Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Aproximación lineal y diferenciales

Aproximación lineal.Diferenciales.Polinomio de Taylor.

Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Habilidades

1. Define el proceso de linealización de una función.2. Describe el concepto de diferencial de una

función.3. Interpreta el concepto de diferencial usando un

gráfico.4. Extiende la aproximación usando el polinomio de

Taylor.

2

Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Aproximación Lineal

Usamos la recta tangente a f en el punto (a, f(a)), como una aproximación a la curva y = f(x), cuando x está cerca de a.

axa' fafy

Recta tangente:

Definimos la linealización de f en a como:

a-xa' fafxL

a x

Aproximación lineal de f en a:

xLxf cerca de a

Definición

3

Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ejemplo

Encuentre la linealización de la funciónen a = 1 y úsela para aproximar y

3 xxf98.3 05.4

4

Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Diferencial de una función

a a + h

f ’ (a) h

h

f(a + h) - f(a)

Aproximamos el cambio o incremento def en a, mediante el diferencial de f en a, cuando x está cerca de a:

f(a+h) – f(a)) f ’(a) h

adfaΔf Es decir:

Definimos el diferencial de una función f en a, como: xa' fadf

Se utiliza = h: ΔxDefinición

5

Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Diferencial de una función

Consideremos la función: Teorema

6

es decir: xadf

luego: xafadf

Por lo que podemos escribir: xafadf

xxf

En forma general: dxxfxdf

Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

a

1

x

Polinomios de Taylor

Este polinomio tiene las siguientespropiedades:

a' fa'T

a faT

1

1

xTxf 1 cerca de a

a-xa' fafxT1

Definimos el polinomio de Taylor de grado 1 de f, con centro en a, como la linealización de f en a:

Definición

7

Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Polinomios de Taylor

a'' fa''T

a' fa'Ta faT

2

2

2

22 ax2!

a'' faxa' fafxT

Este polinomio resulta ser:

xTxf 2 cerca de aa

2

x

Definimos el polinomio de Taylor de grado 2 de f, .con centro en a, como aquel polinomio que tiene las siguientes propiedades:

Definición

8

Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Polinomios de TaylorDefinimos el polinomio de Taylor de grado n de f, con centro en a, como aquel polinomio que tiene las siguientes propiedades:

Definición

Este polinomio resulta ser:

xTxf n cerca de a

Teorema

nn

2n ax

n!a fax

2!a'' faxa' fafxT ...

a faT

a' fa'Ta faT

nnn

n

n

...

9

Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Bibliografía

“Cálculo de una variable”Cuarta ediciónJames Stewart

Sección 3.11Ejercicios 3.11 pág 264:5 al 44, 48.

10