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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TAMAZUNCHALE
INGENIERÍA EN GESTIÓN EMPREARIAL
Aplicación de la Regla de Simpson
en el cálculo de áreas de terrenos
amorfos
Autores:
Luis Rodrigo Dionisio Avila
Mario Felipe García
Gloria Martínez Domingo
Mireya Martínez Sánchez
Carmen pascual Ávila
Claudia Ivette Pérez santos
Yoana Rubio López
Asesor del artículo
Ing. Gaudencio Antonio Benito
Resumen
La medición del terreno se realizó en el ejido
de Chapulhuacanito perteneciente al
municipio de Tamazúnchale. (Ilustracion.1).
Ilustración 1.Medición del terreno.
A través de las diferentes aplicaciones del
cálculo podemos obtener el área del terreno
en este caso se aplicará el método de
Simpson, con la fórmula que se muestra a
continuación:
nn xfxfxf
xfxfxf
n
ab
13
210
4...4
24
3.
Se utilizaron distintas herramientas para
poder obtener algunas medidas que
permitieron calcular el área de dicha figura.
Abstract.
The mensuration of the land was carried out
in the public land of Chapulhuacanito
belonging to the municipality of
Tamazunchale. (illustration.1).
Through the different applications of the
calculation we can obtain the area of the land
in this case the method of Simpson it will be
applied, with the formula that is shown next:
nn xfxfxf
xfxfxf
n
ab
13
210
4...4
24
3
Different tools were used to be able to obtain
some measures that allowed to calculate the
area of this figure.
Introducción
Para el conocimiento del cálculo de áreas y
volúmenes en cuerpos amorfos, se
establecen métodos matemáticos; el método
de los trapecios y el método de Simpson.
El cálculo de áreas mediante estos métodos
solo es una aproximación. Para esto basta
con solo obtener algunas medidas y en base
a ellos aplicar uno de los dos métodos.
En este trabajo se define la regla que permite
obtener el área requerida del terreno de
Chapulhuacanito, consistió en la mediciónde
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un terreno amorfo para la obtención de su
área; se utilizó los siguientes materiales:
Flexómetro
Hilo
Estacas
Bastón
Libreta de transito
Calculadora
Por decisión matemática el cálculo de esta
área se efectuó através de la aplicación de la
regla de Simpson.
Fundamentos teóricos
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo
infinitesimal, es una rama de las matemáticas
en el proceso de integración o antiderivación,
es muy común en la ingeniería y en la ciencia
también; se utiliza principalmente para el
cálculo de áreas y volúmenes de regiones y
sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos
como Arquímedes, René Descartes, Isaac
Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow.
Los trabajos de este último y los aportes de
Newton generaron el teorema fundamental
del cálculo integral, que propone que la
derivación y la integración son procesos
inversos.
Dada una función )(xf de una variablereal x
y un intervalo ba, de la recta real, la integral
b
a
dxxf )(
Es igual al área de la región del plano xy
limitada entre la gráfica de f , el eje x , y las
líneas verticales ax y bx , donde son
negativas las áreas por debajo del eje x .
La palabra "integral" también puede hacer
referencia a la noción de primitiva: una
función F , cuya derivada es la función dada
f . En este caso se denomina integral
indefinida, mientras que las integrales
tratadas en este artículo son las integrales
definidas. Algunos autores mantienen una
distinción entre integrales primitivas e
indefinidas.
Los principios de la integración fueron
formulados por Newton y Leibniz a finales del
siglo XVII. A través del teorema fundamental
del cálculo, que desarrollaron los dos de
forma independiente, la integración se
conecta con la derivación, y la integral
definida de una función se puede calcular
fácilmente una vez se conoce una
antiderivada. Las integrales y las derivadas
pasaron a ser herramientas básicas del
cálculo, con numerosas aplicaciones en
ciencia e ingeniería.
Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de
la integral. Se basa en un límite que aproxima el
área de una región curvilínea a base de partirla en
pequeños trozos verticales.
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1.1 “Área bajo la curva”
El cálculo integral tiene una estrecha relación
con el concepto de área bajo la curva. Es
conveniente, entonces, presentar algunas
características de esa área que le darán
sentido a la relación, donde el aspecto
principal consiste en medir el área de una
región acotada (Figura 1.1). Y, para poder
realizar la medición es necesario establecer
un procedimiento general y eficiente.
Figura 1.1
Medir el área a través de otra conocida, es
un procedimiento natural y la humanidad ha
dado muestra de ello, derivándose, sin
embargo, diferentes estrategias para llenar la
región acotada.
Por ejemplo, para medir el área de la región
acotada que aparece en la Figura 1.1, se
persigue la idea de “transformar” (→) la
región en un rectángulo cuya área es
conocida: área = base x altura (Figura 1.2).
Figura 1.2
Una de las estrategias más comunes
consiste en insertar en la región acotada una
figura geométrica de área conocida (por
ejemplo un rectángulo o un triángulo) de un
tamaño tal que cubra lo más que pueda la
región acotada (Figura 1.3). Después para
las partes restantes, no cubiertas con la
figura geométrica insertada, se repite el
mismo proceso, pero con figuras geométricas
más pequeñas hasta llenar completamente la
región y, finalmente, sumar todas las áreas
de las figuras geométricas.
Figura 1.3
Otra estrategia consiste en llenar la región a
través de una red cuadriculada (Figura 1.4),
en donde cada “cuadrito” representa una
unidad. Entonces, para medir el área de la
región bastará contar los “cuadritos”
insertados.
Figura 1.4
Ahora bien, el área bajo la curva (Figura 1.5)
es el área de una región acotada asociada a
una función. La región está acotada a la
derecha por la recta x = a, a la izquierda por
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la recta x = b, por abajo por el eje x y por
arriba por la función positiva f(x) (f(x) > 0),
con respecto al sistema de coordenadas
cartesianas.
Figura 1.5
El procedimiento para la medición del área,
descrito en las estrategias anteriores, es
reinterpretado ante esta región acotada. Esta
región es orientada por los ejes coordenados,
es decir, el eje x da cuenta de la base,
mientras que el eje y de la altura: y = f(x)
(Figura 1.6).
Figura 1.6
Así, para encontrar el valor numérico del
área, se requiere considerar figuras
geométricas de áreas conocidas que llenen
la región. Los rectángulos, como el la Figura
7, y las suma de sus áreas resultaría,
aproximadamente, en el valor numérico del
área.
Figura 1.7
Efectivamente, habría que precisar lo que se
debe entender como “valor aproximado del
área”, es decir, ¿cuándo tenemos una
“buena” aproximación al área de la región?
Una discusión al respecto se lleva a cabo en
la siguiente nota.
Medición aproximada de figurasAmorfas.
Las figuras amorfas, “son aquellas figuras
que no tienen forma porque en realidad todo
tiene una forma, pero se refiere a que no
tiene forma conocida, no es un cuadrado, ni
triángulo, ni nada de ese estilo. Es una curva
o una figura de muchos lados distintos y
"deformes". Y su principal finalidad es
encontrar en una gráfica dada su área de la
parte de adentro de la figura donde se
encuentra el punto
dado de la figura amorfa. La notación
sumatoria es encontrar el valor de la
ecuación dada respecto a un número
determinado cuando un punto “n” tiende a
cualquier número dado. Existen dos tipos de
notación sumatoria: la notación
sumatoriaabierta y la notación sumatoria
pertinente.
AT= área total
NT= número total de particiones
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Regla de Simpson
En la regla de Simpson, que recibe ese
nombre en honor del matemático inglés
Thomas Simpson (1710-1761), se lleva este
procedimiento un paso adelante y aproxima
f mediante polinomios de segundo grado.
Para formular la regla de Simpson con el fin
de aproximar una integral definida, se divide
el intervalo ba, en n subintervalo, cada
uno de ancho nabx / .
Sea f continua en ba, . La regla de
Simpson para aproximar b
a
dxxf es
b
a
nn xfxf
xfxf
xfxf
n
abdxxf .
4...
42
4
31
32
10
.
Además, cunado n , el lado derecho
tiende a b
a
dxxf .
Implementación de la metodología.
Primero se hizo el reconocimiento topográfico
del terreno después se localizaron los puntos
(A-E) y se unieron, como se muestra en la
ilustración 2.
Ilustración 2. Medición del terreno.
Posteriormente se utilizó el método de
comprobación de cintas, para obtener las
distancias exactas entre los puntos que se
definieron.
Para conocer el punto de inicio de la figura se
implementó la ley de los senos y cosenos de
la cual como resultado se conoció el lado x.
Una vez adquirido los valores se hicieron
loscálculos del área para lo cual se empleó la
regla de Simpson y se sustituyeron las
medidas tal y como la plantea la fórmula:
nn xfxfxf
xfxfxf
n
ab
13
210
4...4
24
3
Alcance.
Logramos calcular el área del terreno
teniendo pocas herramientas y material.
Resultados obtenidos.
La imagen del terreno se muestra en el
siguiente gráfico. (ilustración 3)
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Ilustración 3. Figura del terreno.
Se aplicó la siguiente formula:
nn xfxf
xfxfxfxf
n
ab
1
3210
4...
424
3
Después se sustituyen los valores mostrados
en la siguiente tabla.
Tabla 1. Mediciones de la ilustración 4.
Fuente: Elaboración propia, 2013.
2
7725.25
0
938681.361962.63145
7725.25
0)7725.25(4
)0594.24(2)3368.22(4
)6180.20(2)8998.18(4
)1818.17(2)4636.15(4
)7454.13(2)0272.12(4
)309.10(2)5908.8(4
)8226.6(2)1544.5(4
)4364.3(2)7182.1(40
45
7725.25
)15(3
7725.25
m
xf
Los resultados anteriores se
obtuvieron cuando el terreno se
dividió en 15 partes. (ilustración 4)
Ilustración 4. Terreno; n=15.
Tabla 1. Datos analizados del terreno.
Fuente: elaboración propia, 2013
Anexos.
Ilustración 5. Colocación de las estacas en los
puntos
N=15
1 1.7182 9 15.4636
2 3.4364 10 17.1818
3 5.1544 11 18.8998
4 6.8226 12 20.6180
5 8.5908 13 22.3368
6 10.309 14 24.0594
7 12.0272 15 25.7725
8 13.7454
9 15.4636
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Ilustración 6. Colocación del hilo en el contorno
del terreno.
Ilustración 7. Estiramiento del hilo para dar mayor
exactitud en las medidas.
Ilustración 8.Medición de las distancias de un
punto a otro con la cinta métrica.
Ilustración 9. Se está realizando lo mismo que en
la ilustración anterior.
Ilustración 11. Realizando las anotaciones de los
resultados obtenidos.
Referencias.
Larson Hostetler Edwards. Cálculo Integral
(8° Ed.). México, Mc Graw Hill. pp. 331
http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3
n
http://blog.unach.mx/msolis/2011/10/07/conc
epto-de-area-bajo-la-curva/