𝜶𝟐 − 𝝎𝟎𝟐 = −𝜶 + 𝜶𝟐 − 𝝎𝟎

circuito son:

𝑪 =𝟒𝑳

𝑹𝟐

𝑖 𝑡 = 𝑣 𝑡 = 𝐴1𝑒−𝛼𝑡 + 𝐴2𝑒

−𝛼𝑡 = 𝐴3𝑒−𝛼𝑡

Según la respuesta anterior, se sabe que 𝐴3 = 𝐴1 + 𝐴2, pero no de

manera analítica esta solución no puede ser debido a que las dos

condiciones iniciales no pueden satisfacerse con la constante 𝐴3.

Analizando lo anterior, ¿Qué está malo en el análisis?

La respuesta circunda en que no se puede suponer ahora de una

solución exponencial es incorrecta debido a que no satisface la

ecuación, únicamente para este caso críticamente amortiguado.

Consideremos por ejemplo la condición de que 𝜶 = 𝝎𝟎, analícese ´por

ejemplo la siguiente ecuación diferencial.

Reescribiendo la ecuación diferencial se tiene que:

Realizando un cambio de variable se tiene que:

Finalmente reescribiendo

Se observa que el cambio de variable permite llegar a una ecuación

diferencial de primer orden, donde la solución para f es:

Y sustituyendo se tiene que f :

Reordenando

Donde se puede reescribir como:

Para despejar i se aplica una integración en ambos lados, se obtiene:

Donde ahora 𝑨𝟏 y 𝑨𝟐 son constantes, y la suma de ambas con un

termino lineal genera una respuesta críticamente amortiguada.

Finalmente se puede concluir que la respuesta críticamente

amortiguada en el dominio del tiempo para un circuito RLC es:

𝑖 𝑡 = 𝑣 𝑡 = (𝐴1+𝐴2𝑡)𝑒−𝛼𝑡

No obstante es posible argumentar que el termino 𝐴2𝑡𝑒−𝛼𝑡, consigue

su valor máximo cuando 𝑡 =1

𝛼esto indica una constante de tiempo, y

luego decrecerá hasta llegar a ser 0.

tipo críticamente amortiguada.

Ejemplo

Como no hay fuentes

diferencial.

Aplicando nodos

𝑠2 + 2𝛼𝑠 + 𝜔02 = 0

𝒔𝟐 + 𝟐𝟎𝒔 + 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎

𝛼 =1

2𝑅𝐶=

2 ∗ 5 ∗ 10𝑚= 10

𝜶 = 𝟏𝟎

𝜔0 =1

𝐿𝐶=

1 ∗ 10𝑚= 10

𝝎𝟎 = 𝟏𝟎Según los resultados 𝜶 = 𝝎𝟎,

respuesta críticamente amortiguada

característica.

𝑠1 = −10 ± 102 − 102 = −10

𝒔𝟏 = 𝒔𝟐 = −𝟏𝟎

La respuesta será:

𝒗 𝒕 = (𝑨𝟏+𝑨𝟐𝒕)𝒆−𝟏𝟎𝒕 𝑽

8.4 Circuito RLC con respuesta críticamente amortiguadaCálculo de condiciones iniciales para la

derivada de v.

Por nodos

𝑹+ 𝑪

𝒅𝒗

Reescribiendo

𝒅𝒗(𝟎)

𝒅𝒕= −

𝒗 𝟎 + 𝑹𝒊 𝟎

𝑹𝑪= −

𝟓 + 𝟓 ∗ 𝟎

𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝒎𝒅𝒗(𝟎)

𝒅𝒕= −𝟏𝟎𝟎

iniciales.

𝒗 𝒕 = (𝑨𝟏+𝑨𝟐𝒕)𝒆−𝟏𝟎𝒕 𝑽

𝒗 𝟎 = (𝑨𝟏+𝑨𝟐 ∗ 𝟎)𝒆−𝟏𝟎∗𝟎 𝑽

𝟓 = 𝑨𝟏

𝑑𝑡

𝑑𝑣

𝑑𝑡= (−𝟏𝟎𝑨𝟏 − 𝟏𝟎𝑨𝟐𝒕𝒆−𝟏𝟎𝒕 + 𝑨𝟐) 𝒆−𝟏𝟎𝒕

Evaluada en t = 0

−𝟏𝟎𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 = −𝟏𝟎𝟎

se tiene que:

𝑨𝟏 + 𝟎𝑨𝟐 = 𝟓

−𝟏𝟎𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 = −𝟏𝟎𝟎

𝑨𝟏 = 𝟓

𝑨𝟐 = −𝟓𝟎

𝒗 𝒕 = (𝟓 − 𝟓𝟎𝒕)𝒆−𝟏𝟎𝒕 𝑽 𝒕 > 𝟎

Ejemplo

Determine la respuesta i(t) para t > 0.

𝒗 𝟎+ = 𝒗 𝟎− =𝟒𝟎Ω ∗ 𝟑𝟎𝑽

𝟓𝟎Ω= 𝟐𝟒𝑽

𝒗 𝟎+ = 𝒗 𝟎− = 𝟐𝟒𝑽

𝒊 𝟎+ = 𝒊 𝟎− = 𝟎

𝒊 𝟎+ = 𝒊 𝟎− = 𝟎𝑨

Caso t < 0

derivada de i.

Por mallas

𝑹𝒆𝒒𝒊 + 𝒗 𝟎 + 𝑳𝒅𝒊

𝒅𝒕= 𝟎

Reescribiendo

𝒅𝒊(𝟎)

𝒅𝒕= −

𝒗 𝟎 + 𝑹𝒆𝒒𝒊

𝑳= −

𝟐𝟒 − 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟎

𝟐. 𝟓

𝒅𝒊(𝟎)

𝒅𝒕= −𝟗. 𝟔

Caso t > 0

Como no hay fuentes

diferencial.

Aplicando mallas

𝑠2 + 2𝛼𝑠 + 𝜔02 = 0

𝒔𝟐 + 𝟒𝟎𝒔 + 𝟒𝟎𝟎 = 𝟎

𝛼 =𝑅

2𝐿=

2 ∗ 2.5= 20

𝜶 = 𝟐𝟎

𝜔0 =1

𝐿𝐶=

2.5 ∗ 1𝑚= 20

𝝎𝟎 = 𝟐𝟎Según los resultados 𝜶 = 𝝎𝟎,

respuesta críticamente amortiguada

característica.

𝑠1 = 𝑠2 − 20 ± 202 − 202 = −20

𝒔𝟏 = 𝒔𝟐 = −𝟐𝟎

La respuesta será:

𝒊 𝒕 = (𝑨𝟏+𝑨𝟐𝒕)𝒆−𝟐𝟎𝒕 𝑨

iniciales.

𝒊 𝒕 = (𝑨𝟏+𝑨𝟐𝒕)𝒆−𝟐𝟎𝒕 𝑨

𝒊 𝟎 = (𝑨𝟏+𝑨𝟐 ∗ 𝟎)𝒆−𝟐𝟎∗𝟎 𝑨

𝟎 = 𝑨𝟏 + 𝟎𝑨𝟐

Determinar la derivada de𝑑𝑖

𝑑𝑡

𝑑𝑖

𝑑𝑡= (−𝟐𝟎𝑨𝟏 − 𝟐𝟎𝑨𝟐𝒕 + 𝑨𝟐) 𝒆−𝟐𝟎𝒕

Evaluada en t = 0

−𝟐𝟎𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 = −𝟗. 𝟔

se tiene que:

𝑨𝟏 + 𝟎𝑨𝟐 = 𝟎

−𝟐𝟎𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 = −𝟗. 𝟔

𝑨𝟏 = 𝟎

𝑨𝟐 = −𝟗. 𝟔

Rescribiendo la respuesta de i(t)

𝒊 𝒕 = −𝟗. 𝟔𝒕𝒆−𝟐𝟎𝒕 𝑽 𝒕 > 𝟎

8.5 Circuito RLC con respuesta subamortiguada

Caso subamortiguado

Según la configuración del circuito RLC, sea serie, paralelo o mixto, es

necesario determinar las constantes 𝜶 y 𝝎𝟎.

Para que la respuesta sea subamortiguada, se tiene que cumplir que:

𝛼 < 𝜔0

En relación a lo anterior, se puede decir al ser 𝜶 < 𝝎𝟎 las soluciones

de la ecuación característica 𝒔𝟏,𝟐 son complejas conjugadas. Esto

implica que:

Frecuencia de amortiguamiento

circuito son:

𝑪 >𝟒𝑳

𝑹𝟐

𝑖 𝑡 = 𝑣 𝑡 = 𝐴1𝑒−(𝛼−𝑗𝜔𝑑)𝑡 + 𝐴2𝑒

−(𝛼+𝑗𝜔𝑑) 𝑡

𝑖 𝑡 = 𝑣 𝑡 = 𝑒−𝛼𝑡(𝐴1𝑒+𝑗𝜔𝑑𝑡 + 𝐴2𝑒

−𝑗𝜔𝑑𝑡)

La expresión obtenida es un poco difícil de entender debido a las

constantes complejas que posee, es por ello que se reescribirá la

expresión de otra manera.

Usando notación de Euler se tiene que:

Reescribiendo la expresión se tiene que:

Donde se agrupan las constantes (𝐴1+𝐴2) → 𝐵1 y 𝑗(𝐴1 − 𝐴2) → 𝐵2,

finalmente se tiene que:

𝑖 𝑡 = 𝑣 𝑡 = 𝑒−𝛼𝑡(𝐵1cos(𝜔𝑑𝑡) + 𝐵2sin(𝜔𝑑𝑡))

Con base a en la expresión obtenida se tiene claro que la respuesta

natural en este caso particular esta amortiguada de manera exponencial

y será de carácter oscilatorio

Esta respuesta tiene una constante de tiempo de 1/𝛼 y un periodo de

oscilación de 𝑇 = 2𝜋/𝜔𝑑

tipo subamortiguada.

Ejemplo

Como no hay fuentes

diferencial.

Aplicando nodos

𝑠2 + 2𝛼𝑠 + 𝜔02 = 0

𝒔𝟐 + 𝟏𝟔𝒔 + 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎

𝛼 =1

2𝑅𝐶=

2 ∗ 6.25 ∗ 10𝑚= 8

𝜶 = 𝟖

𝜔0 =1

𝐿𝐶=

1 ∗ 10𝑚= 10

𝝎𝟎 = 𝟏𝟎Según los resultados 𝜶 < 𝝎𝟎,

respuesta subamortiguada

característica.

𝑠1,2 = −8 ± 82 − 102 = −8 ± 𝑗6

𝒔𝟏,𝟐 = −𝟖 ± 𝒋𝟔

La respuesta será:

𝒗 𝒕 = (𝑩𝟏𝒄𝒐𝒔(𝟔𝒕) + 𝑩𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟔𝒕))𝒆−𝟖𝒕 𝑽

derivada de v.

Por nodos

𝑹+ 𝑪

𝒅𝒗

Reescribiendo

𝒅𝒗(𝟎)

𝒅𝒕= −

𝒗 𝟎 + 𝑹𝒊 𝟎

𝑹𝑪= −

𝟓 + 𝟔. 𝟐𝟓 ∗ 𝟎

𝟔. 𝟐𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝒎𝒅𝒗(𝟎)

𝒅𝒕= −𝟖𝟎

Para determinar las constantes 𝑩𝟏 y 𝑩𝟐, se deberán

utilizar condiciones iniciales.

𝒗 𝒕 = (𝑩𝟏𝒄𝒐𝒔(𝟔𝒕) + 𝑩𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟔𝒕))𝒆−𝟖𝒕 𝑽

𝒗 𝟎 = (𝑩𝟏𝒄𝒐𝒔(𝟔 ∗ 𝟎) + 𝑩𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟔 ∗ 𝟎))𝒆−𝟖∗𝟎𝑽

𝟓 = 𝑩𝟏 + 𝟎𝑩𝟐

𝑑𝑡

𝑑𝑣

𝑑𝑡= −8𝑒−8𝑡(𝐵1𝑐𝑜𝑠 6𝑡 + 𝐵2sen(6t)) + 𝑒−8𝑡(−6𝐵1𝑠𝑒𝑛 6𝑡 + 6𝐵2𝑐𝑜𝑠 6𝑡 )

Evaluada en t = 0

−𝟖𝑩𝟏 + 𝟔𝑩𝟐 = −𝟖𝟎

se tiene que:

𝑩𝟏 + 𝟎𝑩𝟐 = 𝟓

−𝟖𝑩𝟏 + 𝟔𝑩𝟐 = −𝟖𝟎

𝑩𝟏 = 𝟓

𝑩𝟐 = −𝟐𝟎

𝒗 𝒕 = (𝟓𝒄𝒐𝒔 𝟔𝒕 −𝟐𝟎

𝟑𝒔𝒆𝒏(𝟔𝒕))𝒆−𝟖𝒕𝑽 𝒕 > 𝟎

Ejemplo

Determine la respuesta i(t) para t > 0.

𝒗 𝟎+ = 𝒗 𝟎− =𝟔Ω ∗ 𝟏𝟎𝑽

𝟏𝟎Ω= 𝟔𝑽

𝒗 𝟎+ = 𝒗 𝟎− = 𝟔𝑽

𝒊 𝟎+ = 𝒊 𝟎− =𝟔𝑽

𝟔Ω= 𝟏𝑨

𝒊 𝟎+ = 𝒊 𝟎− = 𝟏𝑨

Caso t < 0

derivada de i.

Por mallas

𝑹𝒆𝒒𝒊 + 𝒗 𝟎 + 𝑳𝒅𝒊

𝒅𝒕= 𝟎

Reescribiendo

𝒅𝒊(𝟎)

𝒅𝒕= −

𝒗 𝟎 + 𝑹𝒆𝒒𝒊

𝑳= −

−𝟔 + 𝟗 ∗ 𝟏

𝟎. 𝟓

𝒅𝒊(𝟎)

𝒅𝒕= −𝟔

Caso t > 0

Como no hay fuentes

diferencial.

Aplicando mallas

𝑠2 + 2𝛼𝑠 + 𝜔02 = 0

𝒔𝟐 + 𝟏𝟖𝒔 + 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎

𝛼 =𝑅

2𝐿=

2 ∗ 0.5= 9

𝜶 = 𝟗

𝜔0 =1

𝐿𝐶=

0.5 ∗ 0.02= 10

𝝎𝟎 = 𝟏𝟎Según los resultados 𝜶 < 𝝎𝟎,

característica.

𝑠1,2 − 9 + 92 − 102 = −9 ± 𝑗 19

𝒔𝟏,𝟐 = −𝟗 ± 𝒋 𝟏𝟗

La respuesta será:

𝒊 𝒕 = (𝑩𝟏𝒄𝒐𝒔( 𝟏𝟗𝒕) + 𝑩𝟐𝒔𝒆𝒏( 𝟏𝟗𝒕))𝒆−𝟗𝒕𝑨

Para determinar las constantes 𝑩𝟏 y 𝑩𝟐, se deberán

utilizar condiciones iniciales.

𝒊 𝒕 = (𝑩𝟏𝒄𝒐𝒔( 𝟏𝟗𝒕) + 𝑩𝟐𝒔𝒆𝒏( 𝟏𝟗𝒕))𝒆−𝟗𝒕𝑨

𝒊 𝟎 = (𝑩𝟏𝒄𝒐𝒔( 𝟏𝟗 ∗ 𝟎) + 𝑩𝟐𝒔𝒆𝒏( 𝟏𝟗 ∗ 𝟎))𝒆−𝟗∗𝟎𝑨

𝟏 = 𝑩𝟏 + 𝟎𝑩𝟐

Determinar la derivada de𝑑𝑖

𝑑𝑡

𝑑𝑖

𝑑𝑡= −9𝑒−9𝑡(𝐵1𝑐𝑜𝑠 19𝑡 + 𝐵2sen( 19t)) + 𝑒−9𝑡(− 19𝐵1𝑠𝑒𝑛 19𝑡

+ 19𝐵2𝑐𝑜𝑠 19𝑡 )

Evaluada en t = 0

−𝟗𝑩𝟏 + 𝟏𝟗𝑩𝟐 = −𝟔

se tiene que:

𝑩𝟏 + 𝟎𝑩𝟐 = 𝟏

−𝟗𝑩𝟏 + 𝟏𝟗𝑩𝟐 = −𝟔

𝑩𝟏 = 𝟏

𝑩𝟐 = 𝟎. 𝟔𝟖𝟖𝟐

𝒊 𝒕 = (𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟗𝒕 + 𝟎. 𝟔𝟖𝟖𝟐𝒔𝒆𝒏 𝟏𝟗𝒕 )𝒆−𝟗𝒕𝑨 𝒕 > 𝟎

8.6 Respuesta Completa de Circuitos RLC (serie, paralelo y combinado)

La respuesta completa es la suma de la respuesta natural mas la

forzada. Sin embargo la resolución es al misto estilo de lo trabajado

hasta ahora, únicamente hay que resaltar que para la determinación de

las condiciones iniciales para determinar el valor de las constantes de

la respuesta se necesita más pericia.

En relación a lo anterior, tal como en la respuesta completa para RC y

RL, la respuesta forzada es constante por ejemplo 𝑣𝑓(𝑡) → 𝑣𝑓 o

𝑖𝑓(𝑡) → 𝑖𝑓 mientras que la respuesta natural ya es conocida

𝑖(𝑡)𝑛 = 𝑣(𝑡)𝑛 = 𝐴𝑒𝑠1𝑡 + 𝐵𝑒𝑠2𝑡

Sin embargo como es de esperar se puede determinar con facilidad los

valores de 𝑣𝑓, 𝑖𝑓, 𝑠1 y 𝑠2, se conocen del circuito y de las funciones

forzadas (fuentes).

De aquí se conocerá la condición inicial de 𝑣(0±) e 𝑖(0±) que dará la

ecuación, sin embargo casi siempre la otra ecuación sale de un análisis

que involucra la derivada de la respuesta

𝑑𝑣

𝑑𝑡𝑡=0

o 𝑑𝑖

𝑑𝑡𝑡=0

La relación de esta derivada con el resto del circuito dependerá de las

condiciones particulares de este, por lo que debe recurrirse a la

observación determinada.

Ejemplo (serie)

Determine la respuesta v(t) e i(t) para t > 0. Con R= 1Ω.

𝒗 𝟎+ = 𝒗 𝟎− =𝟏Ω ∗ 𝟐𝟒𝑽

𝟐Ω= 𝟏𝟐𝑽

𝒗 𝟎+ = 𝒗 𝟎− = 𝟏𝟐𝑽

𝒊 𝟎+ = 𝒊 𝟎− =𝟏𝟐𝑽

𝟏Ω= 𝟏𝟐𝑨

𝒊 𝟎+ = 𝒊 𝟎− = 𝟏𝟐𝑨

Caso t < 0

Cálculo de v infinito

𝒗 ∞ = 𝟐𝟒𝑽

Caso t > 0

derivada de v.

𝑪𝒅𝒗(𝟎)

𝒅𝒕= 𝟏𝟐

Reescribiendo𝒅𝒗(𝟎)

𝒅𝒕=

𝟏𝟐

𝒅𝒗(𝟎)

𝒅𝒕= 𝟒𝟖

Caso t > 0

𝛼 =𝑅

2𝐿=

2 ∗ 1= 0.5

𝜶 = 𝟎. 𝟓

𝜔0 =1

𝐿𝐶=

0.25 ∗ 1= 2

𝝎𝟎 = 𝟐Según los resultados 𝜶 < 𝝎𝟎,

Determinando la raíces de la ecuación característica.

𝑠1,2 − 0.5 + 0.52 − 22 = −9 ± 𝑗 15/4

𝒔𝟏,𝟐 = −𝟗 ± 𝒋 𝟏𝟓/𝟒

La respuesta será:

𝒗 𝒕 = 𝟐𝟒 + (𝑩𝟏𝒄𝒐𝒔( 𝟏𝟓/𝟒𝒕) + 𝑩𝟐𝒔𝒆𝒏( 𝟏𝟓/𝟒𝒕))𝒆−𝟎.𝟓𝒕𝑽

Para determinar las constantes 𝑩𝟏 y 𝑩𝟐, se deberán utilizar condiciones

iniciales.

𝒗 𝒕 = 𝟐𝟒 + (𝑩𝟏𝒄𝒐𝒔𝟏𝟓

𝟒𝒕 + 𝑩𝟐𝒔𝒆𝒏

𝟏𝟓

𝟒𝒕 )𝒆−𝟎.𝟓𝒕𝑽

𝒗 𝟎 = 𝟐𝟒 + (𝑩𝟏𝒄𝒐𝒔(𝟏𝟓

𝟒∗ 𝟎) + 𝑩𝟐𝒔𝒆𝒏(

𝟏𝟓

𝟒∗ 𝟎))𝒆−𝟎.𝟓∗𝟎𝑽

−𝟏𝟐 = 𝑩𝟏 + 𝟎𝑩𝟐

𝑑𝑡

𝑑𝑣

𝑑𝑡

= −0.5𝑒−0.5𝑡(𝐵1𝑐𝑜𝑠𝟏𝟓

𝟒𝑡 + 𝐵2sen

𝟏𝟓

𝟒𝑡 + 𝑒−0.5𝑡(−

𝟏𝟓

𝟒𝐵1𝑠𝑒𝑛

𝟏𝟓

𝟒𝑡

+𝟏𝟓

𝟒𝐵2𝑐𝑜𝑠

𝟏𝟓

𝟒𝑡 )

Evaluada en t = 0

−𝟎. 𝟓𝑩𝟏 +𝟏𝟓

𝟒𝑩𝟐 = 𝟒𝟖

se tiene que:

𝑩𝟏 + 𝟎𝑩𝟐 = −𝟏𝟐

−𝟎. 𝟓𝑩𝟏 + 𝟏𝟓/𝟒𝑩𝟐 = 𝟒𝟖

𝑩𝟏 = −𝟏𝟐

𝑩𝟐 = 𝟐𝟏. 𝟔𝟖

𝒗 𝒕 = 𝟐𝟒 + (−𝟏𝟐𝒄𝒐𝒔𝟏𝟓

𝟒𝒕 + 𝟐𝟏. 𝟔𝟖𝒔𝒆𝒏

𝟏𝟓

𝟒𝒕 )𝒆−𝟎.𝟓𝒕𝑽 𝒕 > 𝟎

𝒊𝒄 = 𝑪𝒅𝒗

𝒅𝒕

𝒊 𝒕 = (𝟏𝟐𝒄𝒐𝒔𝟏𝟓

𝟒𝒕 + 𝟑. 𝟏𝒔𝒆𝒏

𝟏𝟓

𝟒𝒕 )𝒆−𝟎.𝟓𝒕 𝑨 𝒕 > 𝟎

Ejemplo (paralelo)

Determine la respuesta i(t) e 𝑖𝑅(𝑡) para t > 0.

Cálculo de condiciones iniciales para L y CCaso t < 0

Cálculo de condiciones al infinito

𝑖 ∞ = 4 𝐴

Caso t > 0

derivada de iCaso t > 0

𝛼 =1

2𝑅𝐶=

2 ∗ 10 ∗ 8𝑚= 6.25

𝜶 = 𝟔. 𝟐𝟓

𝜔0 =1

𝐿𝐶=

20 ∗ 8𝑚= 2.5

𝝎𝟎 = 𝟐. 𝟓Según los resultados 𝜶 > 𝝎𝟎,

característica.

𝑠1 = −6.25 + 6.252 − 2.52 = −𝟎. 𝟓𝟐𝟏𝟖𝒔𝟏 = −𝟎. 𝟓𝟐𝟏𝟖

𝑠2 = −6.25 − 6.252 − 2.52 = −𝟏𝟏. 𝟗𝟕𝟖𝒔𝟐 = −𝟏𝟏. 𝟗𝟕𝟖

La respuesta será:

𝒊 𝒕 = 𝟒 + 𝑨𝟏𝒆−𝟎.𝟓𝟐𝟏𝟖𝒕 + 𝑨𝟐𝒆−𝟏𝟏.𝟗𝟕𝟖𝒕 𝑨

Para determinar las constantes 𝑨𝟏 y 𝑨𝟐, se

deberán utilizar condiciones iniciales.

𝒊 𝒕 = 𝟒 + 𝑨𝟏𝒆−𝟎.𝟓𝟐𝟏𝟖𝒕 + 𝑨𝟐𝒆−𝟏𝟏.𝟗𝟕𝟖𝒕 𝑨

𝒊 𝟎 = 𝟒 + 𝑨𝟏𝒆−𝟎.𝟓𝟐𝟏𝟖∗𝟎 + 𝑨𝟐𝒆−𝟏𝟏.𝟗𝟕𝟖∗𝟎 𝑨

𝟎 = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐

𝑑𝑡

𝑑𝑣

𝑑𝑡= −𝟎. 𝟓𝟐𝟏𝟖𝑨𝟏𝒆−𝟎.𝟓𝟐𝟏𝟖𝒕 + −𝟏𝟏. 𝟗𝟕𝟖𝑨𝟐𝒆−𝟏𝟏.𝟗𝟕𝟖𝒕

Evaluada en t = 0

−𝟎. 𝟓𝟐𝟏𝟖𝑨𝟏−𝟏𝟏. 𝟗𝟕𝟖𝑨𝟐= 𝟎. 𝟕𝟓

se tiene que:

𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 = 𝟎

−𝟎. 𝟓𝟐𝟏𝟖𝑨𝟏−𝟏𝟏. 𝟗𝟕𝟖𝑨𝟐= 𝟎. 𝟕𝟓

𝑨𝟏 =𝟑𝟕𝟓𝟎

𝟓𝟕𝟐𝟖𝟏

𝑨𝟐 =−𝟑𝟕𝟓𝟎

𝟓𝟕𝟐𝟖𝟏

Finalmente se tiene que:

𝒊 𝒕 = 𝟒 +𝟑𝟕𝟓𝟎

𝟓𝟕𝟐𝟖𝟏𝒆−𝟎.𝟓𝟐𝟏𝟖𝒕 − 𝒆−𝟏𝟏.𝟗𝟕𝟖𝒕 𝒖(𝒕) 𝑨

Considere el siguiente circuito (combinado)

a) Determine las condiciones iniciales para 𝑖(0±), 𝑣(0±) y di(0±)/dt

b) Determine la ecuación diferencial que describe i(t) para t >0.

c) Determine la ecuación característica correspondiente, y los valores

de frecuencia naturales, resonancia y coeficiente de amortiguamiento

exponencial.

d) Determine i(t) para t >0

a) Determine las condiciones iniciales para 𝑖(0±), 𝑣(0±) y di(0±)/dt

𝑖 0± = 0A

𝑣 0± = 0𝑉

di(0±)/dt =𝑣𝐿(0+)

𝐿= 2 𝐼1 − 𝐼2 + 2 𝐼2 − 𝐼3 + 𝑣𝑐 0+ + 2𝐼2

di(0±)/dt =𝑣𝐿(0+)

𝐿= 2 𝐼1 − 0 + 2 0 − 𝐼3 + 𝑣𝑐 0+ + 2 ∗ 0

di(0±)/dt = = 2 ∗ 2 + 2 +4 = 8 𝐴/𝑠

Malla 1

𝐼1 = 2 𝐴Malla 3

𝐼3 =𝑉1

Donde 𝐼3 = 𝐼1 − 𝐼2

Malla 2

−𝑣1 + 𝑣2 + 𝑣𝑐 + 𝑣𝐿 + 𝑣3 = 0

2 𝐼2 − 𝐼1 + 2 𝐼2 − 𝐼3 + 6 0

𝐼2 − 𝐼3 𝑑𝑡 + 𝑣𝑐 0+ + 𝐿𝑑𝐼2𝑑𝑡

Simplificando:

𝒅𝟐𝒊𝑳𝒅𝒕𝟐

+ 𝟖𝒅𝒊𝑳𝒅𝒕

+ 𝟏𝟐𝒊𝑳 = 𝟔𝑰𝟏

c) Determine la ecuación característica correspondiente, y los valores

de frecuencia naturales, resonancia y coeficiente de amortiguamiento

exponencial.

𝒔𝟐 + 𝟐𝜶𝒔 + 𝝎𝟎𝟐 = 𝟎

𝒔𝟐 + 𝟖𝒔 + 𝟏𝟐 = 𝟎

𝜶 = 𝟒

𝝎𝟎 = 𝟏𝟐

𝒔𝟏,𝟐 = −𝟒 ± 𝟒𝟐 − 𝟏𝟐𝟐

𝒔𝟏 = −𝟐 𝒚 𝒔𝟐 = −𝟔

Antes de determinar la respuesta completa es necesario calcular la

condición de 𝑖 ∞𝑖 ∞ =

𝑣1 = 2(2 −𝑣1

𝒊 ∞ =𝒗𝟏

𝟐= 𝟏𝑨

Se sabe que 𝜶 = 𝟒 𝐲 𝝎𝟎 = 𝟏𝟐, esto implica que 𝛼 > 𝜔0, por lo

tanto la respuesta sobreamortiguada.

𝒊 𝒕 = 𝟏 + 𝑨𝟏𝒆−𝟐𝒕 + 𝑨𝟐𝒆−𝟔𝒕 𝒖 𝒕 𝑨

Condiciones iniciales

𝑖 0 → 0 = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 + 𝟏

𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 = −𝟏

Aplicando di/dt𝑑𝑖

𝑑𝑡= −𝟐𝑨𝟏𝒆−𝟐𝒕 − 𝟔𝑨𝟐𝒆−𝟔𝒕

𝟖 = −𝟐𝑨𝟏 − 𝟔𝑨𝟐

Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene:

𝑨𝟏 =𝟏

𝑨𝟐 =−𝟑

𝒊 𝒕 = 𝟏 +𝟏

𝟐𝒆−𝟐𝒕 −

𝟐𝒆−𝟔𝒕 𝒖 𝒕 𝑨

Ejemplo (combinado)

Determine la respuesta v(t) e 𝑖(𝑡) para t > 0.

Cálculo de condiciones iniciales para L y CCaso t < 0

Cálculo de condiciones al infinitoCaso t > 0

derivada de iCaso t > 0

Caso t > 0 Aplicando un nodo

Aplicando un malla

Caso t > 0 Calculando v

Reescribiendo

Ecuación característica

2𝛼 = 5 → 𝛼 = 2.5

𝜶 = 𝟐. 𝟓

𝜔0 = 6

𝝎𝟎 = 𝟔

Según los resultados 𝜶 > 𝝎𝟎,

Caso t > 0

característica.

𝑠1 = −2.5 + 2.52 − 62

= −𝟐

𝒔𝟏 = −𝟐

𝑠2 = −2.5 − 2.52 − 62

= −𝟑

𝒔𝟐 = −𝟑

La respuesta será:

𝒗 𝒕 = 𝟒 + 𝑨𝟏𝒆−𝟐𝒕 + 𝑨𝟐𝒆−𝟑𝒕 𝑽

𝒗 𝟎 = 𝟒 + 𝑨𝟏𝒆−𝟐∗𝟎 + 𝑨𝟐𝒆−𝟑∗𝟎 𝑽

𝟖 = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐

𝑑𝑡

𝑑𝑣

𝑑𝑡= −𝟐𝟏𝒆−𝟐𝒕 + −𝟑𝑨𝟐𝒆−𝟑𝒕

Evaluada en t = 0

−𝟐𝑨𝟏−𝟑𝑨𝟐= −𝟏𝟐

se tiene que:

𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 = 𝟖

−𝟐𝑨𝟏−𝟑𝑨𝟐= −𝟏𝟐

𝑨𝟏 = 𝟏𝟐

𝑨𝟐 = −𝟒

𝒗 𝒕 = (𝟒 + 𝟏𝟐𝒆−𝟐𝒕 − 𝟒𝒆−𝟑𝒕)𝒖(𝒕) 𝑽Para obtener i(t)

Se obtiene que:

𝒊 𝒕 = (𝟐 − 𝟔𝒆−𝟐𝒕 + 𝟒𝒆−𝟑𝒕)𝒖(𝒕) 𝑨

Considere el siguiente circuito (combinado)

a) Determine 𝑖𝐿(0±), 𝑣𝑐(0

±), dv0±/dt, y 𝑣𝑐(∞)b) Determine la ecuación diferencial de segundo orden que describe la

respuesta natural de 𝑖𝐿(𝑡), en función de R, L, C y P.

c) Determine el valor de constante P para que su respuesta sea

críticamente amortiguada.

d) Determine la respuesta completa para 𝑣𝑐(𝑡) para t > 0.

e) Grafique 𝑣𝑐(𝑡) para t > 0.

Cálculo de condiciones iniciales para

𝒗𝒂 = −𝟒𝑷𝒗𝒂 𝒕 = −𝟒𝑷𝒗𝒂

A menos de que P= -1/4 la única

solución será para t = 0 de que 𝒗𝒂 =𝟎.

𝒗𝒄 𝟎± = 𝟏𝟎𝑽𝒊𝑳 𝟎± = 𝟎𝑨

Caso t < 0

Cálculo de condiciones al infinito

𝒗𝒄 ∞ = 𝟏𝟔𝑽

Para dv𝟎±/dt

Dado que 𝑖𝐿 0+ = 0 𝐴 →𝑣𝑎 0+ = 0𝑉 → 𝑖𝑐 0+ = 0 𝐴

𝒅𝒗𝒄

𝒅𝒕= 𝟎 𝑽/𝒔

Caso t > 0

Caso t > 0 Aplicando un nodo

𝒊𝑳 = 𝑷𝒗𝒂 + 𝒊𝒄

𝒊𝑳 = −𝑹𝒊𝑳𝑷 + 𝑪𝒅𝒗

𝒅𝒕

𝑪𝒅𝒗

𝒅𝒕= (𝑹𝑷 + 𝟏)𝒊𝑳

Caso t > 0 Aplicando una supermalla

𝒗𝑳 − 𝒗𝒂 + 𝒗𝒄 = 𝟎

𝑳𝒅𝒊

𝒅𝒕+ 𝑹𝒊𝑳 + 𝒗𝒄 = 𝟎

𝒗𝒄 = −𝑳𝒅𝒊

𝒅𝒕− 𝑹𝒊𝑳

Caso t > 0 Sustituyendo 𝒗𝒄

−𝑪𝑳𝒅𝒊𝑳

𝒅𝒕𝟐− 𝑹𝑪

𝒅𝒊𝑳𝒅𝒕

= (𝑹𝑷 + 𝟏)𝒊𝑳

𝒅𝒊𝑳𝟐

𝒅𝒕𝟐+

+𝑹𝑷 + 𝟏

𝑳𝑪𝒊𝑳 = 𝟎

Sustituyendo valores

𝒅𝒊𝑳𝟐

𝒅𝒕𝟐+ 𝟒𝟎

+ (𝟏𝟔 + 𝟔𝟒𝑷)𝒊𝑳 = 𝟎

Caso t > 0 Ecuación diferencial

Ecuación característica

𝒔𝟐 + 𝟐𝜶𝒔 + 𝝎𝟎𝟐 = 𝟎

𝒔𝟐 + 𝟒𝟎𝒔 + (𝟏𝟔 + 𝟔𝟒𝑷) = 𝟎

𝒅𝒊𝑳𝟐

𝒅𝒕𝟐+ 𝟒𝟎

+ (𝟏𝟔 + 𝟔𝟒𝑷)𝒊𝑳 = 𝟎

2𝛼 = 40 → 𝛼 = 20

𝜶 = 𝟐𝟎 = 𝝎𝟎

𝝎𝟎 = 𝟏𝟔 + 𝟔𝟒𝑷 = 𝟐𝟎

𝑷 = 𝟔

Según los resultados 𝜶 = 𝝎𝟎, respuesta

críticamente amortiguada

Caso t > 0

característica.

𝑠1 = −20 + 202 − 202 = −𝟐𝟎

𝒔𝟏 = −𝟐𝟎

𝑠2 = −20 − 202 − 202 = −𝟐𝟎𝒔𝟐 = −𝟐𝟎

La respuesta será:

𝒗 𝒕 = 𝟏𝟔 + (𝑨𝟏+𝑨𝟐𝒕)𝒆−𝟐𝟎𝒕 𝑽

𝒗 𝟎 = 𝟏𝟔 + (𝑨𝟏+𝑨𝟐 ∗ 𝟎)𝒆−𝟐𝟎∗𝟎 𝑽

−𝟔 = 𝑨𝟏 + 𝟎𝑨𝟐

𝑑𝑡

𝑑𝑣

𝑑𝑡= 𝑨𝟐 𝒆−𝟐𝟎𝒕 − 𝟐𝟎(𝑨𝟏+𝑨𝟐𝒕)𝒆−𝟐𝟎𝒕

Evaluada en t = 0

−𝟐𝟎𝑨𝟏+𝑨𝟐= 𝟎

Resolviendo el sistema de ecuaciones se

tiene que:

𝑨𝟏 + 𝟎𝑨𝟐 = −𝟔−𝟐𝟎𝑨𝟏+𝑨𝟐= 𝟎

𝑨𝟏 = −𝟔𝑨𝟐 = −𝟏𝟐𝟎

𝒗 𝒕 = (𝟏𝟔 − (𝟔 + 𝟏𝟐𝟎𝒕)𝒆−𝟐𝟎𝒕)𝒖(𝒕) 𝑽

En relación a todos los casos de circuitos de segundo orden, finalmente

resulta importante estudiar circuitos eléctricos que tenga la característica

ser generar respuesta oscilatorias en el dominio del tiempo.

No obstante para el fin de este curso, únicamente se estudiarán circuitos

LC sin perdidas, debido a que el contenido se basa en componentes

pasivos y no activos.

Ahora bien, según los circuitos RLC serie y paralelo, es posible conseguir

circuitos resonadores o LC, tomando como elemento variable a la

resistencia eléctrica.

8.7 Circuito LC sin pérdida

Analicemos el caso para un circuito RLC paralelo

Su ecuación diferencial se describe como:

Donde 𝛼 y 𝜔0 se describían a partir de la ecuación característica como:

Finalmente decíamos que:

Supongamos ahora que R→ ∞, y además que L y C poseen condiciones

iniciales

Asumiendo que R→ ∞, la ecuación diferencial y característica se pueden

reescribir como:

En donde las constantes 𝛼 y 𝜔0 se reducen a:

Al ser 𝛼 = 0, es implica que siempre 𝜔0 > 𝛼, por lo tanto su respuesta en

el dominio del tiempo será:

Donde simplificando, se obtiene un respuesta natural de:

La ausencia de 𝛼 permite que la señal mantenga su amplitud en tiempo, y

no se extinga, es importante notar que su respuesta es de carácter

oscilatorio o variante en tiempo.

Gráficamente la ausente del factor exponencial se visualiza en el

siguiente caso:

α ≠ 0 α = 0

El caso oscilatorio de esta respuesta se da debido a la constante carga y

descarga de los elementos que almacenan energía tal como se muestra a

continuación:

Finalmente este caso particular, se puede extrapolar a un circuito RLC

serie en donde se asumirá que R→ 0, donde sus ecuaciones diferenciales

para respuesta natural se resumen:

Y además su respuesta completa es posible escribir como la suma de la

respuesta forzada y natural.

Donde para determinar las constantes 𝐴1 y 𝐴2, se deberán considerar las

condiciones iniciales y también sus derivadas respectivamente, esto

permite satisfacer su condición inicial.

Ejemplo

Determine v(t) para t > 0, considerando que 𝑖 0 =−1

6𝐴, 𝑣 0 = 0𝑉, L =

4H y 𝐶 =1

36𝐹

Determinando𝒅𝒗

𝒅𝒕en condición inicial

Aplicando ley fundamental del capacitor.

𝒊𝒄 = 𝑪𝒅𝒗(𝟎+)

𝒅𝒕

Aplicando un nodo

𝒊𝑳 + 𝒊𝒄 = 𝟎

Sustituyendo

𝒊𝑳 = −𝑪𝒅𝒗 𝟎+

𝒅𝒕→

−𝒊𝑳𝑪

=𝒅𝒗 𝟎+

𝒅𝒕= 𝟔 𝑨/𝒔

Se plantea la ecuación integro-diferencial

𝟒 𝒕𝟎

𝒗𝒅𝒕 −𝟏

𝟑𝟔

𝒅𝒗

𝒅𝒕= 𝟎

Derivando a ambos lados

𝟒𝒗 +

𝟑𝟔

𝒅𝟐𝒗

𝒅𝒕𝟐= 𝟎

Donde se obtiene

𝒅𝟐𝒗

𝒅𝒕𝟐= −𝟗𝒗

𝒔𝟐 = −𝟗

Determinando las soluciones para s

𝒔𝟏,𝟐 = −𝜶 ± 𝜶𝟐 − 𝝎𝟎𝟐

𝒔𝟏,𝟐 = −𝟎 ± 𝟎𝟐 − 𝟑𝟐 = ±𝒋𝟑

Implica que 𝜶 < 𝝎𝟎, por lo tanto 𝝎𝟎 = 𝝎𝒅

𝒗 𝒕 = 𝑽𝒔 + (𝑩𝟏𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒅𝒕 + 𝑩𝟐𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒅𝒕))

Para determinar las constantes 𝑩𝟏 y 𝑩𝟐, se evalúa la condición inicial

𝒗 𝒕 = 𝑽𝒔 + (𝑩𝟏𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 + 𝑩𝟐𝒔𝒊𝒏(𝟑𝒕))

Evaluando en t = 0

𝒗 𝟎 = 𝑽𝒔 + (𝑩𝟏𝒄𝒐𝒔 𝟎 + 𝑩𝟐𝒔𝒊𝒏(𝟎))

Se tiene

𝑩𝟏 + 𝟎𝑩𝟐 = 𝟎

Donde es obvio observar que no hay respuesta forzada

de la derivada

𝒅𝒗 𝒕

𝒅𝒕= (−𝟑𝑩𝟏𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 + 𝟑𝑩𝟐𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒕))

Evaluando en t = 0

−𝟑𝑩𝟏𝒔𝒊𝒏 𝟎 + 𝟑𝑩𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟎 = 𝟔

Se tiene

𝟎𝑩𝟏 + 𝟑𝑩𝟐 = 𝟔

La respuesta total para v(t) para t > 0 es:

𝒗 𝒕 = 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 𝒖 𝒕 𝑽

Si se desea considerar determinar 𝒊𝒄(𝒕)

𝒅𝒕

𝒊𝒄 𝒕 = 𝟔𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 𝒖 𝒕 𝑨

𝒗 𝒕 = 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟑𝒕 𝒖 𝒕 𝑽

Si se desea considerar determinar 𝒊𝒄(𝒕)

𝒅𝒕

𝒊𝒄 𝒕 =𝟏

𝟔𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 𝒖 𝒕 𝑨

Ejemplo

Determine v(t) e i(t) para t > 0. Asuma que L= 20H y C = 0.8 F

Determinando condiciones iniciales

Debido a la desconexión de la fuente

por el escalón se tiene que:

𝒗𝒄 𝟎± = 𝟎𝑽

𝒊𝑳 𝟎± = 𝟎𝑨

Determinando condiciones al infinito

Debido a la desconexión de la fuente

por el escalón se tiene que:

𝒗𝒄 ∞ = 𝟎𝑽

𝒊𝑳 ∞ = 𝟏𝟎𝑨

Determinando𝒅𝒗

𝒅𝒕en condición inicial

Aplicando ley fundamental del

capacitor.

𝒊𝒄 = 𝑪𝒅𝒗(𝟎+)

𝒅𝒕

Aplicando un nodo

𝒊𝑳 + 𝒊𝒄 = 𝟏𝟎Sustituyendo

𝒅𝒗 𝟎+

𝒅𝒕=

𝟏𝟎

𝑪= 𝟏𝟐. 𝟓 𝑽/𝒔

Se plantea la ecuación integro-diferencial en el nodo

𝑪𝒅𝒗

𝒅𝒕+

𝑳 𝒕𝟎

𝒗𝒅𝒕 − 𝒗(𝟎) = 𝟏𝟎

Derivando a ambos lados

𝑪𝒅𝟐𝒗

𝒅𝒕+

𝑳𝒗 = 𝟎

Donde se obtiene

𝒅𝟐𝒗

𝒅𝒕𝟐= −

𝑳𝑪𝒗

𝒔𝟐 = −𝟏

𝑳𝑪

Determinando las soluciones para s

𝒔𝟏,𝟐 = −𝜶 ± 𝜶𝟐 − 𝝎𝟎𝟐

𝒔𝟏,𝟐 = −𝟎 ± 𝟎𝟐 −𝟏

𝟏𝟔

= ±𝒋𝟏

Implica que 𝜶 < 𝝎𝟎, por lo tanto 𝝎𝟎 = 𝝎𝒅

𝒗 𝒕 = 𝑽𝒔 + (𝑩𝟏𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒅𝒕 + 𝑩𝟐𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒅𝒕))

𝒗 𝒕 = 𝑽𝒔 + (𝑩𝟏𝒄𝒐𝒔 𝟎. 𝟐𝟓𝒕 + 𝑩𝟐𝒔𝒊𝒏(𝟎. 𝟐𝟓𝒕))

Evaluando en t = 0

𝒗 𝟎 = 𝟎 + (𝑩𝟏𝒄𝒐𝒔 𝟎 + 𝑩𝟐𝒔𝒊𝒏(𝟎))

Se tiene

𝑩𝟏 + 𝟎𝑩𝟐 = 𝟎

de la derivada

𝒅𝒗 𝒕

𝒅𝒕= (−𝟎. 𝟐𝟓𝑩𝟏𝒔𝒊𝒏 𝟎. 𝟐𝟓𝒕 + 𝟎. 𝟐𝟓𝑩𝟐𝒄𝒐𝒔(𝟎. 𝟐𝟓𝒕))

Evaluando en t = 0

−𝟎. 𝟐𝟓𝑩𝟏𝒔𝒊𝒏 𝟎 + 𝟎. 𝟐𝟓𝑩𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟎 = 𝟏𝟐. 𝟓

Se tiene

−𝟎. 𝟐𝟓𝑩𝟏 + 𝟎. 𝟐𝟓𝑩𝟐 = 𝟏𝟐. 𝟓

𝒗 𝒕 = 𝟓𝟎𝒔𝒊𝒏 𝟎. 𝟐𝟓𝒕 𝒖 𝒕 𝑽

Si se desea considerar determinar 𝒊𝑳(𝒕)

𝒊𝑳 = 𝟏𝟎 − 𝑪𝒅𝒗

𝒅𝒕

𝒊𝑳 𝒕 = 𝟏𝟎 − 𝟎. 𝟖 ∗ 𝟓𝟎 ∗ 𝟎. 𝟐𝟓𝒄𝒐𝒔 𝟎. 𝟐𝟓𝒕 𝒖 𝒕 𝑨

𝒊𝑳 𝒕 = 𝟏𝟎 − 𝟏𝟎𝒄𝒐𝒔 𝟎. 𝟐𝟓𝒕 𝒖 𝒕 𝑨

Bibliografía

[1] Alexander, Charles K. y Sadiku, Matthew N. O. Fundamentos de

Circuitos Eléctricos. 5ª Ed. México: McGraw-Hill, 2013. (Imágenes)

Para más información pueden ingresar a: tec-digital ó

http://www.ie.tec.ac.cr/sarriola/

Esta presentación se ha basado parcialmente en compilación para semestre

anteriores de cursos de Circuitos Eléctricos en Corriente Continua y Teoría

Electromagnética I por Aníbal Coto-Cortés y Renato Rimolo-Donadio

Circuitos Eléctricos en Corriente Continua Unidad 8 Circuito RLC 8_ver_18-19.pdf · 2019. 1....

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