CÁLCULO IIUNIDAD III: LA

INTEGRAL DEFINIDA

Volumen de un sólido de revolución

Clase No. 7CATEDRÁTICO: Ing. Marlon

VelásquezFecha:27 de enero del 2016

MÉTODO DE REBANADAS O DISCOS • ¿Qué es el volumen?Comenzamos con sólidos sencillos denominados cilindros rectos cuatro de los cuales se muestran en la figura. En cada caso el sólido se genera moviendo una región plana (la base) a lo largo de una distancia h en dirección perpendicular a esa región. Y en cada caso el volumen del sólido se define como el área A de la base por la altura h; esto es,

MÉTODO DE REBANADAS O DISCOS • Después ,consideremos un sólido en capas delgadas

o rebanadas (véase la figura). El volumen ∆Vi de una rebanada debe ser aproximadamente el volumen de un cilindro; esto es,

MÉTODO DE REBANADAS O DISCOS • El “volumen” V del sólido debe estar dado, de manera

aproximada, por la suma de Riemann.

• Cuando hacemos que la norma de la partición tienda a cero, obtenemos una integral definida; ésta se define como el volumen del sólido.

SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN: MÉTODO DE LOS DISCOS• Cuando una región plana está por completo en un lado de una recta fija en su plano y se hace girar alrededor de esa recta, genera un sólido de revolución. La recta fija se denomina eje del sólido de revolución.

• A manera de ilustración, si la región acotada por un semicírculo y su diámetro se hace girar alrededor de ese diámetro, barre un sólido esférico (véase la figura 4). Si la región dentro de un triángulo rectángulo se hace girar alrededor de uno de sus catetos, genera un sólido cónico (véase la figura 5)

ALGUNAS VECES, AL REBANAR UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN SE OBTIENEN DISCOS CON AGUJEROS EN MEDIO. LES LLAMAMOS ARANDELAS. OBSERVE EL DIAGRAMA Y LA FÓRMULA DE VOLUMEN QUE LA ACOMPAÑA, LOS CUALES SE MUESTRAN EN LA FIGURA.

MÉTODO DE LAS ARANDELAS

UN CASCARÓN CILÍNDRICO ES UN SÓLIDO ACOTADO POR DOS CILINDROS CIRCULARES RECTOS CONCÉNTRICOS (VÉASE LA FIGURA). SI EL RADIO INTERNO ES R1, EL RADIO EXTERNO ES R2 Y LA ALTURA ES H, ENTONCES SU VOLUMEN ESTÁ DADO POR:

MÉTODO DE LOS CASCARONES CILÍNDRICOS

MÉTODO DE LOS CASCARONES CILÍNDRICOS

MÉTODO DE LOS CASCARONES CILÍNDRICOS

EJERCICIOS A RESOLVER

EJERCICIOS A RESOLVER 1) Encuentre el volumen del sólido generado cuando la región

que se indica se hace girar alrededor del eje especificado; rebane, aproxime, integre.

2) Dibuje la región R acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas y muestre una rebanada vertical representativa. Después encuentre el volumen del sólido generado al hacer girar R en torno al eje x.

EJERCICIOS A RESOLVER

3) Haga un dibujo de la región R acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas y muestre una rebanada horizontal representativa. Determine el volumen del sólido generado al hacer girar R alrededor del eje y.

EJERCICIOS A RESOLVER

4) Encuentre el volumen del sólido que se genera al hacer girar, en torno al eje x, la región acotada por la recta x - 2y = 0 y la parábola y2 = 4x.

5) Encuentre el volumen del sólido que se genera al hacer girar, en torno al eje y, la región acotada por la recta y = 4x y la parábola y = 4x2.

EJERCICIOS A RESOLVER

Encuentre el volumen del sólido que se genera cuando la región r, acotada por las curvas dadas, se hace girar en torno al eje que se indica.

EJERCICIOS A RESOLVER

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• Encuentre el volumen del sólido generado cuando la

región que se indica se hace girar alrededor del eje especificado; rebane, aproxime, integre.

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Dibuje la región R acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas y muestre una rebanada vertical representativa. Después encuentre el volumen del sólido generado al hacer girar R en torno al eje x.

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• Haga un dibujo de la región R acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas y muestre una rebanada horizontal representativa. Determine el volumen del sólido generado al hacer girar R alrededor del eje y.

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Haga un dibujo de la región R acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas y muestre una rebanada horizontal representativa. Determine el volumen del sólido generado al hacer girar R alrededor del eje y.

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Haga un dibujo de la región R acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas y muestre una rebanada horizontal representativa. Determine el volumen del sólido generado al hacer girar R alrededor del eje y.

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Haga un dibujo de la región R acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas y muestre una rebanada horizontal representativa. Determine el volumen del sólido generado al hacer girar R alrededor del eje y.

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Haga un dibujo de la región R acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas y muestre una rebanada horizontal representativa. Determine el volumen del sólido generado al hacer girar R alrededor del eje y.

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GRACIAS POR SU ATENCIÓN!!