INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TAMAZUNCHALE

INGENIERÍA EN GESTIÓN EMPREARIAL

Aplicación de la Regla de Simpson

en el cálculo de áreas de terrenos

amorfos

Autores:

Luis Rodrigo Dionisio Avila

Mario Felipe García

Gloria Martínez Domingo

Mireya Martínez Sánchez

Carmen pascual Ávila

Claudia Ivette Pérez santos

Yoana Rubio López

Asesor del artículo

Ing. Gaudencio Antonio Benito

Resumen

La medición del terreno se realizó en el ejido

de Chapulhuacanito perteneciente al

municipio de Tamazúnchale. (Ilustracion.1).

Ilustración 1.Medición del terreno.

A través de las diferentes aplicaciones del

cálculo podemos obtener el área del terreno

en este caso se aplicará el método de

Simpson, con la fórmula que se muestra a

continuación:

nn xfxfxf

xfxfxf

n

ab

13

210

4...4

24

3.

Se utilizaron distintas herramientas para

poder obtener algunas medidas que

permitieron calcular el área de dicha figura.

Abstract.

The mensuration of the land was carried out

in the public land of Chapulhuacanito

belonging to the municipality of

Tamazunchale. (illustration.1).

Through the different applications of the

calculation we can obtain the area of the land

in this case the method of Simpson it will be

applied, with the formula that is shown next:

nn xfxfxf

xfxfxf

n

ab

13

210

4...4

24

3

Different tools were used to be able to obtain

some measures that allowed to calculate the

area of this figure.

Introducción

Para el conocimiento del cálculo de áreas y

volúmenes en cuerpos amorfos, se

establecen métodos matemáticos; el método

de los trapecios y el método de Simpson.

El cálculo de áreas mediante estos métodos

solo es una aproximación. Para esto basta

con solo obtener algunas medidas y en base

a ellos aplicar uno de los dos métodos.

En este trabajo se define la regla que permite

obtener el área requerida del terreno de

Chapulhuacanito, consistió en la mediciónde

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un terreno amorfo para la obtención de su

área; se utilizó los siguientes materiales:

Flexómetro

Hilo

Estacas

Bastón

Libreta de transito

Calculadora

Por decisión matemática el cálculo de esta

área se efectuó através de la aplicación de la

regla de Simpson.

Fundamentos teóricos

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo

infinitesimal, es una rama de las matemáticas

en el proceso de integración o antiderivación,

es muy común en la ingeniería y en la ciencia

también; se utiliza principalmente para el

cálculo de áreas y volúmenes de regiones y

sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos

como Arquímedes, René Descartes, Isaac

Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow.

Los trabajos de este último y los aportes de

Newton generaron el teorema fundamental

del cálculo integral, que propone que la

derivación y la integración son procesos

inversos.

Dada una función )(xf de una variablereal x

y un intervalo ba, de la recta real, la integral

b

a

dxxf )(

Es igual al área de la región del plano xy

limitada entre la gráfica de f , el eje x , y las

líneas verticales ax y bx , donde son

negativas las áreas por debajo del eje x .

La palabra "integral" también puede hacer

referencia a la noción de primitiva: una

función F , cuya derivada es la función dada

f . En este caso se denomina integral

indefinida, mientras que las integrales

tratadas en este artículo son las integrales

definidas. Algunos autores mantienen una

distinción entre integrales primitivas e

indefinidas.

Los principios de la integración fueron

formulados por Newton y Leibniz a finales del

siglo XVII. A través del teorema fundamental

del cálculo, que desarrollaron los dos de

forma independiente, la integración se

conecta con la derivación, y la integral

definida de una función se puede calcular

fácilmente una vez se conoce una

antiderivada. Las integrales y las derivadas

pasaron a ser herramientas básicas del

cálculo, con numerosas aplicaciones en

ciencia e ingeniería.

Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de

la integral. Se basa en un límite que aproxima el

área de una región curvilínea a base de partirla en

pequeños trozos verticales.

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1.1 “Área bajo la curva”

El cálculo integral tiene una estrecha relación

con el concepto de área bajo la curva. Es

conveniente, entonces, presentar algunas

características de esa área que le darán

sentido a la relación, donde el aspecto

principal consiste en medir el área de una

región acotada (Figura 1.1). Y, para poder

realizar la medición es necesario establecer

un procedimiento general y eficiente.

Figura 1.1

Medir el área a través de otra conocida, es

un procedimiento natural y la humanidad ha

dado muestra de ello, derivándose, sin

embargo, diferentes estrategias para llenar la

región acotada.

Por ejemplo, para medir el área de la región

acotada que aparece en la Figura 1.1, se

persigue la idea de “transformar” (→) la

región en un rectángulo cuya área es

conocida: área = base x altura (Figura 1.2).

Figura 1.2

Una de las estrategias más comunes

consiste en insertar en la región acotada una

figura geométrica de área conocida (por

ejemplo un rectángulo o un triángulo) de un

tamaño tal que cubra lo más que pueda la

región acotada (Figura 1.3). Después para

las partes restantes, no cubiertas con la

figura geométrica insertada, se repite el

mismo proceso, pero con figuras geométricas

más pequeñas hasta llenar completamente la

región y, finalmente, sumar todas las áreas

de las figuras geométricas.

Figura 1.3

Otra estrategia consiste en llenar la región a

través de una red cuadriculada (Figura 1.4),

en donde cada “cuadrito” representa una

unidad. Entonces, para medir el área de la

región bastará contar los “cuadritos”

insertados.

Figura 1.4

Ahora bien, el área bajo la curva (Figura 1.5)

es el área de una región acotada asociada a

una función. La región está acotada a la

derecha por la recta x = a, a la izquierda por

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la recta x = b, por abajo por el eje x y por

arriba por la función positiva f(x) (f(x) > 0),

con respecto al sistema de coordenadas

cartesianas.

Figura 1.5

El procedimiento para la medición del área,

descrito en las estrategias anteriores, es

reinterpretado ante esta región acotada. Esta

región es orientada por los ejes coordenados,

es decir, el eje x da cuenta de la base,

mientras que el eje y de la altura: y = f(x)

(Figura 1.6).

Figura 1.6

Así, para encontrar el valor numérico del

área, se requiere considerar figuras

geométricas de áreas conocidas que llenen

la región. Los rectángulos, como el la Figura

7, y las suma de sus áreas resultaría,

aproximadamente, en el valor numérico del

área.

Figura 1.7

Efectivamente, habría que precisar lo que se

debe entender como “valor aproximado del

área”, es decir, ¿cuándo tenemos una

“buena” aproximación al área de la región?

Una discusión al respecto se lleva a cabo en

la siguiente nota.

Medición aproximada de figurasAmorfas.

Las figuras amorfas, “son aquellas figuras

que no tienen forma porque en realidad todo

tiene una forma, pero se refiere a que no

tiene forma conocida, no es un cuadrado, ni

triángulo, ni nada de ese estilo. Es una curva

o una figura de muchos lados distintos y

"deformes". Y su principal finalidad es

encontrar en una gráfica dada su área de la

parte de adentro de la figura donde se

encuentra el punto

dado de la figura amorfa. La notación

sumatoria es encontrar el valor de la

ecuación dada respecto a un número

determinado cuando un punto “n” tiende a

cualquier número dado. Existen dos tipos de

notación sumatoria: la notación

sumatoriaabierta y la notación sumatoria

pertinente.

AT= área total

NT= número total de particiones

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Regla de Simpson

En la regla de Simpson, que recibe ese

nombre en honor del matemático inglés

Thomas Simpson (1710-1761), se lleva este

procedimiento un paso adelante y aproxima

f mediante polinomios de segundo grado.

Para formular la regla de Simpson con el fin

de aproximar una integral definida, se divide

el intervalo ba, en n subintervalo, cada

uno de ancho nabx / .

Sea f continua en ba, . La regla de

Simpson para aproximar b

a

dxxf es

b

a

nn xfxf

xfxf

xfxf

n

abdxxf .

4...

42

4

31

32

10

.

Además, cunado n , el lado derecho

tiende a b

a

dxxf .

Implementación de la metodología.

Primero se hizo el reconocimiento topográfico

del terreno después se localizaron los puntos

(A-E) y se unieron, como se muestra en la

ilustración 2.

Ilustración 2. Medición del terreno.

Posteriormente se utilizó el método de

comprobación de cintas, para obtener las

distancias exactas entre los puntos que se

definieron.

Para conocer el punto de inicio de la figura se

implementó la ley de los senos y cosenos de

la cual como resultado se conoció el lado x.

Una vez adquirido los valores se hicieron

loscálculos del área para lo cual se empleó la

regla de Simpson y se sustituyeron las

medidas tal y como la plantea la fórmula:

nn xfxfxf

xfxfxf

n

ab

13

210

4...4

24

3

Alcance.

Logramos calcular el área del terreno

teniendo pocas herramientas y material.

Resultados obtenidos.

La imagen del terreno se muestra en el

siguiente gráfico. (ilustración 3)

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Ilustración 3. Figura del terreno.

Se aplicó la siguiente formula:

nn xfxf

xfxfxfxf

n

ab

1

3210

4...

424

3

Después se sustituyen los valores mostrados

en la siguiente tabla.

Tabla 1. Mediciones de la ilustración 4.

Fuente: Elaboración propia, 2013.

2

7725.25

0

938681.361962.63145

7725.25

0)7725.25(4

)0594.24(2)3368.22(4

)6180.20(2)8998.18(4

)1818.17(2)4636.15(4

)7454.13(2)0272.12(4

)309.10(2)5908.8(4

)8226.6(2)1544.5(4

)4364.3(2)7182.1(40

45

7725.25

)15(3

7725.25

m

xf

Los resultados anteriores se

obtuvieron cuando el terreno se

dividió en 15 partes. (ilustración 4)

Ilustración 4. Terreno; n=15.

Tabla 1. Datos analizados del terreno.

Fuente: elaboración propia, 2013

Anexos.

Ilustración 5. Colocación de las estacas en los

puntos

N=15

1 1.7182 9 15.4636

2 3.4364 10 17.1818

3 5.1544 11 18.8998

4 6.8226 12 20.6180

5 8.5908 13 22.3368

6 10.309 14 24.0594

7 12.0272 15 25.7725

8 13.7454

9 15.4636

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Ilustración 6. Colocación del hilo en el contorno

del terreno.

Ilustración 7. Estiramiento del hilo para dar mayor

exactitud en las medidas.

Ilustración 8.Medición de las distancias de un

punto a otro con la cinta métrica.

Ilustración 9. Se está realizando lo mismo que en

la ilustración anterior.

Ilustración 11. Realizando las anotaciones de los

resultados obtenidos.

Referencias.

Larson Hostetler Edwards. Cálculo Integral

(8° Ed.). México, Mc Graw Hill. pp. 331

http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3

n

http://blog.unach.mx/msolis/2011/10/07/conc

epto-de-area-bajo-la-curva/