Transcript of Cálculo Integral con Aplicaciones
- 1. QA603 G69 FRANCISCO GRANERO 1111111111/1 1/11111111
1/11111111l1li1111/111/1/ 1111111111111 0233000604 CALCULO INTEGRAL
Y APLICACIONES francisco Granero http://gratislibrospdf.com/
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- 3. Clculo Integral y Aplicaciones
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- 5. Clculo Integral y Aplicaciones Francisco Granero Doctor
Ingeniero Industrial Profesor Titular de Matemtica Aplicada E.T.S.
Ingenieros Industriales y de Telecomunicaciones de Bilbao
Universidad del Pas Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea Prentice
Hall ------Madrid. Mxico. Santaf de Bogot . Buenos Aires. Caracas.
Lima . Montevideo San Juan. San Jos . Santiago. Sao Paulo White
Plains http://gratislibrospdf.com/
- 6. / datos de catalogacin bibliogrfica GRANERO, F. CLCULO
INTEGRAL Y APLICACIONES PEARSON EDUCACI N, S. A., Madrid, 2001
ISBN: 84-205-3223-1 Materia: Clculo integral: 517 Formalo 195 X 250
Pginas: 312 Todos los derechos reservados No est permitida la
reproduccin total o parcial de esta obra ni su tratamiento o
transmisin por cualquier medio o mtodo, sin autorizacin escrita de
la Editorial. DERECHOS RESERVADOS 2001 PEARSON EDUCACIN, S. A. Nez
de Balboa, 120 28006 MADRID FRANCISCO GRANERO CLCULO INTEGRAL Y
APLICACIONES ISBN: 84-205-3223-1 Depsito legal: TO. 1112- 2001
PRENTICE HALL es un sello editorial autorizado de PEARSON EDUCACIN,
S. A. Equipo editorial: Editora: Isabel Capella Asistente
editorial: Sonia Ayerra Equipo de produccin: Director: Jos Antonio
CIares Tcnico: Jos Antonio Hernn Diseo de cubierta: Mario Guindel,
Yann Boix y La Senz Composicin: COPIBOOK Impreso por: GRAFILLES
IMPRESO EN ESPAA - PRINTED IN SPAIN Este libro ha sido impreso con
papel y tintas ecolgicos http://gratislibrospdf.com/
- 7. A Alicia, Patxi, Joseba y muy especialmente a Arantza
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- 9. eontenido PRLOGO XI 1. INTEGRALES DEFINIDAS SIMPLES
......... . ..... ..... . .. ... ......... ... . . 1.1. La integral
de Riemann . . . . . ........................................ .
.... 1 Algunas condiciones suficientes de integrabilidad .. ...
.... .......... ....... 4 Propiedades de la integral de Riemann ...
. ......................... . . .. . ... 5 Teoremas fundamentales
del Clculo integral . . ..... .. .. ... ................ 8
Aplicaciones al clculo de reas planas ............... . . .
.......... .. ...... 9 Generalizacin de la regla de Barrow .. .....
.. .... .. ..... .. . . .... .. . ... .... 11 1.2. Integrales
impropias . . .. . . .. ... ... ..... . . . .... . ...... .. .. .
........ . . .. . .. 12 Carcter de una integral impropia .....
.......... ..... .. .... ..... . ... ... .... 13 Caso en el que el
intervalo de integracin es infinito ..... . ...... . . . . . ....
.. 14 Caso en el que la funcin subintegral f(x) no es acotada .....
.. .... ... ... . . 16 1.3. Integrales eulerianas ...............
.. . ...... . .. . . . . .. .. ............ . ..... . 17
Convergencia y clculo de la funcin rep) .............. . . ... .. .
.. . ... . .... 17 Prolongacin de la funcin Gamma .... ......... .
... .. . .... . . .. ...... . .. ... 20 La funcin euleriana B(p, q)
.. .... ... .. . .. ... .. ..... .. ...... .. . ...... . .. .. . 21
1.4. Integrales paramtricas .. . ...... .... . . .. .. . ... . . .
...... ... . . ....... . .. . .. 25 Propiedades de las integrales
paramtricas . .. . ................. .... . .. . .... 26
Aplicaciones de la derivacin paramtrica .. .. . . . .. . ...... .
.. .. .. . ... ...... . 29 1.5. Aplicaciones de la integral
definida simple .......... . ..... . ...... . ... .... 29 reas
planas en coordenadas paramtricas y polares ..... ... .... . . ....
.. . .. . 30 Longitud de un arco de curva .. .... ....
............... . .. . .. . .. . . . ......... 33
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- 10. VIII Contenido Volumen de un slido de secciones conocidas .
.... . .. . . .. .. ... . .... . . .. . .. 38 Volumen de un slido
de revolucin .... . .......... . . . .. . . . .... . ... .. . . ..
. . 40 rea lateral de un slido de revolucin ..... .. ...... . ....
. .. ....... . ..... . . 41 Centros de gravedad o centroides . ..
.......... . . . ... . .......... . .... .... . . . 44 Momentos de
inercia . . .............. . . . ..... .. .. .. . . ..............
. ... ... . 50 Ejercicios resueltos ....... . . . .. . . ... . . .
.. .... . . .... .. ...... . . ...... . . . .. . ... .... 58
Ejercicios propuestos ... . . .. . .. . . . ............ . .... .
.. . .. .. . . ... . .. . ............ 83 2. INTEGRALES
CURVILNEAS....................... . . . . . ... . .. .. . ... . .
.. . ... 99 2.1. Introduccin... .. .. . . . .. . .. . ... . ... .
..... .. . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99 2.2. Integrales curvilneas en R 2 . . ..... . ........ .... . .
....... .. . .. . . 99 Propiedades ................ . .. . .. . . .
.. . . .. .... . ........ ....... ... .. . . .. .... 100 Resolucin
de una integral curvilnea en R2 .. .. . . . . . . . .. . ... ... .
. . ... .. .. . . . 101 2.3. Integrales curvilneas en R 3 . . .. .
. . .. . . .... . . . ....... . . . . .. . .... . ... . ... 105
2.4. Integral curvilnea de una funcin vectorial en R2 .. .
........... . ... .. . . 109 Propiedades y clculo .............. .
... .. .......... . .... ... .... ...... .. . .. 109 Independencia
del camino. Funcin potencial ..... . .. . .. . ...... . .. . .. .
.. . . . 111 Independencia del camino con puntos singulares . . ...
. ... . .. . .. . .. ..... . ... 115 2.5. Integral curvilnea de una
funcin vectorial en R3 .. . . .. .... . . .. .. 117 Ejercicios
propuestos .. ............ . ..... . ..... . ... .. . .. .... . . .
.... . .... .. . ..... 119 3. INTEGRALES DOBLES.. ... .............
... .. . . .. . . . . .... . .. . ...... . . . ... .... 125 3.1. La
integral doble . .. .. . .. . . .. ..... . ... . .. .. . .. . . ...
.. . .. . .. . . ... . .. .. . . . . . 125 Clculo de reas planas
... . .. . . ................. . . .. . ... . . . ...... .. . .
...... 125 Clculo de volmenes . . .. . . .........................
. ..... . ... . ... . .... . .. 127 Cambio de variables en una
integral doble ..... . . . ...... . .............. .. . . 131
Teorema de Green .. . . . . .. . .... . ... . .................. .
... . . . ........ . .... . 135 Simplificaciones en el Clculo de
una integral doble . .. . .. . ..... . .. . . . . .. .. 139 Clculo
de reas de superficies .............. . ................ ..
........... 140 Integral de superficie de una funcin escalar ....
... . .. .. ... . . .. ... . .. .. ... . 143 Integral de superficie
de una funcin vectorial . .. . .. ... . . . ... . ... .. ... . . .
. . 146 Teorema de Stokes ............. . .. . ...... . . . ......
. ...... .. . . . ....... . ... . 149 Ejercicios resueltos .... .
.. . .. . ......... . ..... .. . . ......... . . .... .. . . . ..
.. .. ... .. 155 Ejercicios propuestos ...... . ........ . ... .
......... . ...... ... ........ . ..... . .. . . . 162 4.
INTEGRALES TRIPLES .. ....... . .. . .. . ...... .. . ... . .... .
.. . ........ . .. . ..... 165 4.1. La integral triple . .... . ..
. . .. .. . .. . . . ...... . ...................... . ... .. . .
165 Cambio de variables en una integral triple . .. . .... .
.............. .. . ...... . 168 Lmites de integracin en cilndricas
y esfricas .... ... . .. . . . . .. .. .. .. .... . . 170
Simplificaciones en el clculo de una integral triple .. . . ... ..
. . . .......... . . 175 Teorema de Gauss-Ostrogradski . ... .
........ . .. . .. . .. . ............ .. .. . . . . 176
Interpretacin vectorial de los teoremas de Gauss y Stokes . . . ..
.. .......... 177 Otras aplicaciones de las integrales mltiples .
.. .. .. .. .. . . ... . . . .... . ..... . 184 Integrales doble y
triple de Dirichlet . .. . .... .. . ... . . ... .... .. ...... . .
... . . . 189 Ejercicios resueltos ... . ... . . . .. . ......... .
... . ..... . ......... . .. . ... . ...... ... .. 193 Ejercicios
propuestos . . . .. . . . ... . .. . .. . . .. .. .. .. . .... ..
....... ... .. . ... .. .... . .. 199
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- 11. Contenido IX TEMAS DE REPASO TI. MTODOS DE INTEGRACIN .....
.. ...... . ......... . . .. . . ........ .. .. . . .. 207 T1.1. La
integral indefinida ... . .. ............. .. . ... . .. .. . . .
.... . .. . . .. .. .. 207 TI.2. Integrales inmediatas ........ ..
... .. ...... . . ... ..... . ... .. . . ...... . ... 209 T1.3.
Mtodos usuales de integracin .. ..... ............ .... . .
......... . . . . 211 Integracin inmediata por simple observacin .
. .... ... .. . .. ... . .. ...... 211 Integracin por descomposicin
o transformacin de la funcin f(x) . . .. 212 Integracin por partes
............ . ................ . . .. ... . ............ 213
Integracin mediante cambios de variable ....... ... ..... ... .
.... . ...... 215 Integracin por recurrencia ....... . .... . .....
. . .. ......... . ........ .... 217 TI.4. Integrales de funciones
racionales ...... ... .... ................ . . .. ... 219
Resolucin de integrales racionales por el mtodo de Hermite ..... .
.. .. 223 T1.5. Transformacin de diversos tipos de integrales en
integrales racio- nales . ..... ......... . ... . ...... .
..................... . ......... . ....... 225 Integracin de las
funciones R(sen x, cos x) .. ...... .... .... . ... .. . .. . ..
225 Integracin de las funciones R (x, Jax2 + 2bx + e)
.................. . . 232 Integracin de las funciones R [x, (ax +
b)PI", (ax+ b)/"IS, ...] .... ... . ex + d ex + d 234 Integracin de
las funciones del tipo xlll(a + bx")'J . ... ... .. .... ... .. . .
. . 235 Integracin de las funciones del tipo R(c{"') .. . .... . .
. ............ . ...... 237 T1.6. Integracin aproximada .. .... ..
........... . .. ......... .. ... .... ...... 237 Introduccin .. .
..... . ..................... .. .. . ...... ... . . . . . .. .
....... 237 Aproximacin mediante desarrollo en serie ..... . ... ..
......... . ........ 238 Aproximacin mediante el mtodo de Simpson
.. . ....... . ... . .. . .. . . . .. 240 Ejercicios resueltos ..
... . . . .. .. ..... . .. . .. . .. . .......... . .... ... .. ...
........... 244 Ejercicios propuestos .. .... .. . ...... . . .. ..
. .. . ... . .. .. .... . . . ......... ........ .. 249 T2. CURVAS
y SUPERFICIES ... .... .. . ..... ... . .. . . . ....... ... .... .
. .. . .. .. ... 255 T2.1. Introduccin......... . .. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 255 T2.2. Secciones cnicas .. . .... ....... . .. ...
.......... . . . .. . . . . .... . . . .. . .. . . 259 T2.3. Curvas
en R3 ....... . .... ............. .. ......... .. ............ .
.... . 262 T2.4. Recta tangente a una curva alabeada en un punto de
la misma ..... 264 T2.5. Superficies en general .. ....
............. ... ....... .... . . . ...... . ..... 267 T2.6.
Curvas sobre una superficie ..... . . ..... .......................
. ... . .. 270 T2.7. Plano tangente y recta normal a una superficie
en un punto de la misma ... .... .. . . .. . ......... ..
............. ... ............ .. . .. . .. .. . 272 T2.8.
Superficies de revolucin ............. . .. .. .. . .. . .. .
............ ... . .. 273 T2.9. Superficies regladas .. ...... .
........ . ........ ... ... ............ . .. .. . 276 Superficies
cnicas o conos ... . ........ . ...... ... . .. ... . ... .... .
.... .. 276 Superficies cilndricas o cilindros .. . .. . .. .. ....
. .. . . . .... . ........ .. ... 279 Superficies cuadrticas o
cudricas .... . ... .... . .. ........ ......... . ... 284
REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS 291 NDICE .... .. .. . ...... .. . .. ...
. . ..... . . . .......... .. . . .. . .. .. . . .... ...... ......
. .... 293 http://gratislibrospdf.com/
- 12. http://gratislibrospdf.com/
- 13. Es al mismo Arqumedes a quien hace 2.200 aos se debe el
primer enfoque de la verdadera integracin: obtuvo que el rea de un
seg- mento parablico es los cuatro tercios de la del tringulo con
iguales base y vrtice, o lo que es lo mismo (cuadratura de la
parbola), los dos tercios del paralelogramo circunscrito. Dos son
los motivos por los que este libro, Clculo Integral y Aplicaciones,
ha sido publicado. El primero resulta evidente, ya que durante un
segundo cuatrimestre deber explicarse su conte- nido, exceptuando
algunas aplicaciones de la integral, a nuestros alumnos de primer
curso de Ingeniera. stos, conjuntamente con los estudiantes de
Ciencias de cualquier Facultad o Es- cuela Superior, constituyen,
pues, sus primeros y ms directos destinatarios. Sin embargo, no ha
sido escrito pensando nicamente en ellos. Hay un segundo motivo de-
bido a la existencia de otros destinatarios, a los que me referir
despus de comentar la estructu- ra de este libro, en la cual han
tenido tanta influencia como los anteriores. Se ha dudado, y mucho,
del lugar que debiera ocupar el tema Mtodos de Integracin que,
.aunque finalmente ha sido relegado a tema de repaso, lo
consideramos el ms necesario de todos y es en el que, conjuntamente
con el primer tema Integrales definidas simples, ms nos hemos
esmerado. Estos dos temas, por el modo en que han sido
estructurados, constituyen la herramienta fun- damental que
permitir manejar con eficacia los restantes conceptos del texto, o
dicho de otra forma, aquellos estudiosos que se enfrenten a ambos
temas y salgan con pie firme, poco ha de suponerles vrselas con las
integrales curvilneas, dobles, de superficie, triples, campos
vecto- riales y todas las aplicaciones. De ninguna de las
integrales mltiples hemos necesitado sus definiciones, dado que han
sido obtenidas a partir exclusivamente de la integral simple de
Riemann, definida y desarrollada de un modo exhaustivo en nuestro
primer tema. Por lo que respecta al clculo de las integrales
mltiples, recuerdo que en mi poca de estu- diante nunca llegu a
manejarlas con soltura; ello se debi a los numerosos cambios en el
orden de integracin que entonces con tanta frecuencia se nos exiga.
Esta experiencia y, claro est, la docente, nos ha guiado en muchos
ejemplos del libro; en ellos se presentan y discuten las pautas y
caminos a seguir para llevar a buen trmino el clculo
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- 14. XII Prlogo de las integrales dobles y triples. Asimismo, se
aconseja (en funcin de las superficies que inter- vienen) el tipo
de coordenadas a utilizar y los rdenes ms convenientes de
integracin. Las aplicaciones de la integral, los centros de
gravedad, momentos de inercia, clculos apro- ximados, etc., se
definen y resuelven utilizando, cuando es posible, las tres
integrales: simples, dobles y triples, indicando en cada caso la
conveniencia del empleo de una u otra de ellas. En la Teora de
Campos (Captulo 4), desde un punto de vista vectorial se definen y
de- muestran varios notables teoremas, algunos de los cuales
tuvieron su origen en la Fsica: El teorema de Green (descubierto en
1828) apareci en relacin con la teora de los potenciales elctrico y
gravitatorio. El teorema de Gauss (1845) -tambin debe sealarse como
autor el matemtico ruso Ostrogradski- surgi con relacin a la
electrosttica. El teorema de Stokes fue sugerido por primera vez al
mismo en una carta que le enviara, en 1850, el fsico Lord Kel- vin;
Stokes 10 utiliz para la concesin de un cierto premio en 1854. Ha
llegado el momento de referirnos a los otros destinatarios de este
libro. Ellos son anti- guos ingenieros que por determinadas
circunstancias desean recordar algunas materias o apren- der otras.
Considero que una buena forma de hacerlo es trayendo aqu varias
respuestas de un gran tcnico sobre cuestiones relacionadas con la
integral. Las respuestas de Pedro G. S., coinci- dentes con las de
muchos amigos ingenieros, son las siguientes: En mi trabajo nunca
he utilizado integrales. En cierta ocasin las necesit para calcular
la superficie exacta de una estructura y me lo resolvi otro
profesor. Fuera del trabajo las he necesitado en ocasiones y
siempre por el mismo motivo. lti- mamente con relativa frecuencia,
mi hijo y un compaero suelen exigirme que les re- suelva algunas
integrales, lo cual consigo a veces. Hace unos meses, al entregarle
varias integrales resueltas exigidas por algn familiar, le adjunt
mis apuntes sobre Mtodos de integracin (prcticamente iguales que
los de este li- bro) e intent convencerlo para que los leyera como
una novela, aunque con un bolgrafo en la mano. El resultado fue el
siguiente: no recordando inicialmente gran parte de las derivadas,
logr resolver en una semana (veinte hora,s) todas las integrales
que en el tema mencionado aqu se presentan. Actualmente, 0) XIII a
T = fb---dx 2 a (X - a)1II T ' =fb---dx 2 a (b - X)III
representantes de las tres singularidades a las que ha quedado
reducido el estudio de dichas integrales im- propias, reciben el
nombre de integrales tipo (TI de primera especie, T2 y T~ de
segunda) y se suelen utilizar para determinar el carcter de otras
integrales por comparacin con ellas. Probar que: RESOLUCiN {
converge TI diverge si m > 1 si m ";; 1 { converge T, . -
dlverge j L1x1JH, si m= 1 f oo 1 fH a TI = -;;; e/X = lim X- III dx
= lim X H ~ oo H~ oo x-III+ I JHa a si m =1= 1 - m+ 1 .' con lo que
si m = 1, evidentemente TI' = 00 (divergente). si m =1= 1: TI = - -
lim H I - III - al-III =I ( ) {finito, l - m H ~oo 00 , si 1 - m
< O si 1 - m > O Consecuentemente converge si m > 1 Y
diverge en los dems casos. si m < 1 si m ~ 1 Probemos ahora que
con T2 (y T ~ del mismo modo) sucede al revs (hagmoslo con m =1= 1,
pues para m = 1 claramente tambin es divergente): f b 1 fb
(x-a)_III+IJ b T = dx = lim (x - a)-lIIdx = lim - -- - - 2 a (X -
a)11I e-O a +t: l:-+ Q -In + 1 a +e = - - (b - a)I-1II - lim(;)I -
1II =1 [ . ] {finito (convergente), 1 - In O si 1 - In < O Caso
en el que el intervalo de integracin es infinito Consideremos una
integral 11 = 100 f(x) dx, siendo f(x) acotada y no negativa (por
lo ya co- mentado) en el intervalo [a, 00). (5) El motivo de lomar
(b - x)'" en lugar de (x - b)'" con lo que T2 := T~, radica en que
por ser b ;:> x (a :s; x :s; b), si sucediera, por ejemplo, que
l1l = 1/2, se tendra (x - b)I!2 Yconsecuentemente la integral T~
carecera de sentido. http://gratislibrospdf.com/
- 29. Integrales definidas simples 15 Para determinar el carcter
de esta integral impropia de primera especie, nicamente utiliza-
remos ciertos criterios, anlogos a los que el alumno ya conoce por
haberlos estudiado en todo tipo de series. De dichos criterios
presentamos aqu los siguientes: Criterio del lmite SI 11m -- = . .
f(x) {k finito, siendo m > 1 : / 1 converge x-+ oo ~ k =f. O
(pudiera ser (0), con m ~ 1 : /1 diverge x'" Criterio de comparacin
(equivalente al anterior) Aplicando la propiedad (8) de la integral
de Riemann se tienen los siguientes resultados (k E R+): 1 Si Vx E
[a, (0), kf(x) < - con m > 1 : /1 converge xIH 1 Si Vx E [a,
(0), kf(x) > - con m ~ 1 : /1 es divergente XIII Criterio
integral Sea y = f(x) , como se ha dicho, una funcin acotada y no
negativa en el intervalo [a E R, (0): Si f(x) es decreciente en [b
~ O, (0), entonces, la serie f(n) y la integral/1 tienen el mis- mo
carcter (6). Ejemplos 1. Probar que si lim f(x) =1= O, entonces, la
integral impropia de primera especie 11 es divergente. x-+ eo Ntese
que este enunciado resulta equivalente al siguiente: Es condicin
necesaria para la convergencia de 11 que lim f(x) (caso de que este
lmite exista) = O x- 00 RESOLUCiN Por la hiptesis, si lim f(x) =
k(k E R + al ser f no negativa) =1= O, entonces podr determinarse
un X o tal x- 00 que Vx > X o se verifique f(x) > K.
Consecuentemente: feo f~ f eo f eo11 = a f(x)dx = a f(x)dx + Xo
f(x)dx > Al (finito) + Xo Kdx = ro con lo que 11 sera
divergente. (6) Ntese, con relacin a la convergencia, que si a <
b, el intervalo la, b] no influye por corresponderle (funcin
acotada en intervalo finito) un rea finita.
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- 30. 16 Clculo integral y aplicaciones 2. Utilizando los tres
criterios estudiados, determnese el carcter de la integral impropia
(de primera especie): f ro X 2 1 = 2 2 dx (una nica singularidad) -
2 (2x + 3) RESOLUCiN (siempre debe comprobarse previamente la
condicin necesaria de convergencia) al . f(x). X2 1 ]m - - = 11m 4
2 : - x ~ ro I x ~ ro 4x + 12x + 9 XIII xm + 2 lim 4 2 x ~ ro 4x +
12x + 9 xl1! XIII + 2 1 XIII 1 = Iim - 4- = - Iim 2" = - (finito)
con m = 2 > 1 = 1 converge. x ~ ro 4x 4 x~ ro X 4 X2 1 1 1 bl VX
E [- 2 00) f(x) < - = - - " 4x4 4 X2 = 4f(x) < - (m = 2 >
1) XIII = 1 converge. el Puesto que sera muy engorroso precisar
todas las exigencias del criterio integral (f decrece a partir de x
= ~), con las integrales que generalmente se estudian es suficiente
un razonamiento anlogo al siguiente (~ == tiene igual carcter que):
f(x) es acotada y no negativa en [ - 2, 00), y necesariamente
decrecer en [b ~ O, w ) puesto que lim f(x) = O. En consecuencia: x
-tCX) Caso en el que la funcin subintegral ((x) no es acotada
Consideremos la integral 12 = f:f(x) dx, siendo f(x) no acotada
(supongamos en su extremo inferior x = a) y no negativa por lo
repetidamente mencionado. Sin ms consideraciones, nicamente
apoyndonos en los resultados hasta aqu obtenidos y trasladndolos al
criterio del lmite, por ejemplo, el carcter de la integral 12 podr
extraerse del siguiente cuadro: Si lim f(x) = {k finito, siendo In
< 1 : 12 es convergente x --+a + 1 k =1= O (puede ser (0), con
In ~ 1 : 12 diverge - - -- (x - a)'" En el caso de que la
singularidad tuviera lugar en el extremo superior b, el primer
trmino de la anterior igualdad sera: lim [f(X) : 1 J.x--+ b - (b -
x)'" Si la funcin f(x) integrable en [a, b] no est definida en el
punto C E [a, b] pero la disconti- nuidad en C es evitable,
entonces (regla de Barrow generalizada) la correspondiente
integral, denominada por tal motivo seudoimpropia, es convergente
con relacin a dicho punto c. http://gratislibrospdf.com/
- 31. Integrales definidas simples 17 1.3. INTEGRALES EULERIANAS
Estas integrales, llamadas tambin funciones eulerianas Gamma y
Beta, aparecen muy frecuen- temente en todo tipo de clculos, y su
concurso da lugar a la resolucin de numerossimas inte- grales
definidas. B(p, q) = J: XP- l (1 - X)q- l dx con p, q E R + con pE
R+ Con frecuencia, se las denomina asimismo, integrales eulerianas
de primera y segunda espe- cie respectivamente. Convergencia y
clculo de la funcin euleriana r(p) Veamos en primer lugar, que esta
integral converge Vp > Oy diverge en los dems casos. Para ello,
descomponemos rep) en dos integrales con una nica singularidad
(cuando p < 1, en x = Oobviamente existe singularidad): No es
difcil observar que la ltima integral (impropia por tener infinito
su intervalo de integracin) siempre converge (cualquiera que sea
p). Comprobmoslo mediante el criterio del lmite: 1 X",+p -l lim
(XP-l e-X) : - = lim . = O(siempre) finito, con m = 2 > 1 x--+ w
x11l x--+oo eX por lo que concierne a la singularidad debida a x =
O, escribiremos: 1 x'" lim (xp - 1 e- X) : {e -X --t l ' = lim - -
( O)'" f 1 - p x-+O X - x-+O X y como la convergencia se da cuando
m < 1 y este lmite finito (m ~ 1 - p), resultar para ello que:
l-p ~ mO operando de forma anloga se probara que, cuando p ~ O, la
integral r(p) es divergente. Clculo de r(p) Obtendremos su valor a
partir de la funcin euleriana r(p + 1) e integrando por partes
(recur- dese que p > O): http://gratislibrospdf.com/
- 32. 18 Clculo integral y aplicaciones ['(p + 1) = f oo
xpe-Xdx{x~= u ........ du = PXP~ldX} = - xpe-xJooo + o e x dx = dv
v = - e x Aplicando esta ley de reculTencia (para valores donde la
funcin Gamma es convergente) e inicindola con ['(p) = (p - 1)[,(p -
1), escribiremos: ['(p) = (p - 1)r(p - 1) , ['(p - 1) = (p - 2)r(p
- 2) ['(p - 3) = (p - 3)[,(p - 3), ... que da lugar a la forma ms
conveniente: ['(p) = (p - 1)r(p - 1) ['(p) = (p - 1)(P - 2)[,(p -
2) ['(p) = (p - 1)(P - 2)(P - 3)[,(p - 3) de donde resulta
finalmente la relacin: ['(p) = (p - 1)(p - 2) (p - 3) ... r1(r) ,
r(a eleccin) > O Cuando p E N, Ypuesto que ['(1) = Loo e - xdx =
1, se tiene: ['(p) = (p - 1)(P - 2)(P - 3) .. . 321 ['(1) = (p -
1)1 lo cual justifica, an cuando p no sea natural, que se escriba
frecuentemente: y que sirve para generalizar el concepto factorial
de un nmero. Ntese asimismo que ['(1) = 1 = (l - 1) 1 ~ 01 = 1. (4)
(5) Cuando p if: N, el clculo de ['(p) suele llevarse a cabo
mediante unas tablas (Figura 1.11), con las que, como se ver,
pueden obtenerse muy aproximados todos los valores de ['(p) con p E
R +. Obsrvese que los valores de estas tablas son las ordenadas
['(P), p E [1, 2), de una pequea porcin de la curva representada en
la Figura 1.12. http://gratislibrospdf.com/
- 33. Integrales definidas simples 19 I VALORES DE r(p), 1 :S P
< 2 ~~-0----------2-----3------4-----5-----6-----7------8-----9~
1,0 1 0,9943 0,9888 0,9835 0,9784 0,9735 0,9687 0,9642 0,9597
0,9555 1,1 0,9514 0,9474 0,9436 0,9399 0,9364 0,9330 0,9298 0,9267
0,9237 0,9209 1,2 0,9182 0,9156 0,9131 0,9108 0,9085 0,9064 0,9044
0,9025 0,9007 0,9990 1,3 0,8975 0,8960 0,8946 0,8934 0,8922 0,8912
0,8902 0,8893 0,8885 0,8879 1,4 0,8873 0,8868 0,8864 0,8860 0,8858
0,8857 0,8856 0,8856 0,8857 0,8859 1,5 0,8862 0,8866 0,8870 0,8876
0,8882 0,8889 0,8896 0,8905 0,8914 0,8924 1,6 0,8935 0,8947 0,8959
0,8972 0,8986 0,9001 0,9017 0,9033 0,9050 0,9068 1,7 0,9086 0,9106
0,9126 0,9147 0,9168 0,9191 0,9214 0,9238 0,9262 0,9288 1,8 0,9314
0,9341 0,9368 0,9397 0,9426 0,9456 0,9487 0,9518 0,9551 0,9584 1,9
0,9618 0,9652 0,9688 0,9724 0,9761 0,9799 0,9837 0,9877 0,9917
0,958 Figura 1.11 Consecuentemente, para calcular el valor r(p), se
har: { Cuando p E N -> ro = (p - 1)! r(p) si p E (O, 1) ->
r(p + 1) (en tablas) = pr(p) p t/= N {Si P > 1 -> se aplica
(5) con r E O, 2) Y tablas Complementando lo expuesto con la
siguiente frmula, que aqu no demostraremos (mtodo de integracin de
los residuos): ti r(p) .ro - p) = -- , O < p < 1 senpn (6) en
la mayora de casos no se necesitar recurrir a las tablas. r (P) 11
IV::)V , ,,, , ,, , , ~~~~~~~~~-4--+-----~p { --4 -3 -2 -1 o 1 2 3
f f Figura 1.12 http://gratislibrospdf.com/
- 34. 20 Clculo integral y aplicaciones La aplicacin de (6) para
p = ~ da lugar a [r(~)J= n, ypuesto que r(p) es siem- pre positivo
(xP- e- x> O, 't:j x), resulta el valor r(~) = Jn, con el que se
obtienen los r(~) para todo n E N. Ejemplo 9 Calcular el valor r(p)
cuando a) p = 11, b) p = 0,32, e) p = 4,36, d) p = - . 2 RESOLUCiN
(vanse previamente valores aprox imados en la Figura 1.12) al Para
un valor de p relativamente grande, el clculo de r(p) ser difcil.
Si no se requiere exactitud, puede utilizarse la frmula aproximada
(Stirling) p! ~ j2;;;c .pI'. e- P En este caso se tendr: r(l l) =
lO! = 3.628.800 (exactamente) , r(ll) ~ 3.598.696 (Stirling) 0,8946
bl r(0,32 < 1) : r(l ,32) = 0,32r(0,32) => r(0,32) = - - =
2,7956. 0,32 el r(4,36) = 3,362,36 1,36 r(l,36) = 10,78420,8902 =
9,600l. ( 9) 7 5 3 (3) 105dI r 2 {tablas} = 2'2'2 r 2 = 8. 0,8862 =
11 ,631375. r - {aplicando r(J /2) = Jn} = -. - .-. - r - = - Jn =
6,5625 1,7724 = II ,631375( 9) 7 5 3 1 (1) 105 2 2 2 2 2 2 16
Prolongacin de la funcin Gamma En el caso de que p ~ O, la integral
r(p) = LX) XP-l e- Xdx es, como se ha visto, divergente. No
obstante, si r(p) se define exclusivamente a partir de la relacin:
't:j P E R : r(p + 1) = pr(p) =*" r(p + 1) r(p) = -- - p (7)
habremos realizado una extrapolacin de la funcin Gamma, dado que si
p > O su valor coinci- de con el de la integral, y si p < O
resulta un valor finito. Vemoslo calculando, por ejemplo r( - 5/2).
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- 35. Integrales definidas simples 21 Mediante la frmula (7) se
tiene: m- ~) 1 p= -- 2 3 p= - - 2 S p= -- 2 r(-~) = r(l/2) = -2Jn 2
-1/2 r(-~) = r(l/2) = ~ Jn 2 - 3/2 3 r(-~)= n-3/2) = - ~ Jn 2 - 5/2
15 resultado al que se puede llegar mucho ms rpidamente,
escribiendo: tud, r(-~)= - ~ Jn2 15 Este mtodo de obtener el valor
de np) para p < 0, recibe el nombre de prolongacin anal- tica de
la funcin Gamma. La correspondiente prolongacin grfica puede
observarse en la Fi- gura l.12. La funcin euleriana B(p, q)
Empezaremos, como anteriormente, probando que la integral euleriana
de primera especie: converge cuando p y q son mayores que cero, y
diverge en los dems casos (ntese que existe singularidad en ambos
extremos de integracin: en x = cuando p - 1 < 0, y en x = 1
cuando q - 1 < O). Nos limitaremos a efectuar dicha demostracin,
estudiando nicamente la singularidad en x = 1 utilizando el
criterio del lmite, puesto que el proceso correspondiente al
extremo inferior x = es totalmente anlogo: nte. x=l . xP-l(l -
X)q-l : 11m 1 x--+l- (l - x)" . (l - x)" 11m 1 x->l- (l-X) -q
(7) y como la convergencia se da cuando m < 1 Y este lmite
finito (m ?= 1 - q), resultar para ello, que: inci- plo l-q~mO de
igual forma se probara la convergencia con p > en el extremo
inferior, y asimismo la di- vergencia en los dems casos.
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- 36. 22 Clculo integral y aplicaciones Clculo de B(p, q) El
valor de B(p, q), suele obtenerse, utilizando su relacin con la
funcin r(p) que en estos momentos tan bien conocemos. Dicha
relacin, que se demuestra con rigor (p, q E R+) en el Ejercicio
resuelto 5 del Tema 3 (Integrales dobles) y que aqu probaremos
parcialmente (en la tercera de las propiedades que siguen) viene
definida por: Ejemplo r(p) r(q) B(p, q) = r(p + q) Consideremos la
integral impropia convergente: != dx f 2 1 -2 .j(2 - x)(2 + X)2 (8)
Efectuando el cambio de variable x = 4t - 2 (vase propiedad 4) se
transforma en una integral euleria- na B(p, q). Hllese su valor.
RESOLUCiN Haciendo x= 4t - 2 {x = 2, t = l} el intervalo [ - 2, 2]
se transforma en el [O, 1] Yconsecuentemente x = -2, t = O podra
resultar una integral B(p, q). Vemoslo: Como (2 - x)(2 + X)2{X = 4t
- 2} = (4 - 4t)(4t)2 = 43 . tl(l - t), tendremos: con lo que al ser
dx = 4 dt, resulta: !=- t- 2j3 .(I-t)-1/3 4dt= t - l /3(l _ t)-1
/3dt =1 JI JI {P-1 = -2/3} 4 o o q - 1 = - 1/3 = B(~ ~) =
r(lj3)r(2/3) = r(~)r(~) {(6)} = _n_ = 2J3n3' 3 reI) 3 3 n 3 sen - 3
Propiedades de la funcin B(p, q) 1. Existe la simetra B(p, q) =
B(q, p), puesto que: B(p, q) = JIxP - l(1 - X)q-ldX{X = 1 - t} = -
IlO (1 - t)p-ltq -l dt = B(q, p) dx = -dt
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- 37. Integrales definidas simples 23 2. f 1 2 Clculo de todas
las integrales o sen'" x cos" Xdx (m ~ O, n ~ O): fl f~B(p, q) = o
xp- l(l - X)q-l dx{x = sen2t} = o sen2l'-=-2t cos2 (J - 2tL2
senLCstdt) = { 2P -l=m con lo que al ser , resulta: 2q-l=n
sen"'xcos"xdx = - B - - - - f 1 2 1(m + 1n+ 1) o 2 2' 2 (9) (es
conveniente, aplicando la relacin anterior, comprobar las frmulas
obtenidas en el Ejemplo resuelto 3 que posteriormente aparece en la
Seccin La integral de Riemann). 3. Relacin entre las funciones B(p,
q) Y r(p) En estos momentos, estamos en disposicin de probar la
relacin (8) cuando, como se ha dicho, uno de los parmetros p o q
sea natural y el otro real positivo. Para lograrlo, integraremos
por partes B(p, q) rebajando el exponente q - ], y supondremos que
q E N, P E R+ (hacemos hincapi en que la demostracin con p, q E R+
se realiza en el tema de Integrales dobles): xl' ] 1 q - 1 f1 q - 1
= - (1 - X)q-l + - - xl'(l - x)q- 2 dx{q = 1,2, oo.} = - - B(p + 1,
q - 1) p o P o P con lo que aplicando esta ley de recurrencia,
escribiremos: q - 1 B(p, q) = - - B(p + 1, q - 1) P q - 2 B(p + 1,
q - 1) = - - B(p + 2, q - 2) p + 1 1 B(p + q - 2, 2) = B(p + q - 1,
1) puesto que q E N p+q-2 http://gratislibrospdf.com/
- 38. 24 Clculo integral y aplicaciones habida cuenta adems que:
B(p + q - 1, 1) = J1 X p + q - 2 dx = __1__ o p+l-l se tiene: (q -
l)(q - 2) 32 1 B(p,q) =p-(P--+~1~) -..-.(p~+-q----2)-(p-+--q---1-)
(q - 1)! p(p + 1) .. . (p + q - 1) y multiplicando el numerador y
el denominador del cociente anterior por (p - 1)!, resulta fi-
nalmente: (P-1)!(q-l)! (P-1)!(q-1)! r(p)T(q) B(p, q) = (p _ 1)![P(P
+ 1) .. . (p + q - 1)] (p + q - 1)! r(p + q) 4. Cambios de variable
Las integrales eulerianas, en particular B(p, q), dan lugar al
clculo de numerosas integrales definidas. Este clculo se basa
generalmente en lograr, haciendo un cambio de variable adecua- do
en la integral 1, que sta se transforme en una funcin B(p, q), es
decir: La transformacin del intervalo de integracin de cualquier
integral en el intervalo [0, 1], se lleva a cabo mediante los
siguientes cambios de variable, que darn lugar (o no) a una fun-
cin B(p, q): Si el intervalo de 1 es [a, b] : x = (b - a)t + a a a
Si es [a, (0) o (- 00, a] : x = -. Tambin x = - - t 1 - t a Si [O,
(0) o (- 00 , O] siendo (a + bxPF divisor en f(x) : a + bxP= - t
(lO) A veces, a los cambios anteriores, hay que aadir el cambio t
lll = u(m > O), cambio que trans- forma el intervalo [O, 1] en s
mismo, y que igualmente puede transformar tambin en funciones B(p,
q) otras integrales enmascaradas cuyo intervalo de integracin sea
el [O, 1] (vase el cuarto y quinto de los Ejercicios resueltos
correspondientes). Puede tambin suceder, aunque menos
frecuentemente, que la integral enmascarada 1 sea una funcin r(p).
Si esto ocurre, los correspondientes cambios de variable (que
dependern de la apariencia de 1) son muy numerosos, aunque
evidentemente todos ellos debern conducir a la obtencin del
intervalo [0, (0) asociado a dicha funcin Gamma (vase el primero de
los Ejem- plos resueltos, y asimismo el primero de los propuestos).
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- 39. Integrales definidas simples 25 1.4. INTEGRALES PARAMTRICAS
Toda aquella integral (simple) que adems de la variable de
integracin presente ciertos par- metros situados en su funcin
subintegral o en sus extremos, recibe el nombre de Integral para-
mtrica o Integral dependiente de parmetros. Estas integrales, por
tanto, son de la forma: leA) = f(x, A) dx J(A, 11) = f(x, A, 11)
dx, ... donde los citados parmetros se consideran constantes
durante el proceso de integracin, pu- diendo suceder que los
extremos de integracin dependan tambin de estos parmetros.
Estudiaremos el caso de la anterior integral leA), es decir, el
caso de un solo parmetro. La generalizacin (Ejemplo resuelto 6 y
propuestos 3 y 4) es inmediata. Previamente, para fijar ideas,
resolveremos un ejemplo muy simple, que a parte de justificar la
notacin leA) (aunque resulta evidente que la integral l es funcin
nicamente de A), presenta un resultado (que inmediatamente
probaremos) y que corresponde a la ms notable relacin de esta
seccin. Ejemplo Consideremos la integral leA) = ff(x, A) dx , f(x,
A) = 3}.x2 + A2 + 2 al Resolver la integral, obteniendo su valor
le},). Seguidamente dervese este valor respecto de A, es dl(},)
decir, hllese -;-. dl(},) f3bl Comprubese que tambin -;- = 1 f~.(x,
},) dx. RESOLUCiN al IU,) = (3h2 + A2 + 2)dx = 3A - + A2 X + 2x =
2},2 + 26), + 4 ->-- = 4}, + 26. f 3 X3 ] 3 dl(A) 1 3 1 dA bl f
3 f3 ]3 dl(A) f~(x, A)dx = (3x2 + 2A)dx = x 3 + 2h = 4), + 26 = - -
o 1 1 1 dA Hacemos hincapi en que se ha realizado la siguiente
comprobacin (que como veremos, en ciertas condiciones, y siendo a y
b constantes, siempre se verifica): f b dl(A) fbSi IV,) = a f(x,
},) dx , entonces -;- = a f~(x, A) dx
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- 40. 26 Clculo integral y aplicaciones Propiedades de las
integrales paramtricas 1. Continuidad Consideremos la integral leA)
= ff(x, J,)dx, con a y b independientes, en pnncIpIO, del parmetro
A. Si la funcin subintegral f(x, J,) (supuesta como una funcin de
dos variables) es continua en el dominio D = {(x, J,) E R2 / a ~ x
~ b, e ~ A ~ d} (subconjunto rectangular de R2 ), enton- ces,
elegido un e l E R + podr lograrse (en D) que If(x, A + L1A) - f(x,
J,)I < e l' Y por consi- guiente: 't/ A E [e, d] : IIU, + L1A) -
IU,)1 = Ir f(x, A + L1J,)dx - ff(x, A)dxl = = Ir [f(x, A + L1A) -
f(x, J,)] dxl ~ fIf(x, J, + L1J,) - f(x, A)Idx < fe l dx de
donde resulta que: 't/ A E [e, d] : II(A + L1A) - I(A) 1 < el (b
- a) = e lo cual implica, en el intervalo [e, d], la continuidad (y
continuidad uniforme por ser intervalo cerrado) de la funcin lCA).
Por otra parte y debido a esta continuidad de leA) podemos
escribir: 't/ J,o E [e, d] : lim leA) = IU,o) finito => l-+in:
fb f(x, A)dx = fb f(x, Ao) dx J. -+;'0 ;. "-o a a con lo que
aplicando (continuidad) lim f(x, A) = f(x, AO) finito, resulta:
),-+;'0 lim fb f(x, A)dx = fb lim f(x, A)dx A-+ .lo a a A-+;'0 (11)
(el lmite de la integral es igual a la integral del lmite). Cuando
los extremos de integracin dependan del parmetro J" y sean estas
funciones a(A) y b(A) continuas 't/ A E [e, d] , de igual forma se
probaran la continuidad de la funcin leA) y la anterior igualdad
entre el lmite de la integral y la integral del lmite. 2. Derivacin
bajo el signo integral al Comencemos, como anteriormente,
suponiendo que a y b no dependen del parmetro A. Si las funciones
f(x, A) y f~(x, A) son continuas en el mencionado dominio D, para
todo A E [e, d] podr escribirse: f b dIU,) . I(A + L1J,) - leA) . a
[f(x, J, + L1A) - f(x, A)]dx - - = hm = hm dA LH -+ O L1A 6 .. _ _
= 4 b sen t( - a sen t dt) = o Y - b sen t SI X - O, t - n/2 ,,/2 f
" /2 n = 4ab sen2 t dt = 4ab .- o 4 => A = nab 2. El grfico de
toda curva cuya ecuacin polar es p = k(1 cos e), p = k(1 sen e),
tiene forma de corazn y recibe el nombre de cardioide. al Dibjese
la curva cardioide de ecuacin p = 4(1 + cos e). bl Calcular el rea
interior a esta cardioide y exterior a la circunferencia X2 + y2 =
36. RESOLUCiN al Razonando con la ecuacin p = 4(1 + cos e), se
tiene entre otras cosas que: - Cuando ecrece de O a n, p decrece de
8 a O. Al crecer ede n a 2n, p tambin lo hace de O a 8 (lo cual se
desprende de la simetra existente respecto del eje polar x, puesto
que al cambir epor - e, p no vara -> puntos (p, e) y (p, - e).
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- 47. Integrales definidas simples 33 - Dando asimismo algunos
valores a la coordenada e(e ~ n) resultan los pares de valores: b)
Puesto que la ecuacin de la circunferencia en coordenadas polares
es p = 6(x2 + y2 = p2 cos2e+ + p2 sen2e = p2 = 36), la interseccin
de ambas curvas se tendr de la resolucin del sistema: p = 4(1 + cos
e)} ( n ) -> 6 = 4(1 + cos e) -> (e, p) = -, 6 p = 6 3 con lo
que (segundo grfico de la Figura l.16), escribiremos: A = Al
(sector correspondiente a la cardioide) - A 2 (sector circular) = 1
f"/3 1 f"/3 1 f"/3 f"/3= - pid8 - - p~ d8 = - (pi - pD de {simetra}
= (pi - p~) de 2 - ,,/3 2 - ,,/3 2 - ,,/3 o Como pi - p~ = 16 (1 +
cos 8)2 - 36 = 4 (4,cos2e+ 8 cos e- 5), resulta finalmente: f "/3
f"/3A = 4 o (4cos 2 e + 8cos8 - 5)de = 4 o [2(1 + cos2e) + 8cos8 -
5]de = 18 )3 - 2n n /2 2nl3 nl3 nl4 4nl3 5nl3 3nl2 Longitud de un
arco de curva x (e = O) Figura 1.16 e = ~ 3 e=-~ 3 x Sea una curva
plana (C) definida en cartesianas, paramtricas y polares
respectivamente, por las ecuaciones: y = f(x) { X = x(t) y = y(t) p
= p(e) Consideremos un arco (porcin de dicha curva) liso,
comprendido entre los puntos de absci- sa x = a, x = b (Figura
1.17), cuya longitud (s) se desea calcular.
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- 48. 34 Clculo integral y aplicaciones y e
~------~--------------------~--------- x o a b Figura 1.17 Para
ello, razonaremos de igual modo que anteriormente, es decir,
partimos del elemento diferencial de arco (ds), teniendo presente
que, si se supone dicho elemento rectilneo, se comete un error
despreciable (por ser este error un infinitsimo de orden superior
al de ds) . Por todo lo, cual podr escribirse ds = JdX2 + dy 2, Yen
consecuencia: Cartesianas: ds = JI + (:ydx --+ s = fJI+ [f'(x)] 2dx
Paramtricas: ds = - + - dt--+( dX) 2 (dy ) 2 dt dt Polares: { X =
pcos eLa diferenciacin de las frmulas da lugar a y = psen e dx =
cos edp - p sen ede} : ds = J dx2 + dy2 = J (dp)2 + (pde)2 dy = sen
edp + P cos ede y multiplicando y dividiendo por de, resulta: (18)
(19) (20) En el caso de una curva en R3 , recordando (repsese si es
preciso el Apndice 2) que toda curva del espacio (plana o alabeada)
puede venir definida por los sistemas (entre otros): { F(X, y, z) :
O G(x, y, z) - O { z = f(x, y) z = g(x, y) { y = f(x) z = g(x) {~ :
~(t) z = g(t) { X = x(t) y = y(t) . z = z(t)
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- 49. Integrales definidas simples 35 y razonando, como
anteriormente, a partir de la diferencial de arco ds = J dX2 + dy2
+ dz2, es- cribiremos: Cartesianas: J (d y )2 (dZ)2 fX 2 J (d y )2
(dZ)2ds = 1 + dx + dx dx ---7 S = Xl 1 + dx + dx dx Paramtricas: ds
= ( dX)2 (dy)2 (dZ) 2 1t2dt + dt + dt dx ---7 s = t JX'(t)2 +
y'(t)2 + Z'(t)2 dt 1 Ejemplos 1. Consideremos una circunferencia de
radio r y un punto P(x, y) de la misma. Cuando esta circunferen-
cia rueda sin deslizar sobre una recta, el punto P genera una curva
plana denominada cicloide (Figu- ra 1.18). al Determinar unas
ecuaciones paramtricas de la cicloide y estudiar si es una curva
lisa. bl Calcular la longitud de un arco completo de esta curva. y
x o fI 2:n:r Figura 1.18 RESOLUCiN al Tomaremos como parmetro el
ngulo t (en radianes) que en un tiempo (T) ha girado el punto P
alrededor del centro de la circunferencia (C). De la observacin de
las Figuras 1.18 y l.19, se tiene: x = OH ~ MC = rt + rcos(3 2 n ~
t) = rt +
- 50. 36 Clculo integral y aplicaciones y Posicin inicial (T = O)
-1------------------------ --'--l-------"-..-=---___rl
_____""'-____-=------Jx~o=p H Figura 1.19 Para discutir si la curva
es lisa, consideremos sus derivadas: x'(t) = r(1 - cos t) y'(t) = r
sen t Estas funciones derivadas son continuas en todo R, pero sin
embargo, se anulan simultneamente en los puntos t = 2kn, k E Z
(vase Figura l.18). En consecuencia la cicloide no es lisa en 1 =
R. Ntese, no obstante, que la curva es lisa en cada subintervalo
(O, 2n), (2n, 4n), ... Cuando esto sucede, es decir, cuando el
intervalo 1 puede dividirse en subintervalos en los que la curva es
lisa, se dice que sta es lisa a trozos en el citado intervalo. b)
Aplicando la Frmula (19), siendo: se tiene: s = r J2 - 2costtdt
cost = cos2 - - sen2 - = 2r sen - dt =f 2IT { t t} f 2IT t o 2 2 o
2 [ tJ2"=4r - cos 2 o =4r[ - (-[-I)]=8r 2. Consideremos las curvas
el y e 2 definidas por las ecuaciones: al e es una curva cerrada
que recibe el nombre de Lemniscata de Bernouilli. Obtngase su
ecuacin en polares, dibjese su grfica, hllese el rea por ella
encerrada y finalmente, su longitud. bl Expresar grficamente e2 .
Calclese el rea encerrada por el eje de ordenadas y la porcin de e2
comprendida entre el origen y su primer punto de corte con dicho
eje. Obfngase por ltimo la longitud de dicha porcin de esta notable
curva denominada Espiral de Arqumedes.
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- 51. Integrales definidas simples 37 RESOLUCiN al Aplicando las
frmulas del cambio (x = pcos e, y = p sen e), resulta: = ' {p = O
(origen) p2 = cos 2e donde un razonamiento anlogo al utilizado con
la Figura 1.16, da lugar al primer grfico de la Figu- ra 1.20. y x
p ='8 ' Figura 1.20 Habida cuenta de la simetra existente,
escribiremos: A = 4 .- P2 de = 2 cos 2e = 2 - - = 1 1 f"/4 f"/4 sen
2e J"/4 2 o o 2 o dp Para calcular s deberemos obtener la derivada
- . Por tanto: de y r y = (tg p) x x ? ~ ~ p- = cos 2e {derivando
respecto de e} : 2p - = - 2 sen 2e --> - = p'(e) = de de r/4 s=
4 Jo _ sen 2e (dP)2_sen 2 2e _ sen 2 2e- - ----> - - - - - - - -
- p @ p2 cmW ( d )2 f"/4p2 + d: de = 4 o sen 2 2e f"/4 de
cos2e+--de =4 ~ {2e=t}= cos 2e o y' cos 2e _ f"/2 - .1 /2 {2P- 1= O
} _ 1 (1 1)_1(1/2)10/4)- 2 cos (t) dt - 2 .- B - - - - - - -- o 2q
- 1 = - 1/2 2 2' 4 1(3/4) 1(p + 1) en donde aplicando que 1(P) = ,
y tablas (Figura 1.11), resulta: P { 1(l/4) = 41(5/4) = 3,6256
1(3/4) = (4/3)1(7/4) = 1,2254 --> s = Jn.2,9585 = 5,2438
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- 52. 38 Clculo integral y aplicaciones b) Puesto que la recta
genrica r barre el rea pedida cuando fJ vara entre (se prueba
fcilmente al ser r : y = tg P.x) y n/2, tendremos: l = - [1 ,571 J
3,467 + L(l,571 + J 3,467)] = 2,079 2 Volumen de un slido de
secciones conocidas 48 Consideremos un cuerpo slido del que se
conoce el rea de cualquier seccin perpendicular a uno de los ejes
coordenados. Sup'ongamos que el eje es el z, que dicha rea es una
funcin con- tinua de la variable z definida por A = A(z), y
finalmente, para centrar ideas, que el slido en cuestin es el
representado en el primer grfico de la Figura 1.21. Si el elemento
(diferencial) de volumen, sombreado en este grfico, tiene adems una
altura dz, podr tomarse como valor de su volumen (error
despreciable) el valor dV = A(z) dz. Conse- cuentemente, y
razonando como en los casos anteriores, resulta: f ll dV = A(z) dz
--4 V = o A(z) dz. En general: I Z? V= A(z)dz Z I (21) Las frmulas
correspondientes, cuando las secciones conocidas son normales a los
otros dos ejes coordenados, son evidentes. La relacin (21) se
conoce COn el nombre de Regla de Cavalieri. z z A (z) 5 Y
-/-----..y x x Figura 1.21 http://gratislibrospdf.com/
- 53. Integrales definidas simples 39 Ejemplos 1. Consideremos un
slido cuya base es la elipse X2 + y2 = 1. Obtener su volumen,
sabiendo que toda 16 25 . seccin normal al eje y es un tringulo
issceles de altura 6 unidades. RESOLUCiN Una vez reflejados los
datos (segundo grfico de la Figura 1.21) y teniendo en cuenta que:
escribiremos: 25 - y2 4 x2 = 16 -*x = - J 25 - y2 (cuando x ~ O) 25
5 , 1 A(y) (tringulo ABe) = 2 (Area tringulo sombreado) = 2 - 6x =
2 4 = 6 - J 25 - y2 5 24 = A(y) = - J 25 - y2 5 En consecuencia: dV
= A(y) dy -* V = - J 25 - y2dy {simetra} = 2 - J 25 - y2 dy 24 f5
24 f5 5 - 5 5 o { y = 5, t = n/2}y realizando el cambio y = 5 sen t
, resulta: y = O, t = O V = - J 25(1 - sen2 t) (5 costtdt) = 240
cos2 tdt = 240 - = 60 n 48 fn/2 f n/2 n 5 o o 4 X2 y2 Z2 2.
Determinar el volumen del elipsoide 2: + -; + 2: = l. a b- e
RESOLUCiN Intersecando el elipsoide con el plano z = O(por
ejemplo), se tiene la elipse x: + y:= 1, cuya rea como a b sabemos,
es nabo Como la seccin A(z) del elipsoide por un plano paralelo al
z = O, y distante z de l, es una elipse de semiejes (dibjese el
grfico correspondiente): se tendr que: a - - - a'=-Jc2 _z2 e b - -
b' = - Jc2 - Z2 e http://gratislibrospdf.com/
- 54. 40 Clculo integral y aplicaciones Por consiguiente: nab fe
2nab fC 4 dV = A(z) dz ---+ V = -2 (e2 - Z2 ) dz = -2- (e2 - Z2) dz
= - nabe e - c e o 3 Volumen de un slido de revolucin Supongamos
una curva e definida por la funcin y = f(x) continua en un cierto
intervalo [a, b]. Al girar esta curva alrededor del eje x (por
ejemplo) engendra un slido de revolucin (Figu- ra 1.22) cuyo
volumen, podr calcularse aplicando (21) ya que se conoce el rea de
cualquier seccin normal a dicho eje. y y y R y=: g (x) ~-""
~~----~L------J----~--------~------~ x o a x x + dx b a b Figura
1.22 Aplicando pues la frmula de Cavalieri, y como A(x) (rea
circular sombreada) es n[y = f(x)] 2, resultar que el volumen del
slido en cuestin comprendido entre a y b, vendr dado por: (22) Las
frmulas correspondientes en paramtricas (obvias) y en polares por
giro alrededor del eje polar (prubese sta), vienen expresadas por
las siguientes relaciones: f t2 V = n [y'(t)]2X'(t) dt tl (23) En
caso de que la curva e pueda expresarse por la ecuacin x = g(y), el
volumen del cuerpo de revolucin engendrado por e al girar alrededor
del eje y, resulta (22) evidente (vase Figu- ra 1.24 y ejemplo
correspondiente). Consideremos ahora la regin R1 de la Figura 1.22
(rea limitada por la curva y el eje x entre a y b). Evidentemente
el volumen engendrado por R 1 al girar alrededor del eje x vendr
dado por (22) pues el cuerpo generado es el mismo que cuando gira
la curva y = f(x). Hecho este comentario, tratemos ahora de obtener
el volumen engendrado por la citada re- gin R 1 al girar alrededor
del eje y, utilizando nicamente la ecuacin y = f(x). Para ello,
razo- naremos, como siempre, con elementos diferenciales.
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- 55. Integrales definidas simples 41 El rectngulo sombreado en R
1 de base dx y altura y = f(x), genera, por giro alrededor del eje
y, una corona cilndrica (tubo de grosor dx), cuyo volumen
diferencial (dV) es: dV = V1 (cilindro de radio x + dx) -
V2(cilindro de radio x) = n(x + dX)2y - nx2y = = n[2x dx + (dx)2 ]y
'" 2nx -j(x) dx Asimismo, el elemento diferencial de volumen
generado por el rectngulo de la regin R2 al girar alrededor del eje
y, vendr expresado por dV = 2nx[f(x) - g(x)]dx. Consecuentemente,
el giro alrededor del eje y de las secciones R 1 y R2 (segundo
grfico de la Figura 1.22), generan slidos de revolucin cuyos
volmenes respectivos V(R 1) y V(R 2) son: VeR 1) = 2n fxf(x) dx
V(R2) = 2n fx [f(x) - g(x)]dx (24) rea lateral de un slido de
revolucin Supongamos que la curva anteriormente definida por la
funcin continua y = f(x) (considrese el segundo grfico de la Figura
1.22) gira alrededor del eje x, dando lugar a un cuerpo de revo-
lucin cuya rea lateral (A) se desea obtener. Habida cuenta de que
el elemento diferencial sombreado engendra un tronco de cono (r1 y
r 2 radios de sus bases, y generatriz rectilnea g '" ds), cuya rea
lateral es, como sabemos: resulta: dA = 2ny JI + (~~y dx -t A = 2n
ff(x) J l + [f'(x)]2dx (25) Ejemplos 1. Consideremos la
circunferencia C de centro (O, 2) Yde radio 2. al Determnese el
volumen generado por C al girar alrededor del eje x, y comprubese
el resultado utili- zando coordenadas polares. bl Traslademos la
circunferencia C hasta que su centro sea el punto (O, 5). Calcular
el rea del cuerpo resultante (toro) al girar esta ltima
circunferencia alrededor del eje x. RESOLUCiN al Observando la
Figura 1.23, es claro que el volumen (V) pedido ser el generado por
la semicircunfe- rencia C1 de trazo continuo (y ~ 2) menos el
correspondiente a la C2(Y :S 2). http://gratislibrospdf.com/
- 56. 42 Clculo integral y aplicaciones y Q(O, 4) - 2 Como: , ."
"", ,, , ~/,' I () 2 r Toro x Figura 1.23 -- {el : Y = 2 + J4 - X2
, y - 2 = J4 - X2 ----> J--e2 : Y = 2 - 4 - X2 y operando por la
simetra con la regin sombreada, escribiremos: = 16n J4 - x2 dx{x =
2sent} = 16n4 cos2 tdt = 64n - = 16n2 f 2 f"/2 n o o 4 En polares:
del tringulo rectngulo OPQ se tiene de inmediato que p = 4 sen 8 es
la ecuacin de e (comprubese sustituyendo x = p cos 8, y = p sen 8
en su ecuacin cartesiana). n Como para que r barra la zona
sombreada, 8 debe variar entre O y - , aplicando la frmula (23), se
2 tendr: 2n f"/2 256n f"/2 {2P - 1= 4}V=2- (4sen8)3sen 8d8= - -
sen4 8de __ = 3 o 3 o 2q ] - 0 = 256n.~ B(~ ~) = 12Sn 1(52)r(l2) =
64n (~ ~ n) = 16n2 3 2 2' 2 3 1(3) 3 2 2 b) Razonando como
anteriormente se tiene que el : 5 + J 4 - x2 , e2: 5 - J 4 - X2 ;
con lo cual, aplicando la frmula (25) resulta (dibjese e y analcese
el porqu del signo + que aparece en la relacin que sigue): f 2 - -
2dx f2 dx A = 2 2n [5 + J 4 - X2 + (5 - J4 - X2) ] J = SOn J = 40n2
o 4 - X2 . o 4 - X2 http://gratislibrospdf.com/
- 57. Integrales definidas simples 43 2. La curva de la Figura
1.24, es parte del grafo de una funcin y = f(x) definida
implcitamente por la ecuacin x(4 - X)2 - y2 = O. y 4 x Figura 1.24
Hallar el volumen engendrado por la regin sombreada al girar
alrededor del eje y: a) A partir de la frmula (22) dV = rrx2 dy. b)
Mediante la relacin (24) dV = 2rrxf(x) dx. RESOLUCiN a) De la
ecuacin x3 - 8X2 - y2 + 16x = Odada, difcilmente podra despejarse x
= g(y) para con ello aplicar la frmula (22). Sin embargo, como se
nos exige aplicar dicha frmula, consideramos que una so-' lucin es
escribir lo siguiente: dV = rrx2 dy {y = f(x) } = rrx2 . f'(x) dx y
en consecuencia: V{simetra, y ~ O} = 2 rr f:x 2 f'(x) dx dy
Obtengamos f'(x) = -: dx - dy 1 - 4 - 3x Al ser (y ~ O) Y = J X(4 -
x), - = --- (4 - x) - J x = - --- dx 2Jx 2 J x con lo que: I X2
f'(x) dx = - (4X3/ 2 - 3X5/ 2) dx . 2 En consecuencia: 1 f4 [8 6 J4
2.048 V = 2rr ' - (4X3 / 2 - 3X5 / 2) dx = rr - X5 / 2 - - X7 / 2 =
- - rr (valor absoluto) 2 o 5 7 o 35 b) V{(24)} =22rr xf(x)dx = 4rr
x. J x(4 - x)dx=4rr (4x3 / 2 _x5 / 2 )dx=-- rr. f 4 f4 - f4 2.048 o
o o 35 http://gratislibrospdf.com/
- 58. 44 Clculo integral y aplicaciones Teoremas de Pappus Enel
segundo grfico de la Figura 1.22, se muestra un elemento
diferencial de rea dA = f(x) dx, que por giro alrededor del eje y
engendra otro elemento diferencial de volumen dV = 2nxf(x) dx. Si
lo anterior se expresa, escribiendo: dV = 2nx dA poda este
resultado, enunciarse en los siguientes trminos: el volumen
engendrado por la regin sombreada (de rea dA) al dar una vuelta
alrededor del eje y, es igual al producto de dA por la distancia
recorrida por dicha regin. Lo anterior justifica los dos siguientes
teoremas debidos a Pappus (300 a.e.) y que podrn probarse con rigor
al estudiar centros de gravedad en la siguiente Seccin.
Consideremos una regin A del plano situada a un solo lado de una
recta (r) de este plano: El volumen del cuerpo engendrado por A al
dar una vuelta completa alrededor de r, es igual al producto del
rea de la regin A por la distancia que ha reconido su centro de
gravedad. El rea de un slido de revolucin, es igual al producto de
la longitud del arco que lo gene- ra por la distancia recorrida al
dar una vuelta completa el centro de gravedad de dicho arco.
Ejemplo al Aplquense estos teoremas para comprobar los resultados
del primer ejemplo anterior (vase la Figu- ra 1.23). bl Obtnganse
las frmulas generales del volumen y rea del toro engendrado por una
circunferencia de centro (0, a) y radio r (1' < a) que gira
alrededor del eje x. RESOLUCiN al La circunferencia de centro C(O,
2) y de radio r = 2, encielTa un rea de 4n 2 (u == unidades). Al
dar una vuelta alrededor del eje x, su centro de gravedad C reCOITe
una distancia de 4n u. En consecuencia: V(pedido) = 4n .4n = 16n2
En el segundo apartado nos piden un rea: cuando la circunferencia
de longitud 2nr = 4n, gira alrede- dor del eje x, su centro de
gravedad C(O, 5) recorre 2n' 5 = IOn. Por tanto: A(pedida) = 4n IOn
= 40n2 bl Teniendo en cuenta los siguientes datos del toro: rea del
Crculo = nr2 , longitud de su circunferen- cia = 2nr, distancia
recorrida por su centro de gravedad C(O, a) = 2na, resulta: V(toro)
= nr2 2na = 2a(nr)2 A(toro) = 2nr 2na = 4a(n2r) Centros de gravedad
o centroides Sean dos masas In 1 Y1n2 sobre las que acta el campo
gravitacional terrestre (para centrar ideas trataremos con fuerzas
gravitatorias). Consideremos asimismo (Figura 1.25) una referencia,
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- 59. x, 'n la n o: al e- u- de ar e- 0- as n Integrales
definidas simples 45 dm m) m (C) 9 I I- x) IX O I I I I m)g I I I I
I t mg m 9 C(x,y,Z) I 1- IX X O X I I I I I I tmg Figura 1.25 la
que hemos representado el origen O (punto arbitrario) y nicamente
uno de sus ejes (aunque se ha tomado este eje x normal a las
fuerzas mig, el resultado que buscamos no depende de la direccin de
dicho eje). . Recordando de mecnica elemental que la fuerza
resultante mg, para producir el mismo efecto que las m1g Ym2g,
adems de verificar mg = m1g + m2g (m = m1 + m2) deber tener el
mismo momento esttico M (respecto de cualquier punto, por ejemplo
O) que ellas, tendremos (vase el primer grfico de la Figura 1.25):
m1x1 + m2x2 => x= m = m1 + m2 siendo en R3 inmediatas las
siguientes relaciones (m = L m): _ _ _ LmXi C(x, y, Z) : x = -- m
LmiZi z=-- m Supongamos ahora (segundo grfico de la Figura 1.25) un
cuerpo de masa m. Razonando con elementos diferenciales, operando
de igual forma que anteriormente, y prescindiendo de los lmites de
integracin, escribiremos: d(M) = tdm- g)x ~ M (momento respecto de
O) = g f x dm y puesto que el momento de la fuerza mg es M = mg X,
resulta: M = g f x dm = mg x => f x dm = m .x En consecuencia: _
fXdm x=--- m fZdm z=-- m fYdm y=-- m C(x, y, z) : X (26)
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- 60. 46 Clculo integral y aplicaciones IEste punto C (donde
puede considerarse concentrada toda la masa del cuerpo) se denomina
cefitroide o centro de gravedad del sistema de partculas o del
cuerpo por ellas formado. Si el cuerpo es de densidad constante
(p), al ser m = p' V(dm = p' dV) las relaciones (26) darn lugar a
las: _ _ _ fXdV C(x, y, Z) : x = -V- fYdV Y=-V- _ fZdV z=-- V '(27)
De igual modo, cuando el cuerpo en cuestin fuese una superficie
plana (en este caso p sera la masa por unidad de superficie) o una
lnea plana o alabeada (p sera la masa por unidad de longitud), se
tendran respectivamente para el centroide C las siguientes
relaciones: Ejemplos _ _ _ fXdA C(x, y) : x = - - A _ _ _ fXdS C(x,
y, Z) : x = - - s IYdA ji = - - (A es el rea de la placa) A fYdS y
=;= - - s fZdS z= - - (s == longitud) s (28) (29) 1. Calcular el
centroide C(x, ji) de una placa plana homognea (densidad
superficial constante) en forma de tringulo rectngulo, siendo a y b
la dimensin de sus catetos. RESOLUCiN Para hallar la coordenada
xoperaremos con el primer tringulo de la Figura 1.26, en donde dA =
Y dx = 1 = f(x)dx, A = - ab: 2 y b y ----------------- x 1 f 2 fa 2
fa bx 2aX = - xdA = - x[f(x)dx] = - X - dx =- A abo aboa 3 bx y= -
a y b - --- --- --- --- ------ ------ --- -- --- - y
---------------~======1 a x o x a Figura 1.26 x
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- 61. 'Integrales definidas simples 47 asimismo, observando el
segundo tringulo [dA = (a - x) dy], escribiremos: 1 { ( ay)} 2 fb (
a) bji = AY dA dA = a - b dy = ab o ay - byZ dy = "3 Obtengamos
nuevamente el resultado ji = b/3 integrando en la variable x (que
en alguna ocasin pu- diera facilitar los clculos): ji = - y dA y =
- , dA = (a - x) dy = (a - x) - dx = - - (a - x) - dx = -1 f { bx b
} 2 fa bx b b A a a ab oa a 3 Veamos otra forma de hallar el
centroide C(x, ji) de placas planas que suele resultar ms simple
que con las frmulas (28): Consideremos la Figura l.13, y supongamos
que la superficie (A) es la limitada por la curva y = f(x), el eje
x, y las rectas x = X l ' X = x z. Habida cuenta de que (x, y/2) es
el centroide del elemento diferencial (de rea dA) sombreado, se
tiene: Los momentos de A respecto de los ejes x e y, son: Los
momentos de dA = f(x) dx respecto de dichos ejes, son: y f(x) 1 IX
2 _ d(M) = (dA)- =f(x)d.x- --+ M _= - fZ(x)dx = Ay x 2 2 " 2 x,
d(M) = (dA) .x = xf(x) d.x --+ My = f,2 xf(x) d.x = A .x en
consecuencia: C(x, ji) : x= - xf(x) dx , )1 = - fZ(x) dx1 IX 2 1 IX
2 A x, 2A x, (30) aApliquemos (30) para obtener de nuevo la
ordenada ji = b/3 (Figura 1.26): _ 1 fa(bX) Z _ 1 b Z fa Z _ b a 3
_ b y- - - dx--'- x dx--'- -- 2A O a ab aZ o a3 3 3 2. Consideremos
un cuadrante del crculo definido por la ecuacin XZ + yZ ~ R2 . a)
Hallar su centroide aplicando las frmulas (28), (30) Yel Teorema de
Pappus. b) Este cuadrante al girar alrededor de uno de sus ejes,
engendra una semiesfera (x2 + y2 + zZ ~ RZ). Obtngase su centro de
gravedad. http://gratislibrospdf.com/
- 62. 48 Clculo integral y aplicaciones RESOLUCiN a) (28). Puesto
que C(x, ji = x), calculemos x(primer grfico de la Figura 1.27): y
R / / o / / / / / / x _ 1 R3 4 R3 4R x = - - = - - = - => A 3
nR2 3 3n R x x Figura 1.27 C(4R, 4R) 3n 3n z (30). Calculemos ji
que parece ms sencillo: ji = - f2(X)dx = - (R2 - x2)dx = - . - = -
1 fb 2 iR 2 2R 3 4R 2A a nR2 O nR2 3 3n y (Pappus). El cuadrante
sombreado al girar alrededor del eje y, genera una semiesfera de
volumen ~ nR3 , el cual deber ser igual al rea de cuadrante (n: 2 )
por el camino recorrido por su centroide C(2nx). En consecuencia:
4R- => x=- 3n b) Puesto que C(O, O, Z), escribiremos (segundo
grfico de la Figura 1.27): Al ser dV{cilindro} = na2. dz = n(R2 -
Z2) dz, aplicando (27), se tiene: 3. Consideremos una regin (R)
limitada por la curva y = f(x) = 2x - x2, y el eje x. Dicha regin
gira alrededor del eje y. http://gratislibrospdf.com/
- 63. Integrales definidas simples 49 al Prubese aplicando Pappus
y la frmula (24), que el volumen del cuerpo de revolucin engendrado
es V = Sn/3. bl Hllese nuevamente V utilizando la frmula usual dV =
nxz dy. Ntese ahora que en y = f(x) debern considerarse dos ramas,
la x = l - ~ a izquierda de x = 1, Y la x = 1 + ~ a derecha. Con
ello, resultar: V = n (l + ~)Zdy - n (1 - ~fdy = 4n (l - y)l/zdy =-
JI JI JI Sn o o o 3 el Comprubese que los centroides de R y del
cuerpo tienen por coordenadas respectivas (1 , 2/5) Y (O, y, O),
siendo: 1 f 3 JI 3 ( 3) 2y = - ydV= - y 4n(l-y)l/zdy = - B 2,- = -
(tambin) V Sn o 2 2 5 4. Reptase el anterior ejemplo con y = f(x) =
senx (entre O y n/2), comprobando que: JI(n)Z JI n 3 (n Z )dV = nxz
dy -+ V = n o "2 dy - n o (arc seny)z dy = "4 - n "4 - 2 = 2n
Intntese asimismo obtener V (entre O y n) = 2nz, utilizando
nicamente la relacin dV = nxz dy. Centroides de slidos de revolucin
Consideremos nuevamente la Figura 1.13 y supongamos que el rea (A)
encenada por la curva y = f(x) , y el eje x entre Xl y xz' gira
alrededor de dicho eje. En las condiciones dadas, resulta evidente
que C(i, O, O) ser el centroide del cuerpo de revolucin engendrado.
Como adems dV (generado por la regin sombreada) = nyz dx,
sustituyendo esta relacin en (27), se tendr: C(i,O,O):i=- xdV = - x
nyZdx=- xf2(x)dx1 f 1 f n IXl V V V x , (31) Ejemplo al Suponiendo
que un cuadrante de crculo (primer grfico de la Figura 1.27) gira
alrededor del eje x, comprubese mediante (31) que el centroide de
la semiesfera engendrada es C(i, O, O)/i = 3Rz/S. bl Aplicando las
frmulas (27) y (31) transformada, obtngase el centroide C(O, O, Z)
de un cono de revolucin (cuyo eje es el z) de altura h y radio de
la base r. RESOLUCiN al _ _ n C(x, O, O) : x = -2- - nR3 3
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- 64. 50 Clculo integral y aplicaciones b) Habiendo situado el
cono en la posicin de la Figura 1.28, y puesto que: 1 siendo V = -
nr2 . 11, se tiene: 3 dV = na2 dz - = - = n - dz {r a} (rz)2 h z 11
z hy- rz = O r o x Figura 1.28 -1 1 y Adecuacin de (31): la curva
hy - rz = O (del plano yz) gira alrededor del eje z. El equivalente
de Xf2(X) dx, ser obviamente: Consecuentemente (31): que coincide
con la expresin integral anteriormente obtenida. Momentos de
inercia Consideremos una masa puntual m distante r de un punto o un
eje (E) a.lrededor del cual gira con velocidad angular w (Figura
1.29). Su energa cintica (W) vendr expresada, como sabe- mos, por:
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- 65. Integrales definidas simples 51 x z In r-----~, --y
--------~ ,,, x : r d (y) / z V --------------------------'j---
-___ ////E y Figura 1.29 Si el cuerpo (de masa m) no es puntual, la
igualdad anterior resulta vlida para cada una de sus partculas de
masa mi (m = L m) puesto que w es la misma para todas. Con ello,
podremos escribir: 1 1 1 W = - (m r2 )w2 + - (m r2 )w2 + .. . = -
(L m.r2 )w2 2 11 2 22 2 " Por definicin, los factores mr2 , L mir~
se denominan momentos de inercia (de la masa pun- tual o del cuerpo
en cuestin) respecto del elemento (E) alrededor del que giran. Los
momentos de inercia suelen representarse por la letra mayscula I.
El momento de inercia respecto de un plano se define del mismo
modo: producto de m (si es puntual) por el cuadrado de su distancia
a dicho plano. Por otra parte, como el cuerpo, en general, estar
formado por infinitas partculas, el clculo de su momento de inercia
deber llevarse a cabo mediante integracin. Razonando con elemen-
tos diferenciales, es decir: momento de inercia diferencial
correspondiente a una masa dm que dista r del punto, eje o plano,
escribiremos: (32) Ntese que para aplicar correctamente (32), la
distancia entre cualquier punto de dm (dm puede ser un anillo
delgado, una placa delgada circular, ...) y el punto, eje o plano
considerado, debe ser constante e igual a r . Ejemplo Hallar en
funcin de su masa CM) los momentos de inercia de los siguientes
cuerpos: al Un cilindro de masa M y radio R respecto de su eje CE).
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- 66. 52 Clcu lo integral y aplicaciones b) Una varilla muy
delgada de masa M y longitud L respecto de un punto (o eje E) que
pase por uno de sus extremos. RESOLUCiN a) Supongamos que la altura
del cilindro es h, y p su densidad (V = nR2 h, M = pV): di = r2 dm
{dm = pdV, dV = 2nrdr h} = 2nhp r3 dr : i R 1 I = 2nhp r3 dr = -
nhp R4 o 2 Como se pide I en funcin de M , multiplicando y
dividiendo por M = pV = p ' nR2 h, resulta: 1 M I = - nhp . R4 . -
- - 2 p nR2 h 1 => I (cilindro) = - MR 2 2 Si el cilindro fuese
hueco de radio r (interior) y R (exterior), del mismo modo se
probara que: 1 I(cilindro de radios r y R) = - M(R 2 + r2 ) 2 y en
el caso de ser hueco con pared muy delgada (R ~ r), se tendra: I
(cilindro hueco de pared delgada --> tubo o anillo) = MR2 b)
Aunque se simplificar de igual forma que la h anterior, supongamos
que la seccin transversal de la varilla (Figura 1.30) es A (V = A .
L, M = p V): di = r2 dm {dm = p dV = peA dr)} = pA . r2 dr : f f L
1 1 M 1 I = r2 dm = pA r2 dr = - pAL3 = - pAL3 . - - = - ML2 o 3 3
pAL 3 dm E .~=========::::I:::::I==:=J 1__--r--__ I~dr L Figura
1.30 http://gratislibrospdf.com/
- 67. Integrales definidas simples 53 Relaciones entre momentos
de inercia A continuacin, se presentan ciertas relaciones entre los
momentos de inercia de un cuerpo, que facilitarn en gran medida el
clculo de stos. Para fijar ideas, las deduciremos utilizando la
masa puntual m (vase Figura 1.29), pues en el caso de un cuerpo,
dichas relaciones, que tam- bin son vlidas, se obtienen de forma
totalmente anloga (operando con dm). Denotemos por lo, Ix, Ixy, ...
los momentos de inercia de m (o del cuerpo en cuestin) res- pecto
del origen, del eje x, del plano xy. ... Observando la Figura 1.29,
las distancias expresadas en ella, y aplicando las definiciones
dadas, escribiremos: de donde son inmediatas, entre otras, las
siguientes relaciones: (33) Ejemplo Consideremos una esfera maciza
de radio R y masa M. Calclese: a) El momento de inercia respecto de
un eje que pase por su centro. b) El momento de inercia respecto de
su centro, aplicando (32). RESOLUCiN a) Tratar de obtener este
momento de inercia aplicando la frmula (32) y operando en
cartesianas, pre- senta gran dificultad. Mucho ms sencillo resulta
hallar el momento de inercia (lx) respecto de un plano que pasa por
el centro de la esfera, y aplicar las relaciones (33). Basndonos en
el segundo grfico de la Figura l.27 (esfera completa), y t01~ando
como dm el cilin- dro diferencial sombreado (todos los puntos de dm
distan un constante r = z del plano horizontal), escri- biremos: 4
multiplicando y dividiendo por M = PV = p."3 nR3 , se tiene: M
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