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UNIVERSIDAD DE JAÉN Centro de Estudios de Postgrado
Trabajo Fin de Máster
PROPUESTA DIDÁCTICA DE
ENSEÑANZA DE LA
GEOMETRÍA ANALÍTICA PARA
ALUMNOS DE MATEMÁTICAS
ORIENTADAS A LAS
ENSEÑANZAS ACADÉMICAS
DE 4º ESO
Alumno/a: Alcántara Durán, Jaime Tutor/a: Prof. D. Fº de Paula Roca Rodríguez Dpto: Matemáticas
Octubre, 2019
Según la norma del <<Uso del masculino en referencia a seres de ambos sexos>> en
contextos lingüísticos estipulada por la Real Academia Española y Asociación de
Academias de la Lengua Española, la cual estable que <<En los sustantivos que
designan seres animados, el masculino gramatical no solo se emplea para referirse a
los individuos de sexo masculino, sino también para designar la clase, esto es, a todos
los individuos de la especie, sin distinción de sexos…>>, el género masculino será
utilizado como plural durante todo el desarrollo de este trabajo.
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
I
Índice
Pag.
Resumen/abstract 1 1. Introducción 2
2. Objetivos 3
3. Fundamentación curricular 3
4. Fundamentación epistemológica. 4
4.1. Análisis y formalización de los conceptos geométricos intuitivos:
incidencia, paralelismo, perpendicularidad, ángulo, etc. 4
4.2. Puntos, Rectas y Plano. 5
4.3. Propiedades de la división de conjuntos de puntos. 5
4.4. Axiomas y teoremas. 6
4.5. Intersecciones de conjuntos de puntos en el espacio. 8
4.5.1. Intersección entre dos rectas. 8
4.5.2. Intersección entre dos planos. 8
4.5.3. Intersección entre una recta y plano. 8
4.5.4. Intersección entre tres planos. 9
4.6. Ángulos. 9
4.7. Medida y congruencia. 10
4.7.1. Medida y congruencia de segmentos de recta. 10
4.7.2. Medida y congruencia de ángulos. 11
4.8. Perpendicularidad. 12
4.9. Pruebas de paralelismo 12
5. Fundamentación didáctica: Aprendizaje de conceptos geométricos. 14
6. Proyección didáctica: Geometría analítica (4º ESO) 20
6.1. Geometría analítica 20
6.2. Justificación 22
6.3. Contextualización del centro y del aula 23
6.4. Objetivos 24
6.5. Competencias Clave 25
6.6. Contenidos 25
6.7. Metodología 25
6.8. Actividades y recursos 26
6.9. Atención a la diversidad 44
6.9.1. Programas de refuerzo 44
6.9.2. Programas de adaptación curricular: 45
6.10. Temporalización 46
6.11. Evaluación 47
7. Conclusiones 51
8. Referencias bibliográficas 52
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
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Resumen
El presente trabajo desarrolla una propuesta didáctica diseñada para alumnos de
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas de 4º de ESO. Esta está basada en
una metodología activa y dinámica, que ayude a la participación del alumnado, haciendo
que las situaciones-problema expuestas generen aspectos intuitivos y manipulativos
que sean asumidos de forma lógica – formal. Para ello, en primer lugar, se han revisado
y analizado diversos artículos e informes, tanto del ámbito nacional, como del ámbito
internacional, así como el currículum de la asignatura atendiendo a la legislación estatal
y autonómica vigente. Por otro lado, esta propuesta se ha diseñado atendiendo a las
necesidades del alumnado, en cuestión de asimilación de conceptos, encontradas en el
centro público donde se realizó el prácticum del máster al que este trabajo pertenece.
Abstract
The present work develops a didactic proposal for the students of Academic Teaching
Mathematics of 4º ESO, and based on an active and dynamic methodology, with the
purpose that this helps the students to increase their participation in the classroom,
doing that the exposed problem-situations may generate intuitive and manipulative
aspects that can be assumed by a logically – formally way. For this, in the first place,
several nationally and internationally articles and reports have been reviewed and
analyzed, as well as the curriculum of the subject in accordance with current state and
regional legislation. On the other hand, this proposal has been designed in response to
the needs of students, in terms of assimilation of concepts, found in the public center
where the master's degree practicum was carried out.
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PROPUESTA DIDÁCTICA DE ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA PARA
ALUMNOS DE MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS DE
4º ESO
1. Introducción
El presente trabajo muestra una propuesta didáctica basada en la enseñanza de la
geometría analítica para alumnos de “Matemáticas orientadas a las Enseñanzas
Académicas de 4º ESO”. Para ello, en el marco teórico, se analiza el estado actual de los
alumnos en la enseñanza secundaria obligatoria en España, en concreto en el informe
PISA (Program for International Student Assessment) 2018, donde sitúa a España en el
puesto número 11 del ranking, además de en el primer puesto con los 20 colegios
seleccionados de la Asociación de Colegios Privados e Independientes (CICAE) española.
Figura 1. Ranking Informe PISA 2018, El País, febrero de 2018.
Por otro lado, se ha recabado la información relativa a los contenidos curriculares,
los objetivos y las competencias que se desarrollan en esta asignatura en la “Ley
Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, BOE núm.106 de 4 de mayo de 2006, Ley Orgánica
8/2013, de 9 de diciembre, para la Mejora de la Calidad Educativa, BOE núm. 295, 10 de
diciembre de 2013, Ley 17/2007, de 10 de diciembre, de Educación de Andalucía”. “BOJA
núm. 252, de 26 de diciembre de 2007, Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre, por
el que se establece el currículo básico de Educación Secundaria Obligatoria y del
Bachillerato”. “BOE núm. 3, 3 de enero de 2015, Decreto 111/2016, de 14 de junio, por
el que se establece la ordenación y el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria
en la Comunidad Autónoma de Andalucía”. “BOJA núm. 122, 28 de junio de 2016 y Orden
de 14/7/2016, por la que se desarrolla el currículo correspondiente a la Educación
Secundaria Obligatoria en la Comunidad Autónoma de Andalucía, se regulan
determinados aspectos de atención a la diversidad y se establece la ordenación de la
evaluación en el proceso de aprendizaje del alumnado. BOJA núm. 144, 28 de julio de
2016”.
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
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A demás de la información recabada de estos informes, leyes, decretos y órdenes,
este trabajo, también refleja un punto de vista propio, ya que al realizar las prácticas
curriculares he detectado graves deficiencias en el sistema educativo, siendo la más
relevante para mí la falta de aplicabilidad que los alumnos encuentran a conceptos ya
aprendidos. Realizando una entrevista con los profesores del departamento de Física y
Química todos coinciden en que en matemáticas se limitan a dar el concepto, pero no
las aplicaciones; la respuestas a esta situación desde el punto de vista del departamento
de matemáticas es que con tantas fiestas como el día de la mujer trabajadora, el día del
niño, el día de la paz, etc. y viajes y excursiones impiden que dé tiempo a dar todo el
temario, con lo que deciden eliminar la parte de aplicabilidad de cada tema así como la
parte de estadística, que siempre dejan al final por si no da tiempo a darla.
2. Objetivos
El objetivo principal del presente trabajo fin de máster ha sido desarrollar y
fundamentar una metodología para la enseñanza del tema “Geometría Analítica”.
3. Fundamentación curricular
El currículo del área de Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Académicas para
4º de ESO se divide en varios bloques: contenidos, criterios de evaluación y estándares
de aprendizaje.
Tabla 1. Currículo de Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Académicas de 4º de Educación Secundaria
(Orden de 14/7/2016)
CONTENIDOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN
ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES
COMPETENCIAS CLAVE
BLOQUE 3. GEOMETRÍA
Medidas de ángulos en el sistema sexagesimal y en radianes.
• Razones trigonométricas. Relaciones entre ellas.
• Relaciones métricas en los triángulos.
• Aplicación de los conocimientos geométricos a la resolución de problemas métricos en el mundo físico: medida de longitudes, áreas y volúmenes. Iniciación a la geometría analítica del plano:
1. Utilizar las unidades angulares del sistema métrico sexagesimal e internacional y las relaciones y razones de la trigonometría elemental para resolver problemas trigonométricos en contextos reales. 2. Calcular magnitudes efectuando medidas directas e indirectas a partir de situaciones reales, empleando los instrumentos, técnicas o fórmulas
Utiliza conceptos y relaciones de la trigonometría básica para resolver problemas empleando medios tecnológicos, si fuera preciso, para realizar los cálculos. Utiliza las herramientas tecnológicas, estrategias y fórmulas apropiadas para calcular ángulos, longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos y figuras geométricas. Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología. Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología. Resuelve triángulos utilizando las razones trigonométricas y sus relaciones. Utiliza las fórmulas para calcular áreas y volúmenes de triángulos, cuadriláteros, círculos, paralelepípedos, pirámides, cilindros, conos y esferas y las aplica
Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT). Competencia de aprender a aprender (CAA). Competencia en comunicación língüistica (CCL). Competencia Digital (CD).
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Coordenadas. Vectores.
• Ecuaciones de la recta. Paralelismo, perpendicularidad.
• Ecuación reducida de la circunferencia.
• Semejanza. Figuras semejantes.
• Razón entre longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos semejantes.
• Aplicaciones informáticas de geometría dinámica que facilite la comprensión de conceptos y propiedades geométricas.
más adecuadas y aplicando las unidades de medida. 3. Conocer y utilizar los conceptos y procedimientos básicos de la geometría analítica plana para representar, describir y analizar formas y configuraciones geométricas sencillas.
para resolver problemas geométricos, asignando las unidades apropiadas. Conocer y utilizar los conceptos y procedimientos básicos de la geometría analítica plana para representar, describir y analizar formas y configuraciones geométricas sencillas. Establece correspondencias analíticas entre las coordenadas de puntos y vectores. Calcula la distancia entre dos puntos y el módulo de un vector. Conoce el significado de pendiente de una recta y diferentes formas de calcularla. Calcula la ecuación de una recta de varias formas, en función de los datos conocidos. Reconoce distintas expresiones de la ecuación de una recta y las utiliza en el estudio analítico de las condiciones de incidencia, paralelismo y perpendicularidad. Utiliza recursos tecnológicos interactivos para crear figuras geométricas y observar sus propiedades y características.
En el desarrollo de este, se respetarán tanto criterios de evaluación como estándares
de aprendizaje tal y como aparece en el “Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre,
por el que se establece el currículo básico de Educación Secundaria Obligatoria y del
Bachillerato”.
4. Fundamentación epistemológica.
4.1. Análisis y formalización de los conceptos geométricos intuitivos:
incidencia, paralelismo, perpendicularidad, ángulo, etc.
En geometría nos podemos permitir el uso de axiomas como base para definir
diferentes términos, como son los conceptos de recta, punto y plano. La concepción
moderna de estos conocimientos provienen de los intentos de definición de Euclides, el
cual utilizó una nomenclatura no geométrica. Euclides, en su 1º libro de los Elementos,
define que “Un punto es aquello que no tiene parte”, aunque esta definición no concreta
demasiado el concepto de punto. Otra definición que utiliza es: “Una recta es longitud
sin anchura”, sin embargo, Euclides estableció en, ningún momento, que eran los
conceptos de longitud y anchura.
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4.2. Puntos, Rectas y Plano.
A pesar de que los conceptos de recta, plano y punto quedarán sin definir, podemos
intentar hacerlo de una forma intuitiva, por ejemplo un punto sería una localización en
el espacio.
Para definir los puntos, serán nombrados mediante letras: Q, P, R, etc. De la misma
forma una recta se puede definir como una “línea formada por una serie continua de
puntos en una misma dirección que no tiene curvas ni ángulos y cubre la menor distancia
posible entre dos puntos” (Barrantes-Campos, 2001), es decir, aquella que se prolonga
infinitamente en ambos sentidos. La representación de una recta será como el trazo de
una línea en con flechas en sus extremos, y serán denotadas como L1, L2, etc.
Al igual que cualquier conjunto en geometría, las tres definiciones que hemos dado
son agrupaciones de puntos, lo que permite definir una recta mediante el uso de dos
puntos que se incluyan en ella, de manera que si los puntos Q y P incumben a la recta L,
podemos representar esta como PQ.
La definición intuitiva de un Plano sería la de una superficie plana que se extiende
en todas las direcciones de forma infinita. Estos se representan mediante letras griegas
(Σ, Π, etc.).
Por último, hemos de definir el término espacio, como el cómputo de todos los
puntos, de forma que tanto el plano como las rectas serán subconjuntos del espacio,
mientras que el punto será un elemento del espacio.
4.3. Propiedades de la división de conjuntos de puntos.
Partiendo de un punto P perteneciente a L, podemos decir que P divide a L en tres
partes, el propio punto P y dos semirrectas, subconjuntos que contienen todos los
puntos de L a cada lado de P. Si formamos con P y una semirrecta un subconjunto
obtendremos lo que se conoce como rayo, siendo P el extremo del mismo.
Si se verifica que la unión de dos rayos es una recta cuyo punto en común es el
extremo de cada rayo, obtenemos lo que se conoce como rayos opuestos.
Dados dos puntos P y Q de la recta L, definiremos este segmento como el
subconjunto de la recta L que está formado por los puntos encerrados entre dichos
puntos. Ese segmento se denota como 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ , el cual se considera como la intersección de
los dos rayos.
De la misma forma que sabemos que un punto dividir a una recta en tres partes
iguales, podemos extender esta idea a un plano, de forma que una recta dividirá a este
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también en tres partes iguales, la recta en sí y los puntos contenidos a cada uno de los
lados de la recta, conocidos como semiplanos.
Si llamamos Π1 y Π2 a los semiplanos formador a cada lado L, comprobamos que al
tomar dos puntos P y Q cualesquiera, situando P en Π1 y Q en Π2 obtenemos que 𝑃𝑄̅̅ ̅̅
sólo tiene punto en común con L, mientras que si tomamos dos puntos P y R,
pertenecientes al mismo semiplano, el PR no tendrá ningún punto en común con L.
En consonancia con lo anteriormente expuesto diremos también que un plano divide
en dos partes al espacio, relacionando estas divisiones con la idea de dimensión. Por
ejemplo, si tomamos un espacio tridimensional, el plano tendrá dos dimensión, la recta
1 dimensión, y cada punto tendrá dimensión cero.
4.4. Axiomas y teoremas.
Desde un punto de vista formal de la geometría podemos enunciar las siguientes
definiciones, axiomas, teoremas, etc.
Axioma 1: Dos puntos distintos conforma una recta única. Esto demuestra la idea de
que mediante el uso de dos puntos, Q y P, podemos representar una recta a la que
pertenezcan dichos puntos. También debemos tener en cuenta que, si tenemos 3 puntos
R, Q, y P pertenecientes a L, obtenemos que PQ=PR, lo que significa que la recta PR es
la misma recta que la representada por PQ.
DEF1 Dada la recta L y sus dos puntos Q y P contenidos en ella, dichos puntos son
colineales.
DEF Si tenemos un plano Π y 3 puntos R, Q y P sobre este, dichos puntos resultan
coplanares.
Axioma 2: 3 puntos que no son colineales definen un único plano.
Axioma 3: Partiendo de 2 puntos pertenecientes al mismo plano, también pertenecerá
a mismo plano la recta que contenga a dichos puntos.
Axioma 4: la intersección entre 2 planos distintos forma una línea recta.
Axioma 5: como mínimo una recta ha ce contener 2 puntos.
DEF Si tenemosDadas dos rectas L1, L2, estas serán paralelas si están en el mismo
plano y no tienen puntos en común, es decir, su intersección será el conjunto vacío.
Teorema 1: Dos rectas diferentes intersectarán como máximo en un punto.
1 DEF: Abreviatura de Definición
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Dem2. Si L1 y L2 son dos rectas diferentes y supongamos que intersectan en más de
un punto, entonces su intersección contendrá 2 o más puntos. Esto significa que habrá
2 rectas distintas, L1 y L2, y que dichas rectas contendrán a ambos puntos. Esto, por el
primer axioma, será inverosímil, pues solo existe una recta que contenga dichos puntos.
Teorema 2: La intersección de una recta L a un plano 𝛿 en el cual no está contenido será
un puntos.
Figura 2. Punto por intersección.
Dem. Suponiendo que 𝐿 ∩ 𝑃 contiene más de un punto, P y Q, tendremos que
ambos están en L, por lo que por el primer axioma 𝑃𝑄 = 𝐿. Como los puntos se
encuentran en 𝛿, según el tercer axioma, L debería estar contenida en 𝛿, lo que resulta
una contradicción a esta hipótesis, de manera que 𝐿 ∩ 𝑃 contendrá solamente a P.
Teorema 3: Dada la recta L y el punto P, el cual no pertenece a L, existe un plano que
contendrá a ambos.
Dem. Partiendo de 2 puntos distintos, R y Q contenidos en L, existente por el quinto
axioma. Ambos puntos han de ser distintos a P, pues este tercer punto no se encuentra
contenido en L. Debido al segundo axioma, los puntos R, Q y P determinarán un único
plano Π. Como Q y R están sobre Π, el cual contendrá tanto el punto P como la recta L.
sin embargo, si existiesen 2 planos, debido al segundo axioma, ambos no podrían
contener a los tres puntos.
Teorema 4: La intersección de dos rectas estará contenida en un determinado plano.
Dem. La intersección de dos rectas L1 y L2 , según el primer teorema, L1∩L2 será un punto
P, de forma que P es un punto de L1 y L2. Sea Q un punto, existente por el quito axioma,
de L2, Q∉P. Por el primer axioma, PQ = L2, siendo Q∉L1 para que L1 sea distinto de L2.
Considerando el punto Q y la recta L1, y haciendo uso de tercer teorema, existe un
plano Π que contendrá a ambos. Ya que P corresponde a un punto de L1, Π también
contendrá a este, y por el tercer axioma PQ=L2, contenido también en Π. Luego L1∪L2
están contenidos en Π. Gracias al tercer teorema dicho plano resulta único.
2 Dem. Abreviatura de Demostración
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Sean R y P puntos contenidos en L1, y Q y P puntos contenidos en L2, con distintos
R, Q y P. Si existe un plano Π’ que contenga a L1∪L2, entonces Π’ también contendrá a
R, Q y P. Esto refuta el 2º axioma, puestos que Π es el único plano que puede contener
los puntos R, Q y P. En conclusión, no existe otro plano que contenga a L1∪L2, quedando
demostrado el teorema.
4.5. Intersecciones de conjuntos de puntos en el espacio.
4.5.1. Intersección entre dos rectas.
Si tenemos 2 rectas L1 y L2 situadas en el espacio, puede acontecer que:
− Si la intersección de ambas resulta un punto, estas estarán contenidas en el
mismo plano, en este caso L1 y L2 son rectas secantes.
− Si L1 y L2 intersectan en más de dos puntos, tendrán todos sus puntos en común,
por lo que se dice que L1 y L2 resultan coincidentes.
− Si la intersección resultan en el vacío y ambas van a pertenecer a un mismo
plano, L1 y L2 serán rectas paralelas.
− Si la intersección resultante es el vacío y están situadas en distintos planos,
estas rectas serán oblicuas, es decir, dichas rectas se cruzarán.
4.5.2. Intersección entre dos planos.
Si tenemos 2 planos Π1 y Π2 en el espacio puede ocurrir:
− Que dichos planos no tengan ningún punto en común, por lo que resultan
planos paralelos.
− Que Π1 y Π2 tengan en común una recta, por lo que dichos planos van a
cortarse en una recta.
− Que si dichos planos se cortan en un punto y una recta, y dicho punto no
pertenece a esta recta, estos planos van a ser coincidentes.
4.5.3. Intersección entre una recta y plano.
Si tenemos un plano Π y una recta L en el espacio, obtenemos que:
− Serán secantes si Π y L tienen en común un punto.
− Si Π y L tienen en común dos o más puntos, Π contendrá a L, siendo L la
intersección entre ambos.
− Si resulta que Π no tienen puntos en común con L, ambos serán paralelos.
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4.5.4. Intersección entre tres planos.
Si tenemos 3 planos Π1, Π2 y Π3 en el espacio, se obtiene que:
− Π1, Π2 y Π3 serán paralelos sí no presentan puntos comunes.
− Si 2 planos resultan coincidentes, el tercer plano será paralelo a ellos.
− 2 planos son paralelos y son cortadas por el tercero.
− Π1, Π2 y Π3 planos se cortan dos a dos.
− Los tres planos se cortan en una recta, siendo todos distintas.
− Π1, Π2 y Π3 tienen una recta en común cuando 2 planos son coincidentes y el
tercero corta a ambos.
− Los tres planos sean coincidentes.
− Los tres planos se corten en un punto.
4.6. Ángulos.
Sean dos rayos PR y PQ, verificando que el extremo de dichos rayos sea P, puede
ocurrir que una recta sea la unión formada, de forma que ambos rayos sean opuestos,
en el caso de que no sean opuestos, estos definirán un ángulo.
DEF Sean dos rayos que tienen en común el punto extremo, pero no son opuestos,
definimos ángulo como el grupo de puntos situados en el plano capaz de confirman esta
propiedad y se denotará como ∠QPR.
Visiblemente se puede apreciar que un ángulo divide un plano en tres partes:
• Parte 1: el propio ángulo, o sea, el cúmulo de puntos pertenecientes a los
rayos que lo constutuyen.
• Parte 2: el interior, el conjunto de puntos comunes entre los siguientes
semiplanos:
− Semiplano de 𝑃𝑄 ̅̅ ̅̅ ̅que contiene a R.
− Semiplano de 𝑃𝑅̅̅ ̅̅ que contiene a Q.
• Parte 3: los puntos del plano restantes, o puntos externos, los que no
pertenecen ni al ángulo, ni a su interior.
DEF dos ángulos ∠SPT y ∠QPR serán opuestos si al unirse por el vértice p forman 2
rectas.
DEF ∠RPS y ∠QPR son adyacentes si su intersección es un rayo además de tener el
vértice en común.
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4.7. Medida y congruencia.
4.7.1. Medida y congruencia de segmentos de recta.
Si tenemos una recta L, tomamos un punto cualquiera de ella y le damos el valor
“0”, al escoger cualquier otro punto, distinto al anterior, y llamarlo “1” podemos crear
una recta numérica, de forma que asignando un número real a cada punto de la recta y,
siempre que tomemos como unidad de medida los dos puntos arbitrarios designados
anteriormente como “0” y “1”.
Al asignar a cada punto en L un número real estamos estableciendo un sistema
coordenado, llamando coordenada al punto de la recta al que hemos asignado un
número real, identificando cada uno de los puntos de la recta mediante su respectiva
coordenada.
Esto permite medir la longitud de cada segmento 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ , mediante una simple
comparación de este segmento respecto al formado por los puntos designados como 0
y 1, siendo la longitud de este el número de veces a que debemos repetir la unidad
escalar pelegidaara ir de P a Q o viceversa.
Por lo tanto, se puede suponer que cualquier recta debe tener asociado un sistema
de coordenadas, esto es lo que designaremos como axioma de la regla.
DEF Dada una recta L, la cual tiene asociado un sistema de coordenadas, de manera
que se asigne un número real a cada punto P y Q, definiendo la distancia o longitud del
segmento 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ como:
𝑃𝑄 = |𝑥 − 𝑦|
PROP Si el segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ⊂ 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ ⟹ 𝐴𝐵 ≤ 𝑃𝑄
PROP3 Si el punto R pertenece al segmento 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ entonces 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ = 𝑃𝑅̅̅ ̅̅ + 𝑅𝑄̅̅ ̅̅
DEF Podemos definir el punto medio de un segmento 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ como el punto 𝑃𝑚
perteneciente al segmento, de forma que: 𝑃𝑃𝑚 = 𝑃𝑚𝑄
DEF Si tenemos 2 segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 𝑦 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ de una recta, que pueden no ser iguales, y
ambos tienen la misma longitud, se puede decir que son congruentes, “≅”, es decir:
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ ⟺ 𝑃𝑄 = 𝐴𝐵
3 PROP. Abreviatura de Propiedad
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4.7.2. Medida y congruencia de ángulos.
Para la medida de los ángulos podemos usar una semicircunferencia de centro C.
Suponemos que el arco de esta, que va de A hasta B, se puede dividir por cualquier
número positivo en 𝑛 partes iguales.
Este suposición puede denominarse como “Axioma del Transportador”. Tomando
180 como valor de 𝑛, tenemos una correspondencia, uno a uno, entre los puntos sobre
la cuerda de la semicircunferencia y los números reales entre 0 y 180. Esto es lo que se
conoce como sistema de coordenadas para la semicircunferencia.
Este sistema de coordenadas puede ser usado para calcular cualquier ángulo
(∠PQR), de forma que el centro o punto C de la semicircunferencia coincida con el
vértice Q del ángulo, y el rayo QR caiga sobre el rayo CB.
QP intersectará con el arco en un punto concreto de coordenadas 𝑡, con lo que
podremos decir que la medida del ángulo ∠PQR es 𝑡, este se escribe como ∠𝑃𝑄𝑅 = 𝑡.
La unidad formada tras la división en 180 partes iguales de una semicircunferencia
es lo que conocemos como grado. Otra forma de medir ángulos es mediante la unidad
de medida conocida como radián, número de veces que el radio de la circunferencia
entraría dentro del arco que queremos medir.
• Propiedades de las medidas de ángulos
− La medida de ángulos mediante grados equivale a un número real y positivo
entre 0º y 180º. Este es el resultado de la definición de ángulo como unión de
rayos.
− Siendo P un punto de la parte interior del ángulo ∠𝐴𝐵𝐶: 𝑚 ∠𝐴𝐵𝑃 < 𝑚 ∠𝐴𝐵𝐶
− Siendo P un punto de la parte interior del ángulo ∠𝐴𝐵𝐶: 𝑚 ∠𝐴𝐵𝑃 +
𝑚 ∠𝑃𝐵𝐶 = 𝑚 ∠𝐴𝐵𝐶
• Clasificación de ángulos
Los ángulos pueden ser clasificados de acuerdo con su medida. Se llama ángulo
recto al ángulo que mide 90º, si la medida es inferior a 90º, el ángulo será agudo,
mientras que si es superior a 90º el ángulo será obtuso. Dos ángulos son
complementarios si la suma de ambos resulta 90º, y además, la suma de sus ángulos
suplementarios es 180º.
• Congruencia de ángulos.
Dos ángulos con la misma medida se dice que son congruentes, por lo que todos los
ángulos rectos serán congruentes, sin embargo esto no implica igualdad entre ángulos,
pues estos están formados por conjuntos de puntos.
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
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TEOREMA Si dos ángulos son congruentes, sus suplementarios son congruentes.
Dem. (La respresentación de los ángulos se hará a continuación solo por su vértice)
Si suponemos que ∠𝐴 ≅ ∠𝐵, por lo que 𝑚 ∠𝐴 = 𝑚 ∠𝐵 siendo dicha medida un
número n, entre 0 y 180. Por tanto, el suplementario de ∠A medirá 180 – 𝑛, y ya que
estos tienen igual medida ambos resultan congruentes.
TEOREMA Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
Dem. Si consideramos dos ángulos que son opuestos por sus vértices ∠ABC y ∠𝑃𝐵𝑅,
como 𝐴𝑅 es una recta, ∠𝐴𝐵𝑃 es suplementario de ∠𝐴𝐵𝐶, de igual forma, para la recta
𝐶𝑃, ∠ABP será suplementario de ∠𝑃𝐵𝑅. Por tanto, ∠𝐴𝐵𝐶 y ∠𝑃𝐵𝑅 tendrán el mismo
ángulo suplementario ∠𝐴𝐵𝑃; y ya este ángulo ∠𝐴𝐵𝑃 es congruente consigo mismo,
podemos concluir el teorema diciendo que ∠𝐴𝐵𝐶 es congruente con ∠𝑃𝐵𝑅.
4.8. Perpendicularidad.
DEF Dos rectas que se intersectan decimos que son perpendiculares si el ángulo que
forma su unión es recto.
También se puede establecer la relación de perpendicularidad entre dos segmentos
o rayos de una recta, si las rectas que contienen a estos son perpendiculares entre sí,
aún cuando esta intersección sea vacía.
También podemos definir las rectas perpendiculares mediante la utilización de
ángulos adyacentes.
DEF Dos rectas serán perpendiculares si la unión formada por la intersección de
ambas contiene 2 ángulos adyacentes congruentes.
El axioma de perpendicularidad establece que, tomado un punto y una recta, sólo
existe una única recta perpendicular a la otra que pase por el punto.
4.9. Pruebas de paralelismo
Anteriormente se ha definido la relación de paralelismo existente entre 2 rectas
como que estas dos rectas están situadas dentro del mismo plano sin intersectar entre
sí. Sean L1 y L2 rectas paralelas, este paralelismo lo denotaremos como L1 // L2.
De igual forma se puede decir que los segmentos o los rayos de dos rectas serán
paralelos entre sí, si paralelas son las rectas que los contienen.
Pero dicha definición no resulta de gran utilidad ya que dos rayos o segmentos
situados en un mismo plano pueden parecer paralelos, pero no serlo, ya que las rectas
que lo contienen en su extensión son infinitas , por lo que no se puede afirmar con
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
13
exactitud que estas no se corten en el infinito. Por este motivo se deben desarrollar
diversas tentativas, además de la ya dada definición de paralelismo.
TEOREMA Dos rectas situadas en el mismo plano serán paralelas si son perpendiculares
a una misma recta.
Dem. Para poder demostrar dicho teorema usaremos el axioma de
perpendicularidad, que dice: dado un punto P y una recta L, la cual no contiene a P,
solamente una recta puede pasar por el punto P siendo pendicular a L.
Queremos probar que L1 // L2, para este utilizaremos 𝐿1, 𝐿2 y 𝑇, tres rectas incluidas
en un mismo plano, de forma que L1⊥T y L2⊥T.
Si L1 no fuese paralela a L2, L1∩L2 contiene un punto P: por lo que existen dos rectas
L1 y L2 que pasan por el punto P y siendo perpendiculares a T. Sin embargo, esto hace
que el axioma de perpendicularidad sea contradicho, luego L1 // L2.
Figura 3. Pruebas de paralelismo
DEF Dadas tres rectas 𝐿1, 𝐿2 y 𝑇, ∠1 y ∠3 son opuestos por su vértice y ∠1 y ∠7
serán alternos internos, por lo que los ángulos ∠3 y ∠7 serán ambos ángulos
correspondientes.
LEMA La medida de un ángulo exterior a un triángulo, es mayor que la medida de
cualquiera de los dos ángulos interiores opuestos.
Dem. Dado el triángulo de vértices ΔABC
Figura 4. triángulo de vértices ΔABC.
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
14
Primero calcularemos el punto medio m de 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ y trazaremos 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ , de tal forma que
𝐴𝑀̅̅̅̅̅ ≅ 𝑀𝐸̅̅̅̅̅. Trazamos 𝐸𝐵̅̅ ̅̅ .
Por construcción 𝐶𝑀 ≅ 𝑀𝐵 y (𝐴𝑀̅̅ ̅̅̅) ≅ (𝑀𝐸̅̅̅̅̅), y ∠1 y ∠2 serán congruentes, ya que
estos son opuestos por su vértice. Como 𝛥𝐴𝑀𝐶 ≅ 𝛥𝐸𝑀𝐵, al poder establecer una
igualdad de ángulos y lados tendremos que: ∠CBE ≅ ∠C.
Sin embargo, como E está situado en el ángulo exterior, ∠𝐶𝐵𝐷, entonces m∠CBE <
m∠CBD, debido a las propiedades de medida de los ángulos. Luego concluimos m∠C <
m∠CBD y análogamente m∠A < m∠CBD.
TEOREMA Si los ángulos correspondientes, formados por una trasversal que corta dos
rectas en el plano son cortadas por una transversal, son congruentes, dichas rectas serán
paralelas entre sí.
Dem.
Figura 5. Rectas paralelas.
Sean dos rectas, situadas en el mismo plano, cortadas por una transversal 𝑇 en los
puntos P, para 𝐿1 y Q para 𝐿2. Supongamos que 𝐿3 ≅ 𝐿7 y tenemos que probar que L1
// L2. Supongamos ahora que 𝐿1 𝑦 𝐿2 no son paralelas, entonces se cortarían en algún
punto, al que llamaremos 𝑟, y supondremos situado a la derecha de T. Por tanto, 𝑃𝑄𝑅
será un triángulo y el vértice ∠8 será uno de los ángulos exteriores de este triángulo. Sin
embargo, al ser ∠3 ≅ ∠7 ángulos alternos internos y ser ∠2 un ángulo interior opuesto
al ángulo ∠8, ∠8 ≅ ∠2. Esto contradice el lema, puesto que el ángulo externo ha de ser
mayor que la media del ángulo interior opuesto. Por lo que L1 debe ser paralelo a L2.
5. Fundamentación didáctica: Aprendizaje de conceptos geométricos.
La investigación de los procesos de aprendizaje y enseñanza de la geometría en los
diferentes niveles educativos, así como de los factores que condicionan estos ha sido un
pozo de búsqueda muy abundante, derivándose en resultados que ayudan y orientan a
los profesores en el proceso de instrucción de los contenidos curriculares. Los trabajos
revisados hacen uso de diversos marcos teóricos y metodológicos, originando una gran
gama de resultados de naturaleza muy diversa, lo que termina resultando una dificultad
para el docente a la hora de intentar establecer cuáles serán los criterios generales o
Dem.
8 7
6 5
4 3
2 1
p
q
T
L1
r
L2
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
15
específicos para en su labor práctica. No obstante, se debería asumir la necesidad de
identificar algunos posibles conocimientos didáctico-matemáticos mediante los diversos
resultados que ofrecen estas investigaciones (Cruz, Gea y Giacomone, 2017).
La Teoría de la Idoneidad Didáctica (TID4) (Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi, 2006;
Godino, 2013) propone una sistematización de criterios, principios o heurísticas, de los
cuales existe, en la comunidad educativa, un consenso relativo al campo de las ciencias-
matemáticas, ya que la aplicación de este podría mejorar para alcanzar altos niveles de
idoneidad en los procesos de instrucción. Esta teoría asume que la enseñanza de la
matemática tiene un componente descriptivo y explicativo (científico), como un
componente normativo (tecnológico), pues el conocimiento científico a elaborar deber
estar orientado a la intervención y mejora de los procesos de aprendizaje y enseñanza.
La TID propone 6 aspectos para el estudio de los procesos instruccionales, aspectos
para los que han sido identificados diversos criterios de idoneidad generales de
aplicación a los contenidos matemáticos (Godino, 2013). De esta forma, se crea una guía
general de indicadores de idoneidad (GVID5), la cual puede llegar a ser una herramienta
de ayuda tanto para profesores como para investigadores en educación matemática. La
GVID es “una herramienta cuya aplicación y discusión por los formadores de profesores,
los propios profesores e investigadores permitirá su progresiva mejora y
enriquecimiento” (Godino, Font, Wilhelmi y Castro, 2009, p.60).
Según el Enfoque Ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemáticas
(EOS6) (Godino y Batanero, 1994; Godino, 2013; Godino, Batanero y Font, 2007), el
cúmulo de elementos teóricos que componen EOS se clasifican en 5 módulos,
delimitando cada uno de ellos un análisis parcial y complementario de los distintos
procesos de enseñanza y aprendizaje para materia específica de matemáticas (Godino,
2013).
De manera concreta, esta investigación se centra en el desarrollo y la aplicación del
último módulo propuesto por EOS, la relación con la TID. El análisis y la interacción de
los componentes de esta, junto con sus criterios respectivos, aportan una valiosa
información al mundo de la investigación, permitiendo establecer un punto de vista
general del proceso de instrucción, proporcionando una reflexión y toma de decisiones
de las diferentes etapas: diseño, implementación y evaluación.
Para cada etapa se establecen distintos descriptores específicos de idoneidad, como
instrumentos de transición entre una didáctica descriptiva–explicativa hacia otra
4 TID. Teoría de la Idoneidad Didáctica 5 GVID. Guía de indicadores de idoneidad 6 EOS. Enfoque Ontosemiótico
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
16
dirigida a la intervención en clase de manera efectiva, sirviendo de pauta a la hora de
evaluar las acciones tanto planificadas, como implementadas, en el aula (Godino, 2013).
En el análisis de la idoneidad epistémica se trata de estudiar si la visualización
espacial tridimensional del contenido matemático, a nivel elemental respecto a las
reglas, lenguajes matemáticos, argumentos y situaciones-problemas, resultan
adecuadas, además de las relaciones existentes entre ellos, que se establecen para su
enseñanza (Cruz, Gea y Giacomone, 2017).
En primer lugar, la recapitulación realizada por Hershkowitz (2014) sobre los
diferentes problemas con los que se encuentra la geometría resultan de bastante
relevancia como un componente situacional de la idoneidad epistémica. Según
Hershkowitz, desde hace más de 2500 años, la geometría se ha ido desarrollando a lo
largo de unos pocos aspectos, como son “La interacción con las formas en el espacio o
Las formas como base para reflexionar sobre información visual” (Hershkowitz ,2014).
Existe un clásico acuerdo que relaciona estos dos aspectos geométricos al ser
concebida como una ciencia espacial, expresándose claramente en el enfoque de la
enseñanza-aprendizaje de la geometría tanto para la formación de discentes, así como
en los numerosos trabajos de investigación. Clásicamente, la enseñanza de la geometría
se ha basado en una división de forma jerarquizada desde los aspectos más intuitivos de
la geometría a los más formales a lo largo de la escolarización de los alumnos. Esta
intuitiva y manipulativa aproximación se considera la base de la geometría a nivel
preescolar, siendo la educación primaria una etapa de transición entre esta
aproximación y la formal dada en secundaria (Cruz, Gea y Giacomone, 2017).
De aquí nacen 2 criterios de idoneidad epistémica para la instrucción de la
geometría en el aula, relacionado con las situaciones-problema tipo problemas a
plantear:
− La interacción con las distintas formas en el espacio, como son el
reconocimiento de las propiedades de estas y las relaciones existentes entre
ellas.
− Las situaciones-problema deben generar aspectos intuitivos y manipulativos
que, de forma gradual, irán siendo asumidos de una manera lógica–formal.
Gonzato, Godino y Neto (2011) establecen una categorización de diversas tareas de
visualización de cuerpos geométricos tridimensionales en 4 categorías, según la acción
requerida para que el discente logre resolverlas: rotar los objetos tridimensionales en el
espacio, plegar y desplegar desarrollos, coordinar e integrar vistas ortogonales, además
de componer y descomponer dichos objetos. De esta clasificación surgen diversos
criterios de idoneidad relacionados con la visualización de objetos 3D:
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
17
“Las tareas propuestas deben abordar problemas que involucren el
reconocimiento de los atributos y las formas en el espacio a través de
construcción de objetos con vistas coordinadas, del desarrollo de la
habilidad de plegar y desplegar, componer, descomponer e identificar
partes y elementos de un sólido, así como la habilidad de girar un objeto
en un plano o eje imaginario” (Gonzato, Godino y Neto, 2011).
De los tipos de representación de objetos tridimensionales, teniendo en cuenta el
componente del lenguaje, verbales o escritas, planas, gráficas y manipulables surge un
nuevo criterio de idoneidad:
“Las tareas de visualización serán exitosas si se logra distinguir las
características de los tipos de representaciones de objetos
tridimensionales y se hace uso de ellas al percibirlas y describirlas, ya sea
en el diseño o construcción como en la ejecución de una actividad”
(Gonzato, Godino y Neto, 2011).
Para describir orientación, estructura y posición en el espacio, se hace uso del
lenguaje verbal: dentro/fuera, encima/debajo, adelante/atrás, enfrente, atrás, en el
centro, derecha/izquierda, arriba/abajo, cerca/lejos, allí, allá, aquí, acá, entre, ahí, cerca-
lejos, en medio y próximo/lejano, que usamos como indicaciones de posición relativa de
una figura geométrica respecto a otra/s, o también para especificar direcciones
espaciales respecto a dicho objeto o a un espectador externo (Gonzato, 2013).
De estos aspecto surge una propuesta idónea para la visualización espacial de
cuerpos geométricos:
“Un leguaje adecuado permitirá distinguir y describir la orientación, la
estructura (características y sus relaciones) y la posición de un objeto
tridimensional con otros” (Gonzato, Godino y Neto, 2011).
Con relación a los procedimientos, conceptos y proposiciones, y teniendo en cuenta
la relación con los diferentes objetos que los representan, Battista (2007) destaca las
dificultades presentes en el estudio geométrico debido a la necesidad de diferenciar
entre dos objetos: las representaciones gráficas que forman un cuerpo y las figuras
(geométricas) referentes a objetos teóricos. Como indica el autor, “el estudio de la
geometría implica establecer relaciones entre ambos, pues, en general, en el
pensamiento geométrico, se razona sobre objetos (figuras geométricas); se razona con
representaciones” (Battista, 2007, p. 844).
Una dificultad añadida es el uso de objetos físicos y diagramas para la
representación de conceptos geométricos formales. No obstante, tanto para los
investigadores, como para los currículos docentes, los procesos de formación de
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
18
conceptos a partir de cuerpos sólidos son ignorados, mientras que si se centran en la
perspectiva “representacional” (Battista, 2007), considerándola como indicador de un
concepto matemático abstracto, por esto, a continuación, se formula un criterio
determinado de idoneidad epistémica en relación con la distinción entre dibujos y
cuerpos geométricos:
“El diseño de un proceso de estudio en geometría será más o menos idóneo
en la medida en que los estudiantes aprendan a distinguir en los objetos
físicos, las representaciones y los diagramas de las correspondientes
figuras geométricas, como entidades o formas no ostensivas cuyo uso está
determinado por las reglas que los definen” (Gonzato, Godino y Neto,
2011).
Itzcovich (2005) plantea la necesidad de aclarar que para los discentes no es facil
identificar las propiedades de los cuerpos con tan solo mirar las figuras que los
representan. La imagen que puede reconocer un alumno no siempre tiene por qué ser
lo que el educador pretende que se identifique, eso va en función de los conocimientos
que cada uno posee, y los estudiantes no suelen reconocer las propiedades que están
representadas, ya que la percepción no funciona de forma independiente a la cognición.
Se propone que el procedimiento ha de ser claro y adaptado a cada nivel educativo,
y así estar presente un grado de idoneidad epistémica; lo que nos presenta un nuevo
criterio:
− “La identificación de las propiedades de un cuerpo o figura geométrica no se
enseña con mirar y dibujar una figura solamente, ya que la percepción va de la
mano de la cognición. El hecho de reconocer las propiedades, mediante la
resolución de problemas, es un proceso que se va construyendo con la práctica
haciendo uso de argumentos que permitan la producción de demostraciones”
(Itzcovich, 2005).
Que los alumnos dispongan de las herramientas necesarias que se utilizan en todos
los procesos deductivos dará paso a la ejecución de prácticas argumentativas, con el
propósito de alcanzar la elaboración de demostraciones. La ganancia de estas
propiedades es la resulta de un proceso de identificación de estos problemas planteados
y está íntimamente relacionada con el nivel de conocimientos que se tenga, las
actividades de construcción propuestas, y los errores, ensayos, intuiciones y aciertos
que se desarrollen en la relación docente-discente, así como en la interacción alumno-
alumno (Itzcovich, 2005).
Fernández (2014) con su propuesta de realizar una valoración pronostica a cerca de
la formación en visualización y razonamiento espacial de los futuros profesores:
constancia perceptual, identificación visual, percepción de posiciones espaciales,
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
19
discriminación visual, percepción de relaciones espaciales, rotación mental y memoria
visual, para resolver las actividades propuestas de forma exitosa tras la adquisición de
estas habilidades, de este diagnóstico se puede deducir otra idoneidad epistémica:
− “El desarrollo de las habilidades para la resolución de tareas en forma exitosa
se realiza y evidencia durante la aplicación de procedimientos en la relación de
características y propiedades de las figuras para su construcción y despliegue (o
deconstrucción); en la percepción de las relaciones de posiciones físicas y
mentales; en la percepción de relaciones espaciales; y en la discriminación y
comparación de objetos, los cuales contribuyen a la visualización y
razonamiento espacial” (Gonzato, Godino y Neto, 2011).
Van Hiele (2002) diferencia entre 2 niveles fundamentales de aprendizaje
geométrico: uno referente a la identificación de manera visual de las formas
geométricas y otro mediante la identificación de las propiedades de dichas formas, de
manera que para poder alcanzar los niveles superiores de pensamiento geométrico se
debe comenzar por los niveles inferiores, ya que si los niveles de conocimiento no están
afianzados el aprendizaje de los alumnos se basará en un simple proceso de
memorización ante una prueba formal, conduciendo a confusión sobre su propósito real
(Gonzato, 2013).
Por otro lado, Gonzato (2013) distingue entre 2 motivaciones primordiales que
permitan llevar a la justificación de una proposición determinada:
- La necesidad de confirmar la veracidad o falsedad de una proposición.
- La necesidad de establecer la validez de un régimen de reglas y principios
admitidos por una colectividad.
De todo esto podemos deducir otro criterio epistémico fundamental en los
primeros años de enseñanza:
- “Procurar la transición progresiva de las argumentaciones informales hacia las
deductivas, a través de lo intuitivo-práctico a lo formal-abstracto,
respectivamente. Avanzar desde los niveles inferiores de pensamiento hacía
niveles más elevados de pensamiento geométrico. Todo esto, para convencer
sobre la verdad o falsedad, o bien para establecer una proposición en un sistema
de reglas y principios aceptados por una institución” (Gonzato, Godino y Neto,
2011).
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
20
6. Proyección didáctica: Geometría analítica (4º ESO)
6.1. Geometría analítica
La geometría analítica es la parte de la matemática donde las líneas rectas y curvas,
así como las figuras geométricas son representadas mediante expresiones numéricas y
algebraicas haciendo uso de un conjunto de ejes y coordenadas.
En la práctica, esto simboliza que cualquier punto del plano puede ser localizado
con respecto a un plano cartesiano, describiendo su posición mediante la distancia entre
dicho punto y ambos ejes de coordenadas.
Desde un punto de vista didáctico, la geometría analítica resulta un puente de unión
totalmente necesario entre la geometría euclidiana y otras ramas de las matemáticas y
la propia geometría, como pueden ser el álgebra lineal, el análisis matemático, la
geometría diferencial, la afín o la algebraica.
Los sistemas de coordenadas también se utilizan otras ramas de las ciencias
experimentales como es la Física, donde son usados para representar movimientos,
vectores…
A continuación, se recoge una tabla resumen de los aspectos formales y contenidos
referentes a esta unidad didáctica.
Tabla 2. Cuadro resumen proyección didáctica.
MATERIA: Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas NIVEL: 4º ESO
Criterio de evaluación (Real Decreto 1105/2014): 1. Utilizar las unidades angulares del sistema métrico sexagesimal e internacional y las relaciones y razones de la trigonometría elemental para resolver problemas trigonométricos en contextos reales. 2. Calcular magnitudes efectuando medidas directas e indirectas a partir de situaciones reales, empleando los instrumentos, técnicas o fórmulas más adecuadas y aplicando las unidades de medida. 3. Conocer y utilizar los conceptos y procedimientos básicos de la geometría analítica plana para representar, describir y analizar formas y configuraciones geométricas sencillas.
Estrategias metodológicas: Metodología activa y dinámica, que ayude a la participación del alumnado en las clases, haciendo que las situaciones-problema expuestas generen aspectos intuitivos y manipulativos que, de forma gradual, se irán asumiendo de una manera lógica – formal. Motivación en el proceso enseñanza-aprendizaje, reforzándola mediante la utilización de las TIC, en concreto gracias a la realización de actividades con GeoGebra.
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
21
Objetivos de la etapa (Orden 14 de julio de 2016): - Resolver problemas utilizando los recursos y las estrategias necesarios para ello, e indicando el
proceso seguido en cada caso. - Hacer predicciones utilizando patrones, regularidades y leyes matemáticas en distintos contextos
matemáticos. - Aplicar las matemáticas a la vida cotidiana. - Afrontar la toma de decisiones como un proceso de crecimiento personal y de orientación hacia
el futuro, y valorar su aplicación en contextos matemáticos. - Seleccionar la información necesaria para resolver problemas de la vida cotidiana con autonomía
y sentido crítico. - Traducir eficazmente enunciados de problemas relacionados con la vida cotidiana al lenguaje
algebraico. - Representar relaciones cuantitativas y cualitativas a través de diferentes tipos de funciones e
interpretar los resultados obtenidos a partir de tablas, gráficas… - Profundizar en el conocimiento de configuraciones geométricas sencillas a través de la geometría
analítica plana.
Bloque de contenidos (R.D. 1105/2014): Bloque 3. Geometría - Medidas de ángulos en el sistema sexagesimal y en
radianes. - Razones trigonométricas. Relaciones entre ellas. - Relaciones métricas en los triángulos. - Aplicación de los conocimientos geométricos a la
resolución de problemas métricos en el mundo físico: medida de longitudes, áreas y volúmenes. Geometría analítica el plano: Coordenadas. Vectores.
- Ecuaciones de la recta. Paralelismo, perpendicularidad.
- Ecuación reducida de la circunferencia. - Semejanza. Figuras semejantes. - Razón entre longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos
semejantes. - Aplicaciones informáticas de geometría dinámica que
facilite la comprensión de conceptos y propiedades geométricas.
Competencias (Orden 14 de julio de 2016): - Competencia matemática y
competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT).
- Competencia de aprender a aprender (CAA).
- Competencia en comunicación língüistica (CCL).
- Competencia Digital (CD).
Estándares de evaluación (Real Decreto 1105/2014): - Utiliza conceptos y relaciones de la trigonometría básica para resolver problemas empleando
medios tecnológicos, si fuera preciso, para realizar los cálculos. - Utiliza las herramientas tecnológicas, estrategias y fórmulas apropiadas para calcular ángulos,
longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos y figuras geométricas. Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología.
- Resuelve triángulos utilizando las razones trigonométricas y sus relaciones. - Utiliza las fórmulas para calcular áreas y volúmenes de triángulos, cuadriláteros, círculos,
paralelepípedos, pirámides, cilindros, conos y esferas y las aplica para resolver problemas geométricos, asignando las unidades apropiadas.
- Conocer y utilizar los conceptos y procedimientos básicos de la geometría analítica plana para representar, describir y analizar formas y configuraciones geométricas sencillas.
- Establece correspondencias analíticas entre las coordenadas de puntos y vectores. - Calcula la distancia entre dos puntos y el módulo de un vector. - Conoce el significado de pendiente de una recta y diferentes formas de calcularla. - Calcula la ecuación de una recta de varias formas, en función de los datos conocidos.
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
22
- Reconoce distintas expresiones de la ecuación de una recta y las utiliza en el estudio analítico de las condiciones de incidencia, paralelismo y perpendicularidad.
- Utiliza recursos tecnológicos interactivos para crear figuras geométricas y observar sus propiedades y características.
6.2. Justificación
El propósito del departamento de Matemáticas será contribuir al desarrollo de las
capacidades de los alumnos para permitirles:
− Resolver problemas haciendo uso de las estrategias y recursos necesarios para
ello, e indicar el proceso a seguir en cada caso.
− Hacer pronósticos mediante el uso de reglas, patrones y leyes matemáticas en
diferentes contextos.
− Generar variaciones de problemas propuestos ya abordados con la intención de
profundizar en ellos.
− Introducir al alumnado en el ámbito de la investigación realizando informes de
resultados y conclusiones.
− Aplicar las matemáticas a la vida cotidiana.
− Abordar los problemas cotidianos mediante diferentes estrategias.
− Conocer los puntos matemáticos fuertes y débiles de cada individuo.
− Desarrollar la resiliencia en la resolución de nuevas situaciones.
− Desarrollar el proceso personal de toma de decisiones como un proceso de
crecimiento personal y orientación con vistas al futuro, pudiendo realizar
valoraciones de su aplicabilidad en contextos matemáticos.
− Utilizar la calculadora, softwares y applets con destreza, con el fin de comprobar
resultados, descubrir patrones, facilitar la realización de cálculos complejos, etc.
− Aumentar la capacidad de cribar la información realmente necesaria para
desarrollar el sentido crítico y la autonomía a la hora de resolver problemas de
la vida cotidiana.
− La adecuada utilización de los diferentes modelos numéricos y su correcta
aplicación a la hora de realizar operaciones.
− Traducir de manera eficaz los problemas relacionados con la vida cotidiana al
lenguaje algebraico.
− Dominar el uso de forma razonada tanto de polinomios, como de fracciones
algebraicas.
− Utilizar ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones para resolver
problemas matemáticos en el ámbito real.
− Establecer relaciones cuantitativas y cualitativas mediante los diversos tipos de
funciones e interpretar los datos obtenidos a partir de tablas, gráficas…
− Aplicar a la resolución de problemas el concepto básico de semejanza.
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
23
− Utilizar las razones trigonométricas fundamentales en la resolución de
problemas trigonométricos.
− Profundizar, mediante la geometría analítica plana, en las configuraciones
geométricas sencillas.
− Analizar e interpretar información estadística extraída de diversos medios de
comunicación.
− Resolver problemas mediante estrategias combinatorias básicas.
− Resolver problemas de probabilidad simple y compuesta mediante la ley de
Laplace, diagramas árbol, tablas de contingencia …
6.3. Contextualización del centro y del aula
Para el desarrollo de este epígrafe me he basado en mi propia experiencia personal,
basándome en el ámbito escolar que viví durante el periodo de prácticas curriculares.
• Organización de espacios en el aula
Las aulas donde he asistido como alumno de máster en prácticas eran clases
clásicas, donde la atención docente se centraba en la pizarra, los alumnos estaban
dispuestos en tres filas de dos pupitres por fila y la mesa del profesor se sitúa en una
plataforma elevada que permite un mayor control visual del alumnado. Las clases
impartidas son clases magistrales, por lo que se crea la necesidad de realizar divisiones
grupales.
• Material
Como mobiliario de clase las aulas están dotadas de: ordenador, pizarra digital,
proyector, pizarra de madera tradicional, pupitres de inclinación regulable, sillas,
armarios, percheros, mesa y silla del profesor, sistema de calefacción y sistema de
refrigeración.
Como material escolar los alumnos tenían los libros de texto Física de editorial
Anaya para 2º de Bachilletaro y Física y Química de editorial Anaya para 4º de ESO (ya
que he realizado las prácticas en la especialidad de Física y Química). Los libros sirven
como soporte de apoyo, ya que los alumnos copian apuntes de las explicaciones del
profesor.
• Perfil de los alumnos
En el IES Miguel Sánchez López, centro en el que realicé el prácticum, estudian
aproximadamente 750 alumnos, distribuidos en seis cursos, desde 1º de ESO hasta 2º
de Bachiller, pero con una clara tendencia al alza en lo que a crecimiento de añumnos
matriculados se refiere. Es mayoritario, pero no demasiado marcado, el alumnado
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
24
femenino, aunque este hecho también depende del curso en cuestión. La procedencia
del alumnado es mayoritariamente local, y un pequeño porcentaje procedente de
localidades colindantes, como son Jamilena y Torredonjimeno. Actualmente, debido a
que se imparten varios ciclos formativos también hay alumnos procedentes de otras
muchas localidades de la provincia.
6.4. Objetivos
El currículo de la asignatura elegida para la realización de este trabajo fin de Máster
se divide en diversos bloques, como son: contenidos, estándares de aprendizaje y
criterios de evaluación, lo cuales son los establecidos por el Real Decreto 1105/2014, de
26 de diciembre, por el que se establece el currículo básico de Educación Secundaria
Obligatoria y del Bachillerato.
Con el desarrollo de esta unidad didáctica se pretende contribuir al desarrollo de
las capacidades del alumnado, algunas de ellas ya descritas en el epígrafe 6.2., que les
ayuden y permitan a:
− Resolver problemas mediante el uso de los recursos y estrategias necesarios,
manifestando el proceso a llevar a cabo en cada caso.
− Hacer pronósticos utilizando patrones, regularidades y leyes matemáticas.
− Generar variaciones de problemas propuestos ya resueltos con la intención de
profundizar en ellos.
− Desarrollar el proceso personal de toma de decisiones como un proceso,
orientado al futuro, de crecimiento personal, pudiendo realizar valoraciones de
su aplicabilidad en contextos matemáticos.
− Aumentar la capacidad de cribar la información realmente necesaria para
desarrollar el sentido crítico y la autonomía a la hora de resolver problemas de
la vida cotidiana.
− Establecer relaciones cuantitativas y cualitativas mediante las diversas funciones
y analizar los datos obtenidos a partir de tablas, gráficas…
− Conocer las diferentes configuraciones geométricas simples mediante la
geometría analítica plana de una forma más profunda.
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
25
6.5. Competencias Clave
Tabla 3. Competencias Clave (Orden de ECD/65/2015).
ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES COMPETENCIAS
CLAVE
Utiliza conceptos y relaciones de la trigonometría básica para resolver problemas
empleando medios tecnológicos, si fuera preciso, para realizar los cálculos. Competencia
matemática y
competencias
básicas en
ciencia y
tecnología
(CMCT).
Competencia
de aprender a
aprender
(CAA).
Competencia
en
comunicación
língüistica
(CCL).
Competencia
Digital (CD).
Utiliza las herramientas tecnológicas, estrategias y fórmulas apropiadas para
calcular ángulos, longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos y figuras geométricas.
Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología.
Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología.
Resuelve triángulos utilizando las razones trigonométricas y sus relaciones.
Utiliza las fórmulas para calcular áreas y volúmenes de triángulos, cuadriláteros,
círculos, paralelepípedos, pirámides, cilindros, conos y esferas y las aplica para
resolver problemas geométricos, asignando las unidades apropiadas.
Conocer y utilizar los conceptos y procedimientos básicos de la geometría analítica
plana para representar, describir y analizar formas y configuraciones geométricas
sencillas.
Establece correspondencias analíticas entre las coordenadas de puntos y vectores.
Calcula la distancia entre dos puntos y el módulo de un vector.
Conoce el significado de pendiente de una recta y diferentes formas de calcularla.
Calcula la ecuación de una recta de varias formas, en función de los datos conocidos.
Reconoce distintas expresiones de la ecuación de una recta y las utiliza en el estudio
analítico de las condiciones de incidencia, paralelismo y perpendicularidad.
Utiliza recursos tecnológicos interactivos para crear figuras geométricas y observar
sus propiedades y características.
6.6. Contenidos
Los contenidos de esta unidad didáctica son los incluidos en el currículo de
Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Académicas de 4º de ESO establecidos por la
“Orden de 14/7/2016 por la que se desarrolla el currículo correspondiente a la Educación
Secundaria Obligatoria en la Comunidad Autónoma de Andalucía, se regulan
determinados aspectos de atención a la diversidad y se establece la ordenación de la
evaluación en el proceso de aprendizaje del alumnado: la aplicación de los conocimientos
geométricos a la resolución de problemas métricos en el mundo físico: medida de
longitudes, áreas y volúmenes. Iniciación a la geometría analítica en el plano:
Coordenadas. Vectores.”
6.7. Metodología
Como se ha explicado a lo largo del desarrollo de este trabajo, la geometría analítica,
se estudia desde el conocimiento del cálculo algebraico y las funciones, por lo que para
el desarrollo de este bloque será necesaria una completa asimilación y comprensión de
estos conocimientos anteriormente adquiridos.
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
26
Todas las sesiones tendrán lugar en el aula ordinaria donde el alumnado suele realizar
prácticamente todas las asignaturas, a excepción de la última sesión, la cual se
desarrollará en el aula de informática.
Ante la extensión de este bloque de estudio, la propuesta de mejora didáctica que se
presenta se centra en la unidad didáctica de Geometría Analítica. Para la docencia de
esta, la metodología utilizada persigue ser activa y dinámica, de forma que contribuya a
la participación del alumnado en clases, haciendo que las situaciones-problema
expuestas en clase generen aspectos intuitivos y manipulativos que, de forma gradual,
se irán asumiendo de una manera lógica – formal. La motivación, la cual ya ha sido
reflejada en anteriores epígrafes del presente trabajo fin de Máster, es primordial en el
proceso enseñanza-aprendizaje, para reforzar esta motivación se hará uso de las TIC, y
específicamente mediante la realización de actividades con softwares específicos,
concretamente GeoGebra.
Por todo lo dispuesto, se intenta dotar esta propuesta de una perspectiva actitudinal,
basada en un marco práctico, donde el alumno pueda adquirir nuevos conocimientos,
en diversos contextos, basados en los conocimientos previos que tienen adquiridos.
Para alcanzar lo descrito, como recurso se utilizará el libro de texto, como soporte de
apoyo cuando el profesor realice la exposición oral, para completar los apuntes tomados
en clase o para la realización de actividades y problemas que el libro contenga. Por otro
lado, y para finalizar la sesión, se utilizará el ordenador como recurso didáctico para
hacer uso del software matemático “GeoGebra”, con el cual se realizará un repaso del
bloque estudiado así como le resolución y visualización de problemas matemáticos y
construcciones geométricas.
6.8. Actividades y recursos
A continuación, se presentan unas fichas modelo semejantes al contenido curricular
contenidos en los libros de texto utilizados en los centros educativos de la Comunidad
Andaluza.
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
27
Sesión 1: Vectores.
Sesión 1.1. Qué son los vectores y cómo utilizarlos en las traslaciones
Un vector 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ se trata de un segmento orientado el cual presenta un origen o punto origen A y un extremo o punto B.
Las coordenadas del vector 𝑶𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ son las correspondientes al extremo A.
La traslación de un vector 𝒕 es el movimiento por el cual cada punto P hace que corresponda a otro punto P’
de forma que 𝒑𝒑⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝒕 .
A. Dibuja el vector 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ en el que 𝐴 = (1,3) y 𝐵 = (−2,5).
B. Calcular las coordenadas dadas para el vector del apartado anterior.
C. Dibuja el vector �⃗⃗� (1,3).
D. Busca el punto B obtenido por la traslación de 𝐴 = (0,4) haciendo uso del vector anterior.
E. Busca el punto C obtenido por la traslación del punto 𝐴 = (0, 4) mediante el vector 2�⃗⃗� , donde �⃗⃗� (1,3).
F. ¿Cuál es la disposición de los puntos A, B y C?
Sesión 1.2. Representación de una recta a partir de su ecuación.
Representación de rectas Para representar la recta dada por
una función lineal 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑛 se han de obtener dos puntos, distintos entre si, y trazar la recta que los une.
A. Representa las siguientes rectas: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1
𝑓(𝑥) = 4 𝑓(𝑥) = 2𝑥
𝑓(𝑥) =1
2𝑥 − 1
Sesión 1.3. Qué son las ecuaciones lineales y cómo se representan sus
soluciones.
Ecuaciones lineales Una ecuación lineal con dos
incógnitas tiene como soluciones todos los puntos de una recta.
A. Representa las siguientes ecuaciones: 𝑦 = 𝑥 − 3 2𝑥 = 𝑦 − 1 𝑥 + 𝑦 = 5 6𝑥 − 2𝑦 = 4
Sesión 1.4. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas.
Existen tres métodos de resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:
• Reducción
• Igualación
• Sustitución Estos sistemas pueden tener una
solución, ninguna o infinitas soluciones.
A. Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método conveniente, e indica si tiene solución, y cuantas soluciones tendría en cada caso.
{2𝑥 + 𝑦 = 1𝑥 − 3𝑦 = 3
{𝑥 + 2𝑦 = 44𝑥 − 5𝑦 = 3
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
28
Sesión 2: Vectores en el plano. Operaciones.
¿Recuerdas, como vimos en el curso anterior, que los vectores servían para definir
con precisión una traslación? Se denomina vector fijo a un segmento orientado con
origen A y extremo B.
Un vector está definido por tres rasgos:
• Módulo o longitud del
segmento.
• Dirección de la recta que
lo contiene.
• Sentido: el que va del
origen al extremo.
Todos los vectores que poseen el mismo módulo,
dirección y sentido se llaman vectores equipolentes.
Un vector libre, 𝑣 , es el conjunto de todos y cada uno
de los vectores fijos equipolentes; por lo que poseen igual
módulo, dirección y sentido.
Un vector libre puede ser representado en cualquier
zona del plano y con un origen cualquiera. Si en el plano
tenemos dos, A y B, el vector fijo 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ será una
representación equipolente del vector libre 𝑣 .
Dado un punto A y cualquier vector libre 𝑣 , es posible dibujar el vector libre 𝑣 que
tenga origen en A.
Sesión 2.1. Operaciones con vectores libres.
• Suma de vectores libres �⃗⃗� + �⃗⃗�
Si 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = �⃗� y 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑣, podremos decir que, �⃗⃗� = �⃗� +
𝑣 = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗. Teniendo como origen, el vector suma �⃗� + 𝑣 , el
origen de �⃗� y como extremo 𝑣
• Producto de un vector libre por un escalar 𝒌�⃗⃗�
El vector 𝑘�⃗� tendrá idéntica dirección que �⃗� y su módulo se va a obtener si
multiplicamos 𝑘 por el módulo de �⃗� . El sentido de la dirección será igual cuando el
escalar 𝑘 tenga sentido positivo o contrario si 𝑘 tiene signo negativo.
No olvides que:
Figura 6.
• �⃗� , 𝑣 𝑦 �⃗⃗� tienen igual dirección.
• 𝑣 y �⃗⃗� tienen idéntico sentido.
• �⃗� tiene sentido contrario a 𝑣 y �⃗⃗� .
• �⃗� y �⃗⃗� tienen igual módulo.
Figura 8.
Figura 7.
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
29
El vector opuesto de �⃗� , se obtiene realizando el producto de dicho vector por un
escalar, es decir −�⃗� = (−1) · �⃗� , cuyos módulo y dirección serán idénticos a los
correspondientes de �⃗� , pero su sentido será contrario al de �⃗� .
En la figura 9 se observa claramente la propiedad conmutativa de la suma de los
vectores. La suma �⃗� + 𝑣 resulta un vector �⃗⃗� , con
idéntico origen, representado por la diagonal del
paralelogramo formado.
Conociendo −𝑣 , se pueden restar los vectores: �⃗� − 𝑣 = �⃗� + (−𝑣 ). Por ejemplo, dados los vectores �⃗� y 𝑣 , calculamos 2�⃗� − 3𝑣 .
ACTIVIDADES
1. Estudia cuál de estos vectores tiene
el mismo módulo, dirección y
sentido:
2. Indica cuál sería el par de vectores
equipolentes representados en la
actividad anterior.
3. Dibuja un rombo, denominando A,
B, C y D a los vértices consecutivos.
Representa y nombra los vectores
resultantes de las siguientes
operaciones:
a) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ b) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ c) 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
d) 2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 2𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗
4. Expresa en función de y los vectores
siguientes del paralelogramo
representado en la figura 11: 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗,
𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗.
5. Analiza la siguiente figura:
a) Nombra cinco vectores diferentes
cuyo origen y extremo coincidan
con los vértices del polígono.
b) Expresa el vector como suma de dos
vectores.
c) Expresa como diferencia de dos
vectores.
d) Expresa como producto de un
vector por un escalar.
e) Expresa, como suma de vectores, el
vector nulo.
6. Traza tres vectores que al sumarse
resulte el vector nulo.
7. ¿Qué diferencia hay entre la dirección y el sentido de un vector?
Figura 11.
Figura 12.
Figura 9.
Figura 10.
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
30
Sesión 3: Coordenadas de un vector.
Sesión 3.1. Vector de posición de un punto.
Se llama vector de posición del punto A al vector OA,
que une a dicho punto con el origen de coordenadas,
(0, 0), y tiene idénticas coordenadas que A.
Sesión 3.2. Coordenadas de un vector.
Observa en la figura 14 como el vector 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ se calcula
restando a las coordenadas de B a las de A.
Por ejemplo, si 𝐴 = (3, 1) y 𝐵 = (5, 3), el vector
que va de A a B es:
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (5 − 3, 3 − 1) = (2, 2)
Dados los puntos 𝐴 = (𝑎1, 𝑎2) y 𝐵 = (𝑏1, 𝑏2), las
coordenadas del vector 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ se obtienen mediante la
resta de las coordenadas los puntos B y A.
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑏1 − 𝑎1, 𝑏2 − 𝑎2)
Sesión 3.3. Operaciones con vectores mediante sus coordenadas.
▪ Suma de vectores
�⃗⃗⃗� = �⃗⃗� + �⃗⃗� = (𝑢1, 𝑢2) + (𝑣1, 𝑣2) = (𝑢1 + 𝑣1, 𝑢2 + 𝑣2)
▪ Producto de un vector por un escalar
�⃗⃗� = 𝒌�⃗⃗� = 𝒌(𝒖𝟏, 𝒖𝟐) = (𝒌𝒖𝟏, 𝒌𝒖𝟐)
▪ Diferencia de vectores
�⃗⃗⃗� = �⃗⃗� − �⃗⃗� = �⃗⃗� + (−�⃗⃗� ) = (𝑢1, 𝑢2) + (−𝑣1, − 𝑣2)
= (𝑢1 − 𝑣1, 𝑢2 − 𝑣2)
ACTIVIDADES
8. Dados los puntos 𝐴(4,6), 𝐵(4,1),
𝐶(−1,3) y 𝐷(3,2), representa las
las coordenadas del vector indicado
en un ejes de coordenadas:
a) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ b) 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ c) 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ d) 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ e) 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗
Ten en cuenta
Figura 13
Un vector libre 𝑣 con origen (0,0) tiene como coordenadas las mismas que su punto extremo.
Observa
Se denomina vector nulo, �⃗⃗� , al vector cuyo extremo coincide con el origen de coordenadas (0, 0).
Observa
El vector �⃗⃗� = 𝒌�⃗⃗� tiene
idéntica dirección que �⃗⃗� , siendo sus coordenadas proporcionales.
Figura 15.
Figura 14.
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
31
9. Hallar las coordenadas de los
siguientes vectores:
Figura 16.
10. Representa, en un eje de
coordenadas, los vectores que
confirman las condiciones que a
continuación se indican:
a) Origen A(2,5) y extremo B(-1, 3).
b) Origen A(3,3) y coordenadas de
vector (5,2).
c) Extremo B(2, 0) y coordenadas de
vector (-3,1).
11. Dibuja 5 vectores equipolentes a
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ con origen en C, D, E, F y G,
respectivamente.
Figura 17.
Di cuáles son las coordenadas de
cada vector, así como las de sus
extremos.
12. Representa, haciendo uso de ejes
de coordenadas los vectores que
verifican las siguientes condiciones:
a) 𝑎 (2, 3) c) 𝑐 (3, 1) e) 𝑒 (−4, 0)
b) �⃗� (−2,−3) d) 𝑑 (−2, 5) f) 𝑓 (0, 2)
13. Calcula las coordenadas para los
siguientes vectores y di cuáles
representan el mismo vector libre.
Figura 18.
14. Sabiendo que �⃗� (−2, 3), 𝑣 (5, 2) y
�⃗⃗� (−2,−4), opera:
a) �⃗� + 𝑣 d) 3�⃗� g) �⃗� + 2𝑣⃗⃗⃗⃗ − �⃗⃗�
b) �⃗� − 𝑣 e) �⃗� − �⃗⃗� h) 3(�⃗� − 2𝑣 )
c) �⃗� + �⃗⃗� f) 3�⃗� − 2𝑣 i) −(�⃗⃗� − �⃗�
15. Indica si los siguientes vectores
poseen la misma dirección y realiza
su representación gráfica.
a) �⃗� (2, −3), 𝑣 (6, −9) d)�⃗� (4,6), 𝑣 (10,15)
b) �⃗� (1,5), 𝑣 (−2,−10) e) �⃗� (6,2), 𝑣 (2,1)
c) �⃗� (4,7), 𝑣 (5,8) f) �⃗� (0,8), 𝑣 (0,9)
16. ¿Qué relación existe entre las
coordenadas de 2 vectores
equipolentes?
17. ¿Cuáles son las coordenadas del
vector nulo?
18. Calcula las coordenadas del vector
con origen (0,0) y extremo
𝑃(𝑎1, 𝑎2)
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
32
Sesión 4: Aplicaciones de los vectores.
¿En la figura 19, sabrías decir cuál es la longitud del
vector �⃗� ? Este vector resultante es la hipotenusa de
dicho triángulo. ¿Sabrías relacionar las coordenadas
de �⃗� con la longitud de dicho vector aplicando el
teorema de Pitágoras a dicha figura?
Sesión 4.1. Módulo de un vector.
El módulo de un vector (u1, u2) corresponde a su longitud:
|�⃗� | = √𝑢12 + 𝑢2
2
Sesión 4.2. Distancia entre dos puntos.
Dados los puntos A y B en la figura 20 ¿Cuál es el
número de vectores que podríamos representar en
su origen o en su extremo? ¿se podrían usar esos
vectores para deducir la distancia entre estos dos
puntos? ¿Cuál es la relación existen entre d y |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗|?
La distancia entre A y B, resulta ser la longitud del segmento que une dichos puntos;
o lo que es lo mismo, el módulo del vector 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
𝑑(𝐴, 𝐵) = |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(𝑏1 − 𝑎1)2 + (𝑏2 − 𝑎2)2
Sesión 4.3. Punto medio de un segmento.
Dado un segmento AB, con 𝐴 = (𝑎1, 𝑎2) y 𝐵 =
(𝑏1, 𝑏2), las coordenadas del punto medio de AB son:
𝑀 = (𝑎1 + 𝑏1
2,𝑎2, +𝑏2
2)
Sesión 4.4. Relación entre coordenadas de 3 puntos que están alineados.
Si tenemos dos puntos 𝐴 = (𝑎1, 𝑎2), 𝐵 = (𝑏1, 𝑏2) y 𝐶 = (𝑐1, 𝑐2) alineados como
muestra la figura 21. ¿Qué tienen en común los
vectores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ y 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗? ¿Cuál es la operación que a usar
para obtener vectores con idéntica dirección a partir de
uno dado? ¿Cuáles serán las coordenadas de uno de los
vectores si multiplicamos este por un escalar?
Observa
Si M es el punto medio entre A y B, entonces B es el punto simétrico de A respecto de M.
Figura 19.
Figura 20.
Figura 21.
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
33
Si los puntos 𝐴 = (𝑎1, 𝑎2), 𝐵 = (𝑏1, 𝑏2) y 𝐶 = (𝑐1, 𝑐2) están alineados, sus
coordenadas han de cumplir las siguientes proporciones:
𝑏2 − 𝑎2
𝑏1 − 𝑎1=
𝑐2 − 𝑎2
𝑐1 − 𝑎1
𝑏2 − 𝑎2
𝑐2 − 𝑎2=
𝑏1 − 𝑎1
𝑐1 − 𝑎1
De forma recíproca si las coordenadas de tres vectores verifican dichas proporciones,
los puntos estarán alineados.
ACTIVIDADES
19. Calcular el módulo de los vectores
de los siguientes apartados:
a) 𝑎 (2,5) c) 𝑐 (2, −4) e) 𝑒 (−3,−3)
b) �⃗� (−1,3) d) 𝑑 (0, −6) f) 𝑓 (4,0)
20. Calcula la longitud de los vectores
que se representan en la figura 22:
Figura 22.
21. Dados los puntos A(1,3), B(-2,-6) y
C(4,-1), calcula:
a) |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗| b) |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗| c) |𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗| d) |𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗|
22. Dados los siguientes puntos A(0,6),
B(-2,5) y C(3,-1), calcula:
a) d(A, B) b) d(A, C) c) d(B, C)
23. Calcula las coordenadas del punto
medio de un segmento AB en cada
caso y compruébalo gráficamente.
a) A(1,3), B(3,5) c) A(-5,0), B(-2,-4)
b) A(2,3), B(5,1) d) A(0,0), B(7,0)
24. Halla las coordenadas del punto Q,
teniendo en cuenta que en casa
caso M es el punto medio del
segmento PQ:
a) P(3,2), M(5,5) c) P(2,-4), M(0,0)
b) P(-5,1), M(1
2,3
2) d) P(−
8
3,5
2), M(-3,2)
25. Demuestra que el triángulo cuyos
vértices son A(-2,-1), B(4,2) y C(6,-2)
es un triángulo rectángulo. (Ayuda:
ten en cuenta el teorema de
Pitágoras.)
26. ¿Cómo son los módulos de los
vectores opuestos?
27. Investiga si los siguientes puntos
están alineados:
a) 𝐴 = (1,5), 𝐵 = (2,6), 𝐶 = (4, 7)
b) 𝐴 = (6, 2), 𝐵 = (3, 5), 𝐶 = (9,−1)
28. Busca un punto que esté alineado
con A(1,2) y B(6,4).
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
34
Sesión 5: Ecuaciones de la recta.
La ecuación de una recta r es la única que verifica de
forma exclusiva todos los puntos de r.
Para determinar una recta, r, se debe conocer:
▪ Un punto P perteneciente a dicha recta r.
▪ Un vector �⃗� que sea paralelo a r (siendo �⃗� el vector director o vector de
dirección de r).
A continuación vamos a estudiar tres formas distintas de presentar la ecuación de
una recta.
Sesión 5.1. Ecuación vectorial de una recta.
Tenemos un punto P perteneciente a una recta r (𝑃 ∈ 𝑟) y un vector director, �⃗� , de
r. Ahora tomamos un punto X cualquiera de r.
En la figura 24, se pone de manifiesto que
que cualquier punto, X, de la recta r verifica que
𝑃𝑋⃗⃗⃗⃗ ⃗ es paralelo a �⃗� ; 𝑃𝑋⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑡�⃗� . Ya que 𝑃𝑋⃗⃗⃗⃗ ⃗ =
𝑂𝑋⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗, obtendremos 𝑂𝑋⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑡�⃗� en
función de los vectores de posición de P y X.
Para obtener los puntos de r debemos
modificar el parámetro t en todos los números
reales.
𝐄𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐯𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫𝐢𝐚𝐥: 𝑶𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝒕�⃗⃗� , 𝒄𝒐𝒏 𝒕 ∈ ℝ
Sesión 5.2. Ecuaciones paramétricas de una recta.
Sustituyendo los vectores por sus correspondientes coordenadas en la ecuación
𝑂𝑋⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑡�⃗� , obtendremos la siguiente ecuación:
(𝑥, 𝑦) = (𝑝1, 𝑝2) + 𝑡(𝑢1, 𝑢2) ⟹ (𝑥, 𝑦) = (𝑝1 + 𝑡𝑢1, 𝑝2 + 𝑡𝑢2)
Igualamos la x con la primera coordenada y la y con la segunda.
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔:𝒙 = 𝒑𝟏 + 𝒕𝒖𝟏
𝒚 = 𝒑𝟐 + 𝒕𝒖𝟐} 𝒄𝒐𝒏 𝒕 ∈ ℝ
Figura 23.
Figura 24.
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
35
Sesión 5.3. Ecuación continua de una recta.
Si partimos de las ecuaciones paramétricas anteriores {𝑥 = 𝑝1 + 𝑡𝑢1
𝑦 = 𝑝2 + 𝑡𝑢2 de la recta y
despejamos t obtenemos:
𝑡 =𝑥 − 𝑝1
𝑢1 𝑡 =
𝑦 − 𝑝2
𝑢2
Al igualar términos obtendremos la ecuación contínua:
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂: 𝒙 − 𝒑𝟏
𝒖𝟏=
𝒚 − 𝒑𝟐
𝒖𝟐
ACTIVIDADES
29. Halla la ecuación vectorial de cada
una de las siguientes recta:
a) A(1,3), �⃗� (2,1) c) A(0,0), �⃗� (-2,-4)
b) A(-2,5), �⃗� (3, 6) d) A(1,0), �⃗� (3,0)
30. Determina las ecuaciones en forma
paramétrica de la recta en cada uno
de los siguientes subapartados que
pasen por A y tengan la dirección:
a) A(-2,3), 𝑣 (4,-1) c) A(-2,-1), 𝑣 (3,0)
b) A(-3,1), 𝑣 (-2,-7) d) A(6,-8), 𝑣 (1,-5)
31. Calcula la ecuación continua y la
ecuación vectorial de las rectas
dadas en el ejercicio anterior.
32. Indica, en las siguientes rectas, un
punto y un vector dirección, y si
P(1,0), Q(3,2) y O(0,0) se
encuentran en alguna de ellas.
a) 𝑂𝑋⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (2,−1) + 𝑡(1,3) b) 𝑥 = −1𝑦 = 4𝑡
}
𝐜) 𝑥 − 2
−5=
𝑦 + 3
2
33. . ¿Qué número divide a los
miembros de la igualdad de las
siguientes ecuaciones continuas?
Indica un vector director.
𝐚) 𝑥 − 3 =𝑦 + 2
2 𝐜)
𝑥 + 1
−2= 𝑦 − 6
𝐛) 𝑥 =𝑦
2 𝐝) 𝑥 + 8 = 𝑦 − 4
34. Indica, de forma razonada, si las
siguientes ecuaciones están
expresadas de forma continua, en
caso contrario ¿Cómo serían dichas
ecuaciones escritas en forma
continua?
𝐚) 𝑥 − 5
3=
𝑦 + 2
−1 𝐜)
2𝑥 + 3
2=
𝑦 − 1
5
𝐛) 𝑥 − 1
35
=3𝑦 + 2
−2𝐝)
𝑥 + 5
13
=𝑦 + 1
25
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
36
Sesión 6: Ecuación general o implícita de una recta.
La ecuación continua de una recta manifiesta la equivalencia entre dos fracciones
cuyos productos cruzados son idénticos, obteniendo:
𝑢2(𝑥 − 𝑝1) = 𝑢1(𝑦 − 𝑝2) ⟹ 𝑢2𝑥 − 𝑢2𝑝1 = 𝑢1𝑥 − 𝑢2𝑝2 ⟹
⟹ 𝑢2𝑥 − 𝑢1𝑦 = 𝑢2𝑝1 − 𝑢1𝑝2 ⟹ 𝑢2𝑥 − 𝑢1𝑦 − (𝑢2𝑝1 − 𝑢1𝑝2) = 0
Denominamos:
▪ A al coeficiente de x: 𝐴 = 𝑢2
▪ B al coeficiente de y: 𝐵 = −𝑢1
▪ C al término independiente: 𝐶 = 𝑢1𝑝2 − 𝑢2𝑝1
𝐄𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐠𝐞𝐧𝐞𝐫𝐚𝐥 𝐨 𝐢𝐦𝐩𝐥í𝐜𝐢𝐭𝐚: 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎
Las coordenadas del vector dirección de las ecuaciones vectoriales, paramétricas y
continuas, son fáciles de identificar, pero esto no ocurre en la ecuación implícita, ya que
este en una ecuación implícita 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 será:
�⃗� = (−𝐵, 𝐴)
Sesión 6.1. Ecuación explícita de una recta
Si 𝐵 ≠ 0, al despejar la ecuación general de la recta obtendremos:
𝑦 = −𝐴
𝐵𝑥 −
𝐶
𝐵
𝐄𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐞𝐱𝐩𝐥í𝐜𝐢𝐭𝐚: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏
Recuerda que en la recta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛, m equivale a la pendiente y n corresponde a
la ordenada en el origen o punto donde corta la recta con el eje de abscisas.
Un vector director de una recta puede ser encontrado a partir de la pendiente de la
misma: �⃗� (𝑢1𝑢2) = (−𝐵, 𝐴).
𝑚 = −𝐴
𝐵= −
𝑢2
−𝑢1=
𝑢2
𝑢1
La pendiente, m, equivale al cociente entre la
segunda y la primera coordenada del vector director de la recta.
Sesión 6.2. Ecuación punto-pendiente de una recta.
Volvemos a utilizar la ecuación continua de la recta para poder obtener la ecuación
de esta por la que para un punto determinado y tiene una pendiente determinada
también:
Figura 25.
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
37
𝑥 − 𝑝1
𝑢1=
𝑦 − 𝑝2
𝑢2⟹ 𝑦 − 𝑝2 =
𝑢2
𝑢1
(𝑥 − 𝑝1), siendo ahora 𝑢2
𝑢1= 𝑚
𝐄𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨 − 𝐩𝐞𝐧𝐝𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞: 𝒚 − 𝒑𝟐 = 𝒎(𝒙 − 𝒑𝟏)
6.3. Ecuación de una recta que pasa por dos
puntos.
Dada una recta, r, que contiene a 𝑃 = (𝑝1, 𝑝2) y
𝑄 = (𝑞1, 𝑞2), y tiene por vector director
𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑞1 − 𝑝1, 𝑞2 − 𝑝2), podemos calcular su
pendiente, y escribiremos su ecuación punto-
pendiente mediante uno de sus puntos.
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
𝒚 − 𝒑𝟐 =𝒒𝟐 − 𝒑𝟐
𝒒𝟏 − 𝒑𝟏
(𝒙 − 𝒑𝟏)
ACTIVIDADES
35. Escribe las siguientes rectas en sus
ecuaciones implícita y explícita:
a) 𝑥−3
2=
𝑦−4
3 d)
𝑥−5
−3=
𝑦+2
−4
b) 𝑥+1
5=
𝑦−3
−2 e)
𝑥
3= 𝑦 − 1
c) 𝑥+4
−3=
𝑦+1
−1 f) 𝑥 − 5 =
𝑦−3
2
36. Halla las ecuaciones implícita y
explícita de las rectas que cumplan:
a) Pasa por A(-3,5) y su vector director
es �⃗� = (−2,1).
b) Pasa por A(3,-1) y B(6,-4).
c) Pasa por A(0,5), y su pendiente
es 𝑚 = 5.
d) Sus ecuaciones paramétricas son
{𝑥 = 5 − 2𝑡𝑦 = 6 + 𝑡
37. ¿Pertenecen los siguientes puntos a
la recta 5𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0?
a) A(2,5) d) D(-1,4)
b) B(1,1) e) E(3,6)
c) C(-1,-4) f) F(5,-11)
38. Calcula si 𝐴(−1,0), 𝐵(−2,−6),
𝐶(−3,−12⁄ ) y 𝐷(1,−1
3⁄ )
pertenecen a la siguientes rectas:
a) 2𝑥 + 3𝑦 − 1 = 0 c) 7𝑥 + 5𝑦 − 7 = 0
b) 𝑦 = 5𝑥 + 4 d) 𝑦 = −𝑥
2− 2
39. Calcula un vector y un punto de:
a) 2𝑥 − 𝑦 + 5 = 0 d) 3𝑥 + 𝑦 = 0
b) 𝑦 = −𝑥 + 2 e) −𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0
c) 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 f)−2𝑥 + 3𝑦 − 1 = 0
40. De las siguientes rectas, calcula su
pendiente:
a) 𝑦 = 3𝑥 − 1 c) 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0
b) 𝑦 = −𝑥 − 5 d) 2𝑥 = 𝑦 + 1
41. Escribe las ecuaciones punto-
pendiente de cada una de estas
rectas:
a) (𝐴, �⃗� ), donde 𝐴(2,−1) y �⃗� (3,2).
b) Pasa por 𝑃(−5,−3) y 𝑄(2,−8).
c) Pasa por 𝐴(0,0) y 𝑚 = −52⁄ .
d) Pasa por 𝐴(−2, 1) y 𝐵(−3,−2).
Figura 26.
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
38
42. Escribe la ecuación de la recta que
pasa por 𝑃 = (−7, 0) y tiene vector
de dirección �⃗� = (−5,2) de todas las
formas posibles.
43. Representa la recta que pasa por
𝑃 = (4,−2) y tiene pendiente 𝑚 =
3, escribe su ecuación y otro punto
de la recta.
44. Halla la ecuación punto-pendiente
las siguientes rectas:
45. Encuentra la ecuación de la recta
que pasa por los puntos 𝑃_(1, 2) y
𝑄_(3, 2).
46. Los vértices de un cuadrilátero son
los puntos 𝑃 = (1,4), 𝑄 = (3, 6), 𝑅 =
(7, 1) y 𝑆 = (5,−1).
a) Calcula las ecuaciones de sus lados.
b) Calcula los vectores: 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝑃𝑆⃗⃗ ⃗⃗ , 𝑆𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ y 𝑄𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗.
47. Estudia si 𝑃 = (−2, 4), 𝑄 = (4, 3) y
𝑅 = (−1,−1) están alineados. Si no
lo están, calcula las ecuaciones de
los lados del triángulo que forman.
48. Determina la altura del lado del
desigual de triángulo.
Figura 27.
Figura 28.
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
39
Sesión 7: Incidencia y paralelismo de rectas.
7.1. Posiciones relativas de dos rectas
¿Qué relación existe entre las posiciones relativas y los vectores dibujados de las
siguientes tres figuras?
Figura 29. Figura 30. Figura 31.
La siguiente tabla recoge las posiciones relativas de dos rectas, r y s, y la relación
existente con los vectores directores, así como con los coeficientes de las ecuaciones de
las rectas. Si dos vectores no son paralelos lo representaremos mediante símbolo ∠
entre dichos vectores, de lo contrario, si son paralelos, el símbolo utilizado será ∥.
Tabla 4. Posiciones relativas de dos rectas. Proyecto Adarve matemáticas. Matemáticas 4º ESO, Unidad 8
– Geometría Analítica. Oxford University Press.
Figura 29. Figura 30. Figura 31.
Posición relativa
Rectas secantes Rectas paralelas y
distintas Rectas coincidentes
Puntos en común
1 0 ∞
Vectores �⃗� (𝑢1, 𝑢2)∠ 𝑣 (𝑣1, 𝑣2) �⃗� = (𝑢1, 𝑢2)|𝑣 (𝑣1, 𝑣2)
∠ �⃗⃗� (𝑤1, 𝑤2) �⃗� = (𝑢1, 𝑢2) ∥ 𝑣 (𝑣1, 𝑣2)
∥ �⃗⃗� (𝑤1, 𝑤2) Coordenadas
de los vectores
𝑣1𝑢1≠𝑣2𝑢2 𝑣1𝑢1=𝑣2𝑢2
Coeficientes de la
ecuación implícita �⃗⃗� (−𝑩, 𝑨).
𝐵
𝐵′≠
𝐴
𝐴′
𝐵
𝐵′=
𝐴
𝐴′≠
𝐶
𝐶′
𝐵
𝐵′=
𝐴
𝐴′=
𝐶
𝐶′
Pendientes 𝑚 ≠ 𝑚′ 𝑚 = 𝑚′
A cada recta le pertenece una ecuación que verifica todos sus puntos. Encontrar los
puntos de corte entre dos rectas equivale a calcular los puntos que verifican las dos
ecuaciones a la vez. Para calcularlo solo hay que resolver el sistema formado por ambas
ecuaciones.
Dadas las rectas 𝑟: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 y 𝑠: 𝐴′𝑥 + 𝐵′𝑦 + 𝐶′ = 0, sus puntos de corte
se hallan resolviendo un sistema tipo:
{𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
𝐴′𝑥 + 𝐵′𝑦 + 𝐶′ = 0
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
40
La siguiente tabla relaciona la posición relativa de las rectas con el tipo de sistema de
ecuaciones.
Tabla 5. Sistemas de ecuaciones y posición relativa de las rectas. Proyecto Adarve matemáticas.
Matemáticas 4º ESO, Unidad 8 – Geometría Analítica. Oxford University Press.
Tipo de sistema de ecuaciones
Sistema compatible determinado
Sistema compatible indeterminado
Sistema imcompatible
Número de soluciones
Una única solución Infinitas soluciones No hay solución
Posición relativa de las rectas
Rectas secantes Rectas paralelas y
coincidentes Rectas paralelas y
distintas
Representación gráfica de las rectas
Figura 32.
Figura 33.
Figura 34.
ACTIVIDADES
49. Evalúa la posición relativa de r y s:
a) 𝑟: (𝑥, 𝑦) = (2,5) + (−1,3)𝑡
𝑠: (𝑥, 𝑦) = (−1,3) + (2, 6)𝑡
b) 𝑟:𝑥−1
3=
𝑦+5
−2 𝑠:
𝑥−4
6=
𝑦+3
−4
c) 𝑟: 𝑥 = 3 − 2𝑡𝑦 = −1 + 𝑡
} 𝑠: 𝑥 = 4𝑡
𝑦 = 2 − 2𝑡}
d) 𝑟: 𝑦 = −3𝑥 − 2 𝑠: 𝑦 =1
3𝑥 + 1
50. Comprueba que las rectas r y s
tienen la misma dirección, y si
ambas rectas son coincidentes.
a) 𝑟: 𝑥 = 2 + 5𝑡
𝑦 = −3 − 2𝑡} 𝑠:
𝑥 = 7 + 5𝑡𝑦 = −1 − 2𝑡
}
b) 𝑟: 𝑦 = 3𝑥 + 2 𝑠: 𝑦 = 3𝑥 − 5
c) 𝑟: 2𝑥 − 𝑦 + 4? 0, 𝑠: − 4𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0
d) 𝑟: 2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0, 𝑠: 4𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0
51. Calcula el valor de a para que las
siguientes rectas, r y s, tengan la
misma dirección:
a) 𝑟: 3𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0, 𝑠: 12𝑥 + 𝑎𝑦 = 0
b) 𝑟: 𝑦 = 3𝑥 − 6, 𝑠: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 5
52. Estudia la posición relativa de r:
3𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 y la recta que pasa
por 𝑃 = (0,3) y 𝑄 = (2,9).
53. Encuentra la recta paralela a 1
2𝑥 −
𝑦 + 5 = 0 que pasa por 𝑃 = (1,−1).
54. Si una recta tiene una pendiente
𝑚 =1
2 y el vector dirección de otra
recta es �⃗� = (−4,−2), ¿Cuál será la
posición relativa de ambas rectas?
¿Y si 𝑚 =1
2la pendiente de una de
ellas y �⃗� = (1,2) el vector director
de la segunda recta?
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
41
Sesión 8: Geogebra: resolución de problemas.
Se procederá a hacer un resumen de los puntos más importantes de la unidad 8,
Geometría analítica, haciendo uso del software Geogebra:
▪ Sesión 2: Operaciones con vectores.
▪ Sesión 3: Coordenadas de un vector. - Vector de posición de un punto.
▪ Sesión 4: Aplicaciones de los vectores. - Módulo de un vector. - Relación entre
las coordenadas de tres puntos alineados.
▪ Sesión 5: Ecuaciones de la recta. - Ecuación vectorial de una recta. - Ecuaciones
paramétricas de una recta. - Ecuación continua de una recta.
▪ Sesión 6: Ecuación general o implícita de una recta. - Ecuación punto-pendiente
de una recta. - Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
▪ Sesión 7: Incidencia y paralelismo de rectas.
Tras este resumen los alumnos realizarán las siguientes actividades utilizando dicho
programa informático.
Figura 36. Ecuación vectorial de
una recta
Figura 37. Ecuación explícita
de una recta
Figura 35. Elementos de un vector y sus operaciones
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
42
ACTIVIDADES CON GEOGEBRA
Elementos de un vector y sus operaciones
55. Calcula el merímetro y el área de los siguientes triángulos formados por los vértices A, B y C y di si son rectángulos.
a) 𝐴(4, 3), 𝐵(−2, 2), 𝐶(5,−3) b) 𝐴(0,−2), 𝐵(4,−6), 𝐶(7, 5)
56. Calcula las coordenadas del punto M sabiendo que el punto de simetría de 𝐴(5,−2) respecto de M es 𝐵(−3,−4).
57. Dados los puntos 𝐴(−1,−2) y 𝐵(2, 1), calcula las coordenadas del punto de simetría de:
a) A respecto de B. b) B respecto de A.
Ecuaciones de una Recta
58. Determina un vector, un punto y la pendiente de las siguientes rectas:
a) 𝑦 = 5𝑥 + 2 b) 3𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0
c) 𝑥 = 3 − 2𝑡𝑦 = 2 + 𝑡
}
59. Encuentra 3 puntos, un vector y la pendiente de las rectas siguientes y escribe sus ecuaciones correspondientes:
a) El eje de abscisas. b) El eje de ordenadas.
c) La bisectriz del primer cuadrante. d) La bisectriz del segundo cuadrante.
60. Halla que recta de las siguientes tiene la misma pendiente:
a) 3𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0 b) −3𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0
c) 𝑦 = −6
4𝑥 − 5
61. Halla la ecuación punto-pendiente de una recta que pasa por 𝐴(3,2) sabiendo que forma con el semieje positivo de abscisas el ángulo indicado en cada caso:
a) 150° b) 45° c) 120° d) 135°
62. Si los puntos 𝐴(−2,−1), 𝐵(1, 1) y 𝐶(3,−1) son los tres vértices de un paralelogramo, calcula:
a) Las coordenadas de D, vértice opuesto a A.
b) Las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto medio de cada uno de los lados paralelos.
c) El punto de intersección de las rectas del apartado c).
Incidencia y paralelismo de rectas
63. Sabiendo que os puntos 𝐴(−3,−4),
𝐵(5,−1) y 𝐶(0,3) corresponden a los tres vértices de un triángulo. Halla:
a) La ecuación general de la recta que contiene cada uno de sus lados.
Figura 38. Ecuación de la recta forma punto - pendiente Figura 39. Condiciones de paralelismo de dos rectas
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
43
b) La ecuación de las medianas de sus lados.
c) Las coordenadas correspondientes al baricentro del triángulo.
64. Investiga si se forma un triángulo
con los puntos A, B y C dados a continuación y, en caso de ser así, determina las coordenadas del baricentro:
a) 𝐴(0,3), 𝐵(1,4) 𝑦 𝐶(−1,2) b) 𝐴(0,3), 𝐵(1,4) 𝑦 𝐶(3,1)
65. Comprueba que 𝐴(2,2), 𝐵(4,1), 𝐶(5,−1) y 𝐷(3,0) corresponden a los vértices de un paralelogramo y calcula:
a) La ecuación de la recta de cada lado y su posición relativa.
b) La ecuación correspondiente de cada diagonal.
c) El punto de corte de dichas diagonales.
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
44
6.9. Atención a la diversidad
A la hora de diseñar las medidas necesarias de atención e inclusión a la diversidad
debemos conocer cierta información relevante de cada grupo de alumnos, como:
− El número de estudiantes.
− El funcionamiento del grupo (atención, nivel de disciplina, clima del aula...).
− Evaluar las capacidades del grupo relativas al desarrollo de contenidos curriculares.
− Las necesidades identificadas del mismo (implementación de diversas metodologías,
seguimiento de la eficiencia de las medidas, gestión del aula, etc.).
− Las competencias curriculares prioritarias que hay en abordar en esta materia.
− Los criterios de agrupación para la realización de trabajos cooperativos.
− La adaptación de los recursos necesarios en función del nivel general para obtener
óptimos logros grupales.
− Las necesidades individuales
La realización de una evaluación inicial nos proporciona información no solo de
conocimientos relativos al grupo como conjunto, sino que además nos permite conocer
diversos aspectos individuales de cada uno de los estudiantes; por lo que a partir de
estos resultados podremos:
− Identificar a los estudiantes que presentan una mayor necesidad de control o
individualización de estrategias en su proceso de aprendizaje, considerando el
alumnado con necesidades educativas, necesidades no diagnosticadas y/o altas
capacidades, pero si requieren atención específica.
− Conocer las medidas organizativas que se deben adoptar, como la ubicación de
espacios, planificación de refuerzos, gestión de tiempos grupales, etc.
− Establecer conclusiones tanto de las medidas curriculares como de los recursos a
emplear.
− Estudiar qué modelo de seguimiento será necesario en cada caso.
6.9.1. Programas de refuerzo
• Refuerzo en el área de Matemáticas. Dirigido especialmente a:
− El alumno que no ha promocionado de curso.
− El alumno que, a pesar a haber promocionado, tiene pendiente alguna de las
asignaturas de matemáticas de cursos anteriores.
− Los alumnos que requieren refuerzo en matemáticas al acceder a 1º de ESO.
− Aquellos alumnos que muestren dificultades en la asignatura en cualquier momento
del curso.
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
45
• Recuperación de contenidos no adquiridos. (Plan de asignaturas pendientes)
El estudiante que promocione de curso sin haber superado alguna de las asignaturas
de matemáticas del curso anterior deberá seguir un programa de refuerzo específico
para recuperar el aprendizaje no adquirido, además deberá aprobar la evaluación que
corresponda a este programa.
Estos programas de refuerzo incluirán tanto las actividades programadas para el
seguimiento, como la atención personalizada que el alumno necesite para superar la
asignatura de matemáticas que tenga pendiente.
• Planes específicos para el alumnado que no promocione de curso.
El alumno que no promocione de curso también seguirá un programa personalizado,
dirigido a superar las dificultades detectadas durante el curso anterior.
Estos planes pueden considerar que los alumnos se incorporen a programas de
refuerzo matemático, además de realizar diversas actividades programadas destinadas
a poder mantener un seguimiento personalizado.
6.9.2. Programas de adaptación curricular:
• Adaptación Curricular Significativa para alumnado con necesidades educativas
especiales.
Se trata de realizar una adaptación curricular no significativa a alumnos que
presenten graves dificultades de aprendizaje, o de alcanzar el currículum establecido,
ligadas a discapacidad o trastornos graves de conducta, por una tardía incorporación al
sistema educativo o con una situación social desfavorecida.
• Adaptación Curricular para el alumnado con altas capacidades intelectuales.
Estos programas deberán contemplar actividades y tareas de carácter motivador para
lograr una alternativa metodológica al programa curricular. Estas actividades deberán
estimular los intereses del alumno y el vínculo con su entorno cultural y social,
especialmente aquellas actividades que ayuden a la expresión y a la comunicación tanto
oral como escrita y un gran control en la competencia matemática.
La siguiente tabla presenta un posible modelo de plantilla para el control de las
diferentes necesidades de adaptación curricular del alumnado.
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
46
Tabla 6. Programación de apoyos a necesidades educativas especiales.
PROGRAMACIÓN DE APOYOS A NECESIDADES EDUCATIAS ESPECIALES
ALUMNOS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Álv
arez
Gar
cía,
Ben
ito
Álv
arez
Ro
drí
guez
, Em
ilio
Álv
arez
Tam
argo
, Mar
ía
Ast
ray
Sán
chez
, Ju
lio
Bar
rera
Cu
ervo
, Mo
isés
Bla
nco
Cu
é, G
raci
ela
Cam
po
Rilo
, Pau
la D
el
Co
rté
s-ec
hán
ove
Gar
cía,
Jai
me
Día
z U
bie
ta, Í
ñig
o
Fern
ánd
ez E
spin
a, B
run
o
Fern
ánd
ez F
ern
ánd
ez, H
écto
r
Fern
ánd
ez S
om
oan
o, P
ed
ro
Atención individualizada para la realización de
actividades propuestas en el aula
Adaptación de las actividades
programadas
Atención individualizada para realizar actividades
adaptadas dentro y fuera del aula
Adaptación curricular significativa por NEE.
Adaptación curricular por alta capacidad
intelectual.
Adaptaciones en el
material curricular por tardía incorporación en
el SE.
6.10. Temporalización
Se pretende ser flexible en los tiempos necesario para cada actividad dependiendo
de las necesidades que tenga cada estudiante, ya que estos serán los que marquen el
ritmo de aprendizaje. Sabiendo que la duración del curso es de 30 semanas
aproximadamente, y que sólo se asignan 4 horas semanales a esta materia, habría una
estimación de 120 sesiones por curso, 8 de las cuales se destinarían a esta unidad
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
47
didáctica, más una sesión extra dedica a la prueba de evaluación que constará de 2
temas. En teoría esta temporalización sería insuficiente para poder dar todos los puntos
que contiene este tema, ya que, para una correcta asimilación por parte del alumnado,
sería necesario aumentar el número de horas lectivas o disminuir los contenidos a
impartir, pero esto resulta imposible, ya que los contenidos vienen marcados por el
ministerio de educación, y aumentar las horas es imposible en un sistema educativo que
tiene, en comparativa, más festividades y celebraciones que días hábiles de docencia.
Por este motivo expongo la temporalización reglada, y comparada con diversos centros
de enseñanza, aunque en mi opinión debería extenderse el periodo de docencia
reduciendo en días “festivos” como son el día de la Paz, por ejemplo.
Tabla 7. Temporalización.
SESIONES BLOQUE TEÓRICO EJERCICIOS
Sesión 1
Qué son los vectores y cómo se utilizan en las traslaciones. Cómo se representa una recta a partir de su ecuación. Qué son las ecuaciones lineales y cómo se representan sus soluciones. Cómo se resuelven sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Determinación de vectores. Operaciones con vectores.
Sesión 2 Vectores en el plano. Operaciones. Operaciones con vectores libres.
Operaciones con vectores libres.
Sesión 3
Coordenadas de un vector. Vector de posición de un punto. Coordenadas de un vector. Operaciones con vectores mediante sus coordenadas.
Operaciones de vectores mediante sus coordenadas.
Sesión 4
Aplicaciones de los vectores. Módulo de un vector. Distancia entre dos puntos. Punto medio de un segmento. Relación entre las coordenadas de tres puntos alineados.
Aplicaciones de los vectores. Relación entre las coordenadas de un vector.
Sesión 5
Ecuaciones de la recta. Ecuación vectorial de una recta. Ecuaciones paramétricas de una recta. Ecuación continua de una recta.
Ecuaciones vectoriales
Sesión 6 Ecuación general o implícita de una recta. Ecuación punto-pendiente de una recta. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
Ecuaciones vectoriales
Sesión 7 Incidencia y paralelismo de rectas. Posiciones relativas de dos rectas.
Paralelismo y posiciones relativas de dos rectas.
Sesión 8 Geogebra: resolución de problemas.
Elementos de un vector y sus operaciones. Ecuaciones de una recta. Incidencia y paralelismo de rectas.
6.11. Evaluación
• Procedimientos:
− Buen uso de vocabulario matemático a la hora de expresarse en público.
− Actitud positiva, interés, participación y saber estar en clase y ante la materia.
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
48
− Puntualidad, asistencia regular y cuidado del material.
− Limpieza y orden en el cuaderno de trabajo de la asignatura ya que es un
herramienta tanto de aprendizaje como de control.
• Instrumentos:
− Realización de los ejercicios planteados para casa.
− Notas obtenidas en clase por respuestas puntuales a preguntas realizadas
− Comentarios acertados dentro de la dinámica de las explicaciones del mismo.
− Resolución, por parte del alumno, de ejercicios en la pizarra.
− Observación y anotaciones del cuaderno.
• Pruebas escritas:
− Con este tipo de pruebas se evaluarán, de manera objetiva, los contenidos
que el alumno ha asimilados.
− Pruebas de carácter parcial: Controles cada una o dos unidades sobre los
contenidos de la materia.
− Pruebas globales al finalizar cada evaluación, sin exclusión de las pruebas
parciales aprobadas.
Un ejemplo de prueba parcial de dicha unidad didáctica se presenta a continuación.
Prueba parcial – Geometría Analítica.
Conocer los vectores 1. Busca los vectores, en la imagen de la derecha, que cumplan los siguientes apartados:
a) Dos vectores con igualdad de módulo y dirección, pero con distinto sentido.
b) Dos pares de vectores equipolentes. c) Dos vectores con igual sentido y dirección, pero
diferente módulo.
Obtener y operar coordenadas vectoriales 2. Dados los puntos 𝑃(−1,3), 𝑄(4,0) y 𝑅(3,−5), calcula las coordenadas
correspondientes a los vectores propuestos y represéntalos en el eje de coordenadas:
a) 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ b) 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ c) 𝑄𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ d) 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗
3. Dado el punto 𝑃(−2,5), calcula las coordenadas del punto Q para que el vector 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ sea el indicado en cada apartado:
a) 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (4,−3) b) 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (0,2) c) 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−1,9) d) 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (7,0) 4. Dados los vectores (-1,-2), (4,-3) y (2,6), halla las coordenadas vectoriales resultantes
tras realizar las siguientes operaciones: a) �⃗� + 𝑣 + �⃗⃗� b) 𝑣 − �⃗⃗� + �⃗� c) −3𝑣 + �⃗⃗� d) 2�⃗� + 4�⃗⃗�
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
49
Resolución de problemas de geometría analítica 5. Determina el módulo de los vectores siguientes:
a) �⃗� (0,2) b) 𝑣 (−1,3) c) �⃗⃗� (5, −10) d) 𝑠 (−4,−3) 6. Calcula la distancia entre P y Q en cada caso, así como el punto medio de PQ:
a) 𝑃(−2,−2), 𝑄(1,0) b) 𝑃(4,3), 𝑄(−5,8) c) 𝑃(1,2), 𝑄(3,6) d) 𝑃(6,9), 𝑄(−1,−2)
Reconocer y expresar las diferentes formas en que se presenta la ecuación de una recta 7. Describe todas las posibles formas de escribir la ecuación de una recta sabiendo que
pasa por un determinado punto 𝐴(−6,−1) y que su vector dirección es �⃗� = (4,−5). 8. Calcula la pendiente, el vector de dirección y un punto para las siguientes rectas y
expresa sus ecuaciones de todas la formas posibles: a) (𝑥, 𝑦) = (−1,1) +
(3,2)𝑡 b)
𝑥 = −3 + 2𝑡𝑦 = 5 + 6𝑡
}
c) −2𝑥 − 6𝑦 + 1 = 0
d) 𝑦 = 6𝑥 − 1
e) 𝑥−4
7=
𝑦
−3
9. Halla la ecuación general de la recta que cumple con lo indicado en cada uno de los siguientes epígrafes a) Pasa por 𝐴(9, −2) y 𝐵(−6, 10). b) Pasa por 𝐴(0, 3) y 𝑚 = 5. c) Pasa por 𝐴(5, −1), además es paralela a la recta que contiene a 𝐵(4, 9) y 𝐶(1, 1). d) Pasa por 𝐴(6, −3) y posee idéntica pendiente que la recta 3𝑥 − 𝑦 − 6 = 0.
Estudias la posición relativa de dos rectas 10. Estudia la posición relativa de las siguientes parejas de rectas:
a) 𝑟:𝑥 = −4 − 𝑡
𝑦 = 5𝑡} 𝑠:
𝑥 = 3𝑡𝑦 = 4
}
b) 𝑟: − 𝑥 + 8𝑦 − 5 = 0𝑠: 4𝑥 − 32𝑦 + 20 = 0
c) {𝑟: 𝑦 = −3𝑥 − 1𝑠: 𝑦 = 6𝑥 + 2
d) {𝑟:
𝑥−5
9=
𝑦+1
6
𝑠: 𝑦 =2
3𝑥+1
• Evaluación docente - Autoevaluación
A continuación, se presenta una plantilla de autoevaluación docente, la cual evalúa
la adecuación de la planificación mediante parámetros como: Preparación de clases y
materiales didácticos, uso de metodologías adecuadas, regularización de la práctica
docente, evaluación de procesos de aprendizajes e información extraída y compartida
con alumnos y familiares y utilización de medidas para la atención a la diversidad.
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
50
.EVALUACIÓN DE LA PRÁCTICA DOCENTE
ADECUACIÓN DE LA PLANIFICACIÓN RESULTADOS ACADÉMICOS
PROPUESTAS DE MEJORA
Preparación de clases y materiales didácticos
El desarrollo de las clases es coherente con lo programado y el desarrollo de las clases.
La distribución temporal es equilibrada.
el desarrollo de la clase se adecua a las características del grupo.
Uso de metodologías adecuadas
El aprendizaje significativo se han tenido en cuenta, teniendo en cuenta la
interdisciplinariedad.
La metodología fomenta la motivación y el desarrollo de las capacidades del alumno.
Regularización de la práctica docente
Grado de seguimiento de los alumnos.
Validez de los recursos utilizados en clase en cuanto a los aprendizajes.
Los criterios de promoción están consensuados entre los profesores.
Evaluación de procesos de
aprendizajes e información extraída
y compartida con alumnos y familiares
Los criterios para una evaluación positiva están vinculados a los objetivos y
contenidos.
Los instrumentos de evaluación permiten inspeccionar numerosas variables del
aprendizaje.
Los criterios de calificación están en concordancia con a la tipología de
actividades planificadas.
Se han dado a conocer, tanto a alumnos como a familiares, los criterios de
evaluación y calificación.
Utilización de medidas para la
atención a la diversidad
Se adoptan medidas para la detección de dificultades de aprendizaje con antelación.
Se ofrecen respuesta tanto a las diferentes capacidades como a los diferentes ritmos
de aprendizaje.
Son suficientes tanto las medidas como los recursos ofrecidos.
Aplica medidas extraordinarias recomendadas por el equipo docente
atendiendo a los informes psicopedagógicos.
Tabla 8. Evaluación de la práctica docente.
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
51
7. Conclusiones
El principal objetivo del presente trabajo fin de Máster ha sido desarrollar y
fundamentar una metodología para la enseñanza del tema “Geometría Analítica” de la
asignatura de matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas de 4º de ESO.
1. En relación al objetivo, diversos artículos, informes y estudios, tanto
nacionales como internacionales, han puesto de manifiesto la necesidad de
una modificación de la enseñanza de las matemáticas en nuestro país. A pesar
de que informe PISA de 2018, sitúa a España en el puesto número 11 del
ranking, además de en el primer puesto con los 20 colegios seleccionados de
la Asociación de Colegios Privados e Independientes (CICAE) española, este
hecho no refleja la realidad de los centro públicos, ya que, tras la realización
del prácticum, he podido comprobar en primera persona la carencia de
conocimientos de aplicabilidad de la disciplina matemática a otras
asignaturas, así como a la vida cotidiana.
2. Se han recopilado los contenidos y competencias básicas propuestos en el
“Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre, por el que se establece el
currículo básico de Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato, el BOE
núm. 3, 3 de enero de 2015 y el Decreto 111/2016, de 14 de junio, por el que
se establece la ordenación y el currículo de la Educación Secundaria
Obligatoria en la Comunidad Autónoma de Andalucía y el BOJA núm. 122, 28
de junio de 2016 y la Orden de 14/7/2016, por los que se desarrolla el currículo
correspondiente a la Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad
Autónoma de Andalucía”. Considerándose, por tanto, que este trabajo
cumple la legislación vigente.
3. A pesar de que en un principio la idea original de este trabajo fin de máster
era realizar una unidad didáctica innovadora, haciendo uso de tecnologías TIC,
como son el caso aplicaciones informáticas como GeoGebra y otros softwares
similares (Cabri, Wiris), aplicaciones Android y otras applets, he optado por
desarrollar una unidad didáctica basada en una metodología activa y
dinámica, de modo que ayude a la participación del alumnado en el aula,
haciendo que las situaciones-problema expuestas en clase generen aspectos
intuitivos y manipulativos que, de forma gradual, serán asumidos por el
alumno de una manera lógica – formal.
Trabajo fin de Máster Jaime Alcántara Durán
52
8. Referencias bibliográficas
Battista, M. (2007). The development of geometric and spatial thinking. En F. Lester,
(Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 843-
908). Charlotte, NC: Information Age.
Barrantes-Campos, H. (2001). Introducción a la matemática. Ed: EUNED
Breda, A., Font, V. y Lima, V. M. R. (2015). A noção de idoneidade didática e seu uso na
formação de professores de matemática. Jornal Internacional de Estudos em
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