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61
Capítulo VII
Análisis de esfuerzos en uniones de tapas
Una vez que se comprendió la teoría de recipientes, ahora se comprobará, mediante
tres métodos diferentes que los valores son similares. Los métodos son los siguientes:
1. Por Teoría de Flexión y Membranal
2. Por las instrucciones dadas en el manual ASME para Pressure Vessels división I y II.
3. Por el software Algor.
En este capítulo se comprenderá muy fácilmente como es la discontinuidad y la teoría de
flexión, así como los diferentes usos que se tienen para las diferentes tipos de tapas. A
continuación se resolverá un recipiente cilíndrico con presión interna y tapas planas, y
posteriormente, un recipiente cilíndrico sometido a presión interna con tapas semiesféricas.
Los parámetros a tomar en cuenta son:
Diámetro del contenedor: 1 m
Longitud del recipiente: 1.5 m
Presión interna: 1 bar
Espesor (para tapa y cilindro) .00635 m
Tomando en cuenta el espesor como si no se conociera, se busca en:
( )( )PES
RPt
*-*
*=
6.0 y resulta que podemos utilizar el menor espesor, que es .00635 m.
7.1 Recipiente cilíndrico con tapas planas mediante teoría de flexión.
62
Ecuaciones del recipiente
D
Qo
D
Mo
tE
RPWo
*2*221
32
2
bbu
-+˜¯
ˆÁË
Ê -*
*= (7.1)
2*2*0
bbq
D
Qo
D
Moo +-= (7.2)
Ya que se han obtenido las fórmulas para la carcaza, se obtienen las fórmulas para la tapa.
Mediante superposición se obtiene:
Para el caso debido a la fuerza Qo se obtiene:
˜˜˜
¯
ˆ
ÁÁÁ
Ë
Ê-
=2
*1
tQo
RE
Wou
(7.3)
qo = 0 (7.4)
Wo= 0 (7.5)
( )qu
oP R
D= -
+
* 3
28 1Donde ( )D
E t2
32
212 1=
-
*
u
Wo=0 (7.6)
( )qu
oMo R
D=
+
*
2 1(7.7)
Una vez que se obtuvieron las fórmulas tanto para la carcaza como para la tapa, se igualan las
fórmulas y se obtiene Wo y qo.
Wo(carcaza)=Wo(tapa)
Figura 7.1
63
D
Qo
D
Mo
tE
RP
*2*221
32
2
bbu
-+˜¯
ˆÁË
Ê -*
*=
˜˜˜
¯
ˆ
ÁÁÁ
Ë
Ê-
2
*1
t
QoR
E
u
(7.8)
Y qo(carcaza)=qo(tapa)
( )2*2* bb D
Qo
D
Mo+- = ( )-
+
P R
D
* 3
28 1 u+ ( )
Mo R
D
*
2 1+ u(7.9)
Ya teniendo éstas dos ecuaciones se resuelve mediante matrices para obtener los siguientes
resultados:
Mo=1633.51N*m/m
Qo=37962.2N/m
De estas ecuaciones se van a obtener los esfuerzos principales, así como el espesor
mínimo necesario.
En la carcaza:
MPat
Mo1.243
621 ==s
MPat
M92.72
62
22 ==s donde M Mo2 = u *
q Mo=0 para x=0 kPaRD
QotE866
***2
**3
==b
t
P MPat
RPt 88.7
*==s
64
MPat
RPl 94.3
*2
*==s
Se suman los esfuerzos por teoría membranal y los esfuerzos por teoría
de flexión y da como resultado:
MPat
RP
t
MoTOTALt 94.250
**62
=+=-
us
MPat
RP
t
MoTOTALl 86.76
*2
**62
=+=-s
7.2 Recipiente cilíndrico con tapas planas mediante ASME
Al igual que en la teoría de flexión, se van a obtener las ecuaciones para el
desplazamiento radial y el desplazamiento angular. A continuación se presenta las ecuaciones
para una de las tapas planas.
1. Tapa
( ) ( ) ooB MRtRE
FQ
RtE
Fw
233
/*/**3
*2+-= (7.10)
( ) ooB MRtRE
FQ
RtRE
F32
32
3
/**
*2
)/(**-=q (7.11)
Donde F3 es una constante geométrica obtenida en el manual ASME, sección VII, división 2,
tabla 4-540.1, con F3=3.8538
65
Se colocan los valores de espesor (t), radio (R), y módulo de elasticidad del material y
se obtienen los siguientes valores:
ooB MQw 99 10*936.23810*00115.1 -- +-= (7.12)
ooB MQ 69 10*2555.7510*936.238 -- -=q (7.13)
2. Para el caso del recipiente cilíndrico:
ooB MD
BQ
D
Bw
**2**2 212
211
bb+= (7.14)
ooB MD
BQ
D
B
**2**222
212
bbq += (7.15)
Donde
( ) ( )( )( ) ( )( )( )
Bsinh L sin L
sinh L sin L11 2 2
2 2
2 2 2=
-
-
b b
b bB11 10ª .
( ) ( )( )( ) ( )( )( )
BL L
sinh L sin L12
2
2 2
2 2
2 2 2=
-
-
cosh cosb b
b bB12 10ª .
( ) ( )( )( ) ( )( )
Bsinh L sin L
sinh L sin L22 2 2
2 2=
+
-
b b
b bB22 2 0ª .
Al igual que en el paso anterior, se colocan los valores y se obtiene:
ooB MQw 99 10*484.20710*15285.9 -- +-= (7.16)
ooB MQ 69 10*40683.910*484.207 -- -+=q (7.17)
66
A continuación se hacen los cálculos de desplazamiento debido a la presión.
3. Para el caso de la tapa plana
( )P
RtE
FB 3
1
/=q 210019.0=Bq
Donde F1 es una constante geométrica obtenida en el manual ASME sección VII división 2,
tabla 4-540.1 F1=0.8604
cB
tw q
2-
= 000666811.-=Bw m
4. Para el caso del recipiente cilíndrico
( )( ) ( )[ ]w P
R
E Ro R RmRm RoB =
-- + +
2
2 2
2 21 2 1u u (7.18)
wB = -16 8943 10 6. * m
qB = 0
Una vez que se tienen los valores anteriores, se igualan las ecuaciones ya que los
desplazamientos son iguales para el recipiente y la tapa.
tapawrecipientew BB =
666811936.23800115.16.16894484.20715285.9 -+-=++- oooo MQMQ (7.19)
taparecipiente BB qq =
610*099.2105.75255936.23883.9406484.207 +-=- oooo MQMQ (7.20)
Ya que se tienen estas ecuaciones se obtienen los valores de QL y ML.
mNQo /6380=
mNmM o /2479=
Con estos valores se sustituyen en la ecuación de desplazamiento radial, ya sea la de
la tapa o la del recipiente. Por facilidad se sustituyen en la del recipiente y se obtiene:
67
w mB = -0 000323.
A continuación, se sustituyen los valores para encontrar los esfuerzos debido a
flexión.
MPat
M ol 369
*62
==s
( )MPa
t
M
tR
wE oBt 085.239
**6
2/
*2
=++
=u
s
s r = 0
Ya que se tienen los esfuerzos debido a flexión, se van a sumar a los esfuerzos debido
a la presión interna, para obtener los esfuerzos principales totales.
( )( ) MPaY
ZPMPattt 956.24687386.7604.247
1
1085.239
2
2
21 =+=-
++=+= sss
( ) MPaY
PMPalll 912.372912.3369
1369
221 =+=-
+=+= sss
( )( ) kPaY
ZPrrr 53.49
1
10
2
2
21 -=-
-+=+= sss
Donde
Z R Ro m= /
Y R Ro= /
Von Misses MPallttEq 32922. ª+-= sssss
7.3 Recipiente cilíndrico con tapas planas mediante Algor
68
Ya teniendo los valores obtenidos de acuerdo a los métodos anteriores, se compara
con los valores resultantes mediante el software Algor. Los parámetros para esto son los
mismos que se usaron para los métodos anteriores.
Diámetro del contenedor: 1 m
Longitud del recipiente: 1.5 m
Presión interna: 1 bar
Espesor (para tapa y cilindro) .00635 m
Figura 7.2
69
Figura 7.3
Al comparar los resultados se tiene
que los esfuerzos resultantes son mayores a
los obtenidos que en los métodos anteriores.
Esto se debe, en gran parte a la forma en que se establecieron las condiciones de frontera, y
que de cierta forma aumentan los esfuerzos del contenedor.
7.4 Recipiente cilíndrico con tapas semiesféricas mediante Teoría de
recipientes
1. Tapa hemisférica=Recipiente (debido a la presión interna)
( ) ( )2/1*
*
2
1
*
*
1
2
2
2
uu
-=-
=tE
RP
tE
RPw (7.21)
00 ==q
Tapa Plana
MétodoEsfuerzos Teoría ASME ALGOR
Longitudinal 251 373 420Tangencial 77 247
* unidades enMpa
70
2. Ecuaciones de la tapa
ooA MtE
QtE
Rmw
*
*2
*
**2 2ll+= (7.22)
ooA MtERm
QtE **
*4
*
*2 32 llq += (7.23)
Donde
( )( )
422
2
*
1*3
tR
ub
-= y l b= * Rm
3. Ecuaciones del recipiente
ooB MD
QD
w**2
1
**2
123 bb
+-
= (7.24)
ooB MD
QD **2
1
**2
12 bb
q-
+= (7.25)
Una vez obteniendo las ecuaciones para la tapa y el recipiente, se igualan los
desplazamientos para encontrar los valores de momento y fuerza.
( ) ( )2
1
*
*21
*
*
**2
1
*
*2
**2
1
*
**2
2
2
1
2
22
2
32
uu
b
l
b
l ---=˜̃
¯
ˆÁÁË
Ê-+˜̃
¯
ˆÁÁË
Ê+
tE
RP
tE
RPM
DtEQ
DtE
Roo
(7.26)
0**2
1
**
*4
**2
1
*
*2
2
3
22
2
=˜̃¯
ˆÁÁË
Ê++˜̃
¯
ˆÁÁË
Ê- oo M
DtERQ
DtE bl
bl (7.27)
71
52.98426102.20195.18 =+ oo MQ
05.188746102.2 =+ oo MQ
Mo=-0.07554Nm/m
Qo=546.277N/m
kPat
M Ll 24.11
*62
==s
kPat
M Lt 37.3
**62
==u
s
s r = 0
Ya que se tienen los esfuerzos debido a flexión, se van a sumar a los esfuerzos debido
a la presión interna, para obtener los esfuerzos principales totales.
MPat
RPkPattt 88.7
*37.3
121 =+=+= sss
MPat
RPkPalll 94.3
*2
*37.3
121 =+=+= sss
7.5 Recipiente cilíndrico con tapas semisféricas mediante ASME
Recipiente cilíndrico con tapas esféricas mediante los métodos de cálculo de ASME sección
VII, división II para discontinuidades.
Para el caso del desplazamiento radial y angular en las tapas esféricas se tiene que
1. Tapa
ooA MtE
QtE
Rmw
*
*2
*
**2 2ll+= (7.28)
72
ooA MtERm
QtE **
*4
*
*2 32 llq += (7.29)
Donde
( )( )
bu
=-
+
3 1
2
2
2 24
*
/ *R t ty l b= * Rm
Se sustituyen los valores de acuerdo al material y da como resultado,
w Q MA o= +- -9 03843 10 204 89 1090
9. * . * (7.30)
qA o oQ M= +- -204 89 10 9 28923 109 6. * . * (7.31)
A continuación se calcula el desplazamiento debido a la presión,
2. Tapa debido a presión
( )( ) ( )[ ]w P
R
E Ro R RmRm RoA =
-- + +
3
3 3
3 31 2 1u u (7.32)
wA = -6 92693 10 6. * m
3. Para el caso del recipiente se tiene:
ooB MD
BQ
D
Bw
**2**2 212
211
bb+
-= (7.33)
73
ooB MD
BQ
D
B
**2**222
212
bbq -= (7.34)
Donde
( ) ( )( )( ) ( )( )( )
Bsinh L sin L
sinh L sin L11 2 2
2 2
2 2 2=
-
-
b b
b bB11 10ª .
( ) ( )( )( ) ( )( )( )
BL L
sinh L sin L12
2
2 2
2 2
2 2 2=
-
-
cosh cosb b
b bB12 10ª .
( ) ( )( )( ) ( )( )
Bsinh L sin L
sinh L sin L22 2 2
2 2=
+
-
b b
b bB22 2 0ª .
Al igual que en el paso anterior, se colocan los valores y se obtiene:
w Q MB o o= - +- -915285 10 207 484 109 9. * . * (7.35)
qB o oQ M= -- -207 484 10 9 40683 109 6. * . * (7.36)
4. Para el caso del recipiente cilíndrico
( )( ) ( )[ ]w P
R
E Ro R RmRm RoB =
-- + +
2
2 2
2 21 2 1u u (7.37)
wB = -16 8943 10 6. * m
Se igualan los desplazamientos para calcular Mo y Qo
w wA B=
9 03843 10 204 89 10 6 92693 10 9 15285 10 207 484 10 16 8943 109 9 6 9 9 6. * . * . * . * . * . *- - - - - -+ + = - + +Q M Q Mo o o o
(7.38)
q qA B=
204 89 10 9 28923 10 207 484 10 9 40683 109 6 9 6. * . * . * . *- - - -+ = -Q M Q Mo o o o
(7.39)
74
Se reducen las ecuaciones tanto de desplazamiento radial como de desplazamiento
angular y quedan estas dos ecuaciones:
181913 2 59 9967 37. . .Q Mo o- = (7.40)
- + =2 59 186961 0. .Q Mo o (7.41)
Se resuelven estas ecuaciones para obtener Mo y Qo
Nm/m 0.0759=Mo
547.93N/m=Qo
A continuación se sustituyen los valores para conocer el valor de los esfuerzos.
kPat
M Ll 31.11
*62
==s
( )kPa
t
M
tR
wE LBt 58.3
**6
2/
*2
=++
=u
s
s r = 0
Ya que se tienen los esfuerzos debido a flexión, se van a sumar a los esfuerzos debido
a la presión interna, para obtener los esfuerzos principales totales.
( )( ) MPaMPakPaY
ZPkPattt 88.787386.758.3
1
158.3
2
2
21 =+=-
++=+= sss
( ) MPaY
PKPalll 92.39122.3311.11
1311.11
221 =+=-
+=+= sss
( )( ) KPaY
ZPrrr 53.49
1
10
2
2
21 -=-
-+=+= sss
Von Misses MPallttEq 8.622. ª+-= sssss
75
Donde
Z R Ro m= /
Y R Ro= /
7.6 Recipiente cilíndrico con tapas hemisféricas mediante Algor
Para comparar utilizamos un diseño en Algor. Los valores observados anteriormente
van a variar a comparación de los resultados obtenidos en Algor debido a la forma en que
fueron establecidas las condiciones de frontera.
Las dimensiones son:
Diámetro del contenedor: 1 m
Longitud del recipiente: 1.5 m
Presión interna: 1 bar
Espesor (para tapa y cilindro) .00635 m
Figura 7.4
76
Figura 7.5
Los esfuerzos
resultantes son más
cercanos para este caso.
Una vez más, la forma en
que se establecen las
condiciones de frontera ó
por decirlo más sencillo,
la forma en que fue soportado el contenedor.
Tapahemisférica
MétodoEsfuerzos Teoría ASME ALGOR
Longitudinal 3.94 3.92Tangencial 7.88 7.88 7.8
* unidadesen Mpa
Al analizar los resultados obtenidos para los recipientes con tapas planas y
hemisféricas, tenemos que, debido a las tapas hemisféricas, los esfuerzos por teoría de
flexión se reducen bastante y por lo tanto los esfuerzos principales.
Cabe aclarar, que son de mayor uso las tapas hemisféricas debido a que proporcionan
mayor resistencia y por lo mismo se pueden aumentar la presión ó disminuir el espesor.
Este análisis fue solamente para comparar tapas planas y hemisféricas en los
contenedores. Aunque no es tópico específico de este proyecto, la manufactura de una tapa
hemisférica es de mayor costo que el de una plana, así como su elaboración.