Post on 07-Jul-2020
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE INGENIERIA, CIENCIAS FISICAS Y
MATEMATICA
CARRERA DE INGENIERIA MATEMATICA
Analisis de la estabilidad de algunas ecuaciones funcionales
y metodos de solucion
Trabajo de Titulacion modalidad Proyecto de Investigacion,
previo a la obtencion del Tıtulo de Ingeniero Matematico
AUTOR: Murillo Noblecilla Miguel Alonso
TUTOR: Dr. Alvaro Danilo Gortaire Jativa, Ph.D.
Quito, 2018
DERECHOS DE AUTOR
Yo, Miguel Alonso Murillo Noblecilla en calidad de autor y titular de los derechos
morales y patrimoniales del trabajo de titulacion Analisis de la Estabilidad de
algunas Ecuaciones Funcionales y Metodos de Solucion, modalidad proyecto de
investigacion, de conformidad con el Art. 114 del CODIGO ORGANICO DE LA
ECONOMIA SOCIAL DE LOS CONOCIMIENTOS, CREATIVIDAD E INNO-
VACION, concedo a favor de la Universidad Central del Ecuador una licencia
gratuita, intransferible y no exclusiva para el uso no comercial de la obra, con
fines estrictamente academicos. Conservo a mi favor todos los derechos de autor
sobre la obra, establecidos en la norma citada.
Ası mismo, autorizo a la Universidad Cetral del Ecuador para que realice la
digitalizacion y publicacion de este trabajo de titulacion en el repositorio virtual,
de conformidad a lo dispuesto en el Art. 144 de la Ley Organica de Educacion
Superior.
El autor declara que la obra objetode la presente autorizacion es original en su
forma de expresion y no infringe el derecho de autor de terceros, asumiendo la
responsabilidad por cualquier reclamacion que pudiera presentarse por esta causa
y liberando a la Universidad de toda responsabilidad.
————————————————
Miguel Alonso Murillo Noblecilla
C.C. 1721436580
miguel fima.ldu@hotmail.com
ii
APROBACION DEL TUTOR
En mi calidad de Tutor del Trabajo de Titulacion, presentado por MIGUEL
ALONSO MURILLO NOBLECILLA, para optar por el Grado de Inge-
niero Matematico; cuyo tıtulo es: ANALISIS DE LA ESTABILIDAD DE
ALGUNAS ECUACIONES FUNCIONALES Y METODOS DE SO-
LUCION, considero que dicho trabajo reune los requisitos y meritos suficientes
para ser sometido a la presentacion publica y evaluacion por parte del tribunal
examinador que se designe.
En la ciudad de Quito, a los 21 dıas del mes de mayo de 2018.
————————————————
Dr. Danilo Gortaire Jativa, Ph.D.
DOCENTE-TUTOR
C.C. 1705940508
iii
DEDICATORIA
Dedicado a mis padres
Gualberto Murillo y Marıa Noblecilla
a mis hermanos Carmen, Jose, Fernanda,
Veronica, Darıo, Santiago y Mateo.
iv
AGRADECIMIENTO
Agradezco a Dios por haberme dado la fortaleza, el entendimiento, constancia y
dedicacion, para poder culminar este sueno.
A mis queridos padres, hermanos, familiares y amigos que de una u otra for-
ma contribuyeron en todo momento para que mi carrera universitaria llegue a
feliz termino. Mencion especial a mi querido hermano Darıo uno de los pilares
fundamentales de mi carrera y debo decirle que sus esfuerzos no fueron en vano.
Agradezco profundamente a mi tutor el Dr. Danilo Gortaire Jativa, Ph.D. por
motivarme a estudiar y desarrollar el presente tema.
Tambien un merecido agradecimiento al Mat. Juan Carlos Garcıa, Mat. Guillermo
Albuja y al Dr. Borys Alvarez Samaniego Ph.D., por ayudarme al culminar de
manera exitosa este proyecto.
Finalmente agradezco a todos mis profesores que me formaron durante toda mi
vida estudiantil.
v
CONTENIDO
DERECHOS DE AUTOR ii
APROBACION DEL TUTOR iii
DEDICATORIA iv
AGRADECIMIENTO v
CONTENIDO vii
RESUMEN ix
ABSTRACT x
INTRODUCCION 1
1. DEFINICION DEL PROBLEMA 4
2. FUNDAMENTOS MATEMATICOS 6
2.1. Conceptos Basicos de Ecuaciones Funcionales . . . . . . . . . . . 6
2.2. Espacios Metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3. ALGUNAS ECUACIONES FUNCIONALES FUNDAMENTA-
LES 10
3.1. Ecuaciones Funcionales de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1.1. Ecuacion Funcional de Cauchy Aditiva . . . . . . . . . . . 10
3.1.2. Otras Ecuaciones Funcionales de Cauchy . . . . . . . . . . 15
3.2. Ecuacion funcional d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3. Ecuacion Funcional de Davison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.1. Solucion General de Ecuacion funcional de Davison . . . . 36
3.4. Ecuacion Funcional Cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
vi
4. ESTABILIDAD DE CIERTAS ECUACIONES FUNCIONALES 42
4.1. Estabilidad en la ecuacion funcional de Cauchy . . . . . . . . . . 43
4.1.1. Generalizacion del Teorema de Hyers . . . . . . . . . . . . 48
4.2. Estabilidad de la ecuacion funcional cuadratica . . . . . . . . . . 54
4.3. Estabilidad de la ecuacion funcional de Davison . . . . . . . . . . 60
4.3.1. Generalizacion de la estabilidad de la ecuacion funcional
de Davison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4. Estabilidad de la ecuacion funcional de d’Alembert . . . . . . . . 73
5. METODOS DE SOLUCION 83
5.1. Metodo de sustitucion de variables por valores . . . . . . . . . . . 83
5.2. Transformacion de una o varias variables . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3. Metodo del punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.4. Utilizando Simetrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.5. Metodo de Acotacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.6. Metodo Inductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.7. Metodo para ecuaciones polinomicas . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.8. Transformacion de una o varias funciones . . . . . . . . . . . . . . 102
5.9. Ecuaciones en diferencias lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.9.1. Solucion de la ecuacion homogenea . . . . . . . . . . . . . 105
5.9.2. Solucion de la ecuacion completa . . . . . . . . . . . . . . 109
6. APLICACIONES 115
6.1. Caracterizacion de la Distribucion Geometrica . . . . . . . . . . . 115
6.2. Suma de potencias de los numeros enteros . . . . . . . . . . . . . 119
6.2.1. Suma de los primeros n numeros naturales . . . . . . . . . 120
6.2.2. Suma de cuadrados de los primeros n numeros naturales . 121
6.2.3. Suma de kth potencias de los primeros n numeros naturales 123
6.3. Numeros de Combinaciones con n objetos . . . . . . . . . . . . . 127
BIBLIOGRAFIA 130
vii
LISTA DE TABLAS
5.1. Solucion particular de una ecuacion en diferencias lineal. . . . . . 110
6.1. Coeficientes de la suma de potencias de numeros naturales. . . . . 126
viii
TITULO: Analisis de la Estabilidad de algunas Ecuaciones Funcionales y Meto-
dos de Solucion.
Autor: Miguel Alonso Murillo Noblecilla
Tutor: Dr. Alvaro Danilo Gortaire Jativa, Ph.D.
RESUMEN
Este trabajo esta enfocado al estudio de la Teorıa de las Ecuaciones Funcionales,
donde se detalla varios metodos para resolver este tipo de ecuaciones. Se realizo el
analisis de ciertas ecuaciones funcionales importantes, con su respectivo estudio
de la estabilidad. La ecuacion funcional con la que se realizo la mayor parte de este
proyecto fue la ecuacion funcional de Cauchy aditiva, en la cual se basa la teorıa
de la estabilidad aplicando el teorema general de Hyers-Ulam y adicionalmente
se realizo algunas aplicaciones ocupando las ecuaciones de Cauchy.
PALABRAS CLAVES: ECUACIONES FUNCIONALES / ESTABILIDAD /
ECUACION ADITIVA DE CAUCHY / TEOREMA DE HYERS-ULAM.
ix
TITLE: Stability Analysis of some Functional Equations and Solution Methods.
Author: Miguel Alonso Murillo Noblecilla
Tutor: Dr. Alvaro Danilo Gortaire Jativa, Ph.D.
ABSTRACT
This work is focused on the study of Functional Equations Theory, where several
methods to solve this type of equations are detailed. The analysis of certain im-
portant functional equations was carried out, with their respective stability study.
The functional equation with which, most of this project was carried out, was
the additive Cauchy functional equation, on which the stability theory is based
on, applying the general Hyers-Ulam theorem and additionally some applications
were made occupying the equations of Cauchy
KEYWORDS: FUNCTIONAL EQUATIONS / STABILITY / CAUCHY AD-
DITIVE EQUATION / HYERS-ULAM THEOREM.
x
INTRODUCCION
Una ecuacion que involucra una funcion desconocida y sus terminos tienen la deri-
vada de la funcion de cualquier orden se denomina ecuacion diferencial, ejemplos
de ecuaciones diferenciales son:
f ′(x) +mx = c,
para todo x ∈ I.
f ′′(x) + f ′(x) + sin(x) = 0,
para todo x ∈ J , donde I, J son subconjuntos de los numeros reales. Para el
estudio de la ecuaciones diferenciales existe una teorıa bien detallada.
Las ecuaciones que involucran integrales de una funcion se las conoce como ecua-
ciones integrales, algunos ejemplos de ecuaciones integrales son:
f(x) = ex −∫ x
0
ex−tf(t) dt,
para todo x ∈ I.
f(x) = sen(x) +
∫ 1
0
[1− x cos(x t)] f(t) dt,
para todo x ∈ J.
f(x) =
∫ x
0
[t f 2(t)− 1
]dt,
para todo x ∈ M , donde I, J,M son subconjuntos de los numeros reales. Al
igual que con las ecuaciones diferenciales, existe una teorıa bien estudiada de las
ecuaciones integrales.
Las ecuaciones funcionales son ecuaciones en las que las incognitas son funciones.
Algunos ejemplos de ecuaciones funcionales son:
f(x+ y) = f(x) + f(y),
1
f(x+ y) = f(x) g(y) + f(y) g(x),
f(x+ y) + f(x− y) = 2 f(x) + 2 f(y),
f(x)− f(y) = (x− y)h(x+ y),
g(f(x)) = α f(x),
para todo x, y ∈ R. El campo de las ecuaciones funcionales incluye ecuaciones
diferenciales, ecuaciones en diferencias y ecuaciones integrales, en este trabajo no
se profundizara el estudio de ninguna de estas ecuaciones.
El tema de la teorıa de ecuaciones funcionales es una rama de la Matematica,
en la cual matematicos importantes hicieron sus aportaciones como d’Alembert,
Abel, Cauchy, Gauss, Euler, Frechet, Kolmogorov, Lobachevsky, Darboux, Hil-
bert y otros mas. El estudio de las ecuaciones funcionales ha sido primordial por
sus resultados, pero al momento que se busca una aplicacion fısica se utiliza ecua-
ciones diferenciales ordinarias o en derivadas parciales. Sin embargo, el estudio
de las ecuaciones funcionales es mas general, porque no se asume la regularidad
de las soluciones y es de enorme importancia en el Analisis Matematico.
Las ecuaciones funcionales que se trataran en este trabajo son sobre el campo de
los numeros reales. Resolver una ecuacion funcional significa encontrar todas las
funciones que satisfacen la ecuacion funcional, para obtener la solucion a menudo
debe restringirse a la funcion (como acotada, continua, convexa, diferenciable,
medible o monotona) o transformar a una ecuacion conocida, por lo cual se de-
tallara en este trabajo metodos de solucion y algunas ecuaciones fundamentales.
Las ecuaciones funcionales que se estudiaran en el trabajo de investigacion es la
ecuacion funcional de Cauchy aditiva, otras ecuaciones de Cauchy, la ecuacion
funcional d’Alembert y la ecuacion funcional cuadratica.
En 1940 S. M. Ulam (ver [5]) planteo el siguiente problema: Si se reemplaza,
una ecuacion funcional dada por una desigualdad funcional, entonces bajo que
condiciones las soluciones de la desigualdad estan cercanas a la solucion de la
ecuacion, esto estudia la teorıa de la estabilidad de ecuaciones funcionales, lo
cual se relaciona con la siguiente pregunta: ¿Dados un grupo (G1, ·), un grupo
2
metrico (G2, ?) con la metrica d(·, ·) y un numero positivo ε existe un numero
real δ > 0 tal que la funcion f : G1 → G2 satisface d(f(x · y), f(x) ? f(y)) < δ,
para todo x, y ∈ G1. Entonces existe un homomorfismo T : G1 → G2 tal que
d(f(x), T (x)) < ε, para todo x ∈ G1?. D. H. Hyers presento el resultado al
problema de Ulam, lo que contribuyo gran parte de la teorıa de la estabilidad de
las ecuaciones funcionales, con esta idea se estudiara la estabilidad de algunas
ecuaciones utilizando el teorema de Hyers-Ulam.
En el Capıtulo 6 se muestra algunas aplicaciones de las ecuaciones funciona-
les donde se utiliza las ecuaciones funcionales de Cauchy para el estudio de los
siguientes problemas: la caracterizacion de la distribucion geometrica, numero
de combinaciones con n objetos y encontrar una funcion fk(n) para la suma
de kth potencias de los primeros n numeros enteros naturales, es decir fk(n) =
1k+2k+ . . .+nk, donde n y k son numeros enteros positivos, este problema man-
tuvo interesado a los matematicos mas de 300 anos desde el tiempo de James
Bernoulli (1658-1705).
3
CAPITULO 1
DEFINICION DEL PROBLEMA
FORMULACION DEL PROBLEMA
La estabilidad es el objeto esencial en el estudio de la teorıa de ecuaciones funcio-
nales, es averiguar y analizar que sucede cuando una ecuacion tiene un pequeno
cambio en su argumento o cuando se anade un termino. ¿La solucion sigue siendo
igual o tiene una variacion?, ¿cual es el proceso para obtener la soluciones de las
ecuaciones funcionales? y ¿en que se las puede aplicar?
JUSTIFICACION DEL PROBLEMA
Las ecuaciones funcionales tienen origen al mismo tiempo que el concepto de
funcion, en los anos 1747 a 1750 J. d’Alembert publico algunos artıculos relacio-
nados las ecuaciones funcionales. El primer avance significativo es un problema
sobre la ley del paralelogramo para la suma de fuerzas (ver [1]). En 1769 J.
d’Alembert simplifico el problema en encontrar la solucion de la ecuacion funcio-
nal f(x + y) + f(x − y) = 2 f(x) f(y), ademas matematicos famosos estudiaron
ecuaciones funcionales por su aparente simplicidad y naturaleza armonica, aun-
que el estudio moderno se origino hace 270 anos un desarrollo significativo en
la disciplina se lo realizo en los ultimos 70 anos. En 1900 David Hilbert sugirio
con la conexion del 5o problema que aplicando tecnicas elegantes y potentes de
teorıa de ecuaciones diferenciales se puede resolver ecuaciones funcionales sin la
regularidad necesaria de la diferencial, por este motivo muchos investigadores han
tomado algunas ecuaciones funcionales con una leve suposicion de regularidad,
lo que da lugar a la teorıa moderna de ecuaciones funcionales.
4
OBJETIVOS
Objetivo General
Estudiar la estabilidad de algunas ecuaciones funcionales utilizando de referencia
la estabilidad del tipo Hyers-Ulam, probada en la ecuacion funcional de Cauchy
aditiva.
Objetivos Especıficos:
a) Realizar el estudio de la solucion de algunos tipos de ecuaciones funcionales.
b) Detallar algunos metodos para la solucion de ecuaciones funcionales sobre
el campo de los numeros reales.
c) Presentar algunas aplicaciones de las ecuaciones funcionales utilizando los
resultados de ecuaciones tradicionales.
5
CAPITULO 2
FUNDAMENTOS MATEMATICOS
En el presente trabajo se tienen en cuenta el conjunto de lo numeros naturales
como N := {1, 2, 3, . . .} y el conjunto de los numeros reales positivos como
R+ := {x ∈ R | x > 0}.
2.1 Conceptos Basicos de Ecuaciones Funcionales
Definicion 2.1 (Ecuacion Funcional [3]). Una ecuacion funcional es una ecua-
cion que se expresa a traves de una combinacion de variables independientes,
funciones conocidas, constantes y funciones desconocidas, cuya expresion y valor
de la funcion incognita deben ser resueltos; pero se excluyen ecuaciones diferen-
ciales, ecuaciones integrales y otros tipos de ecuaciones que contienen operadores
infinitesimales.
Definicion 2.2 (Solucion particular de una Ecuacion Funcional [3]). Dada una
funcion o un conjunto de funciones se llamara solucion particular de una ecuacion
funcional si y solo si satisface la ecuacion funcional en su dominio de definicion.
Definicion 2.3 (Solucion general de una Ecuacion Funcional [3]). Dada una clase
de funciones F , la solucion general de una ecuacion funcional es la totalidad de
las soluciones particulares de esta clase F .
Ası, una ecuacion funcional se la puede definir como una tripleta (E,D,F) tal
que para todo f ∈ F se tenga la igualdad o relacion E
E [f, x] = 0,
para todo x ∈ D, donde f, x son vectores de funciones y variables desconocidas.
6
Definicion 2.4 (Equivalencia de Ecuaciones Funcionales [3]). Sean dos ecuacio-
nes funcionales,
E1 [f, x] = 0, para todo x ∈ D y f ∈ F1
E2 [f, x] = 0, para todo x ∈ D y f ∈ F2
se dice que son equivalentes si y solo si sus soluciones generales coinciden.
2.2 Espacios Metricos
Definicion 2.5. Sea X un conjunto no vacio. Se dice que d : X ×X → R define
una distancia (o metrica) en X si cumple las propiedades
(i) d(x, y) ≥ 0, para todo x, y ∈ X,
(ii) d(x, y) = 0 si y solo si x = y,
(iii) d(x, y) = d(y, x), para todo x, y ∈ X,
(iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z), para todo x, y, z ∈ X.
En estas condiciones, se dice que el par (X, d) es un espacio metrico.
Definicion 2.6. Sea (X, d) un espacio metrico y una funcion f : X → X, se dice
que f es contractiva si y solo si existe una constante k ∈ ]0, 1[ tal que
d(f(x), f(y)) ≤ k d(x, y),
para todo x, y ∈ X.
Teorema 2.2.1 (Punto fijo de Banach). Sea (X, d) un espacio metrico completo
y sea f : X → X una aplicacion contractiva. Entonces, existe un unico punto fijo
de f.
Demostracion. Sea x0 ∈ X. Se considera la sucesion (xn)n∈N definida por
x1 = f(x0), xn = f(xn−1).
Se va probar que (xn)n∈N es una sucesion de Cauchy.
Sea m,n ∈ N y m = n+ p. Luego,
7
d(xn, xn+1) = d (f(xn−1), f(xn)) ≤ k d (xn−1, xn) ,
para todo n ∈ N. Por ser f contractiva,
d(xn, xn+1) ≤ kn d(x0, x1), (2.1)
para todo n ∈ N. Ahora, utilizando (2.1), se tiene que
d(xn, xn+p) ≤ d(xn, xn+1) + d(xn+1, xn+p)
≤ kn d(x0, x1) + d(xn+1, xn+p)
≤ kn d(x0, x1) + kn+1 d(x0, x1) + d(xn+2, xn+p)
≤ kn d(x0, x1)
p−1∑i=0
ki.
para todo n ∈ N.
Ası, se puede acotar por una serie convergente dado que k ∈ ]0, 1[, se obtiene que
d(xn, xn+p) < kn d(x0, x1)∞∑i=0
ki
para todo n ∈ N. Tomando el limite cuando n→∞, se obtiene que
lımn→∞
d(xn, xn+p) < lımn→∞
(kn d(x0, x1)
∞∑i=0
ki
)= 0,
dado que k ∈ ]0, 1[. Por tanto, (xn)n∈N es una sucesion de Cauchy.
Como X es un espacio completo, entonces (xn)n∈N es convergente en X. Es decir,
lımn→∞
xn = x.
Ademas, f es una funcion contractiva, entonces f es una funcion continua.
Como xn = f(xn−1), para todo n ∈ N. Tomando el limite cuando n → ∞, se
tiene que f(x) = x, para todo x ∈ X. Por tanto, existe al menos un punto fijo
de f en X.
Se va probar que f tiene un unico punto fijo.
8
Se supone que f tiene dos puntos fijos x1, x2 ∈ X con x1 6= x2. Es decir, f(x1) =
x1 y f(x2) = x2. Luego, por ser f contractiva,
d(x1, x2) = d(f(x1), f(x2))
≤ k d(x1, x2),
donde k ∈ ]0, 1[ . Ası,
(1− k) d(x1, x2) ≤ 0
d(x1, x2) ≤ 0.
Como d(x1, x2) ≥ 0 y (1− k) > 0, entonces d(x1, x2) = 0 ası x1 = x2 y esto una
contradiccion con la suposicion.
Por tanto, se concluye que existe un unico punto fijo de f en X.
9
CAPITULO 3
ALGUNAS ECUACIONES FUNCIONALES
FUNDAMENTALES
En este capıtulo de dara a conocer la solucion de algunas ecuaciones funcionales
importantes para el estudio de la teorıa de ecuaciones funcionales.
3.1 Ecuaciones Funcionales de Cauchy
El matematico frances Augustin Louis Cauchy, fue el primero en dar un estudio
sistematico sobre las soluciones de algunas ecuaciones funcionales, esto lo publico
en su libro “Cours d’Analyse” en el Capıtulo 5 (ver [2]). Ahora, se va analizar la
resolucion de estas ecuaciones.
3.1.1 Ecuacion Funcional de Cauchy Aditiva
La ecuacion funcional aditiva, es la primera ecuacion funcional que estudio A.
L. Cauchy en 1821, guiandose en los trabajos de A. M. Legendre (1791) y C. F.
Gauss (1809); que fueron los que iniciaron con el estudio de las funciones aditivas.
Una funcion f : R→ R se dice aditiva si satisface la ecuacion funcional
f(x+ y) = f(x) + f(y), (3.1)
para todo x, y ∈ R. Se realizo el estudio de esta ecuacion considerando funciones
continuas. Las unicas con estas condiciones que satisfacen la ecuacion (3.1) son
las aplicaciones lineales, es decir
f(x) = c x,
para todo x ∈ R, donde c es una constante real.
10
Teorema 3.1.1 ([7]). Sea f : R→ R una funcion aditiva y continua que satisface
la ecuacion de Cauchy (3.1). Entonces, f es lineal.
Demostracion. Sea x ∈ R. Integrando ambos lados de la ecuacion (3.1) con res-
pecto a y, se obtiene que
∫ 1
0
f(x) dy =
∫ 1
0
[f(x+ y)− f(y)] dy,
para todo x ∈ R. Se realiza el siguiente cambio de variable u = x + y, se tiene
que
f(x) =
∫ 1+x
x
f(u) du−∫ 1
0
f(y) dy,
para todo x ∈ R. Como f es continua, entonces por el teorema fundamental del
calculo, se tiene que
f ′(x) = f(1 + x)− f(x), (3.2)
para todo x ∈ R. Reemplazando y = 1 en la ecuacion (3.1), se obtiene que
f(1 + x) = f(1) + f(x), (3.3)
para todo x ∈ R. Sustituyendo la ecuacion (3.3) en (3.2), se obtiene que
f ′(x) = f(1) +���f(x)−���f(x),
para todo x ∈ R. Ası,
f ′(x) = c,
para todo x ∈ R, donde c = f(1). Por el teorema Picard-Lindelof existe una
unica solucion para la ecuacion diferencial. Entonces,
f(x) = cx+ d,
para todo x ∈ R, donde d ∈ R.
Sustituyendo la ecuacion anterior en (3.1), se tiene que
c (x+ y) + d = (c x+ d) + (c y + d)
d = 2d.
Ası, d = 0. Por tanto,
11
f(x) = c x,
para todo x ∈ R, donde c ∈ R. Entonces, f es lineal.
Se observa que como f es una funcion continua, entonces f es una funcion inte-
grable. De lo cual, la integrabilidad de la funcion determino que la solucion de la
ecuacion funcional (3.1) sea lineal.
En la demostracion del teorema se utilizo algunos resultados del calculo, ahora
se va realizar una demostracion sin el uso del calculo para poder entender el
comportamiento de la solucion de la ecuacion funcional de Cauchy aditiva.
En los teoremas siguientes las demostraciones se realizara sobre el conjunto de los
numeros racionales, debido a que se puede extender al conjunto de los numeros
reales. Este resultado se obtiene porque, Q es denso en R.
Teorema 3.1.2 ([7]). Sea f : R→ R una funcion aditiva que satisface la ecua-
cion (3.1). Entonces, f es lineal en el conjunto de los numeros racionales Q.
Demostracion. Sea f una funcion aditiva. Sustituyendo x = y = 0 en la ecuacion
(3.1), se obtiene que
f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0) = 2 f(0).
Ası, f(0) = 0.
Ahora, reemplazando y = −x en la ecuacion (3.1), se tiene que
0 = f(0) = f(x+ (−x)) = f(x) + f(−x),
para todo x ∈ R. Ası,
f(−x) = −f(x),
para todo x ∈ R. Por tanto, f es impar.
Se va a construir una formula recursiva. Sea x ∈ R. Sustituyendo y = x en la
ecuacion (3.1), se obtiene que
f(2x) = f(x+ x) = f(x) + f(x) = 2 f(x),
para todo x ∈ R. Ademas, reemplazando x por 2x y y = x en la ecuacion (3.1)
12
y por la ecuacion anterior, se obtiene que
f(3x) = f(2x+ x) = 2 f(x) + f(x) = 3 f(x),
para todo x ∈ R . Se va probar por induccion que
f(nx) = n f(x), (3.4)
para todo n ∈ N y todo x ∈ R.
Sea x ∈ R. Para n = 1, es verdadero.
Para n = k ∈ N, se supone que es verdadero tal que
f(k x) = k f(x), (3.5)
para todo x ∈ R. Para n = k + 1,
f((k + 1)x) = f(k x+ x)
= f(k x) + f(x) por (3.1)
= k f(x) + f(x) por (3.5)
= (k + 1) f(x),
para todo x ∈ R. Por tanto, se ha demostrado que f(nx) = n f(x), para todo
n ∈ N y todo x ∈ R.
Se supone que n es un entero negativo, entonces −n es un entero positivo.
Como f es impar, se obtiene que
f(nx) = f(−(−n)x)
= −f((−n)x)
= −(−n) f(x) por (3.4)
= n f(x),
para todo x ∈ R. Ası,
f(nx) = n f(x),
para todo x ∈ R y todo n entero negativo.
De la ecuacion anterior y (3.4), se concluye que
f(nx) = n f(x), (3.6)
13
para todo n ∈ Z y todo x ∈ R.
Sea r ∈ Q. Es decir,
r =m
n
r x =(mn
)x
n(r x) = mx,
donde m ∈ Z y n ∈ N. Entonces, utilizando (3.6), se tiene que
mf(x) = f(mx)
= f(n (r x))
= n f(r x),
para todo x ∈ R. Ası,
f(r x) =m
nf(x) = r f(x), (3.7)
para todo x ∈ R y todo r ∈ Q. Ademas, evaluando en x = 1 la ecuacion (3.7), se
obtiene que
f(r) = r f(1),
para todo r ∈ Q. Tomando c = f(1), se tiene que f(r) = c r, para todo r ∈ Q.
Por tanto, se ha demostrado que f es lineal en el conjunto de los numeros racio-
nales.
Teorema 3.1.3 (Cauchy [2]). Sea f : R → R una funcion continua aditiva que
satisface la ecuacion funcional (3.1). Entonces, f es lineal.
Demostracion. Sea f una funcion continua que es la solucion de la ecuacion (3.1).
Como Q es un conjunto denso en R, entonces para cualquier x ∈ R existe una
sucesion {rn}n∈N en Q, tal que
lımn→∞
rn = x.
Ademas, f satisface la ecuacion de Cauchy aditiva y por el Teorema 3.1.2, se
obtiene que
f(rn) = c · rn,
14
para todo n ∈ N. Ahora, usando la continuidad de f , se concluye que
f(x) = f(
lımn→∞
rn
)= lım
n→∞f(rn)
= lımn→∞
c · rn
= c x,
para todo x ∈ R. Por tanto, f(x) = c x, para todo x ∈ R. De lo cual, f es
lineal.
3.1.2 Otras Ecuaciones Funcionales de Cauchy
En esta seccion se realizara el estudio de tres ecuaciones funcionales de Cauchy,
que son las siguientes:
f(x+ y) = f(x) · f(y), (3.8)
f(x y) = f(x) + f(y), (3.9)
f(x y) = f(x) · f(y), (3.10)
para todo x, y ∈ R. La expresion (3.8) se conoce como ecuacion exponencial,
la expresion (3.9) se conoce como ecuacion logarıtmica y la expresion (3.10) se
conoce como ecuacion multiplicativa.
La solucion general de cada ecuacion funcional se puede reducir en terminos de la
ecuacion aditiva de Cauchy (3.1), mediante operaciones algebraicas. Por ultimo,
el uso de la solucion general de la ecuacion (3.1) proporciona la solucion continua
para cada ecuacion funcional.
Teorema 3.1.4 (Ecuacion Exponencial de Cauchy [7])..
Sea f : R→ R una funcion continua, solucion general de la ecuacion funcional
f(x+ y) = f(x) · f(y), (3.8)
para todo x, y ∈ R. Entonces, existe una constante c ∈ R tal que
f(x) = 0 y f(x) = ec x,
15
para todo x ∈ R.
Demostracion. (i) En este ıtem, se va probar que f(x) = 0, para todo x ∈ R.
En efecto, sustituyendo x = y =t
2en la ecuacion (3.8), se obtiene que
f(t) = f
(t
2+t
2
)= f
(t
2
)· f(t
2
)= f 2
(t
2
),
para todo t ∈ R. Por tanto, f(t) ≥ 0, para todo t ∈ R.
Ahora, se va suponer que existe t0 ∈ R tal que f(t0) = 0, entonces
f(t) = f(t− t0 + t0) = f(t− t0) · f(t0) = 0.
Ası,
f(t) = 0, (3.11)
para todo t ∈ R. Por tanto, se ha demostrado que (3.11) es solucion de la ecuacion
(3.8)
(ii) En este ıtem, se va probar que existe una constante c ∈ R tal que
f(x) = ec x,
para todo x ∈ R.
Si f(t) es estrictamente positiva y aplicando el logaritmo ambos lados de (3.8),
se obtiene que
log f(x+ y) = log [f(x) · f(y)] = log f(x) + log f(y), (3.12)
para todo x, y ∈ R. Se define una funcion A : R→ R dada por
A(x) := log f(x),
donde f(x) > 0, para todo x ∈ R. Entonces, la ecuacion (3.12) se transforma en
A(x+ y) = A(x) + A(y),
para todo x, y ∈ R. Como f es continua, entonces A es continua y satisface las
condiciones del Teorema 3.1.3. En consecuencia, existe una constante c ∈ R tal
que
16
A(x) = c x,
para todo x ∈ R. Ası,
f(x) = eA(x) = ec x, (3.13)
para todo x ∈ R, donde c ∈ R.
Por tanto, se ha demostrado que (3.13) es solucion de la ecuacion (3.8).
Teorema 3.1.5 (Ecuacion Logarıtmica de Cauchy [7])..
Sea f : R→ R una funcion continua, solucion general de la ecuacion funcional
f(x y) = f(x) + f(y), (3.9)
para todo x, y ∈ T. Entonces, existe una constante c ∈ R tal que
f(x) =
0 si x ∈ T = R, (i)
c log(x) si x ∈ T = R+, (ii)
c log(|x|) si x ∈ T = Rr {0}. (iii)
Demostracion. (i) En este ıtem, se va probar que f(x) = 0, para todo x ∈ R.
En efecto, sustituyendo y = 0 en la ecuacion (3.9), se obtiene que
f(0) = f(x · 0) = f(x) + f(0).
para todo x ∈ R. Ası,
f(x) = 0, (3.14)
para todo x ∈ R. Por tanto, se ha demostrado que (3.14) es solucion de la ecuacion
(3.9).
(ii) En este ıtem, se va probar que existe una constante c ∈ R tal que
f(x) = c log(x),
para todo x ∈ R+.
Sea x, y ∈ R+. Aplicando el siguiente cambio de variable x = eu ⇔ u = log(x),
y = ev ⇔ v = log(y),
17
en la ecuacion (3.9) y dado que x, y ∈ R+, se ve que u, v ∈ R. Entonces,
f(eu+v) = f(eu · ev) = f(eu) + f(ev), (3.15)
para todo u, v ∈ R. Se define una funcion A : R→ R dada por
A(x) := f(ex),
para todo x ∈ R. Entonces, la ecuacion (3.15) se transforma en
A(u+ v) = A(u) + A(v),
para todo u, v ∈ R. Como f es continua, entonces A es una funcion continua y
satisface las condiciones del Teorema 3.1.3. En consecuencia, existe una constante
c ∈ R tal que
A(x) = c x,
para todo x ∈ R. Ası,
f(x) = c log x, (3.16)
para todo x ∈ R+, donde c ∈ R.
Por tanto, se ha demostrado que (3.16) es solucion de la ecuacion (3.9).
(iii) Finalmente, se va probar que existe una constante c ∈ R tal que
f(x) = c log (|x|) ,
para todo x ∈ Rr {0}.
Sea x, y ∈ Rr {0}. Se realiza las siguientes sustituciones x = y = t,
x = y = −t
en la ecuacion (3.9). Luego, f(t2) = f(t) + f(t),
f(t2) = f(−t) + f(−t),
para todo t ∈ Rr {0.} Igualando las anteriores ecuaciones, se obtiene que
f(t) + f(t) = f(−t) + f(−t)
f(t) = f(−t),
18
para todo t ∈ Rr {0}. Por tanto, f es par.
Como f es par y por (3.16), se tiene que
f(x) = c log (|x|) (3.17)
para todo x ∈ Rr {0}. Por tanto, se ha demostrado que (3.17) es solucion de la
ecuacion (3.9).
Teorema 3.1.6 (Ecuacion Multiplicativa de Cauchy [7])..
Sea f : R→ R una funcion continua, solucion general de la ecuacion funcional
f(x y) = f(x) · f(y), (3.10)
para todo x, y ∈ R. Entonces, existe una constante c ∈ R tal que
f(x) = 0, f(x) = 1,
f(x) = |x|c y f(x) = |x|c · sgn(x),
para todo x ∈ R.
Demostracion. (i) En este ıtem, se va probar que f(x) = 0, para todo x ∈ R.
Sea x ∈ R+. Entonces, sustituyendo x por√x y y =
√x en la ecuacion (3.10),
se tiene que
f(x) = f(√x ·√x) = f(
√x) · f(
√x) = f 2
(√x),
para todo x ∈ R+. Por tanto,
f(x) ≥ 0, (3.18)
para todo x ∈ R+. Ahora, se supone que existe un x0 ∈ Rr{0} tal que f(x0) = 0.
Entonces, por la ecuacion (3.10), se obtiene que
f(x) = f
(x0
x
x0
)= f(x0) · f
(x
x0
)= 0,
para todo x ∈ R. Ası,
f(x) = 0, (3.19)
para todo x ∈ R. Por tanto, se ha demostrado que (3.19) es solucion de la ecuacion
(3.10).
19
(ii) En este ıtem, se va probar que f(x) = 1, para todo x ∈ R.
Sustituyendo x = 0 = y en la ecuacion (3.10), se tiene que
f(0) = f(0) · f(0)
f(0) [1− f(0)] = 0.
Ası,
f(0) = 0 o f(0) = 1. (3.20)
Si f(0) = 1 entonces, sustituyendo y = 0 en la ecuacion (3.10), se obtiene que
f(0) = f(x) · f(0)
para todo x ∈ R. Ası,
f(x) = 1, (3.21)
para todo x ∈ R. Por tanto, se ha demostrado que (3.21) es solucion de la ecuacion
(3.10).
(iii) En este ıtem, se va probar que existe una constante c ∈ R tal que
f(x) = |x|c,
para todo x ∈ R.
Se supone que f(x) 6= 0, para todo x ∈ Rr {0} y por la ecuacion (3.18), se tiene
que f(x) > 0, para todo x > 0.
Se realiza el siguiente cambio de variable x = eu ⇔ u = log(x),
y = ev ⇔ v = log(y).
en la ecuacion (3.10) y dado que x, y ∈ R+, se ve que u, v ∈ R. Entonces,
f(eu+v) = f(eu) · f(ev)
log(f(eu+v)) = log [f(eu) · f(ev)] = log [(eu)] + log [f(ev)] , (3.22)
para todo u, v ∈ R. Se define una funcion A : R→ R por
A(x) := log [f(ex)] ,
20
para todo x ∈ R, donde f(y) > 0, para todo y > 0. Entonces, la ecuacion (3.22)
se transforma en
A(u+ v) = A(u) + A(v),
para todo u, v ∈ R. Como f es continua, entonces A es continua y satisface las
condiciones del Teorema 3.1.3. En consecuencia, existe una constante c ∈ R tal
que
A(x) = c x,
para todo x ∈ R. Ası,
f(x) = xc, (3.23)
para todo x ∈ R+. Sustituyendo x = 1 = y en la ecuacion (3.10), se tiene que
f(1) · [1− f(1)] = 0. Entonces,
f(1) = 0 o f(1) = 1.
Si f(1) = 1, sustituyendo x = −1 = y en la ecuacion (3.10), se obtiene que
f(1) = f(−1) · f(−1) = f 2(−1).
Ası,
f(−1) = 1 o f(−1) = −1.
Si f(−1) = 1, sustituyendo y = −1 en (3.10), se obtiene que
f(−x) = f(x) · f(−1) = f(x),
para todo x ∈ Rr {0}. Ası,
f(−x) = f(x),
para todo x ∈ Rr {0}. Por tanto, f es par.
Como f es par y de las ecuaciones (3.20) y (3.23), se obtiene que
f(x) = |x|c, (3.24)
para todo x ∈ R, donde c ∈ R.
Por tanto, se ha demostrado que (3.24) es solucion de la ecuacion (3.10).
(iv) Finalmente, se va probar que existe una constante c ∈ R tal que
21
f(x) = |x|c · sgn(x),
para todo x ∈ R.
Si f(−1) = −1, sustituyendo y = −1 en la ecuacion (3.10), se obtiene que
f(−x) = f(x) · f(−1) = −f(x)
para todo x ∈ Rr {0}. Ası,
f(−x) = −f(x),
para todo x ∈ Rr {0}. Por tanto, f es impar.
Como f es impar y de las ecuaciones (3.20) y (3.24), se obtiene
f(x) = |x|c · sgn(x), (3.25)
para todo ∀x ∈ R, donde c ∈ R. Ası,
f(x) =
|x|c si x > 0,
0 si x = 0,
−|x|c. si x < 0
Por tanto, se ha demostrado que (3.25) es solucion de la ecuacion (3.10).
3.2 Ecuacion funcional d’Alembert
La ecuacion funcional que se va estudiar en esta seccion, la comenzo estudiando
Jean d’Alembert en 1769, Poisson en 1804 y Picard en 1922. El que determino la
solucion continua de la ecuacion funcional d’Alembert fue A. L. Cauchy.
Esta definida como una funcion f : R→ R tal que satisface la ecuacion funcional
f(x+ y) + f(x− y) = 2 f(x) · f(y),
para todo x, y ∈ R.
22
Teorema 3.2.1. Sea f : R → R una funcion continua, solucion general de la
ecuacion funcional
f(x+ y) + f(x− y) = 2 f(x) · f(y), (3.26)
para todo x, y ∈ R. Entonces, existen α, β constantes reales tal que
f(x) = 0, f(x) = 1,
f(x) = ch(αx) y f(x) = cos(β x),
para todo x ∈ R.
Demostracion. (i) En este ıtem, se va probar que f(x) = 0, para todo x ∈ R.
En efecto, sustituyendo x = 0 = y en (3.26), se obtiene que
f(0) + f(0) = 2 [f(0)]2 ,
Ası,
f(0) = 0 o f(0) = 1.
Si f(0) = 0, sustituyendo y = 0 en la ecuacion (3.26), se obtiene que
f(x) + f(x) = 2 f(x) ·���*0
f(0),
para todo x ∈ R. Ası,
f(x) = 0, (3.27)
para todo x ∈ R. Por tanto, se ha demostrado que (3.27) es solucion de la ecuacion
(3.26).
(ii) En este ıtem, se va probar que f(x) = 1, para todo x ∈ R.
Si f(0) = 1, se supone que f(x) 6= 0, para todo x ∈ R. Se va probar que f es una
funcion par.
Sustituyendo x = 0 en la ecuacion (3.26), se obtiene que
f(y) + f(−y) = 2���*1
f(0) · f(y)
f(y) + f(−y) = 2 f(y)
para todo y ∈ R. Ası,
f(−y) = f(y),
23
para todo y ∈ R. Por tanto, f es par.
Como f es una funcion continua en R, entonces f es integrable en cualquier
intervalo finito. En consecuencia, para t > 0 en (3.26), se obtiene que∫ t
−tf(x+ y) dy +
∫ t
−tf(x− y) dy = 2 f(x) ·
∫ t
−tf(y) dy, (3.28)
para todo x ∈ R. Se realiza la siguiente sustitucion z = x+ y,
w = x− y,
en la ecuacion (3.28), se obtiene que∫ x+t
x−tf(z) dz +
∫ x−t
x+t
f(w) (−dw) = 2 f(x) ·∫ t
−tf(y) dy,
para todo x ∈ R. Ası,∫ x+t
x−tf(y) dy +
∫ x+t
x−tf(y) dy = 2 f(x) ·
∫ t
−tf(y) dy∫ x+t
x−tf(y) dy = f(x) ·
∫ t
−tf(y) dy, (3.29)
para todo x ∈ R. Como f es continua y f(0) = 1, entonces existe t > 0 tal que∫ t
−tf(y) dy > 0. (3.30)
Por el teorema fundamental del calculo la parte izquierda de la ecuacion (3.29)
es derivable con respecto a x y de (3.30) que no depende de x. De lo cual, f es
derivable con respecto a x.
d
dx
∫ x+t
x−tf(y) dy =
d
dx
[f(x) ·
∫ t
−tf(y) dy
]f(x+ t)− f(x− t) = f ′(x) ·
∫ t
−tf(y) dy,
para todo x ∈ R. Ası,
f ′(x) =f(x+ t)− f(x− t)∫ t
−tf(y) dy
, (3.31)
para todo x ∈ R. Como f es continua, entonces f ′ es continua por la definicion
de (3.31).
24
Se calcula la derivada de la ecuacion (3.31) con respecto a x, dado que f es
derivable con respecto a x, se tiene que
d
dx(f(x+ t)− f(x− t)) =
d
dx
[f ′(x) ·
∫ t
−tf(y) dy
],
para todo x ∈ R. Ası,
f ′′(x) =f ′(x+ t)− f ′(x− t)∫ t
−tf(y) dy
,
para todo x ∈ R. Como f ′ es continua, entonces f ′′ es continua.
Se va probar por induccion que
f (n)(x) =f (n−1)(x+ t)− f (n−1)(x− t)∫ t
−tf(y) dy
, (3.32)
para todo n ∈ N y todo x ∈ R.
Sea x ∈ R. Para n = 1, es verdadero por (3.31).
Para n = k ∈ N, se supone que es verdadero tal que
f (k)(x) =f (k−1)(x+ t)− f (k−1)(x− t)∫ t
−tf(y) dy
,
para todo x ∈ R. Para n = k + 1, se utiliza que f (k) es derivable con respecto a
x y de la ecuacion anterior, se obtiene que
d
dx
(f (k)(x)
)=
d
dx
f (k−1)(x+ t)− f (k−1)(x− t)∫ t
−tf(y) dy
,
para todo x ∈ R. Ası,
f (k+1)(x) =f (k)(x+ t)− f (k)(x− t)∫ t
−tf(y) dy
,
para todo x ∈ R. Por tanto, se ha demostrado (3.32).
Ademas, la continuidad de f (n) es porque f (n−1) es continua para todo n ∈ N.
De lo cual, f es continuamente diferenciable.
Sustituyendo x = 0 en (3.31), se obtiene que
f(t)− f(−t) = f ′(0) ·∫ t
−tf(y) dy,
25
para todo t ∈ R. Como f es una funcion par, entonces
f ′(0) ·∫ t
−tf(y) dy = 0.
Ası, f ′(0) = 0.
Calculando la segunda derivada con respecto a y a la ecuacion (3.26), se obtiene
que
f ′(x+ y)− f ′(x− y) = 2 f(x) · f ′(y),
para todo x, y ∈ R. Ası,
f ′′(x+ y) + f ′′(x− y) = 2 f(x) · f ′′(y),
para todo x, y ∈ R. Evaluando en y = 0 la ecuacion anterior, se tiene que
2 f ′′(x) = 2 f(x)f ′′(0),
para todo x ∈ R. De lo cual, se tiene la siguiente ecuacion diferencial ordinaria
de problema de valor inicial. d2y
dx2= k y,
y(0) = 1,
y′(0) = 0,
(3.33)
donde k = f ′′(0). Para resolver (3.33), se considera los siguientes casos: k = 0,
k > 0 y k < 0.
Si k = 0, para la ecuacion (3.33), se transforma en
d2y
dx2= 0
la misma tiene por solucion general,
y(x) = c1 x+ c2,
para todo x ∈ R. Reemplazando las condiciones iniciales, se tiene que c2 = 1 y
c1 = 0. Entonces,
f(x) = 1, (3.34)
para todo x ∈ R. Por tanto, se ha demostrado que (3.34) es solucion de la ecuacion
26
(3.26).
Se observa que la ecuacion (3.33), es de segundo orden con coeficientes constantes
sus soluciones fundamentales son de la forma y = emx, donde m se determina a
partir del polinomio caracterıstico m2 = k.
(iii) En este ıtem, se va probar que existe una constante α ∈ R tal que
f(x) = ch(αx),
para todo x ∈ R.
Si k > 0, el polinomio tiene dos raıces reales. Es decir, m = ±√k tomando
α =√k ∈ R, se tiene que
y(x) = c1eαx + c2e
−αx,
para todo x ∈ R. Reemplazando las condiciones iniciales,
y(0) = 1
c1 + c2 = 1. (3.35)
Ademas, como α > 0, se tiene que
y′(0) = 0[c1 α e
αx − c2 α e−αx] ∣∣∣x=0
= 0
c1 α− c2 α = 0.
Ası,
c1 − c2 = 0. (3.36)
De las ecuaciones (3.35) y (3.36), se concluye que c1 = 12
= c2. Entonces,
f(x) =eαx + e−αx
2= ch(αx), (3.37)
para todo x ∈ R. Por tanto, se ha demostrado que (3.37) es solucion de la ecuacion
(3.26).
(iv) Finalmente, se va probar que existe una constante β ∈ R tal que
f(x) = cos(β x),
para todo x ∈ R.
27
Si k < 0, el polinomio tiene dos raıces imaginarias. Es decir, m = ±i√−k to-
mando β =√−k ∈ R, se tiene que
y(x) = c1 cos(β x) + c2 sen(β x),
para todo x ∈ R. Reemplazando las condiciones iniciales, se tiene que si y(0) = 1,
entonces c1 = 1.
Ademas, como β > 0, se tiene que
y′(0) = 0
[−c1 β sen(β x) + c2 β cos(β x)]∣∣∣x=0
= 0
c2 β = 0.
Ası, c2 = 0. Entonces, f(x) = cos(β x), para todo x ∈ R. De lo cual, es solucion
de la ecuacion (3.26).
Caracterizacion de la Funcion Coseno: Esta caracterizacion la resolvio Van
Vleck (1910).
Teorema 3.2.2. Sea α ∈ R r {0} y f : R → R una funcion continua tal que
satisface
f(x− y + α)− f(x+ y + α) = 2 f(x) · f(y), (3.38)
para todo x, y ∈ R si y solo si
f(x) =
0 si x ∈ R, (i)
cos( π
2α(x− α)
)si x ∈ R. (ii)
Demostracion. (i) En este ıtem, se va probar que f(x) = 0, para todo x ∈ R.
Sea α ∈ Rr {0}. Sustituyendo x = 0 = y en la ecuacion (3.38), se tiene que
���f(α)−���f(α) = 2 f(0) f(0).
Ası, f(0) = 0.
Se supone que f(0) 6= 0, reemplazando y = 0 en la ecuacion (3.38), se obtiene
que
f(x+ α)− f(x+ α) = 2 f(x) f(0),
28
para todo x ∈ R. Entonces, f(x) = 0, para todo x ∈ Rr {0}.Por tanto, se concluye que f(x) = 0, para todo x ∈ R. De lo cual, es solucion de
la ecuacion (3.38).
(ii) En este ıtem, se va probar que
f(x) = cos( π
2α(x− α)
),
para todo x ∈ R. Se supone que f(x) 6= 0, para x ∈ R. Sustituyendo y por −y
en la ecuacion (3.38), se obtiene que
f(x+ y + α)− f(x− y + α) = 2 f(x) f(−y), (3.39)
para todo x, y ∈ R. Igualando las ecuaciones (3.38) y (3.39), se obtiene que
f(x) f(y) = −f(x) f(−y),
para todo x, y ∈ R. Como f(x) 6= 0, para todo x ∈ R. Entonces,
f(−y) = −f(y),
para todo y ∈ R. Por tanto, f es impar.
Sustituyendo x con y en la ecuacion (3.38), se tiene que
f(y − x+ α)− f(y + x+ α) = 2 f(y) f(x), (3.40)
para todo x, y ∈ R. Igualando las ecuaciones (3.38) y (3.40), se obtiene que
f(x− y + α) = f(y − x+ α)
= f(−(x− y) + α)
para todo x, y ∈ R. Por ser f impar,
f(x− y + α) = −f(x− y − α),
para todo x, y ∈ R. Evaluando en y = 0 en la ecuacion anterior, se tiene que
f(x+ α) = −f(x− α), (3.41)
para todo x ∈ R. Ası, reemplazando x por x + α en la ecuacion anterior, se
obtiene que
f(x+ 2α) = −f(x),
29
para todo x ∈ R. Es decir, f no es de periodo 2α.
Ahora, sustituyendo x por x+ 2α en la ecuacion (3.41), se obtiene que
f(x+ 3α) = −f(x+ α), (3.42)
para todo x ∈ R. Igualando las ecuaciones (3.41) y (3.42), se obtiene que
f(x+ 3α) = f(x− α),
para todo x ∈ R. Reemplazando x por x+α en la ecuacion anterior, se tiene que
f(x+ 4α) = f(x),
para todo x ∈ R. Por tanto, se concluye que f es una funcion periodica, con
periodo 4α.
Sustituyendo x por x+ α y y por y + α en la ecuacion (3.38), se tiene que
f(x− y + α)− f(x+ y + 3α) = 2 f(x+ α) · f(y + α),
para todo x, y ∈ R. Ası, utilizando (3.42), se tiene que
f(x− y + α) + f(x+ y + α) = 2 f(x+ α) · f(y + α), (3.43)
para todo x, y ∈ R. Se define una funcion A : R→ R por
A(x) := f(x+ α),
para todo x ∈ R, donde α ∈ Rr {0}. Entonces, la ecuacion (3.43), se transforma
en
A(x+ y) + A(x− y) = 2A(x) · A(y),
para todo x, y ∈ R. Como f es una funcion continua, entonces A es una funcion
continua y satisface las condiciones del Teorema 3.2.1. En consecuencia, se tiene
los siguientes casos:
Si A(x) = 0, entonces f(x) = 0, para todo x ∈ R que es solucion de (3.38),
pero se supuso que f(x) 6= 0. Por tanto, no es la solucion buscada.
Si A(x) = 1, entonces f(x) = 1, para todo x ∈ R. Sustituyendo f(x) = 1
30
en la ecuacion (3.38), se obtiene una expresion falsa. Por tanto, no es la
solucion.
Si A(x) = ch(a x), entonces f(x) = ch(a (x− α)), para todo x ∈ R, donde
a ∈ R. Como f es periodica, con periodo 4α, se tiene que
f(x+ 4α) = f(x)
ch(a (x+ 3α)) = ch(a (x− α)),
para todo x ∈ R. Ası, sustituyendo x por x+ α, se obtiene que
ch(a x+ 4 aα) = ch(a x),
para todo x ∈ R. Igualando el argumento de la ecuacion anterior, se obtiene
que
a x+ 4 aα = a x
4 aα = 0.
Entonces, a = 0. Por tanto, f(x) = ch(0) = 1, para todo x ∈ R. Por el caso
anterior, no es solucion de la ecuacion (3.38).
Si A(x) = cos(a x), entonces f(x) = cos(a (x−α)), para todo x ∈ R, donde
a ∈ R. Como f es periodica, con periodo 4α, se tiene que
f(x+ 4α) = f(x)
cos(a (x+ 3α)) = cos(a (x− α)),
para todo x ∈ R. Ası, sustituyendo x por x+ α, se obtiene que
cos(a x+ 4 aα) = cos(a x),
para todo x ∈ R. Como la funcion coseno es periodica de periodo 2π, se
tiene que
4 aα = 2 π
a =π
2α.
Entonces,
f(x) = cos( π
2α(x− α)
), (3.44)
31
para todo x ∈ R, donde α ∈ Rr {0}.
Por tanto, se ha demostrado que (3.44) es solucion de la ecuacion (3.38).
3.3 Ecuacion Funcional de Davison
Durante el XVII congreso internacional de ecuaciones funcionales, Davison (1980)
introdujo la ecuacion funcional definida por
f(xy) + f(x+ y) = f(xy + x) + f(y),
para todo x, y ∈ R. Durante el congreso Benz (1980) obtuvo la solucion general
continua de la ecuacion funcional, donde su dominio y rango tiene que ser un
campo conmutativo.
Teorema 3.3.1. Sea f : R→ R una funcion continua que satisface la ecuacion
funcional
f(x y) + f(x+ y) = f(x y + x) + f(y), (3.45)
para todo x, y ∈ R. Entonces, existen a, b constantes reales tal que
f(x) = a x+ b,
para todo x ∈ R.
Demostracion. En efecto, de la ecuacion (3.45), se tiene que
f(x y + x)− f(x y) = f(x+ y)− f(y), (3.46)
para todo x, y ∈ R. Sustituyendo x y por y en la ecuacion (3.46), se obtiene que
f(x2 y + x)− f(x2 y) = f(x+ xy)− f(xy), (3.47)
para todo x, y ∈ R. Igualando las ecuaciones (3.46) y (3.47), se tiene que,
f(x2 y + x)− f(x2 y) = f(x+ y)− f(y), (3.48)
para todo x, y ∈ R. De igual manera, sustituyendo x y por y en la ecuacion (3.48),
se obtiene que
32
f(x3 y + x)− f(x3 y) = f(x+ x y)− f(x y)
= f(x+ y)− f(y), por (3.46)
para todo x, y ∈ R. Ası,
f(x3y + x)− f(x3y) = f(x+ y)− f(y),
para todo x, y ∈ R. Ahora, se va probar por induccion que
f(xn y + x)− f(xn y) = f(x+ y)− f(y),
para todo x, y ∈ R y todo n ∈ N.
Sean x, y ∈ R. Para n = 1, es verdadero por la ecuacion (3.46).
Para n = k ∈ N, se supone que es verdadero tal que
f(xk y + x)− f(xk y) = f(x+ y)− f(y). (3.49)
para todo x, y ∈ R. Para n = k+ 1, sustituyendo x y por y en la ecuacion (3.49),
se tiene que
f(xk+1 y + x)− f(xk+1 y) = f(x+ x y)− f(x y)
= f(x+ y)− f(y), por (3.46)
para todo x, y ∈ R. Por tanto, se ha demostrado que
f(xny + x)− f(xny) = f(x+ y)− f(y), (3.50)
para todo x, y ∈ R y n ∈ N.
Ademas, si x 6= 0, sustituyendo y por x−1y en la ecuacion (3.46), se tiene que
f(x+ y)− f(y) = f(x+ x−1 y)− f(x−1 y)
para todo x ∈ Rr {0} y todo y ∈ R. De igual manera, se puede generalizar por
induccion que
f(x−n y + x)− f(x−n y) = f(x+ y)− f(y), (3.51)
33
para todo x ∈ Rr {0}, todo y ∈ R y todo n ∈ N.
De las ecuaciones (3.50) y (3.51), se concluye que
f(xn y + x)− f(xn y) = f(x+ y)− f(y) (3.52)
para todo x, y ∈ R y todo n ∈ Z.
Ahora, se considera los siguientes casos:
(i) Si 0 6= |x| < 1, tomando el limite cuando n → +∞ en la ecuacion (3.52), se
tiene que
lımn→+∞
f(x+ y)− f(y) = lımn→+∞
[f(xn y + x)− f(xn y)] ,
para todo y ∈ R. Por ser f continua
f(x+ y)− f(y) = f
(lım
n→+∞xn y + x
)− f
(lım
n→+∞xn y
)= f(x)− f(0),
para todo y ∈ R. Ası,
f(x+ y) = f(x) + f(y)− f(0)
para todo y ∈ R y 0 6= |x| < 1.
(ii) Si |x| > 1, tomando el limite cuando n → −∞ en la ecuacion (3.52) y por
ser f continua, se obtiene que
f(x+ y)− f(y) = f
(lım
n→−∞xn y + x
)− f
(lım
n→−∞xn y
)= f(x)− f(0),
para todo y ∈ R. Ası,
f(x+ y) = f(x) + f(y)− f(0),
para todo y ∈ R y |x| > 1. De (i) y (ii), se concluye que
f(x+ y) = f(x) + f(y)− f(0), (3.53)
para todo x ∈ Rr {−1, 0, 1} y todo y ∈ R. Finalmente, se analiza los siguientes
casos:
• Si x = 0, satisface la ecuacion (3.53).
34
• Cuando x→ 1 en (3.53) y por ser f continua, se obtiene que
lımx→1
f(x+ y) = lımx→1
f(x) + f(y)− f(0)
f(1 + y) = f(1) + f(y)− f(0),
para todo y ∈ R.
• Cuando x→ −1 en (3.53) y por ser f continua, se obtiene que
lımx→−1
f(x+ y) = lımx→−1
f(x) + f(y)− f(0)
f(−1 + y) = f(−1) + f(y)− f(0),
para todo y ∈ R. Por tanto, se concluye que
f(x+ y) = f(x) + f(y)− f(0), (3.54)
para todo x, y ∈ R. Se define una funcion, A : R→ R por
A(x) := f(x)− f(0),
para todo x ∈ R. Entonces, la ecuacion (3.54) se transforma en
A(x+ y) = A(x) + A(y),
para todo x, y ∈ R. Como f es una funcion continua, entonces A es una funcion
continua y satisface las condiciones del Teorema 3.1.3. En consecuencia, existe
una constante a ∈ R tal que
A(x) = a x,
para todo x ∈ R. Entonces,
f(x) = a x+ b,
para todo x ∈ R, donde b = f(0) y a ∈ R.
35
3.3.1 Solucion General de Ecuacion funcional de Davison
En esta seccion se presenta la solucion general de la ecuacion funcional de Davi-
son, sin ninguna condicion de regularidad sobre la funcion. La solucion general
de (3.45) fue dada por Girgensohn y Lajko en el ano 2000.
Teorema 3.3.2. Sea la funcion f : R→ R que satisface la ecuacion funcional
f(xy)+f(x+y) = f(xy+x)+f(y), (3.45)
para todo x, y ∈ R si y solo si f es de la forma
f(x) = A(x) + b,
para todo x ∈ R, donde A : R→ R es una funcion aditiva1 y b es una constante
real.
Demostracion. En efecto, sustituyendo y por y + 1 en (3.45), se obtiene que
f(xy + x) + f(x+ y + 1) = f(xy + 2x) + f(y + 1), (3.55)
para todo x, y ∈ R. Sumando las ecuaciones (3.45) y (3.55), se tiene que
f(xy) + f(x+ y) + f(x+ y + 1) = f(y) + f(xy + 2x) + f(y + 1), (3.56)
para todo x, y ∈ R. Ahora, sustituyendo x porx
2y y por 2y en (3.56), se tiene
que
f(xy) + f(x
2+ 2y
)+ f
(x2
+ 2y + 1)
= f(2y) + f(xy + x) + f(2y + 1),
para todo x, y ∈ R. Restando la ecuacion anterior de (3.45), se obtiene que
1Una funcion real A es aditiva si satisface la ecuacion funcional A(x + y) = A(x) + A(y),para todo x, y ∈ R.
36
f(x
2+ 2y
)+ f
(x2
+ 2y + 1)− f(x+ y) = f(2y) + f(2y + 1)− f(y),
para todo x, y ∈ R. Finalmente, sustituyendo x por x−y en la ecuacion anterior,
se tiene que
f
(x
2+
3y
2
)+ f
(x
2+
3y
2+ 1
)= f(2y) + f(2y + 1)− f(y) + f(x),
para todo x, y ∈ R. Reemplazando y pory
3en la ecuacion anterior, se obtiene
que
f(x
2+y
2
)+ f
(x2
+y
2+ 1)
= f
(2y
3
)+ f
(2y
3+ 1
)− f
(y3
)+ f(x), (3.57)
para todo x, y ∈ R. Se define de la ecuacion (3.57), las siguientes funcionesA1(t) = f
(2t
3
)+ f
(2t
3+ 1
)− f
(t
3
),
A2(t) = f(t),
A3(t) = f
(t
2
)+ f
(t
2+ 1
),
(3.58)
para todo t ∈ R. Entonces, la ecuacion (3.57), se transforma en
A1(y) + A2(x) = A3(x+ y), (3.59)
para todo x, y ∈ R. La ecuacion (3.59) es una ecuacion de Pexider (ver el Capıtulo
8 de [7]), su solucion esta dada por:A1(t) = A(t) + a
A2(t) = A(t) + b
A3(t) = A(t) + a+ b,
(3.60)
para todo t ∈ R, donde A : R → R es una funcion aditiva y a, b ∈ R. Ahora,
Igualando la funcion A2 de (3.58) y (3.60), se obtiene que
f(t) = A(t) + b,
para todo t ∈ R, donde A es una funcion aditiva y b una constante real.
37
3.4 Ecuacion Funcional Cuadratica
Teorema 3.4.1 ([7]). Sea f : R → R una funcion que satisface la ecuacion
funcional
f(x+ y) + f(x− y) = 2 f(x) + 2 f(y), (3.61)
para todo x, y ∈ R. Entonces, f es una funcion racionalmente homogenea.2
Ademas, en el conjunto de los numeros racionales Q, la funcion f tiene la forma
f(r) = c r2,
para todo r ∈ Q, donde c es una constante real.
Demostracion. Sustituyendo x = 0 = y en la ecuacion (3.61), se tiene que
f(0) + f(0) = 2 f(0) + 2 f(0).
Ası, f(0) = 0.
Ahora, sustituyendo y por −y en (3.61), se tiene que
f(x− y) + f(x+ y) = 2 f(x) + 2 f(−y), (3.62)
para todo x, y ∈ R. Igualando las ecuaciones (3.61) y (3.62), se obtiene que
����2f(x) + 2f(y) =��
��2f(x) + 2f(−y)
f(y) = f(−y),
para todo y ∈ R. Por tanto, f es una funcion par.
Se va probar que f es una funcion racionalmente homogenea de grado 2.
Se va construir una formula recursiva. Sea x ∈ R. Sustituyendo y = x en la
ecuacion (3.61), se obtiene que
f(x+ x) + f(x− x) = 2 f(x) + 2 f(x)
f(2x) = 4 f(x),
para todo x ∈ R. Ası,
2Una funcion real f es racionalmente homogenea si y solo si f(r x) = r f(x), para todox ∈ R y todo numero racional r.
38
f(2x) = 4 f(x) = 22 f(x),
para todo x ∈ R. De igual manera, sustituyendo x por 2x y y = x en la ecuacion
(3.61), se tiene que
f(2x+ x) + f(2x− x) = 2 f(2x) + 2 f(x)
f(3x) = 8 f(x) + f(x)
f(3x) = 9 f(x),
para todo x ∈ R. Ası,
f(3x) = 32 f(x),
para todo x ∈ R. Se va probar por induccion que
f(nx) = n2 f(x), (3.63)
para todo n ∈ N y todo x ∈ R.
Sea x ∈ R. Para n = 1, es verdadero.
Para n = k ∈ N, se supone que es verdadero tal que
f(k x) = k2 f(x), (3.64)
para todo x ∈ R. Para n = k+1, reemplazando x por kx y y = x en la ecuacion
(3.61), se obtiene que
f(kx+ x) + f(kx− x) = 2f(kx) + 2f(x)
f ((k + 1)x) + f ((k − 1)x) = 2 f(kx) + 2f(x)
f ((k + 1)x) + (k − 1)2f(x) = 2k2f(x) + 2f(x) por (3.64)
f ((k + 1)x) + k2f(x)− 2kf(x) + f(x) = 2k2f(x) + 2f(x),
para todo x ∈ R. Ası,
f ((k + 1)x) = (k + 1)2f(x),
para todo x ∈ R. Por tanto, se ha demostrado (3.63).
Ahora, se va suponer que n es un entero negativo, entonces −n es un entero
positivo. Como f es par, se obtiene que
39
f(nx) = f(−(−n)x)
= f(−nx)
= (−n)2 f(x) por (3.63)
= n2 f(x)
para todo x ∈ R. Ası,
f(nx) = n2 f(x),
para todo x ∈ R y todo n entero negativo. De la ecuacion anterior y (3.63), se
concluye que
f(nx) = n2 f(x), (3.65)
para todo x ∈ R y todo n ∈ Z.
Sea r ∈ Q. Es decir,
r =m
n
r x =(mn
)x
n(r x) = mx,
donde m ∈ Z y n ∈ N. Entonces, utilizando (3.65), se tiene que
m2 f(x) = f(mx)
= f(n (r x))
= n2 f(r x),
para todo x ∈ R. Ası,
f(rx) =m2
n2f(x) = r2f(x),
para todo x ∈ R. De lo cual, f es una funcion racionalmente homogenea de grado
2. Ademas, evaluando en x = 1 la ecuacion anterior, se obtiene que
f(r) = r2 f(1),
para todo r ∈ Q. Tomando c = f(1), entonces f(r) = c r2, para todo r ∈ Q.
40
Corolario 3.4.1. Sea f : R→ R una funcion continua, tal que
f(x+y)+f(x−y) = 2 f(x)+2 f(y), (3.61)
para todo x, y ∈ R. Entonces, existe una constante c ∈ R tal que
f(x) = c x2,
para todo x ∈ R.
Demostracion. Sea f una funcion continua que es la solucion de la ecuacion
(3.61).
Como Q es un conjunto denso en R, entonces para cualquier x ∈ R existe una
sucesion {rn}n∈N en Q, tal que
lımn→∞
rn = x.
Ademas, f satisface la ecuacion (3.61) y por el Teorema 3.4.1, se obtiene que
f(rn) = c r2n,
para todo n ∈ N. Ahora, usando la continuidad de f , se concluye que
f(x) = f(
lımn→∞
rn
)= lım
n→∞f(rn)
= lımn→∞
c r2n
= c x2,
para todo x ∈ R. Por tanto, f(x) = c x2, para todo x ∈ R.
41
CAPITULO 4
ESTABILIDAD DE CIERTAS ECUACIONES
FUNCIONALES
Una caracterıstica importante de las ecuaciones funcionales es su estabilidad, que
se explica como un pequeno cambio en cierta formula o ecuacion aplicable para
modelar un proceso fısico, lo cual da lugar a un pequeno cambio en su solucion
correspondiente.
Para desarrollar este tema de la Teorıa de la Estabilidad se realiza la siguiente
pregunta: Dada una aplicacion f : R → R solucion de la ecuacion funcional de
Cauchy Aditiva (ver la Seccion 3.1) definida por f(x+y)−f(x)−f(y) = 0, para
todo x, y ∈ R. ¿Sea ε > 0, se tiene que |f(x+y)−f(x)−f(y)| ≤ ε, entonces existe
una funcion real q solucion de la ecuacion de Cauchy, tal que |f(x) − q(x)| ≤ δ
para f(x) conocido y algun δ > 0?. Este tipo de problemas es la Estabilidad de
una ecuacion funcional.
En 1940 S. M. Ulam formulo el siguiente problema. Dados un grupo G, un grupo
metrico (H, d) y un numero real positivo ε, entonces existe un δ > 0 tal que si
f : G→ H satisface
d(f(x y), f(x) f(y)) ≤ δ
para todo x, y ∈ G, entonces existe un homomorfismo φ : G→ H tal que
d(f(x), φ(x)) ≤ ε,
para todo x ∈ G?.
El problema de Ulam fue resuelto por D. H. Hyers (1941). Considerando que
X, Y son dos espacios de Banach, si f : X → Y y tomando δ = ε, entonces existe
una funcion φ : X → Y tal que
φ(x) = lımn→∞
f (2n x)
2n,
42
para todo x ∈ X. Ademas, P. M. Gruber (1978) con la informacion de Ulam
propuso: ¿Cambiando un poco la hipotesis de algun teorema uno puede todavıa
afirmar que la tesis del teorema sigue siendo verdad o es aproximadamente cierta?.
De lo cual, este tipo de problemas de estabilidad es de interes particular en la
Teorıa de Probabilidades.
4.1 Estabilidad en la ecuacion funcional de Cauchy
En esta seccion se probara la estabilidad de la ecuacion funcional de Cauchy
Aditiva que fue demostrada por Hyers en 1941 y es el primer resultado importante
de la teorıa de la estabilidad, la cual se origino a partir problema de Ulam.
Teorema 4.1.1 (Hyers [5]). Sea f : R→ R una funcion real tal que
| f(x+ y)− f(x)− f(y) | ≤ δ, (4.1)
para todo x, y ∈ R, donde δ > 0. Entonces, existe una unica funcion aditiva1
A : R→ R tal que
| f(x)− A(x) | ≤ δ,
para todo x ∈ R.
Demostracion. Sea f : R→ R una funcion real tal que
|f(x+ y)− f(x)− f(y)| ≤ δ
para todo x, y ∈ R, donde δ > 0.
Para realizar la demostracion del teorema, primero se dara la existencia de la
funcion A mediante la sucesion de Hyers, para lo cual se va probar que es una
sucesion de Cauchy, por ser R un espacio completo se da la existencia de A.
Ademas, se va probar que A es una funcion aditiva unica.
(i) En este ıtem, se va probar que la sucesion de Hyers{f(2nx)
2n
}∞n=1
es de Cauchy,
para cada x ∈ R fijo.
1Una funcion real A es aditiva si satisface la ecuacion funcional A(x + y) = A(x) + A(y),para todo x, y ∈ R.
43
En efecto, sustituyendo y = x en (4.1), se tiene que
|f(2x)− 2f(x)| ≤ δ, (4.2)
para todo x ∈ R. Luego, sustituyendo x por 2k−1x, donde k ∈ N, se obtiene que
∣∣f (2kx)− 2f(2k−1x
)∣∣ ≤ δ,
para todo x ∈ R y todo k ∈ N. Multiplicando ambos lados de la desigualdad por1
2ky aplicando la suma hasta n ∈ N, se tiene que
n∑k=1
1
2k∣∣f (2kx)− 2f
(2k−1x
)∣∣ ≤ n∑k=1
1
2kδ,
para todo x ∈ R. Ası, utilizando la desigualdad triangular, se tiene que∣∣∣∣∣n∑k=1
(1
2kf(2kx)− 1
2k−1f(2k−1x
))∣∣∣∣∣ ≤n∑k=1
1
2kδ
para todo x ∈ R. Ademas, la parte izquierda es una suma telescopica, entonces∣∣∣∣ 1
2nf (2nx)− f (x)
∣∣∣∣ ≤ δ
(1− 1
2n
), (4.3)
para todo x ∈ R y n ∈ N. Se va probar por induccion que (4.3), se cumple para
todo n ∈ N.
Sea x ∈ R. Para n = 1, es verdadero por (4.2).
Para n = k ∈ N, se supone que es verdadero tal que
∣∣∣∣ 1
2kf(2k x
)− f (x)
∣∣∣∣ ≤ δ
(1− 1
2k
), (4.4)
para todo x ∈ R. Para n = k + 1, sustituyendo x por 2x en (4.4), se obtiene que∣∣∣∣ 1
2kf(2k+1 x
)− f (2x)
∣∣∣∣ ≤ δ
(1− 1
2k
),
para todo x ∈ R. Sumando la desigualdad anterior y (4.2), se tiene que∣∣∣∣ 1
2kf(2k+1 x
)− f (2x)
∣∣∣∣+ |f(2x)− 2 f(x)| ≤ δ
(1− 1
2k
)+ δ,
44
para todo x ∈ R. Ası, utilizando la desigualdad triangular, se tiene que∣∣∣∣ 1
2kf(2k+1 x
)− 2 f (x)
∣∣∣∣ ≤ δ
(2− 1
2k
),
para todo x ∈ R. Multiplicando ambos lados de la desigualdad por1
2, se obtiene
que ∣∣∣∣ 1
2k+1f(2k+1 x
)− f (x)
∣∣∣∣ ≤ δ
(1− 1
2k+1
),
para todo x ∈ R. Por tanto, se ha demostrado que∣∣∣∣ 1
2nf (2nx)− f (x)
∣∣∣∣ ≤ δ
(1− 1
2n
),
para todo x ∈ R y todo n ∈ N.
Si n > m > 0, entonces n−m es un numero natural. Sustituyendo n por n−m
en (4.3), se obtiene que∣∣∣∣f (2n−mx)
2n−m− f (x)
∣∣∣∣ ≤ δ
(1− 1
2n−m
),
para todo x ∈ R. Multiplicando ambos lados por1
2my sustituyendo x por 2m x,
se tiene que ∣∣∣∣f (2nx)
2n− f (2mx)
2m
∣∣∣∣ ≤ δ
(1
2m− 1
2n
), (4.5)
para todo x ∈ R. Como(
12m
)m∈N es una sucesion convergente, entonces
(12m
)m∈N
es una sucesion de Cauchy en R.
De (4.5), se concluye que{f(2nx)
2n
}∞n=1
es una sucesion de Cauchy en R. Como R
es un espacio completo, entonces existe el lımite de la sucesion Hyers.
Se define una funcion, A : R→ R tal que
A(x) := lımn→∞
f(2nx)
2n, (4.6)
para todo x ∈ R.
(ii) En este ıtem, se va probar que la funcion A definida en (4.6) es aditiva.
En efecto,
45
|A(x+ y)− A(x)− A(y)| =∣∣∣∣ lımn→∞
f (2n(x+ y))
2n− lım
n→∞
f(2nx)
2n− lım
n→∞
f(2ny)
2n
∣∣∣∣ ,para todo x, y ∈ R. Como los limites existen, se tiene que
|A(x+ y)− A(x)− A(y)| =
∣∣∣∣ lımn→∞
1
2n[f (2n(x+ y))− f(2nx)− f(2ny)]
∣∣∣∣= lım
n→∞
1
2n|f (2n(x+ y))− f(2nx)− f(2ny)|
≤ lımn→∞
δ
2npor (4.1)
= 0,
para todo x, y ∈ R. Entonces,
A(x+ y)− A(x)− A(y) = 0,
para todo x, y ∈ R. Ası,
A(x+ y) = A(x) + A(y),
para todo x, y ∈ R. Por tanto, A es una funcion aditiva.
(iii) Ahora, se va probar que
|A(x)− f(x)| ≤ δ,
para todo x ∈ R. En efecto,
|A(x)− f(x)| =
∣∣∣∣ lımn→∞
f(2nx)
2n− f(x)
∣∣∣∣= lım
n→∞
∣∣∣∣f(2nx)
2n− f(x)
∣∣∣∣≤ lım
n→∞δ
(1− 1
2n
)por (4.3)
= δ,
para todo x ∈ R. Por tanto, se ha demostrado que
|A(x)− f(x)| ≤ δ,
46
para todo x ∈ R.
(iv) Finalmente, se va probar que A es unica.
Se supone que A no es unica, entonces existe otra funcion aditiva B : R → R,
donde B 6= A tal que
|B(x)− f(x)| ≤ δ,
para todo x ∈ R. En efecto,
|B(x)− A(x)| = |B(x)− f(x) + f(x)− A(x)|
≤ |B(x)− f(x)|+ |A(x)− f(x)|
≤ 2δ,
para todo x ∈ R. Ası,
|B(x)− A(x)| ≤ 2δ,
para todo x ∈ R. Como A y B son funciones aditivas, se tiene que
|A(x)−B(x)| =
∣∣∣∣nA(x)
n− nB(x)
n
∣∣∣∣=
∣∣∣∣A(nx)
n− B(nx)
n
∣∣∣∣=
1
n|A(nx)−B(nx)|
≤ 2δ
n,
para todo x ∈ R, donde n ∈ N. Entonces,
|A(x)−B(x)| ≤ 2δ
n,
para todo x ∈ R y todo n ∈ N. Tomando el limite cuando n → ∞ en ambos
lados, se obtiene que
|A(x)−B(x)| = lımn→∞
|A(x)−B(x)|
≤ lımn→∞
2δ
n
= 0,
47
para todo x ∈ R. Por tanto,
|A(x)−B(x)| ≤ 0,
para todo x ∈ R. Ası,
A(x) = B(x),
para todo x ∈ R. De lo cual, es una contradiccion con la suposicion, se concluye
que A es la unica funcion real aditiva.
Observacion 1: En general la demostracion del Teorema 4.1.1, se puede realizar
para funciones f : E1 → E2 , donde (E1, ||.||1) es un espacio normado y (E2, ||.||2)
es un espacio de Banach.
Observacion 2: Cualquier resultado similar al Teorema 4.1.1, se llama la estabi-
lidad Hyers-Ulam correspondiente a una ecuacion funcional, ademas la sucesion{f(2nx)
2n
}es llamada la sucesion de Hyers-Ulam.
4.1.1 Generalizacion del Teorema de Hyers
Se presenta la generalizacion del Teorema 4.1.1 de Hyers, la generalizacion del
Teorema fue demostrado por Rassias (1978). Ademas, el teorema genero aportes
en la teorıa de la estabilidad de ecuaciones funcionales.
Teorema 4.1.2 ([8]). Sea f : R→ R una funcion real tal que
|f(x+ y)− f(x)− f(y)| ≤ δ (|x|p + |y|p) , (4.7)
para todo x, y ∈ R, donde δ > 0, y p ∈ [0, 1). Entonces, existe una unica funcion
aditiva2 A : R→ R tal que
|f(x)− A(x)| ≤ 2δ
2− 2p|x|p ,
para todo x ∈ R.2Una funcion real A es aditiva si satisface la ecuacion funcional A(x + y) = A(x) + A(y),
para todo x, y ∈ R.
48
Demostracion. Sea f : R→ R una funcion real que satisface
|f(x+ y)− f(x)− f(y)| ≤ δ (|x|p + |y|p)
para todo x, y ∈ R, donde δ > 0 y p ∈ [0, 1).
Para realizar la demostracion del teorema, primero se dara la existencia de la
funcion A mediante la sucesion de Hyers, para lo cual se va probar que es una
sucesion de Cauchy, por ser R un espacio completo se da la existencia de A.
Ademas, se va probar que A es una funcion aditiva unica.
(i) En este ıtem, se va probar que la sucesion de Hyers{f(2nx)
2n
}∞n=1
es de Cauchy,
para cada x ∈ R fijo.
En efecto, sustituyendo y = x en (4.7), se tiene que
|f(2x)− 2f(x)| ≤ 2δ |x|p, (4.8)
para todo x ∈ R. Luego, sustituyendo x por 2k−1 x, donde k ∈ N, se obtiene que
|f(2k x)− 2 f(2k−1 x)| ≤ 2kp−p+1 δ |x|p,
para todo x ∈ R y todo k ∈ N. Multiplicando ambos lados de la desigualdad por1
2ky aplicando la suma hasta n ∈ N, se tiene que
n∑k=1
1
2k|f(2k x)− 2 f(2k−1 x)| ≤ δ|x|p
n∑k=1
2kp−p+1
2k,
para todo x ∈ R. Ası, utilizando la desigualdad triangular, se tiene que∣∣∣∣∣n∑k=1
(1
2kf(2k x)− 1
2k−1f(2k−1 x)
)∣∣∣∣∣ ≤ 21−p δ |x|pn∑k=1
2k (p−1),
para todo x ∈ R. Ademas, la parte izquierda es una suma telescopica, entonces
∣∣∣∣ 1
2nf(2nx)− f(x)
∣∣∣∣ ≤ 21−p δ |x|pn∑k=1
2k(p−1), (4.9)
para todo x, y ∈ R y n ∈ N. Considerando
n∑k=1
2k(p−1) ≤∞∑k=1
2k(p−1) =∞∑k=1
(1
21−p
)k,
49
donde p ∈ [0, 1). Como 2p−1 < 1, entonces la serie es convergente. Sustituyendo
en la desigualdad (4.9), se tiene que
∣∣∣∣ 1
2nf(2nx)− f(x)
∣∣∣∣ ≤ 21−p δ|x|p∞∑k=1
2k(p−1)
para todo x ∈ R. Ademas, el lado derecho es una serie geometrica, dado que
p ∈ [0, 1). Entonces, ∣∣∣∣ 1
2nf(2n x)− f(x)
∣∣∣∣ ≤ 2δ
2− 2p|x|p (4.10)
para todo x ∈ R y n ∈ N. Se va probar por induccion que (4.10), se cumple para
todo n ∈ N.
Sea x ∈ R. Para n = 1, es verdadero por (4.8).
Para n = k ∈ N, se supone que es verdadero tal que
∣∣∣∣ 1
2kf(2k x
)− f (x)
∣∣∣∣ ≤ 2δ
2− 2p|x|p, (4.11)
para todo x ∈ R. Para n = k+ 1, sustituyendo x por 2x en (4.11), se obtiene que∣∣∣∣ 1
2kf(2k+1 x
)− f (2x)
∣∣∣∣ ≤ 2δ
2− 2p|2x|p,
para todo x ∈ R. Sumando la desigualdad anterior y (4.8), se tiene que∣∣∣∣ 1
2kf(2k+1 x
)− f (2x)
∣∣∣∣+ |f(2x)− 2 f(x)| ≤ 2δ
2− 2p2p |x|p + 2 δ |x|p,
para todo x ∈ R. Ası, utilizando la desigualdad triangular, se tiene que∣∣∣∣ 1
2kf(2k+1 x
)− 2 f (x)
∣∣∣∣ ≤ 4δ
2− 2p|x|p,
para todo x ∈ R. Multiplicando ambos lados de la desigualdad por1
2, se obtiene
que ∣∣∣∣ 1
2k+1f(2k+1 x
)− f (x)
∣∣∣∣ ≤ 2δ
2− 2p|x|p,
50
para todo x ∈ R. Por tanto, se ha demostrado que∣∣∣∣ 1
2nf (2nx)− f (x)
∣∣∣∣ ≤ 2δ
2− 2p|x|p,
para todo x ∈ R y todo n ∈ N.
Si m > n > 0, entonces m− n es un numero natural. Sustituyendo n por m− n
en (4.10), se obtiene que∣∣∣∣ 1
2m−nf(2m−n x)− f(x)
∣∣∣∣ ≤ 2 δ
2− 2p|x|p,
para todo x ∈ R. Multiplicando ambos lados por1
2ny sustituyendo x por 2n x,
se tiene que ∣∣∣∣ 1
2mf(2m x)− 1
2nf(2n x)
∣∣∣∣ ≤ 1
2n
(2 δ
2− 2p
)|2nx|p,
para todo x ∈ R. Ası,∣∣∣∣ 1
2mf(2m x)− 1
2nf(2n x)
∣∣∣∣ ≤ 2n(p−1)(
2 δ
2− 2p
)|x|p, (4.12)
para todo x ∈ R. Ahora, {2n(p−1)}n∈N es una sucesion convergente, dado que
p ∈ [0, 1) . Entonces, {2n(p−1)}n∈N es una sucesion de Cauchy en R.
De (4.12), se concluye que{f(2n x)
2n
}∞n=1
es una sucesion de Cauchy en R. Como
R es un espacio completo, entonces existe el limite de la sucesion de Hyers. Se
define una funcion, A : R→ R tal que
A(x) := lımn→∞
f(2n x)
2n, (4.13)
para todo x ∈ R.
(ii) En este ıtem, se va probar que la funcion A definida en (4.13) es aditiva.
En efecto,
|A(x+ y)−A(x)−A(y)| =∣∣∣∣ lımn→∞
f(2n(x+ y))
2n− lım
n→∞
f(2n(x))
2n− lım
n→∞
f(2n(y))
2n
∣∣∣∣
51
para todo x, y ∈ R. Como los limites existen, se tiene que
|A(x+ y)− A(x)− A(y)| = lımn→∞
1
2n|f(2n x+ 2n y)− f(2n x)− f(2n y)|
≤ lımn→∞
δ (|2n x|p + |2n y|p)2n
por (4.7)
= lımn→∞
δ (|x|p + |y|p)2n(1−p)
= 0,
para todo x, y ∈ R, donde p ∈ [0, 1) . Entonces,
A(x+ y)− A(x)− A(y) = 0,
para todo x, y ∈ R. Ası,
A(x+ y) = A(x) + A(y),
para todo x, y ∈ R. Por tanto, A es una funcion aditiva.
(iii) Ahora, se va probar que
|f(x)− A(x)| ≤ 2 δ
2− 2p|x|p
para todo x ∈ R. En efecto,
|A(x)− f(x)| =
∣∣∣∣ lımn→∞
f(2n x)
2n− f(x)
∣∣∣∣= lım
n→∞
∣∣∣∣f(2n x)
2n− f(x)
∣∣∣∣≤ lım
n→∞
2 δ
2− 2p|x|p, por (4.10)
para todo x ∈ R. Por tanto, se ha demostrado que
|A(x)− f(x)| ≤ 2 δ
2− 2p|x|p,
para todo x ∈ R.
(iv) Finalmente, se va probar que A es unica.
Se supone que A no es unica, entonces existe otra funcion aditiva B : R → R,
52
donde B 6= A tal que
|B(x)− f(x)| ≤ 2δ
2− 2p|x|p,
para todo x ∈ R. En efecto,
|B(x)− A(x)| = |B(x)− f(x) + f(x)− A(x)|
≤ |B(x)− f(x)|+ |A(x)− f(x)|
≤ 2δ
2− 2p|x|p +
2δ
2− 2p|x|p
=4δ
2− 2p|x|p,
para todo x ∈ R. Ası,
|B(x)− A(x)| ≤ 4δ
2− 2p|x|p,
para todo x ∈ R. Como A y B son funciones aditivas, se obtiene que
|A(x)−B(x)| =
∣∣∣∣nA(x)
n− nB(x)
n
∣∣∣∣=
∣∣∣∣A(nx)
n− B(nx)
n
∣∣∣∣=
1
n|A(nx)−B(nx)|
≤ 1
n· 4δ
2− 2p|x|p,
para todo x ∈ R, donde n ∈ N. Entonces,
|A(x)−B(x)| ≤ 1
n· 4δ
2− 2p|x|p,
para todo x ∈ R. Tomando el limite cuando n → ∞ en ambos lados, se obtiene
que
|A(x)−B(x)| = lımn→∞
|A(x)−B(x)|
≤ lımn→∞
1
n· 4δ
2− 2p|x|p
= 0,
53
para todo x ∈ R. Por tanto,
|A(x)−B(x)| ≤ 0,
para todo x ∈ R. Ası,
A(x) = B(x),
para todo x ∈ R. De lo cual, es una contradiccion con la suposicion, se concluye
que A es la unica funcion real aditiva.
4.2 Estabilidad de la ecuacion funcional cuadratica
En esta seccion se estudiara la estabilidad del tipo Hyers-Ulam para la ecuacion
funcional cuadratica. El siguiente teorema se debe al aporte de Skof (1983).
Teorema 4.2.1. Sea f : R→ R una funcion real que satisface la desigualdad
|f(x+ y) + f(x− y)− 2 f(x)− 2 f(y)| ≤ δ, (4.14)
para todo x, y ∈ R, donde δ > 0. Entonces, existe una unica funcion cuadratica3
q : R→ R tal que
|f(x)− q(x)| ≤ δ
2,
para todo x ∈ R.
Demostracion. Sea f : R→ R una funcion que satisface
|f(x+ y) + f(x− y)− 2 f(x)− 2 f(y)| ≤ δ,
para todo x, y ∈ R, donde δ > 0.
Para realizar la demostracion del teorema, primero se dara la existencia de la
funcion q mediante la sucesion{f(2n x)22n
}∞n=1
, para lo cual se va probar que es
una sucesion de Cauchy, por ser R un espacio completo se da la existencia de q.
Ademas, se probara que q es una funcion cuadratica unica.
3Una funcion real q es cuadratica si satisface la ecuacion funcional q(x + y) + q(x − y) =2 q(x) + 2 q(y) para todo x, y ∈ R.
54
(i) En este ıtem, se va probar que la sucesion{f(2n x)22n
}∞n=1
es de Cauchy, para
cada x ∈ R fijo.
En efecto, sustituyendo x = 0 = y en (4.14), se tiene que
|f(0) + f(0)− 2f(0)− 2f(0)| ≤ δ
| − 2 f(0)| ≤ δ.
Ası,
|f(0)| ≤ δ
2. (4.15)
Ademas, sustituyendo y = x en (4.14), se obtiene que
|f(2x) + f(0)− 4 f(x)| ≤ δ
|(4 f(x)− f(2x))− f(0)| ≤ δ,
para todo x ∈ R. Ası, utilizando la desigualdad | |x| − |y| | ≤ |x− y|, se tiene que
|f(2x)− 4 f(x)| − |f(0)| ≤ δ
|f(2x)− 22 f(x)| ≤ δ + |f(0)|,
para todo x ∈ R. Entonces, por (4.15),
|f(2x)− 22 f(x)| ≤ 3
2δ,
para todo x ∈ R. Luego, sustituyendo x por 2k−1 x, donde k ∈ N, se obtiene que
∣∣f (2k x)− 22 f(2k−1 x
)∣∣ ≤ 3
2δ,
para todo x ∈ R y todo k ∈ N. Multiplicando ambos lados de la desigualdad por1
22ky aplicando la suma hasta n ∈ N, se tiene que
n∑k=1
1
22k
∣∣f (2k x)− 22 f(2k−1 x
)∣∣ ≤ n∑k=1
3
2δ
(1
22k
),
55
para todo x ∈ R. Ası, utilizando la desigualdad triangular, se tiene que∣∣∣∣∣n∑k=1
(1
22kf(2k x
)− 1
22(k−1) f(2k−1 x
))∣∣∣∣∣ ≤ 3
2δ
n∑k=1
(1
4
)k,
para todo x ∈ R. Ademas, la parte izquierda es una suma telescopica. Entonces,
∣∣∣∣ 1
22nf(2n x)− f(x)
∣∣∣∣ ≤ 3
2δ
n∑k=1
(1
4
)k, (4.16)
para todo x ∈ R y n ∈ N. Considerando
n∑k=1
(1
4
)k≤
∞∑k=1
(1
4
)k.
Como 14< 1, entonces la serie es convergente. Sustituyendo en la desigualdad
(4.16), se tiene que
∣∣∣∣ 1
22nf(2n x)− f(x)
∣∣∣∣ ≤ 3
2δ∞∑k=1
(1
4
)k
para todo x ∈ R. Ademas, el lado derecho es una serie geometrica, se tiene que∣∣∣∣ 1
22nf(2n x)− f(x)
∣∣∣∣ ≤ δ
2(4.17)
para todo x ∈ R y todo n ∈ N.
Si m > n > 0, entonces m− n es un numero natural. Sustituyendo n por m− n
en (4.17), se obtiene que∣∣∣∣ 1
22(m−n) f(2m−n x)− f(x)
∣∣∣∣ ≤ δ
2
para todo x ∈ R. Multiplicando ambos lados por1
22ny sustituyendo x por 2n x,
se tiene que ∣∣∣∣ 1
22mf(2m x)− 1
22nf(2n x)
∣∣∣∣ ≤ δ
22n+1. (4.18)
Ahora,{
122n+1
}n∈N es una sucesion convergente, entonces
{1
22n+1
}n∈N es una su-
cesion de Cauchy en R.
56
De (4.18), se concluye que{f(2n x)22n
}∞n=1
es una sucesion de Cauchy en R. Como
R es un espacio completo, entonces existe el limite de la sucesion.
Se define una funcion, q : R→ R tal que
q(x) = lımn→∞
f(2n x)
22n, (4.19)
para todo x ∈ R.
(ii) En este ıtem, se va probar que la funcion q definida en (4.19) es cuadratica.
En efecto,
|q(x+ y) + q(x− y)− 2 q(x)− 2 q(y)|
=
∣∣∣∣ lımn→∞
f(2n (x+ y))
22n+ lım
n→∞
f(2n (x− y))
22n− 2 lım
n→∞
f(2n x)
22n− 2 lım
n→∞
f(2n y)
22n
∣∣∣∣ ,para todo x, y ∈ R. Como los limites existen, se tiene que
|q(x+ y) + q(x− y)− 2 q(x)− 2 q(y)|
= lımn→∞
1
22n|f(2nx+ 2ny) + f(2nx− 2ny)− 2f(2nx)− 2f(2ny)|
= lımn→∞
δ
22npor (4.14)
= 0,
para todo x, y ∈ R. Entonces,
q(x+ y) + q(x− y)− 2 q(x)− 2 q(y) = 0,
para todo x, y ∈ R. Ası,
q(x+ y) + q(x− y) = 2 q(x) + 2 q(y),
para todo x, y ∈ R. Por tanto, q es una funcion cuadratica.
(iii) Ahora, se va probar que
|q(x)− f(x)| ≤ δ
2,
57
para todo x ∈ R. En efecto,
|q(x)− f(x)| =
∣∣∣∣ lımn→∞
f(2nx)
22n− f(x)
∣∣∣∣= lım
n→∞
∣∣∣∣f(2nx)
22n− f(x)
∣∣∣∣≤ lım
n→∞
δ
2por (4.17)
=δ
2,
para todo x ∈ R. Por tanto, se ha demostrado que
|q(x)− f(x)| ≤ δ
2,
para todo x ∈ R.
(iv) Finalmente, se va probar que q es unica.
Se supone que q no es unica, entonces existe otra funcion cuadratica s : R→ R,
donde s 6= q tal que
|s(x)− f(x)| ≤ δ
2,
para todo x ∈ R. Luego,
|s(x)− q(x)| = |s(x)− f(x) + f(x)− q(x)|
≤ |s(x)− f(x)|+ |f(x)− q(x)|
≤ δ
2+δ
2
= δ,
para todo x ∈ R. Ası,
|s(x)− q(x)| ≤ δ,
para todo x ∈ R. Como q y s son funciones cuadraticas, entonces son funciones
racionalmente homogeneas de segundo grado.
58
|s(x)− q(x)| =
∣∣∣∣n2 s(x)
n2− n2 q(x)
n2
∣∣∣∣=
∣∣∣∣s(nx)
n2− q(nx)
n2
∣∣∣∣=
1
n2|s(nx)− q(nx)|
≤ δ
n2,
para todo x ∈ R, donde n ∈ N. Entonces,
|s(x)− q(x)| ≤ δ
n2,
para todo x ∈ R. Tomando el limite cuando n → ∞ en ambos lados, se obtiene
que
|s(x)− q(x)| = lımn→∞
|s(x)− q(x)|
≤ lımn→∞
δ
n2
= 0,
para todo x ∈ R. Por tanto,
|s(x)− q(x)| ≤ 0,
para todo x ∈ R. Ası,
s(x) = q(x),
para todo x ∈ R. De lo cual, es una contradiccion con la suposicion, se concluye
que q es la unica funcion cuadratica.
Observacion 1: En general la demostracion del Teorema 4.2.1, se puede realizar
para funciones f : E1 → E2 , donde (E1, ||.||1) es un espacio normado y (E2, ||.||2)
es un espacio de Banach.
59
4.3 Estabilidad de la ecuacion funcional de Davison
En esta seccion se estudiara la estabilidad del tipo Hyers-Ulam para la ecuacion
funcional de Davison que fue tratada por primera vez por Jung y Sahoo (1999).
Teorema 4.3.1. Sea f : R→ R una funcion real que satisface la desigualdad
|f(xy) + f(x+ y)− f(x y + x)− f(y)| ≤ δ, (4.20)
para todo x, y ∈ R, donde δ > 0. Entonces, existe una funcion aditiva4 A : R→ R
y una constante b ∈ R tal que
|f(x)− A(x)− b| ≤ 12 δ,
para todo x ∈ R.
Demostracion. Sea f : R→ R una funcion real que satisface
|f(xy) + f(x+ y)− f(x y + x)− f(y)| ≤ δ,
para todo x, y ∈ R, donde δ > 0.
En efecto, sustituyendo y por y + 1 en (4.20), se obtiene que
|f(xy + x) + f(x+ y + 1)− f(xy + 2x)− f(y + 1)| ≤ δ, (4.21)
para todo x, y ∈ R. Luego, sumando las desigualdades (4.20) y (4.21), se tiene
que
|f(xy + x) + f(x+ y + 1)− f(xy + 2x)− f(y + 1)|
+ |f(xy) + f(x+ y)− f(x y + x)− f(y)|
≤ δ + δ,
para todo x, y ∈ R. Ası, utilizando la desigualdad triangular, se tiene que
|f(x+ y + 1)− f(xy + 2x)− f(y + 1) + f(xy) + f(x+ y)− f(y)| ≤ 2 δ,
4Una funcion real A es aditiva si satisface la ecuacion funcional A(x + y) = A(x) + A(y),para todo x, y ∈ R.
60
para todo x, y ∈ R. Sustituyendo x porx
2y y por 2y en la desigualdad anterior,
se obtiene que
∣∣∣f (x2
+ 2y + 1)− f(xy + x)− f(2y + 1) + f(xy) + f
(x2
+ 2y)− f(2y)
∣∣∣ ≤ 2 δ,
para todo x, y ∈ R. Ademas, sumando (4.20) y la desigualdad anterior , se tiene
que ∣∣∣f (x2
+ 2y + 1)− f(xy + x)− f(2y + 1) + f(xy) + f
(x2
+ 2y)− f(2y)
∣∣∣+ |f(x y + x) + f(y)− f(xy)− f(x+ y)|
≤ 2 δ + δ,
para todo x, y ∈ R. Ası, utilizando la desigualdad triangular, se tiene que
∣∣∣f (x2
+ 2y + 1)− f(2y + 1) + f
(x2
+ 2y)− f(2y)− f(x+ y) + f(y)
∣∣∣ ≤ 3 δ,
para todo x, y ∈ R. Sustituyendo x por x−y en la desigualdad anterior, se obtiene
que∣∣∣∣f (x2 +3y
2+ 1
)− f(2y + 1) + f
(x
2+
3y
2
)− f(2y)− f(x) + f(y)
∣∣∣∣ ≤ 3 δ,
para todo x, y ∈ R. Finalmente, sustituyendo y pory
3en desigualdad anterior,
se tiene que∣∣∣∣(f (x2 +y
2
)+ f
(x2
+y
2+ 1))−(f
(2y
3
)+ f
(2y
3+ 1
)− f
(y3
))− f(x)
∣∣∣∣ ≤ 3 δ,
(4.22)
para todo x, y ∈ R. Se define las funciones g, h : R→ R tal queg(x) := f
(2x
3
)+ f
(2x
3+ 1
)− f
(x3
),
h(x) := f(x
2
)+ f
(x2
+ 1),
para todo t ∈ R. Entonces, la desigualdad (4.22) se transforma en
|h(x+ y)− f(x)− g(y)| ≤ 3 δ, (4.23)
61
para todo x, y ∈ R. Evaluando en y = 0 a la desigualdad (4.23), se obtiene que
|h(x)− f(x)− g(0)| ≤ 3 δ, (4.24)
para todo x ∈ R. Igualmente, sustituyendo x = 0 en (4.23), se tiene que
|h(y)− f(0)− g(y)| ≤ 3 δ, (4.25)
para todo x ∈ R. Se define una funcion H : R→ R tal que
H(x) := h(x)− f(0)− g(0), (4.26)
para todo x ∈ R. Luego,
|H(x+ y)−H(x)−H(y)|
= |h(x+ y)−���f(0)−���g(0)− h(x) +���f(0) +��
�g(0)− h(y) + f(0) + g(0)|
= |h(x+ y)− h(x)− h(y) + f(0) + g(0) + f(x)− f(x) + g(y)− g(y)|
= |(h(x+ y)− f(x)− g(y)) + (f(x)− h(x) + g(0)) + (g(y)− h(y) + f(0))| ,
para todo x, y ∈ R. Ası, utilizando la desigualdad triangular, se tiene que
|H(x+ y)−H(x)−H(y)|
≤ |h(x+ y)− f(x)− g(y)|+ |h(x)− f(x)− g(0)|+ |h(y)− f(0)− g(y)|
≤ 3 δ + 3 δ + 3 δ por (4.23), (4.24), (4.25)
= 9 δ,
para todo x, y ∈ R. Por tanto,
|H(x+ y)−H(x)−H(y)| ≤ 9 δ, (4.27)
para todo x, y ∈ R. Como H es una funcion real que satisface (4.27), dado que
δ > 0, entonces cumple las condiciones del Teorema 4.1.1. En consecuencia, existe
una unica funcion aditiva A : R→ R tal que
|H(x)− A(x)| ≤ 9 δ, (4.28)
62
para todo x ∈ R. Se va probar que existe una constate b ∈ R, tal que
|f(x)− A(x)− b| ≤ 12 δ,
para todo x ∈ R.
En efecto, tomando b = f(0), se tiene que
|f(x)− A(x)− b| = |f(x)− A(x)− f(0) + h(x)− h(x) + g(0)− g(0)|
= |(f(x) + g(0)− h(x)) + (h(x)− f(0)− g(0)− A(x))|
= |(f(x) + g(0)− h(x)) + (H(x)− A(x))| por (4.26)
para todo x ∈ R. Ası, utilizando la desigualdad triangular, se tiene que
|f(x)− A(x)− b| ≤ |h(x)− f(x)− g(0)|+ |H(x)− A(x)|
≤ 3 δ + 9 δ por (4.24), (4.28)
= 12 δ,
para todo x ∈ R. Por tanto, se ha demostrado que
|f(x)− A(x)− b| ≤ 12 δ,
para todo x ∈ R, donde b = f(0) y A es una funcion aditiva.
63
4.3.1 Generalizacion de la estabilidad de la ecuacion fun-
cional de Davison
En esta seccion se generaliza la estabilidad de la ecuacion funcional de Davison
y en la demostracion se utilizara la idea de la estabilidad del tipo Hyers-Ulam-
Rassias. Ademas, este teorema es un mejor resultado del Teorema 4.3.1.
Sea φ : R× R→ [0,∞) una funcion dada por
Φ(x, y) :=∞∑i=0
2−i ϕ(2i x, 2i y
)<∞, (4.29)
para todo x, y ∈ R, donde
ϕ(x, y) := φ(6x− 2y, 2y) + φ(3x− y, 4y) + φ(3x− y, 4y + 1), (4.30)
para todo x, y ∈ R.
Teorema 4.3.2. Sea f : R→ R una funcion real que satisface la desigualdad
|f(xy) + f(x+ y)− f(xy + x)− f(y)| ≤ φ(x, y), (4.31)
para todo x, y ∈ R. Entonces, existe una unica funcion aditiva5 A : R → R tal
que
|f(6x)− A(x)− f(0)| ≤ 1
2Φ(x,−x) +
1
2Φ(x, 0) +
1
2Φ(2x,−x),
para todo x ∈ R.
Demostracion. Sea f : R→ R una funcion real que satisface
|f(xy) + f(x+ y)− f(xy + x)− f(y)| ≤ φ(x, y),
para todo x, y ∈ R.
Para realizar la demostracion del teorema, primero se dara la existencia de la
funcion A mediante la sucesion de Hyers, para lo cual se va probar que es una
5Una funcion real A es aditiva si satisface la ecuacion funcional A(x + y) = A(x) + A(y),para todo x, y ∈ R.
64
sucesion de Cauchy, por ser R un espacio completo se da la existencia de A.
Ademas, se probara que A es una funcion aditiva unica.
(i) En este ıtem, se va probar que la sucesion de Hyers{g(2n·6x)
2n
}∞n=1
es de Cauchy,
para cada x ∈ R fijo.
En efecto, se define una funcion g : R→ R tal que
g(x) := f(x)− f(0), (4.32)
para todo x ∈ R, donde g(0) = 0. Entonces, la desigualdad (4.31), se transforma
en
|g(xy) + g(x+ y)− g(xy + x)− g(y)| ≤ φ(x, y), (4.33)
para todo x, y ∈ R. Sustituyendo y por y + 1 en (4.31), se obtiene que
|g(xy + x) + g(x+ y + 1)− g(xy + 2x)− g(y + 1)| ≤ φ(x, y + 1), (4.34)
para todo x, y ∈ R. Ahora, sumando las desigualdades (4.33) y (4.34), se tiene
que
|g(xy) + g(x+ y)− g(xy + x)− g(y)|
+ |g(xy + x) + g(x+ y + 1)− g(xy + 2x)− g(y + 1)|
≤ φ(x, y) + φ(x, y + 1),
para todo x, y ∈ R. Ası, utilizando la desigualdad triangular, se tiene que
|g(xy) + g(x+ y)− g(y) + g(x+ y + 1)− g(xy + 2x)− g(y + 1)|
≤ φ(x, y) + φ(x, y + 1),
para todo x, y ∈ R. Sustituyendo y por 4y en la desigualdad anterior, se obtiene
que
|g(4xy) + g(x+ 4y) + g(x+ 4y + 1)− g(4y)− g(4xy + 2x)− g(4y + 1)|
≤ φ(x, 4y) + φ(x, 4y + 1), (4.35)
65
para todo x, y ∈ R. Sustituyendo x por 2x y y por 2y en (4.31), se tiene que
|g(4xy) + g(2x+ 2y)− g(4xy + 2x)− g(2y)| ≤ φ(2x, 2y), (4.36)
para todo x, y ∈ R. Sumando las desigualdades (4.35) y (4.36), se obtiene que
|g(4xy) + g(x+ 4y) + g(x+ 4y + 1)− g(4y)− g(4xy + 2x)− g(4y + 1)|
+|g(4xy + 2x) + g(2y)− g(4xy)− g(2x+ 2y)|
≤ φ(x, 4y) + φ(x, 4y + 1) + φ(2x, 2y),
para todo x, y ∈ R. Ası, utilizando la desigualdad triangular, se tiene que
|g(x+ 4y) + g(x+ 4y + 1)− g(4y)− g(4y + 1) + g(2y)− g(2x+ 2y)|
≤ φ(x, 4y) + φ(x, 4y + 1) + φ(2x, 2y),
para todo x, y ∈ R. Sustituyendo x por 3x − y en la anterior desigualdad, se
obtiene que
|g(3x+ 3y) + g(3x+ 3y + 1)− g(4y)− g(4y + 1) + g(2y)− g(6x)|
≤ φ(3x− y, 4y) + φ(3x− y, 4y + 1) + φ(6x− 2y, 2y),
para todo x, y ∈ R. Ası, utilizando (4.30), se tiene que
|g(3x+3y)+g(3x+3y+1)−g(4y)−g(4y+1)+g(2y)−g(6x)| ≤ ϕ(x, y), (4.37)
para todo x, y ∈ R. Se va construir una formula recursiva, utilizando algunas
desigualdades de (4.37) y que g(0) = 0, se obtiene que
| − g(1) + g(−4x) + g(−4x+ 1)− g(−2x) + g(6x)|
+ | − g(3x)− g(3x+ 1) + g(1) + g(6x)|
+ |g(3x) + g(3x+ 1)− g(−4x)− g(−4x+ 1) + g(−2x)− g(12x)|
≤ ϕ(x,−x) + ϕ(x, 0) + ϕ(2x,−x),
para todo x, y ∈ R. Ası, utilizando la desigualdad triangular, se tiene que
|2 g(6x)− g(12x)| ≤ ϕ(x,−x) + ϕ(x, 0) + ϕ(2x,−x), (4.38)
66
para todo x ∈ R. Se va probar por induccion que
|2n g(6x)− g (2n · 6x)|
≤n−1∑i=0
2n−1−i[ϕ(2ix,−2ix
)+ ϕ
(2ix, 0
)+ ϕ
(2i+1x,−2ix
)], (4.39)
para todo n ∈ N y todo x ∈ R.
Sea x ∈ R. Para n = 1 es verdadero por (4.38).
Para n = k ∈ N, se supone que es verdadero tal que∣∣2k g(6x)− g(2k · 6x
)∣∣≤
k−1∑i=0
2k−1−i[ϕ(2ix,−2ix
)+ ϕ
(2ix, 0
)+ ϕ
(2i+1x,−2ix
)], (4.40)
para todo x ∈ R. Para n = k + 1,∣∣2k+1g(6x)− g(2k+1 6x
)∣∣ =∣∣2k+1g(6x)− 2 g(2k 6x) + 2 g(2k 6x)− g
(2k+1 6x
)∣∣≤ 2
∣∣2k g(6x)− g(2k 6x
)∣∣+∣∣2 g(2k 6x)− g
(2k+1 6x
)∣∣≤
k∑i=0
2k−i[ϕ(2ix,−2ix
)+ ϕ
(2ix, 0
)+ ϕ
(2i+1x,−2ix
)]. por (4.40), (4.38)
para todo x ∈ R. Por tanto, se ha demostrado (4.39).
Si m > n > 0, entonces m− n es un numero natural. Sustituyendo n por m− n
en (4.39), se obtiene que
∣∣2m−n g(6x)− g(2m−n · 6x
)∣∣≤
m−n−1∑i=0
2m−n−1−i[ϕ(2ix,−2ix
)+ ϕ
(2ix, 0
)+ ϕ
(2i+1x,−2ix
)].
para todo x ∈ R. Multiplicando ambos lados por1
2my sustituyendo x por 2n x,
se tiene que
∣∣2−ng (2n · 6x)− 2−mg (2m · 6x)∣∣
≤m−n−1∑i=0
2−n−i−1[ϕ(2i+nx,−2i+nx
)+ ϕ
(2i+nx, 0
)+ ϕ
(2i+n+1x,−2i+nx
)]=
m−1∑j=n
2−(j+1)[ϕ(2jx,−2jx
)+ ϕ
(2jx, 0
)+ ϕ
(2j+1x,−2jx
)], (4.41)
67
para todo x ∈ R. Tomando el limite cuando n→∞ en la parte derecha de (4.41)
y sustituyendo m = n+ p, se obtiene que
lımn→∞
n+p−1∑j=n
2−(j+1)[ϕ(2jx,−2jx
)+ ϕ
(2jx, 0
)+ ϕ
(2j+1x,−2jx
)]= 0,
para todo x ∈ R, dado por (4.29)
Por tanto, se concluye que{g(2n·6x)
2n
}∞n=1
es una sucesion de Cauchy en R.
Como R es un espacio completo, entonces existe el limite de la sucesion de Hyers.
Se define una funcion, A : R→ R tal que
A(x) = lımn→∞
g (2n · 6x)
2n. (4.42)
para todo x ∈ R.
(ii) En este ıtem, se va probar que la funcion A definida en (4.42) es aditiva.
En efecto, utilizando algunas desigualdades de (4.37), se obtiene que
| − g(3y)− g(3y + 1) + g(−4x) + g(−4x+ 1)− g(−2x) + g(6x+ 6y)|
+ | − g(3x)− g(3x+ 1) + g(−4y) + g(−4y + 1)− g(−2y) + g(6x+ 6y)|
+ |g(3y) + g(3y + 1)− g(−4y)− g(−4y + 1) + g(−2y)− g(12y)|
+ |g(3x) + g(3x+ 1)− g(−4x)− g(−4x+ 1) + g(−2x)− g(12x)|
≤ ϕ(x+ y,−x) + ϕ(x+ y,−y) + ϕ(2y,−y) + ϕ(2x,−x),
para todo x, y ∈ R. Ası, utilizando la desigualdad triangular, se tiene que
|2 g(6x+ 6y)− g(12x)− g(12y)|
≤ ϕ(x+ y,−x) + ϕ(x+ y,−y) + ϕ(2y,−y) + ϕ(2x,−x),
para todo x, y ∈ R. Multiplicando ambos lados por1
2ny sustituyendo x por
2n−1 x y y por 2n−1 y, se tiene que
68
∣∣∣∣g (2n−1 · 6(x+ y))
2n−1− g (2n · 6x)
2n− g (2n · 6y)
2n
∣∣∣∣≤ 1
2n[ϕ(2n−1(x+ y),−2n−1 x
)+ ϕ
(2n−1(x+ y),−2n y
)+ ϕ
(2n y,−2n−1 y
)+ϕ(2n x,−2n−1 x
)],
para todo x, y ∈ R. Tomando el limite cuando n→∞ en ambos lados, se obtiene
que
lımn→∞
∣∣∣∣g (2n−1 · 6(x+ y))
2n−1− g (2n · 6x)
2n− g (2n · 6y)
2n
∣∣∣∣≤ lım
n→∞
1
2n[ϕ(2n−1(x+ y),−2n−1 x
)+ ϕ
(2n−1(x+ y),−2n y
)+ ϕ
(2n y,−2n−1 y
)+ϕ(2n x,−2n−1 x
)]= 0, por (4.29) (4.43)
para todo x, y ∈ R. Como los limites existen por (4.42), se tiene que
|A(x+ y)− A(x)− A(y)|
=
∣∣∣∣ lımn→∞
g (2n−1 · 6(x+ y))
2n−1− lım
n→∞
g (2n · 6x)
2n− lım
n→∞
g (2n · 6y)
2n
∣∣∣∣= lım
n→∞
∣∣∣∣g (2n−1 · 6(x+ y))
2n−1− g (2n · 6x)
2n− g (2n · 6y)
2n
∣∣∣∣≤ 0, por (4.43)
para todo x, y ∈ R. Entonces,
A(x+ y)− A(x)− A(y) = 0,
para todo x, y ∈ R. Ası,
A(x+ y) = A(x) + A(y),
para todo x, y ∈ R. Por tanto, A es una funcion aditiva.
69
(iii) Ahora, se va probar que
|f(6x)− A(x)− f(0)| ≤ 1
2Φ(x,−x) +
1
2Φ(x, 0) +
1
2Φ(2x,−x),
para todo x ∈ R. En efecto,
|f(6x)− A(x)− f(0)| = |f(6x)− f(0)− A(x)|
= |g(6x)− A(x)| por (4.32)
=
∣∣∣∣g(6x)− lımn→∞
g (2n · 6x)
2n
∣∣∣∣= lım
n→∞
1
2n|2n g(6x)− g (2n · 6x)| ,
para todo x ∈ R. Ası, utilizando (4.39), se tiene que
|f(6x)− A(x)− f(0)|
≤ lımn→∞
1
2n
n−1∑i=0
2n−1−i[ϕ(2ix,−2ix
)+ ϕ
(2ix, 0
)+ ϕ
(2i+1x,−2ix
)]=
∞∑i=0
2−(i+1)[ϕ(2ix,−2ix
)+ ϕ
(2ix, 0
)+ ϕ
(2i+1x,−2ix
)]=
1
2
[∞∑i=0
2−i ϕ(2ix,−2ix
)+∞∑i=0
2−i ϕ(2ix, 0
)+∞∑i=0
2−i ϕ(2i+1x,−2ix
)]=
1
2[Φ(x,−x) + Φ(x, 0) + Φ(2x,−x)] , por (4.29)
para todo x ∈ R. Por tanto, se ha demostrado que
|f(6x)− A(x)− f(0)| ≤ 1
2Φ(x,−x) +
1
2Φ(x, 0) +
1
2Φ(2x,−x),
para todo x ∈ R.
(iv) Finalmente, se va probar que A es unica.
Se supone que A no es unica, entonces existe otra funcion aditiva B : R → R,
donde B 6= A tal que
|f(6x)−B(x)− f(0)| ≤ 1
2Φ(x,−x) +
1
2Φ(x, 0) +
1
2Φ(2x,−x),
para todo x ∈ R. Luego,
70
|A(x)−B(x)| = |A(x)− f(6x) + f(0)−B(x) + f(6x)− f(0)|
≤ |f(6x)− A(x)− f(0)|+ |f(6x)−B(x)− f(0)|
≤ Φ(x,−x) + Φ(x, 0) + Φ(2x,−x)
para todo x ∈ R. Ası,
|A(x)−B(x)| ≤ Φ(x,−x) + Φ(x, 0) + Φ(2x,−x), (4.44)
para todo x ∈ R. Como A y B son funciones aditivas, se obtiene que
|A(x)−B(x)| =
∣∣∣∣A (2n x)
2n− B (2n x)
2n
∣∣∣∣=
1
2n|A (2n x)−B (2n x)|
≤ 1
2n[Φ(2n x,−2n x) + Φ(2n x, 0) + Φ(2n+1 x,−2n x)
], por (4.44)
para todo x ∈ R. Ası, utilizando (4.29), se tiene que
|A(x)−B(x)|
≤ 1
2n
∞∑i=0
2−i[ϕ(2i+nx,−2i+nx
)+ ϕ
(2i+nx, 0
)+ ϕ
(2i+n+1x,−2i+nx
)]=
1
2n
∞∑j=n
2−j+n[ϕ(2jx,−2jx
)+ ϕ
(2jx, 0
)+ ϕ
(2j+1x,−2jx
)]=
∞∑j=n
2−j[ϕ(2jx,−2jx
)+ ϕ
(2jx, 0
)+ ϕ
(2j+1x,−2jx
)],
para todo x ∈ R, donde n ∈ N. Entonces,
|A(x)−B(x)| ≤∞∑j=n
2−j[ϕ(2jx,−2jx
)+ ϕ
(2jx, 0
)+ ϕ
(2j+1x,−2jx
)]para todo x ∈ R. Tomando el limite cuando n → ∞ en ambos lados, se obtiene
que
71
|A(x)−B(x)| = lımn→∞
|A(x)−B(x)|
≤ lımn→∞
∞∑j=n
2−j[ϕ(2jx,−2jx
)+ ϕ
(2jx, 0
)+ ϕ
(2j+1x,−2jx
)]= 0,
para todo x ∈ R. Por tanto,
|A(x)−B(x)| ≤ 0,
para todo x ∈ R. Ası,
A(x) = B(x),
para todo x ∈ R. De lo cual, es una contradiccion con la suposicion, se concluye
que A es la unica funcion real aditiva.
Observacion: El Teorema 4.3.2 es un mejor resultado del Teorema 4.3.1.
Dado que, tomando φ(x, y) = δ ≥ 0 y sustituyendo en (4.30), se obtiene que
ϕ(x, y) = φ(6x− 2y, 2y) + φ(3x− y, 4y) + φ(3x− y, 4y + 1)
= δ + δ + δ
= 3 δ,
para todo x, y ∈ R. Ası, ϕ(x, y) = 3 δ. Luego, por (4.29)
Φ(x, y) =∞∑i=0
2−i ϕ(2i x, 2i y
)= 3 δ
∞∑i=0
2−i
= 6 δ,
para todo x, y ∈ R. Del Teorema 4.3.2, existe una funcion aditiva unicaA : R→ R
72
tal que
|f(x)− A(x)− b(x)| ≤ 1
2Φ(x,−x) +
1
2Φ(x, 0) +
1
2Φ(2x,−x)
=1
2(6 δ + 6 δ + 6 δ)
= 9 δ,
para todo x ∈ R. Por tanto,
|f(x)− A(x)− b(x)| ≤ 9 δ,
para todo x ∈ R.
4.4 Estabilidad de la ecuacion funcional de d’Alembert
En esta seccion se estudiara la estabilidad de la ecuacion funcional de d’Alembert,
la demostracion es basado de los aportes de Baker (1980).
Teorema 4.4.1. Sea la funcion f : R→ C que satisface la desigualdad
|f(x+ y) + f(x− y)− 2f(x) f(y)| ≤ δ, (4.45)
para todo x, y ∈ R, donde δ > 0. Entonces, existe una funcion m : R→ C tal que
f(x) =m(x) +m(−x)
2,
y
|m(x+ y)−m(x)m(y)| ≤ δ
2,
para todo x, y ∈ R.
Demostracion. Sea la funcion f : R→ C que satisface la desigualdad
|f(x+ y) + f(x− y)− 2f(x) f(y)| ≤ δ,
para todo x, y ∈ R, donde δ > 0.
73
En efecto, sustituyendo x = 0 = y en (4.45), se obtiene que
|2 f(0)− 2f 2(0)| ≤ δ.
Tomando z = f(0) y utilizando la desigualdad ||x| − |y|| ≤ |x− y|, se tiene que
|z − z2| ≤ δ
2
||z| − |z|2| ≤ δ
2
2|z|2 − 2|z| − δ ≤ 0
|z| <1 +√
1 + 2δ
2.
Por tanto,
|f(0)| < ε,
donde ε = 1+√1+2δ2
.
Se va probar que, si |f(x)| > ε, para todo x ∈ R, entonces la funcion f no es
acotada. Es decir,
lımn→∞
|f (2n x)| → ∞
Sea x ∈ R. Si |f(x)| > ε, en consecuencia
y = |f(x)| = ε+ p, (4.46)
para algun p > 0. Luego,
2y2 − y − δ − ε = 2(ε+ p)2 − (ε+ p)− δ − ε
= 2ε2 + 4p ε+ 2p2 − 2ε− p− δ
= 2(ε2 − ε) + (4ε− 1) p+ 2p2 − δ
= δ + (4ε− 1) p+ 2p2 − δ − 3p+ 3p
= 4(ε− 1) p+ 2p2 + 3p
> 3p,
74
donde δ > 0, p > 0 y ε > 1. Por tanto,
2|f(x)|2 − δ − ε > |f(x)|+ 3p, (4.47)
para todo x ∈ R. Ademas, utilizando la desigualdad ||x| − |y|| ≤ |x− y|, se tiene
que
|f(2x)| =∣∣2 f 2(x)− f(0)−
[2 f 2(x)− f(0)− f(2x)
]∣∣≥ |2 f 2(x)− f(0)| − |f(2x) + f(0)− 2f 2(x)|
> |2 f 2(x)| − |f(0)| − δ por (4.45)
> 2 |f(x)|2 − ε− δ,
para todo x ∈ R. Ası,
|f(2x)| > 2 |f(x)|2 − ε− δ, (4.48)
para todo x ∈ R. Luego,
|f(2x)| > 2 |f(x)|2 − ε− δ
> |f(x)|+ 3 p por (4.47)
= ε+ p+ 3 p por (4.46)
> ε+ 2 p,
para todo x ∈ R. Ası,
|f(2x)| > ε+ 2 p, (4.49)
para todo x ∈ R. Se va probar por induccion que,
|f(2nx)| > ε+ 2n p,
para todo x ∈ R y todo n ∈ N.
Sea x ∈ R. Para n = 1, es verdadero por (4.49).
Para n = k ∈ N, se supone que es verdadero tal que
|f(2k x)| > ε+ 2k p, (4.50)
75
para todo x ∈ R. Para n = k + 1, sustituyendo x por 2k x en (4.48), se obtiene
que
∣∣f (2k+1 x)∣∣ > 2
∣∣f (2k x)∣∣2 − ε− δ> 2
(ε+ 2k p
)2 − ε− δ por (4.50)
= 2ε2 + 2k+2ε p+ 22k+1 p2 − ε− δ
= (2ε2 − 2ε− δ) + ε+ 2k+1 p (2ε+ 2kp)
> ε+ 2k+1 p,
para todo x ∈ R, donde ε > 1 y p > 0. Por tanto, se ha demostrado que
|f(2nx)| > ε+ 2n p,
para todo n ∈ N y todo x ∈ R.
Tomando el limite cuando n→∞ en ambos lados, se obtiene que
lımn→∞
|f(2n x)| → ∞.
Por tanto, la funcion f no es acotada.
Luego, sustituyendo y = 0 en (4.45), se obtiene que
|f(x) + f(x)− 2 f(x)f(0)| ≤ δ
|2 f(x)− 2 f(x)f(0)| ≤ δ
2 |f(x)| |1− f(0)| ≤ δ,
para todo x ∈ R. Ası,
|1− f(0)| ≤ δ
2 |f(x)|,
para todo x ∈ R. Como f no es una funcion acotada, se obtiene que
|1− f(0)| ≤ 0.
Por tanto, f(0) = 1. Se va probar que f es una funcion par.
76
Sean x, y ∈ R. Sustituyendo y por −y en (4.45), se tiene que
|f(x− y) + f(x+ y)− 2 f(x)f(−y)| ≤ δ, (4.51)
para todo x, y ∈ R. Sumando las desigualdades (4.45) y (4.51), se obtiene que
|2 f(x) f(y)− f(x+ y)− f(x− y)|+ |f(x+ y) + f(x− y)− 2 f(x)f(−y)|
≤ δ + δ,
para todo x, y ∈ R. Ası, utilizando la desigualdad triangular, se tiene que
|2 f(x)f(y)− 2 f(x)f(−y)| ≤ 2 δ
2|f(x)| |f(y)− f(−y)| ≤ 2 δ
|f(y)− f(−y)| ≤ δ
|f(x)|,
para todo x, y ∈ R. Como f no una funcion acotada, se obtiene que
|f(y)− f(−y)| ≤ 0,
para todo y ∈ R. Ası,
f(y) = f(−y),
para todo y ∈ R. Por tanto, f es par.
(i) En este ıtem, se va probar que existe una funcion m : R→ C tal que
f(x) =m(x) +m(−x)
2,
para todo x ∈ R. Como f no es acotada y
|f(2x) + f(0)− 2 f 2(x)| ≤ δ
para todo x ∈ R. Se elige, a ∈ R y α tal que
2α2 [f(2a)− 1] = 1. (4.52)
77
Se define las funciones, g,m : R→ C tal que g(x) := f(x+ a)− f(x− a),
m(x) := f(x) + α g(x),(4.53)
para todo x ∈ R. Como f es una funcion par, se obtiene que
g(−x) = f(−x+ a)− f(−x− a)
= f(x− a)− f(x+ a)
= −g(x),
para todo x ∈ R. Ası,
g(−x) = −g(x),
para todo x ∈ R. Por tanto, g es impar.
Como f es par y g es impar, se obtiene que
m(−x) = f(−x) + αg(−x)
= f(x)− α g(x).
para todo x ∈ R. Ası,
m(−x) = f(x)− α g(x), (4.54)
para todo x ∈ R. Sumando las ecuaciones (4.53) y (4.54), se tiene que
f(x) =m(x) +m(−x)
2,
para todo x ∈ R.
(ii) En este ıtem, se va probar que
|m(x+ y)−m(x)m(y)| ≤ δ
2,
para todo x, y ∈ R.
Sea
2 f(x) f(y) = f(x+ y) + f(x− y) + E(x, y) (4.55)
para todo x, y ∈ R, donde |E(x, y)| ≤ δ. Luego,
78
2 f(x) g(y) + 2 f(y) g(x)
= 2f(x) [f(y + a)− f(y − a)] + 2 f(y) [f(x+ a)− f(x− a)] por (4.53)
= 2 f(x) f(y + a)− 2 f(x) f(y − a) + 2 f(y) f(x+ a)− 2 f(y) f(x− a)
= f(x+ y + a) + f(x− y − a) + E(x, y + a)− f(x+ y − a)
−f(x− y + a)− E(x, y − a) + f(x+ a+ y) + f(x+ a− y)
+E(x+ a, y)− f(x− a+ y)− f(x− a− y)− E(x− a, y) por (4.55)
= f(x+ y + a) +(((((((f(x− y − a)− f(x+ y − a)−(((((
((f(x− y + a)
+f(x+ y + a) +(((((((f(x− y + a)− f(x+ y − a)−(((((
((f(x− y − a)
+E(x, y + a)− E(x, y − a) + E(x+ a, y)− E(x− a, y)
= 2f(x+ y + a)− 2f(x+ y − a) + E(x, y + a)− E(x, y − a)
+E(x+ a, y)− E(x− a, y)
= 2 g(x+ y) + E(x, y + a)− E(x, y − a) + E(x+ a, y)− E(x− a, y), por (4.53)
para todo x, y ∈ R. Ası,
2 g(x+ y)− 2 f(x) g(y)− 2 f(y) g(x)
= E(x, y − a)− E(x, y + a)− E(x+ a, y) + E(x− a, y),
para todo x, y ∈ R. Aplicando el valor absoluto a la ecuacion anterior, se obtiene
que
|2 g(x+ y)− 2 f(x) g(y)− 2 f(y) g(x)|
= |E(x, y − a)− E(x, y + a)− E(x+ a, y) + E(x− a, y)|
≤ |E(x, y − a)|+ |E(x, y + a)|+ |E(x+ a, y)|+ |E(x− a, y)|
≤ δ + δ + δ + δ
= 4 δ,
para todo x, y ∈ R. Por tanto,
|g(x+ y)− f(x) g(y)− f(y) g(x)| ≤ 2 δ, (4.56)
por tanto, x, y ∈ R. Ademas,
79
2 g(x) g(y) = 2 [f(x+ a)− f(x− a)] [f(y + a)− f(y − a)] por (4.53)
= 2 f(x+ a)f(y + a)− 2 f(x+ a)f(y − a)
−2 f(x− a)f(y + a) + 2 f(x− a)f(y − a)
= f(x+ y + 2a) + f(x− y) + E(x+ a, y + a)
−f(x+ y)− f(x− y + 2a)− E(x+ a, y − a)
−f(x+ y)− f(x− y − 2a)− E(x− a, y + a)
+f(x+ y − 2a) + f(x− y) + E(x− a, y − a) por (4.55)
= 2 f(x− y)− 2 f(x+ y) + f(x+ y + 2a)
+f(x+ y − 2a)− f(x− y + 2a)− f(x− y − 2a)
+E(x+ a, y + a)− E(x+ a, y − a)
−E(x− a, y + a) + E(x− a, y − a)
= 2 f(x− y)− 2 f(x+ y) + 2 f(x+ y)f(2a)
−2 f(x− y)f(2a) + E(x+ a, y + a)− E(x+ a, y − a)
−E(x+ y + 2a, x+ y − 2a) + E(x− y + 2a, x− y − 2a)
−E(x− a, y + a) + E(x− a, y − a), por (4.55)
para todo x, y ∈ R. Ası,
2 g(x) g(y)− 2 (f(2a)− 1) [f(x+ y)− f(x− y)]
= E(x− y + 2a, x− y − 2a) + E(x+ a, y + a)− E(x+ a, y − a)
−E(x− a, y + a) + E(x− a, y − a)− E(x+ y + 2a, x+ y − 2a),
para todo x, y ∈ R. Aplicando el valor absoluto en la ecuacion anterior, se obtiene
que
80
|2 g(x) g(y)− 2 (f(2a)− 1) [f(x+ y)− f(x− y)]|
= |E(x− y + 2a, x− y − 2a) + E(x+ a, y + a)− E(x+ a, y − a)
−E(x− a, y + a) + E(x− a, y − a)− E(x+ y + 2a, x+ y − 2a)|
≤ |E(x− y + 2a, x− y − 2a)|+ |E(x+ a, y + a)|+ |E(x+ a, y − a)|
+|E(x− a, y + a)|+ |E(x− a, y − a)|+ |E(x+ y + 2a, x+ y − 2a)|
≤ δ + δ + δ + δ + δ + δ
= 6 δ,
para todo x, y ∈ R. Por tanto,
|g(x) g(y)− (f(2a)− 1) [f(x+ y)− f(x− y)]| ≤ 3 δ, (4.57)
para todo x, y ∈ R. Finalmente,
|m(x+ y)−m(x)m(y)|
= |f(x+ y) + α g(x+ y)− [f(x) + α g(x)] [f(y) + α g(y)] | por (4.53)
= |f(x+ y) + α g(x+ y)− f(x)f(y)− α f(x)g(y)
−α g(x)f(y)− α2 g(x)g(y)∣∣
= |α [g(x+ y)− f(x)g(y)− g(x)f(y)]
+[f(x+ y)− f(x)f(y)− α2g(x)g(y)
]∣∣≤ |α| |g(x+ y)− f(x)g(y)− g(x)f(y)|
+|f(x+ y)− f(x)f(y)− α2g(x)g(y)|
≤ 2 |α| δ +
∣∣∣∣f(x+ y) + f(x− y)
2− f(x)f(y)
−α2 g(x)g(y) +f(x+ y) + f(x− y)
2
∣∣∣∣ por (4.56)
≤ 2 |α| δ +
∣∣∣∣f(x)f(y)− f(x+ y) + f(x− y)
2
∣∣∣∣+
∣∣∣∣f(x+ y) + f(x− y)
2− α2g(x)g(y)
∣∣∣∣ ,
81
para todo x, y ∈ R. Entonces, utilizando la desigualdad (4.52), se obtiene que
|m(x+ y)−m(x)m(y)|
≤ 2 |α| δ +δ
2+∣∣α2 [g(x)g(y)− (f(2a)− 1) (f(x+ y)− f(x− y))]
∣∣≤ 2 |α| δ +
δ
2+ 3 |α2| δ por (4.57)
= δ
(3 |α2|+ 2 |α|+ 1
2
),
para todo x, y ∈ R. Ası,
|m(x+ y)−m(x)m(y)| ≤ δ
(3|α2|+ 2|α|+ 1
2
),
para todo x, y ∈ R. Como f no es acotada, se elige a ∈ R tal que |f(2a)| es valor
muy grande, entonces α un valor muy pequeno por (4.52). Por tanto,
|m(x+ y)−m(x)m(y)| ≤ δ
2,
para todo x, y ∈ R.
82
CAPITULO 5
METODOS DE SOLUCION
En este capıtulo se dara a conocer algunos metodos basicos para la resolucion de
las Ecuaciones Funcionales y los principales metodos que se van estudiar son:
Metodo de sustitucion de variables por valores.
Transformacion de una o varias variables.
Punto fijo.
Simetrıa.
Metodo de Acotacion.
Metodo Inductivo.
Ecuaciones Funcionales Polinomicas.
Transformacion de una o varias funciones.
Ecuaciones en diferencias lineales.
En la siguientes secciones se describira los metodos y se presentara algunos ejem-
plos ilustrativos.
5.1 Metodo de sustitucion de variables por valores
El metodo consiste en sustituir en la ecuacion funcional una o varias variables
por valores dados, lo mas comun es sustituir por constantes (Por ejemplo 0 o
1), de la misma forma se puede sustituir por variables. Despues, se observa si es
posible hacer una parte de la ecuacion funcional constante.
Sin embargo, las sustituciones se hacen menos evidentes cuando la dificultad del
83
problema incrementa, pero es importante no subestimar su potencia ya que se
puede simplificar una ecuacion compleja o dar un comportamiento de la solucion.
Es decir, propiedades generales como inyectividad o sobreyectividad de la funcion.
En la mayorıa de los metodos que se resuelve la ecuacion funcional es bajo el
supuesto que existe la funcion solucion. En consecuencia, es necesario comprobar
que la funcion obtenida satisface la ecuacion funcional dada y sus condiciones
iniciales.
Ejemplo 5.1.1. Hallar todas las funciones reales tal que satisfacen la ecuacion
funcional
f(x+ y) + f(x− y) = k cos(x) cos(y), (5.1)
para todo x, y ∈ R, donde k ∈ R.
Solucion: Sustituyendo y = 0 en la ecuacion (5.1), se obtiene que
f(x) + f(x) = k cos(x) cos(0)
2 f(x) = k cos(x),
para todo x ∈ R. Por tanto,
f(x) =k
2cos(x),
para todo x ∈ R, donde k ∈ R.
Ejemplo 5.1.2. Hallar todas las funciones reales tal que satisfacen la ecuacion
funcional
f(x+ y) + f(x− y) = k f(x) cos(y), (5.2)
para todo x ∈ R, donde k ∈ R.
Solucion: Sustituyendo x = 0, y = t en la ecuacion (5.2) y tomando a = f(0),
se obtiene que
f(t) + f(−t) = k a cos(t), (5.3)
84
para todo t ∈ R, donde k ∈ R. Sustituyendo x =π
2+ t y y =
π
2en la ecuacion
(5.2), se obtiene que
f(t+ π) + f(t) = 0, (5.4)
para todo t ∈ R. Ademas, sustituyendo x =π
2, y =
π
2+ t en la ecuacion (5.2),
se obtiene que
f(π
2+π
2+ t)
+ f(π
2− π
2− t)
= k f(π
2
)cos(π
2+ t)
para todo t ∈ R. Tomando b = f(π
2
), se obtiene que
f(t+ π) + f(−t) = −k b sen(t), (5.5)
para todo t ∈ R. Sumando las ecuaciones (5.3) y (5.4), se tiene que
2 f(t) + f(t+ π) + f(−t) = k a cos(t),
para todo t ∈ R. Luego, restando la ecuacion anterior de (5.5), se obtiene que
2 f(t) = k a cos(t) + k b sen(t)
para todo t ∈ R. Por tanto,
f(t) =k
2[a cos(t) + b sen(t)] ,
para todo t ∈ R, donde a, b y k son constantes reales.
5.2 Transformacion de una o varias variables
El metodo consiste en sustituir una expresion algebraica por una variable. Es
decir, que generalmente se tiene ecuaciones funcionales como f(g(x)) = f(h(x)),
donde g y h son funciones conocidas. Para facilitar la resolucion de la ecuacion
funcional se sustituye por variables a las funciones conocidas.
85
Ejemplo 5.2.1. Encontrar todas las funciones reales tal que satisfacen la ecua-
cion funcional
f(1− x) + x f(x− 1) =k
x, (5.6)
para todo x ∈ Rr {−1, 1, 0}, donde k ∈ R.
Solucion: Sustituyendo t = 1− x en la ecuacion (5.6), se obtiene que
f(t) + (1− t) f(−t) =k
1− t, (5.7)
para todo t ∈ Rr {1}, donde k ∈ R. Sustituyendo t = x− 1 en la ecuacion (5.6),
se obtiene que
f(−t) + (1 + t) f(t) =k
1 + t,
para todo t ∈ Rr {−1}. Ası,
f(−t) =k
1 + t− (1 + t) f(t), (5.8)
para todo t ∈ Rr {−1}. Reemplazando la ecuacion (5.8) en (5.7), se tiene que
f(t) + (1− t)[
k
1 + t− (1 + t) f(t)
]=
k
1− t
f(t)[1− (1− t2)
]=
k
1− t− k (1− t)
1 + t
f(t) =k + k t− k (1− t)2
(1− t2) t2,
para todo t ∈ Rr {−1, 0, 1}. Por tanto,
f(t) =k (3− t)t (1− t2)
,
para todo t ∈ Rr {−1, 0, 1}, donde k ∈ R.
Ejemplo 5.2.2. Encontrar todas las funciones f : Rr{0} → R tal que satisfacen
la ecuacion funcional
f
(k
x
)+k
xf(−x) = x, (5.9)
para todo x ∈ Rr {0}, donde k 6= −1 es una constante real.
86
Solucion: Sea x ∈ Rr {0}. Sustituyendo t =k
xen la ecuacion (5.9), se obtiene
que
f(t) + t f
(−kt
)=k
t, (5.10)
para todo t ∈ R r {0}. Luego, reemplazando t = −x en la ecuacion (5.10), se
obtiene que
f(−x)− x f(k
x
)= −k
x, (5.11)
para todo x ∈ Rr {0}. Multiplicando por x ambos lados de la ecuacion (5.9), se
tiene que
x f
(k
x
)+ k f(−x) = x2, (5.12)
para todo x ∈ Rr{0}. Ahora, sumando las ecuaciones (5.11) y (5.12), se obtiene
que
k f(−x) + f(−x) = x2 − k
x
f(x) =x3 + k
x (k + 1),
para todo x ∈ Rr {0}, donde k 6= −1.
5.3 Metodo del punto fijo
El metodo se basa en encontrar un punto fijo de la funcion solucion. En conse-
cuencia, se puede expresar la solucion de la ecuacion funcional con el valor punto
fijo encontrado. Ademas, para afirmar la existencia del punto fijo se puede utilizar
el Teorema de punto fijo de Banach (Ver la seccion 2.2).
Ejemplo 5.3.1. Encontrar todas las funciones f : R+ → R+ tal que satisfacen
las siguientes condiciones:
(i) f(x f(y)) = y f(x), para todo x, y ∈ R+.
(ii) lımx→+∞
f(x) = 0.
87
Solucion: Sea x, y ∈ R+. Sustituyendo y = x en (i), se obtiene que
f(x f(x)) = x f(x), (5.13)
para todo x ∈ R+. En consecuencia, x · f(x) es un punto fijo de f, para todo
x ∈ R+. Se supone que existe un a ∈ R+ punto fijo de f . Es decir, f(a) = a.
Se va probar por induccion que
f(an) = an, (5.14)
para todo n ∈ N.
Sea a ∈ R+. Para n = 1, es verdadero puesto que f(a) = a.
Para n = k ∈ N, se supone que es verdadero tal que f(ak) = ak.
Para n = k + 1,
f(ak+1) = f(ak · a)
= f(a · f(ak))
= ak · f(a) por (i)
= a · ak
= ak+1.
Ası,
f(ak+1
)= ak+1.
Por tanto, se ha demostrado (5.14).
Ahora, se considera los siguientes casos:
• Si a > 1, tomando el limite cuando n→∞ en (5.14), se tiene que
lımn→+∞
f(an) = lımn→+∞
an = +∞.
De lo cual, contradice la condicion (ii). Ahora, se va probar que f es una funcion
inyectiva.
88
Sea x, y ∈ R+. Sustituyendo x = 1 en (i), se obtiene que
f(f(y)) = y f(1). (5.15)
Si f(x) = f(y), entonces
f(f(x)) = f(f(y))
x ·���f(1) = y ·���f(1) por (5.15)
x = y.
Por tanto, f es inyectiva. Luego, sustituyendo y = 1 en (i) y por ser f inyectiva,
se obtiene que
f(x f(1)) = f(x)
�x f(1) = �x
f(1) = 1.
Por tanto, a = 1 es un punto fijo de f .
• Si a < 1, se tiene que
a f(a−1) = f(a−1f(a)) por (i)
= f(a−1 · a)
= f(1)
= 1.
Ası,
f(a−1) = a−1,
donde a ∈ R+. De la misma forma, se puede generalizar por induccion que
f(a−n) = a−n, (5.16)
para todo n ∈ N. Como a < 1, entonces a−1 > 1. Tomando el limite cuando
89
n→∞ en (5.16), se ve que contradice la condicion (ii).
Por tanto, se concluye que el unico punto fijo es a = 1 y utilizando (5.13), se
obtiene que
x · f(x) = 1,
para todo x ∈ R+. Ası,
f(x) =1
x,
para todo x ∈ R+. Ademas, f satisface las condiciones (i) y (ii).
Observacion: En el ejemplo se encontro varios puntos fijos, pero es necesario
analizar en cada caso cuales son los que satisfacen las condiciones del problema.
Ejemplo 5.3.2. Sea el conjunto T = {x ∈ R | x > −1}. Encontrar todas la
funciones f : T → T tal que satisfacen las siguientes condiciones:
(i) f(x+ f(y) + x f(y)) = y + f(x) + y f(x), para todo x, y ∈ T.
(ii)f(x)
xes estrictamente creciente en los intervalos ]−1, 0[ y ]0,+∞[.
Solucion: Sea x, y ∈ T. Sustituyendo x = y en (i), se obtiene que
f(x+ (1 + x) f(x)) = x+ (1 + x) f(x), (5.17)
para todo x ∈ T . En consecuencia, x + (1 + x) f(x) es un punto fijo de f , para
todo x ∈ T. Se supone que existe un a ∈ T punto fijo de f . Es decir, f(a) = a.
Primero se va probar que f es una funcion inyectiva.
Sea x, y ∈ T . Sustituyendo x = 0 en (i), se obtiene que
f(f(y)) = y + f(0) (y + 1). (5.18)
Si f(x) = f(y), entonces
f(f(x)) = f(f(y))
y (1 + f(0)) +���f(0) = x (1 + f(0)) +��
�f(0) por (5.18)
x = y.
90
Por tanto, f es inyectiva. Luego, sustituyendo y = 0 en (i) y por ser f inyectiva,
se obtiene que
f(x+ f(0) (1 + x)) = f(x)
�x+ f(0) (1 + x) = �x
f(0) = 0.
Por tanto, a = 0 es un punto fijo de f .
Se analiza los siguientes casos:
• Si a ∈ ]−1, 0[, entonces utilizando (5.17),
�a+ (1 + a) f(a) = �a
a (a+ 1) = 0
a = 0, a = 1.
De lo cual, es una contradiccion puesto que a ∈ ]−1, 0[. De igual manera, cuando
a > 0. Por tanto, el unico punto fijo es a = 0 y utilizando (5.17), se obtiene que
x+ (1 + x) f(x) = 0,
para todo x ∈ T. Ası,
f(x) = − x
1 + x,
para todo x ∈ T. Ademas, f satisface las condiciones (i) y (ii).
5.4 Utilizando Simetrıa
El metodo consiste en tener una parte de la ecuacion funcional simetrica. Es
decir, si f(x, y) = g(x, y) tal que uno de los dos lados de la ecuacion funcional
es simetrica con respecto a x, y y el otro lado no necesariamente. Si no se tiene
la condicion con una sustitucion adecuada o agregando una variable se puede
obtener la simetrıa.
91
Ejemplo 5.4.1. Encontrar todas las funciones f : R → R tal que satisfacen la
ecuacion funcional
f
(k
2(x− y)2
)= f 2(x)− k x f(y) +
(k y
2
)2
, (5.19)
para todo x, y ∈ R, donde k ∈ R.
Solucion: La parte izquierda de la ecuacion (5.19) es simetrica. Ası,
f
(k
2(x− y)2
)= f
(k
2(y − x)2
)f 2(x)− k x f(y) +
(k y
2
)2
= f 2(y)− k y f(x) +
(k x
2
)2
[f(x) +
k y
2
]2=
[f(y) +
k x
2
]2,
para todo x, y ∈ R. Ası,(i) f(x)− k x
2= f(y)− k y
2,
(ii) f(x) +k x
2= −f(y)− k y
2,
(5.20)
para todo x, y ∈ R, donde k ∈ R. Por tanto, las ecuaciones de (5.20) difieren en
una constante real, entonces
(i) f(x)− k x
2= c (ii) f(x) +
k x
2= 0
f(x) =k x
2+ c, f(x) = −k x
2,
para todo x ∈ R, donde c ∈ R.
Finalmente, se comprueba si (i) o (ii) satisfacen la ecuacion (5.19).
Sustituyendo (i) en la ecuacion (5.19), se obtiene que
f
(k
2(x− y)2
)= c+
k2 (x− y)2
4,
92
f 2(x)− k x f(y) +
(k y
2
)2
=
(c+
k x
2
)2
− k x(c+
k y
2
)+
(k y
2
)2
= c2 +k2 (x− y)2
4,
para todo x, y ∈ R. Entonces, c = 0 y c = 1.
Por tanto, f(x) =k x
2+ 1 y f(x) =
k x
2, para todo x ∈ R, donde k ∈ R son
soluciones de la ecuacion funcional.
Sustituyendo (ii) en la ecuacion (5.19), se obtiene que
f
(k
2(x− y)2
)= −k
2 (x− y)2
4,
f 2(x)− k x f(y) +
(k y
2
)2
=
(k x
2
)2
− k x(−k y
2
)+
(k y
2
)2
=k2 (x+ y)2
4,
para todo x, y ∈ R. Por tanto, (ii) no es solucion de la ecuacion funcional.
5.5 Metodo de Acotacion
El metodo consiste en acotar la funcion solucion mediante una funcion conocida
utilizando las condiciones establecidas sobre la funcion. Es decir, si se encuentra
que f(x) ≤ g(x), para todo x ∈ I, donde I es un intervalo de los numeros en R
y g es una funcion conocida. Ademas, utilizando las condiciones sobre la funcion
se prueba que f(x) > g(x), para todo x ∈ I. Por tanto, g es la solucion de la
ecuacion funcional.
Ejemplo 5.5.1. Sea el conjunto T = {x ∈ R |x ≥ 0}. Encontrar todas las
funciones f : T → T tal que satisfacen las siguientes condiciones:
(i) f(x f(y)) f(y) = f(x+ y), para todo x, y ∈ T.
(ii) f(2) = 0.
(iii) f(x) 6= 0, para todo x ∈ [0, 2[ .
93
Solucion: Sea t ≥ 2. Sustituyendo x = t− 2 y y = 2 en (i), se obtiene que
f((t− 2) f(2)) · f(2) = f(t),
para todo t ≥ 2. Ası, por (ii)
f(t) = 0, (5.21)
para todo t ≥ 2. Por tanto, (5.21) es solucion de la ecuacion funcional (i).
Si y ∈ [0, 2[, entonces f(y) 6= 0. Ahora, sustituyendo x = 2− y en (i), se obtiene
que
f((2− y) f(y)) · f(y) = f(2− y + y)
= f(2)
= 0, por (ii)
para todo y ∈ [0, 2[. Entonces, utilizando (5.21), se obtiene que
(2− y) f(y) ≥ 2
f(y) ≥ 2
2− y, (5.22)
para todo y ∈ [0, 2[ .
Sea ε > 0. Sustituyendo x = 2− y − ε en (i), se tiene que
f((2− y − ε) f(y)) f(y) = f(2− y − ε+ y)
= f(2− ε)
6= 0, por (iii)
para todo y ∈ [0, 2[. Entonces, utilizando (iii), se obtiene que
(2− y − ε) f(y) < 2
f(y) <2
2− y − ε, (5.23)
94
para todo y ∈ [0, 2[. Tomando el limite cuando ε→ 0 en (5.23), se tiene que
f(y) = lımε→0
f(y)
< lımε→0
2
2− y − ε
<2
2− y, (5.24)
para todo y ∈ [0, 2[. De (5.22) y (5.24), se concluye que
f(x) =2
2− x,
para todo x ∈ [0, 2[ es solucion de la ecuacion funcional (i).
5.6 Metodo Inductivo
El metodo de Induccion se basa en utilizar el valor f(1) para encontrar f(n),
para todo n ∈ Z. Despues, se puede encontrar f(1n
)y f(r), para r un numero
racional. Ahora, para poder extender al conjunto de los numeros reales la solucion,
se utiliza la continuidad de la funcion y que Q es un espacio denso en R.
Este metodo se lo utiliza en problemas donde la funcion esta definida sobre Q.
Ejemplo 5.6.1. Encontrar todas las funciones continuas f : R → R, tal que
satisfacen la ecuacion funcional
f(x+ y) = f(x) + f(y)− f(x) f(y), (5.25)
para todo x, y ∈ R.
Solucion: Primero se va construir una formula recursiva.
Sea x ∈ R. Sustituyendo y = x en la ecuacion (5.25), se obtiene que
f(x+ x) = f(x) + f(x)− f(x) f(x)
f(2x) = 2 f(x)− f 2(x),
95
para todo x ∈ R. Ası,
f(2x) = 1− [1− f(x)]2 , (5.26)
para todo x ∈ R. De igual manera, sustituyendo x por 2 x y y = x en la ecuacion
(5.25), se obtiene que
f(3x) = f(2x+ x)
= f(x) + f(2x)− f(x) f(2x)
= f(x) + 2 f(x)− f 2(x)− f(x)(2 f(x)− f 2(x)
)= 3 f(x)− 3 f 2(x) + f 3(x)
= 1− [1− f(x)]3 ,
para todo x ∈ R. Ası,
f(3x) = 1− [1− f(x)]3 ,
para todo x ∈ R. Se va probar por induccion que
f(nx) = 1− [1− f(x)]n , (5.27)
para todo x ∈ R y todo n ∈ N.
Sea x ∈ R. Para n = 1, es verdadero.
Para n = k ∈ N, se supone que es verdadero tal que
f(k x) = 1− [1− f(x)]k (5.28)
para todo x ∈ R. Para n = k + 1,
f [(k + 1)x] = f(x+ k x)
= f(x) + f(k x)− f(x) f(k x) por (5.25)
= f(x) + 1− [1− f(x)]k − f(x){
1− [1− f(x)]k}
por (5.28)
= ���f(x) + 1− [1− f(x)]k −���f(x) + f(x) [1− f(x)]k
= 1− [1− f(x)]k+1 ,
96
para todo x ∈ R. Ası,
f((k + 1)x) = 1− [1− f(x)]k+1 ,
para todo x ∈ R. Por tanto, se ha demostrado (5.27).
Sustituyendo x = 0 en (5.27), se obtiene que
f(0) = 1− [1− f(0)]n .
Ası, f(0) = 1 y f(0) = 0.
Si f(0) = 1, entonces sustituyendo x = 0 en la ecuacion en (5.25), se tiene que
f(x) = f(x) + f(0)− f(x) f(0)
para todo x ∈ R. Ası,
f(x) = 1,
para todo x ∈ R. De lo cual, es solucion de la ecuacion funcional (5.25).
Ahora, sustituyendo x = 1 en (5.27), se obtiene que
f(n) = 1− an, (5.29)
para todo n ∈ N, donde a = 1− f(1). De igual manera, sustituyendo x = −1 en
(5.27), se obtiene que
f(−n) = 1− bn, (5.30)
para todo n ∈ N, donde b = 1− f(−1).
Si f(0) = 0, entonces sustituyendo x = 1 y y = 1 en la ecuacion (5.25), se obtiene
que
f(0) = f(1) + f(−1)− f(1) f(−1)
0 = f(1) + f(−1)− f(1) f(−1)
1 = (1− f(1))(1− f(−1)).
97
Ası, a · b = 1. De (5.29) y (5.30), se concluye que
f(x) = 1− ax, (5.31)
para todo x ∈ Z.
Sea r ∈ Q. Es decir, r = mn
, donde m ∈ Z y n ∈ N. Entonces,
f(m) = f(nm
n
)f(m) = 1−
[1− f
(mn
)]npor (5.27)
1− am = 1−[1− f
(mn
)]n. por (5.31)
Ası,
f(mn
)= 1− a
mn ,
donde m ∈ Z y n ∈ N. Por tanto, f(r) = 1− ar, para todo r ∈ Q.
Como Q es un conjunto denso en R, entonces para cualquier x ∈ R existe una
sucesion {rn}n∈N en Q, tal que
lımn→∞
rn = x.
Ademas, f es una funcion continua tal que
f(x) = f(
lımn→∞
rn
)= lım
n→∞f(rn)
= lımn→∞
(1− arn)
= 1− ax,
para todo x ∈ R. Por tanto, f(x) = 1− ax, para todo x ∈ R.
98
5.7 Metodo para ecuaciones polinomicas
Las funciones que se van a encontrar son polinomios. El metodo consiste en
utilizar distintas propiedades que se puede obtener de los polinomios, las mas
principales son:
El grado del polinomio.
Las raıces del polinomio o los ceros del polinomio es decir, si α es una raız
de P [ P (α) = 0 si y solo si (x− α) es divisor de P (x) ].
Ejemplo 5.7.1. Encontrar todos los polinomios P ∈ R [x], tal que satisfacen la
ecuacion funcional
xP (x− k) = (x− l)P (x), (5.32)
para todo x ∈ R, donde k, l ∈ N.
Solucion: Si P es el polinomio constante, entonces P (x) = 0, para todo x ∈ R
y que satisface la ecuacion funcional (5.32).
Se supone que P no es constante y que grad(P ) = n ∈ N. Luego,
P (x) = an xn + an−1 x
n−1 + . . .+ a0
P (x− k) = an (x− k)n + an−1 (x− k)n−1 + . . .+ a0, (5.33)
para todo x ∈ R, donde ai ∈ R, para todo i ∈ {0, 1, 2, . . .}.
Utilizando el Teorema del Binomio de Newton, se tiene que
(x− k)n =n∑j=0
(−1)j(n
j
)xn−j kj = xn − nxn−1 k + . . .
para todo x ∈ R. Entonces, la ecuacion (5.33), se transforma en
P (x− k) = an xn + (an−1 − n k an)xn−1 + . . .+ a0,
para todo x ∈ R. Multiplicando por x ambos lados, se obtiene que
xP (x− k) = an xn+1 + (an−1 − an n k)xn + . . .+ a0 x, (5.34)
99
para todo x ∈ R. Ademas,
(x− l)P (x) = (x− l) (an xn + an−1 x
n−1 + . . .+ a0)
= an xn+1 + (an−1 − an l)xn + . . .− a0 l,
para todo x ∈ R. Ası,
(x− l)P (x) = an xn+1 + (an−1 − an l)xn + . . .− a0 l, (5.35)
para todo x ∈ R, donde l ∈ N.
De la ecuacion (5.32) se iguala el coeficiente del termino xn de las ecuaciones
(5.34) y (5.35), se tiene que
���an−1 − an n k = ���an−1 − an l
an n k = an l.
Ası, l = n k, dado que an 6= 0. Reemplazando en la ecuacion (5.32), se obtiene
que
xP (x− k) = (x− n k)P (x), (5.36)
para todo x ∈ R. Evaluando en x = 0 a la ecuacion (5.36), se obtiene que
P (0) = 0,
dado que n, k ∈ N. Sustituyendo x = k en la ecuacion (5.32), se obtiene que
k P (0) = (k − n k)P (k)
P (k) = 0.
Por tanto, (x− k) es una raız de P. De igual manera, (x− 2k) es una raız de P .
Ası, se puede encontrar hasta x = (n− 1)k es una raız de P , entonces
P (x) = x (x− k) . . . (x− (n− 1) k)Q(x), (5.37)
100
para todo x ∈ R, donde grad(Q) < grad(P ).
Reemplazando (5.37) en la ecuacion (5.36), se obtiene que
Q(x− k) = Q(x), (5.38)
para todo x ∈ R.
Sea x0 ∈ R fijo. Se define un polinomio H : R→ R tal que
H(x) := Q(x)−Q(x0)
para todo x ∈ R. Entonces, H(x0) = 0.
Luego,
H(x0 + k) = Q(x0 + k)−Q(x0)
= Q(x0)−Q(x0) por (5.38)
= 0,
donde k ∈ N. Se puede generalizar que
H(x0 + n) = 0,
para todo n ∈ Z. Por tanto, Q(x) = c, donde c es una constante real.
Finalmente, sustituyendo Q(x) en (5.37), se obtiene que
P (x) = c x (x− k) . . . (x− (n− 1) k),
para todo x ∈ R, donde n, k ∈ N.
101
5.8 Transformacion de una o varias funciones
El metodo consiste en sustituir una funcion por otra funcion, de manera que se
obtiene una ecuacion donde se conoce su solucion. Despues, de obtener la funcion
solucion se comprueba que satisface la ecuacion inicial.
Teorema 5.8.1. Sea f : T → R una funcion continua solucion general de la
ecuacion funcional
f(x+ y + nx y) = f(x) f(y), (5.39)
para todo x, y ∈ T , donde T =
{x, y ∈ R
∣∣∣∣∣ x > − 1
n, y > − 1
n, donde n ∈ N y n→ +∞
}.
Entonces, existe una constante k ∈ R tal que
f(x) = 0 y f(x) = (1 + nx)k,
para todo x ∈ T.
Demostracion. En efecto, la parte izquierda de la ecuacion (5.39) se puede escribir
como,
f
((1 + nx) (1 + n y)− 1
n
)= f(x+ y + nx y),
para todo x, y ∈ T . Ası,
f
((1 + nx) (1 + n y)− 1
n
)= f(x) f(y), (5.40)
para todo x, y ∈ T.
Como x > − 1
n, entonces 1 + nx > 0. Realizando el siguiente cambio de variable
1 + nx = eu ⇔ u = log(1 + nx),
1 + n y = ev ⇔ v = log(1 + n y),(5.41)
en la ecuacion (5.40) y dado que x, y ∈ T , se ve que u, v ∈ R. Entonces,
f
(eu+v − 1
n
)= f
(eu − 1
n
)· f(ev − 1
n
), (5.42)
102
para todo u, v ∈ R. Se define una funcion A : R→ R tal que
A(x) := f
(ex − 1
n
),
para todo x ∈ R, donde n ∈ N. Entonces, la ecuacion (5.42) se transforma en
A(u+ v) = A(u) · A(v),
para todo u, v ∈ R. Como f es una funcion continua, entonces A es una funcion
continua y satisface las condiciones del Teorema 3.1.4. En consecuencia, se tiene
los siguientes casos:
• Si A(x) = 0, entonces f(x) = 0, para todo x ∈ T. De lo cual, es solucion de la
ecuacion (5.39).
• Si A(x) = ekx, entonces utilizando (5.41)
f(x) = (1 + nx)k, (5.43)
para todo x ∈ T , donde k ∈ R. Por tanto, se ha demostrado que (5.43) es solucion
de la ecuacion (5.39).
5.9 Ecuaciones en diferencias lineales
En esta seccion se estudiara las ecuaciones en diferencias lineales que son un tipo
de ecuaciones funcionales, se enuncia los siguientes conceptos y teoremas para
hallar la solucion de la ecuacion.
Definicion 5.1 ([6]). Una ecuacion en diferencias de orden k se dice lineal,
si es de la forma
p0(n) f(n+ k) + p1(n) f(n+ k − 1) + . . .+ pk(n) f(n) = g(n),
para todo n ∈ Z, donde los coeficientes pi son funciones definidas en Z.
Las ecuaciones en diferencias lineales se clasifican en:
103
Homogenea: si g(n) = 0.
Completa: si g(n) 6= 0.
De coeficientes constantes: si pi(n) = ai, para todo i ∈ {1, 2, . . . , k}.
De coeficientes no constante: si pi(n) 6= ai para algun i ∈ {1, 2, . . . , k}.
Teorema 5.9.1 (Existencia y Unicidad [6]). Sea la ecuacion en diferencias lineal
de coeficientes constantes y de orden k
a0 f(n+ k) + a1 f(n+ k − 1) + . . .+ ak f(n) = g(n), (5.44)
para todo n ∈ Z. Entonces, existe una unica funcion f definida en Z tal que
satisface la ecuacion (5.44) y satisfacen las condiciones iniciales
f(n0) = c0, f(n0 + 1) = c1, . . . , f(n0 + k − 1) = ck−1,
donde c0, c1, . . . , ck−1 numeros reales.
Teorema 5.9.2 ([6]). Toda combinacion lineal de las soluciones de una ecuacion
en diferencias, (5.44) tambien es solucion de la ecuacion en diferencias lineal.
Definicion 5.2 ([6]). Un sistema fundamental de soluciones de una ecuacion
en diferencias (5.44) es todo conjunto {f1, f2, . . . , fk} de soluciones de la ecuacion
que verifica, para algun n0 ∈ Z la matriz fundamental es invertible. Es decir,
D(n0) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
f1(n0) f2(n0) . . . fk(n0)
f1(n0 + 1) f2(n0 + 1) . . . fk(n0 + 1)...
.... . .
...
f1(n0 + k − 1) f2(n0 + k − 1) . . . fk(n0 + k − 1)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣6= 0
Teorema 5.9.3 ([6]). Sea {f1, f2, . . . , fk} es un sistema fundamental de solucio-
nes de una ecuacion en diferencias lineal. Entonces,
i) D(n) 6= 0, para todo n ∈ Z.
ii) Toda solucion de la ecuacion homogenea es combinacion lineal de f1, f2, . . . , fk.
104
Es decir,
f(n) =k∑i=1
ci fi(n),
para todo n ∈ Z.
iii) Si z(n), para todo n ∈ Z es una solucion de la ecuacion completa de la
ecuacion en diferencias, se puede expresar como la suma de z(n) y de la
solucion general de la ecuacion homogenea. Es decir,
f(n) = z(n) +k∑i=1
ci fi(n),
para todo n ∈ Z.
5.9.1 Solucion de la ecuacion homogenea
Se considera la ecuacion en diferencias lineal homogenea de coeficientes constantes
y de orden k,
a0 f(n+ k) + a1 f(n+ k − 1) + . . .+ ak f(n) = 0, (5.45)
para todo n ∈ Z, donde ai ∈ R, para todo i ∈ {1, 2, . . . , k} con ak 6= 0.
Observacion: Si ak = 0 en (5.45) se realiza la sustitucion n+ 1 = t.
Definicion 5.3 ([6]). La ecuacion caracterıstica asociada a la ecuacion en
diferencias (5.45) es,
a0 rk + a1 r
k−1 + . . .+ ak = 0. (5.46)
Teorema 5.9.4 ([6]). Si r es raız de la ecuacion caracterıstica (5.46), entonces
f(n) = rn es solucion de (5.45).
El estudio de la solucion dependera de si las raıces de la ecuacion caracterıstica
son simples o multiples.
105
1. Raıces Simples
Sean r1, r2, . . . , rk las k raıces reales de la ecuacion caracterıstica (5.46),
entonces
fj(n) = rnj ,
para todo n ∈ Z, donde j = 1, 2, . . . , k. Por tanto, {f1, f2, . . . , fk} es un
sistema fundamental de soluciones.
Si r es una raız compleja, tambien su conjugada r es raız, dado que toda
combinacion lineal de rn y rn es solucion de la ecuacion. En consecuencia,
Re(rn) =1
2(rn + rn),
Im(rn) =1
2 i(rn − rn).
Entonces, en el sistema fundamental se reemplaza los terminos complejos
rn y rn por los correspondientes terminos reales Re(rn) e Im(rn).
Observacion: Considere que si r es una raız compleja, se utilizara
r = ρ (cos(θ) + i sen(θ)) .
Ası,
rn = ρn (cos(nθ) + i sen(nθ)) .
Por tanto,
Re(rn) = ρn cos(nθ), Im(rn) = ρn sen(nθ).
2. Raıces multiples
Sea r una raız de multiplicidad m de la ecuacion caracterıstica (5.46).
Esta raız proporciona m soluciones diferentes del tipo,
fj(n) = nj rn,
para todo n ∈ Z, donde j = 0, 1, . . . ,m − 1. Entonces, {f1, f2, . . . , fm−1}
hacen parte del sistema fundamental de soluciones.
106
Se va realizar algunos ejemplos de ecuaciones en diferencias lineales homogeneas.
Ejemplo 5.9.1 (Numeros de Fibonacci(1202)). Encontrar la solucion de la ecua-
cion en diferencias,
f(n+ 2) = f(n+ 1) + f(n) (5.47)
para todo n ∈ {0, 1, 2, . . .}, tal que satisface
f(0) = 0, f(1) = 1.
Solucion: En efecto, la ecuacion caracterıstica asociada a la ecuacion (5.47) es,
r2 − r − 1 = 0.
Ası,
r =1±√
5
2.
Entonces,
f(n) = c1
(1 +√
5
2
)n
+ c2
(1−√
5
2
)n
.
para todo n ∈ {0, 1, 2, . . .}. Reemplazando las condiciones iniciales, se obtiene
que
f(0) = 0
c1 + c2 = 0. (5.48)
Ademas,
f(1) = 1
c1
(1 +√
5
2
)+ c2
(1−√
5
2
)= 1. (5.49)
De las ecuaciones (5.48) y (5.49), se tiene que c1 =1√5
y c2 = − 1√5.
Por tanto,
f(n) =1√5
(1 +√
5
2
)n
− 1√5
(1−√
5
2
)n
.
para todo n ∈ {0, 1, 2, . . .}.
107
Ahora, sustituyendo por el numero aureo que es ϕ =1 +√
5
2, se obtiene que
f(n) =ϕn − (1− ϕ)n√
5
para todo n ∈ {0, 1, 2, . . .}.
Ejemplo 5.9.2. Encontrar la solucion de la ecuacion en diferencias homogenea
f(n+ 2)− f(n+ 1) + f(n) = 0, (5.50)
para todo n ∈ Z, tal que satisface
f(0) = 0, f(1) = 1.
Solucion: En efecto, la ecuacion caracterıstica asociada a la ecuacion (5.50) es,
r2 − r + 1 = 0.
Ası,
r1 =1
2+
√3
2i, r2 =
1
2−√
3
2i.
Entonces,
r1 = cos(π
3
)+ i sen
(π3
), r2 = r1.
Por tanto,
f(n) = c1 1n cos(nπ
3
)+ c2 1n sen
(nπ3
)f(n) = c1 cos
(nπ3
)+ c2 sen
(nπ3
), (5.51)
para todo n ∈ Z. Reemplazando las condiciones iniciales, se tiene que
f(0) = 0
c1 = 0.
Ademas,
f(1) = 1
1
2c1 +
√3
2c2 = 1.
108
Ası, c2 =2√3. De (5.51), se tiene que
f(n) =2√3
sen(nπ
3
),
para todo n ∈ Z.
5.9.2 Solucion de la ecuacion completa
Sea la ecuacion en diferencias lineal,
a0 f(n+ k) + a1 f(n+ k − 1) + . . .+ ak f(n) = g(n), (5.52)
para todo n ∈ Z, donde ak 6= 0 y g(n) 6= 0.
Teorema 5.9.5 ([6]). La solucion general de la ecuacion completa, se obtiene
sumando la solucion general de la ecuacion homogenea con la solucion particular
de la ecuacion completa. Es decir,
f(n) = fh(n) + fp(n),
para todo n ∈ Z.
Para encontrar la solucion particular se utiliza el metodo de coeficientes indeter-
minados, pero tambien existe el metodo de variacion de constantes que es analogo
al explicado en ecuaciones diferenciales ordinarias.
Metodo de los coeficientes indeterminados
El metodo de coeficientes indeterminados tiene algunas restricciones, porque de-
pende de la forma del termino independiente g(n). Se muestra en la tabla la
solucion particular de la ecuacion (5.52) respecto de la forma de g(n).
109
Tip
og(n
)no
raız
raız
de
mult
iplici
dad
mf p
c1
–a
c–
1anm
Pk(n
)1
–Qk(n
)
Pk(n
)–
1nmQk(n
)
rnr
–arn
rn–
ranmrn
Pk(n
)rn
r–
Qk(n
)rn
Pk(n
)rn
–r
nmQk(n
)rn
aco
s(nθ)
+b
sen(nθ)
cos(θ)
+ise
n(θ
)–
Aco
s(nθ)
+B
cos(nθ)
aco
s(nθ)
+b
sen(nθ)
–co
s(θ)
+ise
n(θ
)nm
(Aco
s(nθ)
+B
cos(nθ)
)
rn(a
cos(nθ)
+b
sen(nθ)
)r
(cos
(θ)
+ise
n(θ
))–
rn(A
cos(nθ)
+B
cos(nθ)
)
rn(a
cos(nθ)
+b
sen(nθ)
)–
r(c
os(θ
)+ise
n(θ
))rnnm
(Aco
s(nθ)
+B
cos(nθ)
)
Tabla 5.1: Solucion particular de una ecuacion en diferencias lineal.
Se realiza algunos ejemplos utilizando la Tabla 5.1.
Ejemplo 5.9.3. Encontrar la solucion de la ecuacion en diferencias lineal
f(n+ 2)− 3 f(n+ 1) + 2 f(n) = 6, (5.53)
110
para todo n ∈ Z.
Solucion: En efecto, la ecuacion caracterıstica es,
r2 − 3r + 2 = 0.
Ası,
r1 = 2, r2 = 1.
Entonces,
fh(n) = c1 2n + c2 1n = c1 2n + c2,
para todo n ∈ Z.
Como g(n) = 6 y r = 1 = r2, entonces tiene multiplicidad m = 1. Utilizando la
Tabla 5.1, se obtiene que fp(n) = a n, para todo n ∈ Z.
Sustituyendo fp en la ecuacion (5.53), se obtiene que
a (n+ 2)− 3 a (n+ 1) + 2 an = 6
a = −6.
Ası, fp(n) = −6n, para todo n ∈ Z. Por tanto,
f(n) = c1 2n − 6n+ c2,
para todo n ∈ Z.
Ejemplo 5.9.4. Encontrar la solucion de la ecuacion en diferencias lineal
f(n+ 2)− 3 f(n+ 1) + 2 f(n) = 2n, (5.54)
para todo n ∈ Z.
Solucion: En efecto, la ecuacion caracterıstica es,
r2 − 3r + 2 = 0.
111
Ası,
r1 = 2, r2 = 1.
Entonces,
fh(n) = c1 2n + c2 1n = c1 2n + c2,
para todo n ∈ Z.
Como g(n) = 2n y r = 2 = r1, entonces tiene multiplicidad m = 1. Utilizando la
tabla 5.1, se obtiene que fp(n) = a n 2n, para todo n ∈ Z.
Sustituyendo fp en la ecuacion (5.54), se obtiene que
a(n+ 2) 2n+2 − 3 a(n+ 1) 2n+1 + 2 a n 2n = 2n
4an+ 8a− 6an− 6a+ 2an = 1
a =1
2.
Ası, fp(n) = n 2n−1 para todo n ∈ Z. Por tanto,
f(n) = c1 2n + c2 + n 2n−1,
para todo n ∈ Z.
Ejemplo 5.9.5. Encontrar la solucion de la ecuacion en diferencias lineal
f(n+ 2) + f(n) = sen(nπ
2
), (5.55)
para todo n ∈ Z.
Solucion: En efecto, la ecuacion caracterıstica es,
r2 + 1 = 0.
Ası,
r1 = i, r2 = −i.
Entonces,
fh(n) = c1 cos(nπ
2
)+ c2 sen
(nπ2
).
112
para todo n ∈ Z.
Como g(n) = sen(nπ
2
)y r = cos
(π2
)+ i sen
(π2
)= i = r1, entonces tiene
multiplicidad m = 1. Utilizando la Tabla 5.1, se obtiene que
fp(n) = a n cos(nπ
2
)+ b nsen
(nπ2
),
para todo n ∈ Z. Sustituyendo fp en la ecuacion (5.55), se obtiene que
a(n+ 2) cos
((n+ 2)π
2
)+ b(n+ 2) sen
((n+ 2)π
2
)+ a n cos
(nπ2
)+ b n sen
(nπ2
)= sen
(nπ2
)− 2 a cos
(nπ2
)− 2 b sen
(nπ2
)= sen
(nπ2
).
Ası, a = 0 y b = −1
2. Entonces,
fp(n) = −n2
sen(nπ
2
),
para todo n ∈ Z. Por tanto,
f(n) = c1 cos(nπ
2
)+ c2 sen
(nπ2
)− n
2sen(nπ
2
),
para todo n ∈ Z.
Ejemplo 5.9.6. Encontrar la solucion de la ecuacion en diferencias lineal
f(n+ 2)− 6 f(n+ 1) + 9 f(n) = 2n, (5.56)
para todo n ∈ Z.
Solucion: En efecto, la ecuacion caracterıstica es,
r2 − 6r + 9 = 0.
113
Ası,
r1,2 = 3.
Entonces,
fh(n) = c1 3n + c2 n 3n,
para todo n ∈ Z.
Como g(n) = 2n y r = 1 6= r1,2, entonces utilizando la Tabla 5.1, se obtiene que
fp(n) = a n+ b, para todo n ∈ Z.
Sustituyendo fp es la ecuacion (5.56), se obtiene que
a(n+ 2) + b− 6 [a(n+ 1) + b] + 9(a n+ b) = 2n
4an− 4a+ 4b = 2n.
Ası, a = 12
y b = 12. Entonces,
fp(n) =1
2n+
1
2,
para todo n ∈ Z. Por tanto,
f(n) = c1 3n + c2 n 3n +n
2+
1
2,
para todo n ∈ Z.
114
CAPITULO 6
APLICACIONES
Las ecuaciones funcionales se originaron de las aplicaciones, para resolver pro-
blemas en la ciencia y en la ingenierıa que generalmente son modelados por la
ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, pero antes del desarrollo de las
ecuaciones diferenciales los procesos fısicos fueron analizados por funciones.
Cuando un proceso fısico es modelado por una funcion f , se utiliza la variable x
con los valores de entrada y la variable f(x) como los valores de salida, que sa-
tisfacen relaciones o propiedades del proceso fısico, que se conocen generalmente
por la observacion. Lo cual conduce a ecuaciones funcionales en funcion de f .
Para modelar estas ecuaciones funcionales no se necesita de la diferenciabilidad
de la funcion dada, por lo cual puede llevar a soluciones diferentes a las de ecua-
ciones diferenciales que pueden ser de gran interes para ingenieros y cientıficos.
6.1 Caracterizacion de la Distribucion Geometrica
En esta sesion se utilizara la ecuacion exponencial de Cauchy que esta mostrada
en el Teorema 3.1.4, para la caracterizacion de la Distribucion Geometrica en
terminos de la propiedad de ausencia de memoria.
Una variable aleatoria X se dice geometrica, si su funcion de densidad de proba-
bilidad esta dada por
f(x) = (1− p)x−1 p,
para todo x ∈ N, donde p ∈ [0, 1] es un parametro dado.
Ademas, p usualmente se denota como la probabilidad de sucesos.
115
Una variable aleatoria, X, tiene la propiedad de ausencia de memoria si satisface
P (X > m+ n|X > n) = P (X > m), (6.1)
para todo m,n ∈ N. De la definicion de probabilidad condicional, se tiene que
P (X > m+ n|X > n) =P ((X > m+ n) ∩ (X > n))
P (X > n), (6.2)
para todo m,n ∈ N. Igualando las ecuaciones (6.1) y (6.2), se obtiene que
P ((X > m+ n) ∩ (X > n)) = P (X > m) · P (X > n),
para todo m,n ∈ N. Ası,
P (X > m+ n) = P (X > m) · P (X > n), (6.3)
para todo m,n ∈ N.
Teorema 6.1.1. Se tiene que X es una variable aleatoria geometrica si y solo si
X satisface la propiedad de ausencia de memoria.
Demostracion. ⇒) Primero, se supone que X es una variable aleatoria geometrica
tal que
X ∼ (1− p)x−1 p
para todo x ∈ N, donde p ∈ ]0, 1[. Luego,
P (X > m+ n) =∞∑
x=m+n+1
(1− p)x−1 p
= p
∞∑j=0
(1− p)j+m+n
= p (1− p)m+n
∞∑j=0
(1− p)j
= (1− p)n+m
= (1− p)n · (1− p)m
= P (X > n) · P (X > m),
116
para todo m,n ∈ R. Ası,
P (X > m+ n) = P (X > n) · P (X > m).
para todo m,n ∈ N. De (6.3), se concluye que X es una variable aleatoria con la
propiedad de ausencia de memoria.
⇐) Sea X una variable aleatoria que satisface la propiedad de ausencia de me-
moria. Es decir,
P (X > m+ n) = P (X > m) · P (X > n),
para todo m,n ∈ N. Se va probar que X es una variable geometrica.
Se define una funcion g : N→ R tal que
g(n) := P (X > n), (6.4)
para todo n ∈ N. Entonces, la ecuacion (6.4) se transforma en
g(m+ n) = g(m) · g(n),
para todo m,n ∈ N. Como P (X > n) es una funcion continua, entonces g es una
funcion continua y satisface las condiciones del Teorema 3.1.4. En consecuencia,
existe una constante a ∈ R tal que
g(n) = an,
para todo n ∈ N. Ası,
P (X > n) = an
1− F (n) = an,
para todo n ∈ N, donde F es la funcion de distribucion acumulativa.
Por tanto,
F (n) = 1− an, (6.5)
117
para todo n ∈ N. Utilizando las propiedades de la funcion de distribucion, se
tiene que
1 = lımn→+∞
F (n)
1 = lımn→+∞
(1− an).
De lo cual, se concluye que a ∈ ]0, 1[.
Ahora, sustituyendo a por (1− p) en (6.5), se obtiene que
F (n) = 1− (1− p)n
para todo n ∈ N, donde p ∈ ]0, 1[. De la funcion de densidad de una variable
aleatorio X, se tiene que
f(1) = F (1) = p.
f(2) = F (2)− F (1)
= 1− (1− p)2 − p
= (1− p) · p
= (1− p) · f(1).
f(3) = F (3)− F (2)
= 1− (1− p)3 − 1 + (1− p)2
= (1− p)2 · p
= (1− p) · f(2).
Se va probar que por induccion que
f(x) = (1− p)x−1 · p,
para todo x ∈ N.
Para x = 1, es verdadero puesto que f(1) = p.
Para x = k ∈ N, se supone que es verdadero tal que
f(k) = (1− p)k−1 · p (6.6)
118
Para x = k + 1,
f(k + 1) = (1− p) · f(k)
= (1− p) · (1− p)k−1 · p por (6.6)
= (1− p)k · p.
Por tanto, se ha demostrado que
f(x) = (1− p)x−1 · p,
para todo x ∈ N, donde p ∈ ]0, 1[. Entonces, X es una variable aleatoria geometri-
ca de parametro p.
6.2 Suma de potencias de los numeros enteros
Sea fk : N→ N una funcion continua dada por
fk(n) = 1k + 2k + · · ·+ nk,
donde n, k son numeros enteros positivos. Se denota fk(n) como la suma de los
primeros n numeros naturales elevados potencia k. Encontrar la formula general
fk(n) tiene interesado a los matematicos mas de 300 anos, uno de los primeros en
resolver este problema fue James Bernoulli (1655-1705), para lo cual se utilizaron
varios metodos para encontrar la suma fk(n) (ver [9]) esto conduce a varias
relaciones de recurrencia, donde se utilizan ecuaciones funcionales.
Ahora, mediante el uso ecuaciones funcionales se determina las formulas de fk(n),
para k = 1, 2 y un numero arbitrario k ∈ N.
119
6.2.1 Suma de los primeros n numeros naturales
Sea f1 : N→ N una funcion continua dada por
f1(n) = 1 + 2 + · · ·+ n,
para todo n ∈ N. Luego,
f1(m+ n) = 1 + 2 + 3 + · · ·+m+ (m+ 1) + · · ·+ (m+ n)
= f1(m) + (m+ 1) + (m+ 2) + · · ·+ (m+ n)
= f1(m) + f1(n) +mn,
para todo m,n ∈ N. Ası,
f1(m+ n) = f1(m) + f1(n) +mn, (6.7)
para todo m,n ∈ N. Se define una funcion g1 : N→ R tal que
g1(n) = f1(n)− 1
2n2 (6.8)
para todo n ∈ N. Entonces, la ecuacion (6.7) se transforma en
g1(m+ n) = g1(m) + g1(n),
para todo m,n ∈ N. Como f1 es una funcion continua, entonces g1 es una funcion
continua y satisface las condiciones del Teorema 3.1.3. En consecuencia, existe
una constante c ∈ R tal que
g1(n) = c n,
para todo n ∈ N. Entonces, utilizando (6.8), se obtiene que
f1(n) = c n+1
2n2,
120
para todo n ∈ N. Evaluando en n = 1 la ecuacion anterior, se tiene que
f1(1) = c+1
2
1 = c+1
2.
Ası, c =1
2. Por tanto,
f1(n) =n
2+n2
2
=n(n+ 1)
2,
para todo n ∈ N. Ası,
f1(n) = 1 + 2 + · · ·+ n =n(n+ 1)
2,
para todo n ∈ N.
6.2.2 Suma de cuadrados de los primeros n numeros natu-
rales
Sea f2 : N→ N una funcion continua dada por
f2(n) = 1 + 22 + · · ·+ n2,
para todo n ∈ N. Luego,
f2(m+ n) = 12 + 22 + · · ·+m2 + (m+ 1)2 + · · ·+ (m+ n)2
= f2(m) +[12 + 22 + · · ·+ n2
]+ 2m [1 + 2 + · · ·+ n] +m2 n
= f2(m) + f2(n) + 2mf1(n) +m2 n
= f2(m) + f2(n) +mn2 +m2 n+mn,
para todo m,n ∈ N. Ası,
f2(m+ n) = f2(m) + f2(n) +mn2 +m2 n+mn, (6.9)
121
para todo m,n ∈ N. Se define una funcion g2 : N→ R tal que
g2(n) = f2(n)− n2
2− n3
3, (6.10)
para todo n ∈ N. Entonces, la ecuacion (6.9) se transforma en
g2(m+ n) = f2(m+ n)− (m+ n)2
2− (m+ n)3
3
= f2(m) + f2(n)− m2
2− n2
2− m3
3− n3
3
= g2(m) + g2(n),
para todo m,n ∈ N. Ası,
g2(m+ n) = g2(m) + g2(n),
para todo m,n ∈ N. Como f2 es una funcion continua, entonces g2 es una funcion
continua y satisface las condiciones del Teorema 3.1.3. En consecuencia, existe
una constante c ∈ R tal que
g2(n) = c n,
para todo n ∈ N. Entonces, utilizando (6.10), se obtiene que
f2(n) = c n+n2
2+n3
3,
para todo n ∈ N. Evaluando en n = 1 la ecuacion anterior, se obtiene que
f2(1) = c+1
2+
1
3
1 = c+5
6.
122
Ası, c =1
6. Por tanto,
f2(n) =n
6+n2
2+n3
3
=n+ 3n2 + 2n3
6
=n(n+ 1)(2n+ 1)
6,
para todo n ∈ N. Ası,
f2(n) =n (n+ 1) (2n+ 1)
6,
para todo n ∈ N.
6.2.3 Suma de kth potencias de los primeros n numeros na-
turales
Sea fk : N→ N dada por
fk(n) = 1k + 2k + · · ·+ nk, (6.11)
para todo n ∈ N, donde k ∈ N dado. Utilizando el Teorema Binomial, se obtiene
que
fk(n+m) = 1k + 2k + · · ·+ nk + (n+ 1)k + · · ·+ (n+m)k
= fk(n) +k∑i=0
(k
i
)ni 1k−i + · · ·+
k∑i=0
(k
i
)nimk−i
= fk(n) +k∑i=0
(k
i
)ni[1k−i + · · ·+mk−i]
= fk(n) +k∑i=0
(k
i
)nifk−i(m)
= fk(n) + fk(m) +k∑i=1
(k
i
)nifk−i(m),
123
para todo m,n ∈ N. Ası,
fk(n+m)− fk(n)− fk(m) =k∑i=1
(k
i
)nifk−i(m), (6.12)
para todo m,n ∈ N. Para resolver la ecuacion funcional (6.12) se va explicar dos
metodos. Considere,
fk(1) = 1, f0(m) = m
(i) Evaluando en n = 1 la ecuacion (6.12), se obtiene que
fk(m+ 1)− fk(m)− fk(1) =k∑i=1
(k
i
)fk−i(m)
para todo m ∈ N. Ası,
(m+ 1)k − 1 =k∑i=1
(k
i
)fk−i(m), (6.13)
para todo m ∈ N. Por tanto, la solucion de (6.11) es la relacion de recurrencia
(6.13).
Para k = 2 en (6.13), se tiene que
m2 + 2m = 2 f1(m) + f0(m)
= 2 f1(m) +m,
para todo m ∈ N. Por tanto,
f1(m) =m (m+ 1)
2,
para todo m ∈ N.
Para k = 3 en (6.13), se tiene que
m3 + 3m2 + 3m = 3 f2(m) + 3 f1(m) + f0(m)
= 3 f2(m) +3m(m+ 1)
2+m,
124
para todo m ∈ N. Por tanto,
f2(m) =m(m+ 1)(2m+ 1)
6,
para todo m ∈ N.
(ii) La parte izquierda de la ecuacion (6.12) es simetrica con respecto a m y n.
Entonces,
k∑i=1
(k
i
)nifk−i(m) =
k∑i=1
(k
i
)mifk−i(n),
para todo m,n ∈ N. Sustituyendo m = 1 y utilizando fk(1) = 1, se obtiene que
k∑i=1
(k
i
)nifk−i(1) =
k∑i=1
(k
i
)fk−i(n)
k∑i=1
(k
i
)fk−i(n) = (1 + n)k − 1.
para todo n ∈ N. Luego,
k fk−1(n) = (1 + n)k − 1−k∑i=2
(k
i
)fk−i(n)
para todo n ∈ N. Ası,
fk−1(n) =
(1 + n)k − 1−k∑i=2
(k
i
)fk−i(n)
k, (6.14)
para todo n ∈ N, donde k ∈ N. Por tanto, la solucion de (6.11) es una relacion
de recurrencia (6.14). Utilizando f0(n) = n se puede determinar la suma de los
n primeros numeros naturales a cualquier potencia entera positiva.
Para k = 2 en (6.14), se obtiene que
f1(n) =n2 + 2n− f0(n)
2,
125
para todo n ∈ N. Por tanto,
f1(n) =n(n+ 1)
2,
para todo n ∈ N.
Para k = 3 en (6.14), se tiene que
f2(n) =n3 + 3n2 + 3n− 3f1(n)− f0(n)
3
=1
3
[n3 +
3n2
2+n
2
],
para todo n ∈ N. Ası,
f2(n) =1
6n(n+ 1)(2n+ 1),
para todo n ∈ N.
La tabla que se presenta a continuacion contiene los coeficientes de fk,
n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7
f0(n) 1
f1(n) 1/2 1/2
f2(n) 1/6 1/2 1/3
f3(n) 1/4 1/2 1/4
f4(n) −1/30 1/3 1/2 1/5
f5(n) −1/12 5/12 1/2 1/6
f6(n) 1/42 −1/6 1/2 1/2 1/7
Tabla 6.1: Coeficientes de la suma de potencias de numeros naturales.
La Tabla 6.1 muestra los coeficientes de fk hasta k = 7, para obtener los coefi-
cientes se procede de la siguiente forma se empieza con el 1 en la esquina superior
izquierda, puesto que f0(n) = n y no se llena el resto de la fila, esto representa
como un cero para los coeficientes de los terminos de orden superior.
Se obtiene el resto de los coeficientes de la tabla de la siguiente forma ca-
da cuadro en forma diagonal hacia abajo se calcula con la siguiente formula
126
C(i − 1, j − 1) = C(i, j) · (i/j), donde i representa el subındice para la fila y j
representa el exponente para la columna. Para obtener los elementos de la prime-
ra columna, se suma los valores que estan a la derecha de la primera columna y
luego se resta para 1, este procedimiento genera todas las formulas para la suma
de la potencias de los numeros enteros.
6.3 Numeros de Combinaciones con n objetos
Sea f2(n) como el numero de posibles duplas de n ∈ N objetos. Se considera dos
conjuntos de n ∈ N y m ∈ N objetos, respectivamente.
n objetos m objetos
Conjunto A Conjunto B
Entonces, el numero de posible duplas de m + n objetos es igual al numero de
duplas del conjunto A mas el numero de duplas del conjunto B mas el producto
del numero de objetos de cada conjunto. Es decir,
f2(m+ n) = f2(m) + f2(n) +mn, (6.15)
para todo m,n ∈ N. Se define una funcion g2 : N→ R tal que
g2(n) = f2(n)− n2
2(6.16)
para todo n ∈ N. Entonces, la ecuacion (6.15) se transforma en
g2(m+ n) = g2(m) + g2(n), (6.17)
127
para todo m,n ∈ N. Como f2 es una funcion continua, entonces g2 es una funcion
continua y satisface las condiciones del Teorema 3.1.3. En consecuencia, existe
una constante c ∈ R tal que
g2(n) = c n,
para todo n ∈ N. Entonces, utilizando (6.16), se tiene que
f2(n) = c n+n2
2, (6.18)
para todo n ∈ N. Utilizando que f2(2) = 1, se obtiene que
1 = 2 c+ 2
c = −1
2.
Por tanto,
f2(n) =n(n− 1)
2=
(n
2
),
para todo n ∈ N.
Si f3(n) se denota como el numero de tripletas posibles n ∈ N objetos. Se va
probar que f3(n) =(n3
). Considerando dos conjuntos de n ∈ N y m ∈ N objetos,
respectivamente f3(m + n) es igual al numero de tripletas del conjunto A mas
el numero de tripletas del conjunto B mas la combinacion de terminos con tres
elementos tomando algun elemento de cada conjunto. Es decir,
f3(m+ n) = f3(m) + f3(n) +mf2(n) + n f2(m)
= f3(m) + f3(n) +1
2(mn2 + nm2)−mn
para todo m,n ∈ N. Ası,
f3(m+ n) = f3(m) + f3(n) +1
2
(mn2 + nm2
)−mn, (6.19)
para todo m,n ∈ N. Se define una funcion g3 : N→ R tal que
g3(n) = f3(n)− n3
6+n
2,
128
para todo n ∈ N. Entonces, la ecuacion (6.19) se transforma en
g3(m+ n) = g3(n) + g3(m),
para todo m,n ∈ N. Ası,
f3(n) = c n− n2
2+n3
6,
para todo n ∈ N. Utilizando que f3(3) = 1, se obtiene que
1 = 3 c− 9
2+
27
6
1 = 3 c.
Ası, c =1
3. Por tanto,
f3(n) =n(n− 1)(n− 2)
6=
(n
3
),
para todo n ∈ N.
129
BILIOGRAFIA
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