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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE INGENIERIA, CIENCIAS FISICAS Y

MATEMATICA

CARRERA DE INGENIERIA MATEMATICA

Analisis de la estabilidad de algunas ecuaciones funcionales

y metodos de solucion

Trabajo de Titulacion modalidad Proyecto de Investigacion,

previo a la obtencion del Tıtulo de Ingeniero Matematico

AUTOR: Murillo Noblecilla Miguel Alonso

TUTOR: Dr. Alvaro Danilo Gortaire Jativa, Ph.D.

Quito, 2018

DERECHOS DE AUTOR

Yo, Miguel Alonso Murillo Noblecilla en calidad de autor y titular de los derechos

morales y patrimoniales del trabajo de titulacion Analisis de la Estabilidad de

algunas Ecuaciones Funcionales y Metodos de Solucion, modalidad proyecto de

investigacion, de conformidad con el Art. 114 del CODIGO ORGANICO DE LA

ECONOMIA SOCIAL DE LOS CONOCIMIENTOS, CREATIVIDAD E INNO-

VACION, concedo a favor de la Universidad Central del Ecuador una licencia

gratuita, intransferible y no exclusiva para el uso no comercial de la obra, con

fines estrictamente academicos. Conservo a mi favor todos los derechos de autor

sobre la obra, establecidos en la norma citada.

Ası mismo, autorizo a la Universidad Cetral del Ecuador para que realice la

digitalizacion y publicacion de este trabajo de titulacion en el repositorio virtual,

de conformidad a lo dispuesto en el Art. 144 de la Ley Organica de Educacion

Superior.

El autor declara que la obra objetode la presente autorizacion es original en su

forma de expresion y no infringe el derecho de autor de terceros, asumiendo la

responsabilidad por cualquier reclamacion que pudiera presentarse por esta causa

y liberando a la Universidad de toda responsabilidad.

————————————————

Miguel Alonso Murillo Noblecilla

C.C. 1721436580

miguel [email protected]

ii

APROBACION DEL TUTOR

En mi calidad de Tutor del Trabajo de Titulacion, presentado por MIGUEL

ALONSO MURILLO NOBLECILLA, para optar por el Grado de Inge-

niero Matematico; cuyo tıtulo es: ANALISIS DE LA ESTABILIDAD DE

ALGUNAS ECUACIONES FUNCIONALES Y METODOS DE SO-

LUCION, considero que dicho trabajo reune los requisitos y meritos suficientes

para ser sometido a la presentacion publica y evaluacion por parte del tribunal

examinador que se designe.

En la ciudad de Quito, a los 21 dıas del mes de mayo de 2018.

————————————————

Dr. Danilo Gortaire Jativa, Ph.D.

DOCENTE-TUTOR

C.C. 1705940508

iii

DEDICATORIA

Dedicado a mis padres

Gualberto Murillo y Marıa Noblecilla

a mis hermanos Carmen, Jose, Fernanda,

Veronica, Darıo, Santiago y Mateo.

iv

AGRADECIMIENTO

Agradezco a Dios por haberme dado la fortaleza, el entendimiento, constancia y

dedicacion, para poder culminar este sueno.

A mis queridos padres, hermanos, familiares y amigos que de una u otra for-

ma contribuyeron en todo momento para que mi carrera universitaria llegue a

feliz termino. Mencion especial a mi querido hermano Darıo uno de los pilares

fundamentales de mi carrera y debo decirle que sus esfuerzos no fueron en vano.

Agradezco profundamente a mi tutor el Dr. Danilo Gortaire Jativa, Ph.D. por

motivarme a estudiar y desarrollar el presente tema.

Tambien un merecido agradecimiento al Mat. Juan Carlos Garcıa, Mat. Guillermo

Albuja y al Dr. Borys Alvarez Samaniego Ph.D., por ayudarme al culminar de

manera exitosa este proyecto.

Finalmente agradezco a todos mis profesores que me formaron durante toda mi

vida estudiantil.

v

CONTENIDO

DERECHOS DE AUTOR ii

APROBACION DEL TUTOR iii

DEDICATORIA iv

AGRADECIMIENTO v

CONTENIDO vii

RESUMEN ix

ABSTRACT x

INTRODUCCION 1

1. DEFINICION DEL PROBLEMA 4

2. FUNDAMENTOS MATEMATICOS 6

2.1. Conceptos Basicos de Ecuaciones Funcionales . . . . . . . . . . . 6

2.2. Espacios Metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3. ALGUNAS ECUACIONES FUNCIONALES FUNDAMENTA-

LES 10

3.1. Ecuaciones Funcionales de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1.1. Ecuacion Funcional de Cauchy Aditiva . . . . . . . . . . . 10

3.1.2. Otras Ecuaciones Funcionales de Cauchy . . . . . . . . . . 15

3.2. Ecuacion funcional d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3. Ecuacion Funcional de Davison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.1. Solucion General de Ecuacion funcional de Davison . . . . 36

3.4. Ecuacion Funcional Cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

vi

4. ESTABILIDAD DE CIERTAS ECUACIONES FUNCIONALES 42

4.1. Estabilidad en la ecuacion funcional de Cauchy . . . . . . . . . . 43

4.1.1. Generalizacion del Teorema de Hyers . . . . . . . . . . . . 48

4.2. Estabilidad de la ecuacion funcional cuadratica . . . . . . . . . . 54

4.3. Estabilidad de la ecuacion funcional de Davison . . . . . . . . . . 60

4.3.1. Generalizacion de la estabilidad de la ecuacion funcional

de Davison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.4. Estabilidad de la ecuacion funcional de d’Alembert . . . . . . . . 73

5. METODOS DE SOLUCION 83

5.1. Metodo de sustitucion de variables por valores . . . . . . . . . . . 83

5.2. Transformacion de una o varias variables . . . . . . . . . . . . . . 85

5.3. Metodo del punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.4. Utilizando Simetrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.5. Metodo de Acotacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.6. Metodo Inductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.7. Metodo para ecuaciones polinomicas . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.8. Transformacion de una o varias funciones . . . . . . . . . . . . . . 102

5.9. Ecuaciones en diferencias lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.9.1. Solucion de la ecuacion homogenea . . . . . . . . . . . . . 105

5.9.2. Solucion de la ecuacion completa . . . . . . . . . . . . . . 109

6. APLICACIONES 115

6.1. Caracterizacion de la Distribucion Geometrica . . . . . . . . . . . 115

6.2. Suma de potencias de los numeros enteros . . . . . . . . . . . . . 119

6.2.1. Suma de los primeros n numeros naturales . . . . . . . . . 120

6.2.2. Suma de cuadrados de los primeros n numeros naturales . 121

6.2.3. Suma de kth potencias de los primeros n numeros naturales 123

6.3. Numeros de Combinaciones con n objetos . . . . . . . . . . . . . 127

BIBLIOGRAFIA 130

vii

LISTA DE TABLAS

5.1. Solucion particular de una ecuacion en diferencias lineal. . . . . . 110

6.1. Coeficientes de la suma de potencias de numeros naturales. . . . . 126

viii

TITULO: Analisis de la Estabilidad de algunas Ecuaciones Funcionales y Meto-

dos de Solucion.

Autor: Miguel Alonso Murillo Noblecilla

Tutor: Dr. Alvaro Danilo Gortaire Jativa, Ph.D.

RESUMEN

Este trabajo esta enfocado al estudio de la Teorıa de las Ecuaciones Funcionales,

donde se detalla varios metodos para resolver este tipo de ecuaciones. Se realizo el

analisis de ciertas ecuaciones funcionales importantes, con su respectivo estudio

de la estabilidad. La ecuacion funcional con la que se realizo la mayor parte de este

proyecto fue la ecuacion funcional de Cauchy aditiva, en la cual se basa la teorıa

de la estabilidad aplicando el teorema general de Hyers-Ulam y adicionalmente

se realizo algunas aplicaciones ocupando las ecuaciones de Cauchy.

PALABRAS CLAVES: ECUACIONES FUNCIONALES / ESTABILIDAD /

ECUACION ADITIVA DE CAUCHY / TEOREMA DE HYERS-ULAM.

ix

TITLE: Stability Analysis of some Functional Equations and Solution Methods.

Author: Miguel Alonso Murillo Noblecilla

Tutor: Dr. Alvaro Danilo Gortaire Jativa, Ph.D.

ABSTRACT

This work is focused on the study of Functional Equations Theory, where several

methods to solve this type of equations are detailed. The analysis of certain im-

portant functional equations was carried out, with their respective stability study.

The functional equation with which, most of this project was carried out, was

the additive Cauchy functional equation, on which the stability theory is based

on, applying the general Hyers-Ulam theorem and additionally some applications

were made occupying the equations of Cauchy

KEYWORDS: FUNCTIONAL EQUATIONS / STABILITY / CAUCHY AD-

DITIVE EQUATION / HYERS-ULAM THEOREM.

x

INTRODUCCION

Una ecuacion que involucra una funcion desconocida y sus terminos tienen la deri-

vada de la funcion de cualquier orden se denomina ecuacion diferencial, ejemplos

de ecuaciones diferenciales son:

f ′(x) +mx = c,

para todo x ∈ I.

f ′′(x) + f ′(x) + sin(x) = 0,

para todo x ∈ J , donde I, J son subconjuntos de los numeros reales. Para el

estudio de la ecuaciones diferenciales existe una teorıa bien detallada.

Las ecuaciones que involucran integrales de una funcion se las conoce como ecua-

ciones integrales, algunos ejemplos de ecuaciones integrales son:

f(x) = ex −∫ x

0

ex−tf(t) dt,

para todo x ∈ I.

f(x) = sen(x) +

∫ 1

0

[1− x cos(x t)] f(t) dt,

para todo x ∈ J.

f(x) =

∫ x

0

[t f 2(t)− 1

]dt,

para todo x ∈ M , donde I, J,M son subconjuntos de los numeros reales. Al

igual que con las ecuaciones diferenciales, existe una teorıa bien estudiada de las

ecuaciones integrales.

Las ecuaciones funcionales son ecuaciones en las que las incognitas son funciones.

Algunos ejemplos de ecuaciones funcionales son:

f(x+ y) = f(x) + f(y),

1

f(x+ y) = f(x) g(y) + f(y) g(x),

f(x+ y) + f(x− y) = 2 f(x) + 2 f(y),

f(x)− f(y) = (x− y)h(x+ y),

g(f(x)) = α f(x),

para todo x, y ∈ R. El campo de las ecuaciones funcionales incluye ecuaciones

diferenciales, ecuaciones en diferencias y ecuaciones integrales, en este trabajo no

se profundizara el estudio de ninguna de estas ecuaciones.

El tema de la teorıa de ecuaciones funcionales es una rama de la Matematica,

en la cual matematicos importantes hicieron sus aportaciones como d’Alembert,

Abel, Cauchy, Gauss, Euler, Frechet, Kolmogorov, Lobachevsky, Darboux, Hil-

bert y otros mas. El estudio de las ecuaciones funcionales ha sido primordial por

sus resultados, pero al momento que se busca una aplicacion fısica se utiliza ecua-

ciones diferenciales ordinarias o en derivadas parciales. Sin embargo, el estudio

de las ecuaciones funcionales es mas general, porque no se asume la regularidad

de las soluciones y es de enorme importancia en el Analisis Matematico.

Las ecuaciones funcionales que se trataran en este trabajo son sobre el campo de

los numeros reales. Resolver una ecuacion funcional significa encontrar todas las

funciones que satisfacen la ecuacion funcional, para obtener la solucion a menudo

debe restringirse a la funcion (como acotada, continua, convexa, diferenciable,

medible o monotona) o transformar a una ecuacion conocida, por lo cual se de-

tallara en este trabajo metodos de solucion y algunas ecuaciones fundamentales.

Las ecuaciones funcionales que se estudiaran en el trabajo de investigacion es la

ecuacion funcional de Cauchy aditiva, otras ecuaciones de Cauchy, la ecuacion

funcional d’Alembert y la ecuacion funcional cuadratica.

En 1940 S. M. Ulam (ver [5]) planteo el siguiente problema: Si se reemplaza,

una ecuacion funcional dada por una desigualdad funcional, entonces bajo que

condiciones las soluciones de la desigualdad estan cercanas a la solucion de la

ecuacion, esto estudia la teorıa de la estabilidad de ecuaciones funcionales, lo

cual se relaciona con la siguiente pregunta: ¿Dados un grupo (G1, ·), un grupo

2

metrico (G2, ?) con la metrica d(·, ·) y un numero positivo ε existe un numero

real δ > 0 tal que la funcion f : G1 → G2 satisface d(f(x · y), f(x) ? f(y)) < δ,

para todo x, y ∈ G1. Entonces existe un homomorfismo T : G1 → G2 tal que

d(f(x), T (x)) < ε, para todo x ∈ G1?. D. H. Hyers presento el resultado al

problema de Ulam, lo que contribuyo gran parte de la teorıa de la estabilidad de

las ecuaciones funcionales, con esta idea se estudiara la estabilidad de algunas

ecuaciones utilizando el teorema de Hyers-Ulam.

En el Capıtulo 6 se muestra algunas aplicaciones de las ecuaciones funciona-

les donde se utiliza las ecuaciones funcionales de Cauchy para el estudio de los

siguientes problemas: la caracterizacion de la distribucion geometrica, numero

de combinaciones con n objetos y encontrar una funcion fk(n) para la suma

de kth potencias de los primeros n numeros enteros naturales, es decir fk(n) =

1k+2k+ . . .+nk, donde n y k son numeros enteros positivos, este problema man-

tuvo interesado a los matematicos mas de 300 anos desde el tiempo de James

Bernoulli (1658-1705).

3

CAPITULO 1

DEFINICION DEL PROBLEMA

FORMULACION DEL PROBLEMA

La estabilidad es el objeto esencial en el estudio de la teorıa de ecuaciones funcio-

nales, es averiguar y analizar que sucede cuando una ecuacion tiene un pequeno

cambio en su argumento o cuando se anade un termino. ¿La solucion sigue siendo

igual o tiene una variacion?, ¿cual es el proceso para obtener la soluciones de las

ecuaciones funcionales? y ¿en que se las puede aplicar?

JUSTIFICACION DEL PROBLEMA

Las ecuaciones funcionales tienen origen al mismo tiempo que el concepto de

funcion, en los anos 1747 a 1750 J. d’Alembert publico algunos artıculos relacio-

nados las ecuaciones funcionales. El primer avance significativo es un problema

sobre la ley del paralelogramo para la suma de fuerzas (ver [1]). En 1769 J.

d’Alembert simplifico el problema en encontrar la solucion de la ecuacion funcio-

nal f(x + y) + f(x − y) = 2 f(x) f(y), ademas matematicos famosos estudiaron

ecuaciones funcionales por su aparente simplicidad y naturaleza armonica, aun-

que el estudio moderno se origino hace 270 anos un desarrollo significativo en

la disciplina se lo realizo en los ultimos 70 anos. En 1900 David Hilbert sugirio

con la conexion del 5o problema que aplicando tecnicas elegantes y potentes de

teorıa de ecuaciones diferenciales se puede resolver ecuaciones funcionales sin la

regularidad necesaria de la diferencial, por este motivo muchos investigadores han

tomado algunas ecuaciones funcionales con una leve suposicion de regularidad,

lo que da lugar a la teorıa moderna de ecuaciones funcionales.

4

OBJETIVOS

Objetivo General

Estudiar la estabilidad de algunas ecuaciones funcionales utilizando de referencia

la estabilidad del tipo Hyers-Ulam, probada en la ecuacion funcional de Cauchy

aditiva.

Objetivos Especıficos:

a) Realizar el estudio de la solucion de algunos tipos de ecuaciones funcionales.

b) Detallar algunos metodos para la solucion de ecuaciones funcionales sobre

el campo de los numeros reales.

c) Presentar algunas aplicaciones de las ecuaciones funcionales utilizando los

resultados de ecuaciones tradicionales.

5

CAPITULO 2

FUNDAMENTOS MATEMATICOS

En el presente trabajo se tienen en cuenta el conjunto de lo numeros naturales

como N := {1, 2, 3, . . .} y el conjunto de los numeros reales positivos como

R+ := {x ∈ R | x > 0}.

2.1 Conceptos Basicos de Ecuaciones Funcionales

Definicion 2.1 (Ecuacion Funcional [3]). Una ecuacion funcional es una ecua-

cion que se expresa a traves de una combinacion de variables independientes,

funciones conocidas, constantes y funciones desconocidas, cuya expresion y valor

de la funcion incognita deben ser resueltos; pero se excluyen ecuaciones diferen-

ciales, ecuaciones integrales y otros tipos de ecuaciones que contienen operadores

infinitesimales.

Definicion 2.2 (Solucion particular de una Ecuacion Funcional [3]). Dada una

funcion o un conjunto de funciones se llamara solucion particular de una ecuacion

funcional si y solo si satisface la ecuacion funcional en su dominio de definicion.

Definicion 2.3 (Solucion general de una Ecuacion Funcional [3]). Dada una clase

de funciones F , la solucion general de una ecuacion funcional es la totalidad de

las soluciones particulares de esta clase F .

Ası, una ecuacion funcional se la puede definir como una tripleta (E,D,F) tal

que para todo f ∈ F se tenga la igualdad o relacion E

E [f, x] = 0,

para todo x ∈ D, donde f, x son vectores de funciones y variables desconocidas.

6

Definicion 2.4 (Equivalencia de Ecuaciones Funcionales [3]). Sean dos ecuacio-

nes funcionales,

E1 [f, x] = 0, para todo x ∈ D y f ∈ F1

E2 [f, x] = 0, para todo x ∈ D y f ∈ F2

se dice que son equivalentes si y solo si sus soluciones generales coinciden.

2.2 Espacios Metricos

Definicion 2.5. Sea X un conjunto no vacio. Se dice que d : X ×X → R define

una distancia (o metrica) en X si cumple las propiedades

(i) d(x, y) ≥ 0, para todo x, y ∈ X,

(ii) d(x, y) = 0 si y solo si x = y,

(iii) d(x, y) = d(y, x), para todo x, y ∈ X,

(iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z), para todo x, y, z ∈ X.

En estas condiciones, se dice que el par (X, d) es un espacio metrico.

Definicion 2.6. Sea (X, d) un espacio metrico y una funcion f : X → X, se dice

que f es contractiva si y solo si existe una constante k ∈ ]0, 1[ tal que

d(f(x), f(y)) ≤ k d(x, y),

para todo x, y ∈ X.

Teorema 2.2.1 (Punto fijo de Banach). Sea (X, d) un espacio metrico completo

y sea f : X → X una aplicacion contractiva. Entonces, existe un unico punto fijo

de f.

Demostracion. Sea x0 ∈ X. Se considera la sucesion (xn)n∈N definida por

x1 = f(x0), xn = f(xn−1).

Se va probar que (xn)n∈N es una sucesion de Cauchy.

Sea m,n ∈ N y m = n+ p. Luego,

7

d(xn, xn+1) = d (f(xn−1), f(xn)) ≤ k d (xn−1, xn) ,

para todo n ∈ N. Por ser f contractiva,

d(xn, xn+1) ≤ kn d(x0, x1), (2.1)

para todo n ∈ N. Ahora, utilizando (2.1), se tiene que

d(xn, xn+p) ≤ d(xn, xn+1) + d(xn+1, xn+p)

≤ kn d(x0, x1) + d(xn+1, xn+p)

≤ kn d(x0, x1) + kn+1 d(x0, x1) + d(xn+2, xn+p)

≤ kn d(x0, x1)

p−1∑i=0

ki.

para todo n ∈ N.

Ası, se puede acotar por una serie convergente dado que k ∈ ]0, 1[, se obtiene que

d(xn, xn+p) < kn d(x0, x1)∞∑i=0

ki

para todo n ∈ N. Tomando el limite cuando n→∞, se obtiene que

lımn→∞

d(xn, xn+p) < lımn→∞

(kn d(x0, x1)

∞∑i=0

ki

)= 0,

dado que k ∈ ]0, 1[. Por tanto, (xn)n∈N es una sucesion de Cauchy.

Como X es un espacio completo, entonces (xn)n∈N es convergente en X. Es decir,

lımn→∞

xn = x.

Ademas, f es una funcion contractiva, entonces f es una funcion continua.

Como xn = f(xn−1), para todo n ∈ N. Tomando el limite cuando n → ∞, se

tiene que f(x) = x, para todo x ∈ X. Por tanto, existe al menos un punto fijo

de f en X.

Se va probar que f tiene un unico punto fijo.

8

Se supone que f tiene dos puntos fijos x1, x2 ∈ X con x1 6= x2. Es decir, f(x1) =

x1 y f(x2) = x2. Luego, por ser f contractiva,

d(x1, x2) = d(f(x1), f(x2))

≤ k d(x1, x2),

donde k ∈ ]0, 1[ . Ası,

(1− k) d(x1, x2) ≤ 0

d(x1, x2) ≤ 0.

Como d(x1, x2) ≥ 0 y (1− k) > 0, entonces d(x1, x2) = 0 ası x1 = x2 y esto una

contradiccion con la suposicion.

Por tanto, se concluye que existe un unico punto fijo de f en X.

9

CAPITULO 3

ALGUNAS ECUACIONES FUNCIONALES

FUNDAMENTALES

En este capıtulo de dara a conocer la solucion de algunas ecuaciones funcionales

importantes para el estudio de la teorıa de ecuaciones funcionales.

3.1 Ecuaciones Funcionales de Cauchy

El matematico frances Augustin Louis Cauchy, fue el primero en dar un estudio

sistematico sobre las soluciones de algunas ecuaciones funcionales, esto lo publico

en su libro “Cours d’Analyse” en el Capıtulo 5 (ver [2]). Ahora, se va analizar la

resolucion de estas ecuaciones.

3.1.1 Ecuacion Funcional de Cauchy Aditiva

La ecuacion funcional aditiva, es la primera ecuacion funcional que estudio A.

L. Cauchy en 1821, guiandose en los trabajos de A. M. Legendre (1791) y C. F.

Gauss (1809); que fueron los que iniciaron con el estudio de las funciones aditivas.

Una funcion f : R→ R se dice aditiva si satisface la ecuacion funcional

f(x+ y) = f(x) + f(y), (3.1)

para todo x, y ∈ R. Se realizo el estudio de esta ecuacion considerando funciones

continuas. Las unicas con estas condiciones que satisfacen la ecuacion (3.1) son

las aplicaciones lineales, es decir

f(x) = c x,

para todo x ∈ R, donde c es una constante real.

10

Teorema 3.1.1 ([7]). Sea f : R→ R una funcion aditiva y continua que satisface

la ecuacion de Cauchy (3.1). Entonces, f es lineal.

Demostracion. Sea x ∈ R. Integrando ambos lados de la ecuacion (3.1) con res-

pecto a y, se obtiene que

∫ 1

0

f(x) dy =

∫ 1

0

[f(x+ y)− f(y)] dy,

para todo x ∈ R. Se realiza el siguiente cambio de variable u = x + y, se tiene

que

f(x) =

∫ 1+x

x

f(u) du−∫ 1

0

f(y) dy,

para todo x ∈ R. Como f es continua, entonces por el teorema fundamental del

calculo, se tiene que

f ′(x) = f(1 + x)− f(x), (3.2)

para todo x ∈ R. Reemplazando y = 1 en la ecuacion (3.1), se obtiene que

f(1 + x) = f(1) + f(x), (3.3)

para todo x ∈ R. Sustituyendo la ecuacion (3.3) en (3.2), se obtiene que

f ′(x) = f(1) +��f(x)−��f(x),

para todo x ∈ R. Ası,

f ′(x) = c,

para todo x ∈ R, donde c = f(1). Por el teorema Picard-Lindelof existe una

unica solucion para la ecuacion diferencial. Entonces,

f(x) = cx+ d,

para todo x ∈ R, donde d ∈ R.

Sustituyendo la ecuacion anterior en (3.1), se tiene que

c (x+ y) + d = (c x+ d) + (c y + d)

d = 2d.

Ası, d = 0. Por tanto,

11

f(x) = c x,

para todo x ∈ R, donde c ∈ R. Entonces, f es lineal.

Se observa que como f es una funcion continua, entonces f es una funcion inte-

grable. De lo cual, la integrabilidad de la funcion determino que la solucion de la

ecuacion funcional (3.1) sea lineal.

En la demostracion del teorema se utilizo algunos resultados del calculo, ahora

se va realizar una demostracion sin el uso del calculo para poder entender el

comportamiento de la solucion de la ecuacion funcional de Cauchy aditiva.

En los teoremas siguientes las demostraciones se realizara sobre el conjunto de los

numeros racionales, debido a que se puede extender al conjunto de los numeros

reales. Este resultado se obtiene porque, Q es denso en R.

Teorema 3.1.2 ([7]). Sea f : R→ R una funcion aditiva que satisface la ecua-

cion (3.1). Entonces, f es lineal en el conjunto de los numeros racionales Q.

Demostracion. Sea f una funcion aditiva. Sustituyendo x = y = 0 en la ecuacion

(3.1), se obtiene que

f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0) = 2 f(0).

Ası, f(0) = 0.

Ahora, reemplazando y = −x en la ecuacion (3.1), se tiene que

0 = f(0) = f(x+ (−x)) = f(x) + f(−x),


f(−x) = −f(x),

para todo x ∈ R. Por tanto, f es impar.

Se va a construir una formula recursiva. Sea x ∈ R. Sustituyendo y = x en la

ecuacion (3.1), se obtiene que

f(2x) = f(x+ x) = f(x) + f(x) = 2 f(x),

para todo x ∈ R. Ademas, reemplazando x por 2x y y = x en la ecuacion (3.1)

12

y por la ecuacion anterior, se obtiene que

f(3x) = f(2x+ x) = 2 f(x) + f(x) = 3 f(x),

para todo x ∈ R . Se va probar por induccion que

f(nx) = n f(x), (3.4)

para todo n ∈ N y todo x ∈ R.

Sea x ∈ R. Para n = 1, es verdadero.

Para n = k ∈ N, se supone que es verdadero tal que

f(k x) = k f(x), (3.5)

para todo x ∈ R. Para n = k + 1,

f((k + 1)x) = f(k x+ x)

= f(k x) + f(x) por (3.1)

= k f(x) + f(x) por (3.5)

= (k + 1) f(x),

para todo x ∈ R. Por tanto, se ha demostrado que f(nx) = n f(x), para todo

n ∈ N y todo x ∈ R.

Se supone que n es un entero negativo, entonces −n es un entero positivo.

Como f es impar, se obtiene que

f(nx) = f(−(−n)x)

= −f((−n)x)

= −(−n) f(x) por (3.4)

= n f(x),


f(nx) = n f(x),

para todo x ∈ R y todo n entero negativo.

De la ecuacion anterior y (3.4), se concluye que

f(nx) = n f(x), (3.6)

13

para todo n ∈ Z y todo x ∈ R.

Sea r ∈ Q. Es decir,

r =m

n

r x =(mn

)x

n(r x) = mx,

donde m ∈ Z y n ∈ N. Entonces, utilizando (3.6), se tiene que

mf(x) = f(mx)

= f(n (r x))

= n f(r x),


f(r x) =m

nf(x) = r f(x), (3.7)

para todo x ∈ R y todo r ∈ Q. Ademas, evaluando en x = 1 la ecuacion (3.7), se

obtiene que

f(r) = r f(1),

para todo r ∈ Q. Tomando c = f(1), se tiene que f(r) = c r, para todo r ∈ Q.

Por tanto, se ha demostrado que f es lineal en el conjunto de los numeros racio-

nales.

Teorema 3.1.3 (Cauchy [2]). Sea f : R → R una funcion continua aditiva que

satisface la ecuacion funcional (3.1). Entonces, f es lineal.

Demostracion. Sea f una funcion continua que es la solucion de la ecuacion (3.1).

Como Q es un conjunto denso en R, entonces para cualquier x ∈ R existe una

sucesion {rn}n∈N en Q, tal que

lımn→∞

rn = x.

Ademas, f satisface la ecuacion de Cauchy aditiva y por el Teorema 3.1.2, se

obtiene que

f(rn) = c · rn,

14

para todo n ∈ N. Ahora, usando la continuidad de f , se concluye que

f(x) = f(

lımn→∞

rn

)= lım

n→∞f(rn)

= lımn→∞

c · rn

= c x,

para todo x ∈ R. Por tanto, f(x) = c x, para todo x ∈ R. De lo cual, f es

lineal.

3.1.2 Otras Ecuaciones Funcionales de Cauchy

En esta seccion se realizara el estudio de tres ecuaciones funcionales de Cauchy,

que son las siguientes:

f(x+ y) = f(x) · f(y), (3.8)

f(x y) = f(x) + f(y), (3.9)

f(x y) = f(x) · f(y), (3.10)

para todo x, y ∈ R. La expresion (3.8) se conoce como ecuacion exponencial,

la expresion (3.9) se conoce como ecuacion logarıtmica y la expresion (3.10) se

conoce como ecuacion multiplicativa.

La solucion general de cada ecuacion funcional se puede reducir en terminos de la

ecuacion aditiva de Cauchy (3.1), mediante operaciones algebraicas. Por ultimo,

el uso de la solucion general de la ecuacion (3.1) proporciona la solucion continua

para cada ecuacion funcional.

Teorema 3.1.4 (Ecuacion Exponencial de Cauchy [7])..

Sea f : R→ R una funcion continua, solucion general de la ecuacion funcional

f(x+ y) = f(x) · f(y), (3.8)

para todo x, y ∈ R. Entonces, existe una constante c ∈ R tal que

f(x) = 0 y f(x) = ec x,

15

para todo x ∈ R.

Demostracion. (i) En este ıtem, se va probar que f(x) = 0, para todo x ∈ R.

En efecto, sustituyendo x = y =t

2en la ecuacion (3.8), se obtiene que

f(t) = f

(t

2+t

2

)= f

(t

2

)· f(t

2

)= f 2

(t

2

),

para todo t ∈ R. Por tanto, f(t) ≥ 0, para todo t ∈ R.

Ahora, se va suponer que existe t0 ∈ R tal que f(t0) = 0, entonces

f(t) = f(t− t0 + t0) = f(t− t0) · f(t0) = 0.

Ası,

f(t) = 0, (3.11)

para todo t ∈ R. Por tanto, se ha demostrado que (3.11) es solucion de la ecuacion

(3.8)

(ii) En este ıtem, se va probar que existe una constante c ∈ R tal que

f(x) = ec x,

para todo x ∈ R.

Si f(t) es estrictamente positiva y aplicando el logaritmo ambos lados de (3.8),

se obtiene que

log f(x+ y) = log [f(x) · f(y)] = log f(x) + log f(y), (3.12)

para todo x, y ∈ R. Se define una funcion A : R→ R dada por

A(x) := log f(x),

donde f(x) > 0, para todo x ∈ R. Entonces, la ecuacion (3.12) se transforma en

A(x+ y) = A(x) + A(y),

para todo x, y ∈ R. Como f es continua, entonces A es continua y satisface las

condiciones del Teorema 3.1.3. En consecuencia, existe una constante c ∈ R tal

que

16

A(x) = c x,


f(x) = eA(x) = ec x, (3.13)

para todo x ∈ R, donde c ∈ R.

Por tanto, se ha demostrado que (3.13) es solucion de la ecuacion (3.8).

Teorema 3.1.5 (Ecuacion Logarıtmica de Cauchy [7])..


f(x y) = f(x) + f(y), (3.9)

para todo x, y ∈ T. Entonces, existe una constante c ∈ R tal que

f(x) =

0 si x ∈ T = R, (i)

c log(x) si x ∈ T = R+, (ii)

c log(|x|) si x ∈ T = Rr {0}. (iii)


En efecto, sustituyendo y = 0 en la ecuacion (3.9), se obtiene que

f(0) = f(x · 0) = f(x) + f(0).


f(x) = 0, (3.14)

para todo x ∈ R. Por tanto, se ha demostrado que (3.14) es solucion de la ecuacion

(3.9).

(ii) En este ıtem, se va probar que existe una constante c ∈ R tal que

f(x) = c log(x),

para todo x ∈ R+.

Sea x, y ∈ R+. Aplicando el siguiente cambio de variable x = eu ⇔ u = log(x),

y = ev ⇔ v = log(y),

17

en la ecuacion (3.9) y dado que x, y ∈ R+, se ve que u, v ∈ R. Entonces,

f(eu+v) = f(eu · ev) = f(eu) + f(ev), (3.15)

para todo u, v ∈ R. Se define una funcion A : R→ R dada por

A(x) := f(ex),

para todo x ∈ R. Entonces, la ecuacion (3.15) se transforma en

A(u+ v) = A(u) + A(v),

para todo u, v ∈ R. Como f es continua, entonces A es una funcion continua y

satisface las condiciones del Teorema 3.1.3. En consecuencia, existe una constante

c ∈ R tal que

A(x) = c x,


f(x) = c log x, (3.16)

para todo x ∈ R+, donde c ∈ R.


(iii) Finalmente, se va probar que existe una constante c ∈ R tal que

f(x) = c log (|x|) ,

para todo x ∈ Rr {0}.

Sea x, y ∈ Rr {0}. Se realiza las siguientes sustituciones x = y = t,

x = y = −t

en la ecuacion (3.9). Luego, f(t2) = f(t) + f(t),

f(t2) = f(−t) + f(−t),

para todo t ∈ Rr {0.} Igualando las anteriores ecuaciones, se obtiene que

f(t) + f(t) = f(−t) + f(−t)

f(t) = f(−t),

18

para todo t ∈ Rr {0}. Por tanto, f es par.

Como f es par y por (3.16), se tiene que

f(x) = c log (|x|) (3.17)

para todo x ∈ Rr {0}. Por tanto, se ha demostrado que (3.17) es solucion de la

ecuacion (3.9).

Teorema 3.1.6 (Ecuacion Multiplicativa de Cauchy [7])..


f(x y) = f(x) · f(y), (3.10)


f(x) = 0, f(x) = 1,

f(x) = |x|c y f(x) = |x|c · sgn(x),

para todo x ∈ R.


Sea x ∈ R+. Entonces, sustituyendo x por√x y y =

√x en la ecuacion (3.10),

se tiene que

f(x) = f(√x ·√x) = f(

√x) · f(

√x) = f 2

(√x),

para todo x ∈ R+. Por tanto,

f(x) ≥ 0, (3.18)

para todo x ∈ R+. Ahora, se supone que existe un x0 ∈ Rr{0} tal que f(x0) = 0.

Entonces, por la ecuacion (3.10), se obtiene que

f(x) = f

(x0

x

x0

)= f(x0) · f

(x

x0

)= 0,


f(x) = 0, (3.19)


(3.10).

19

(ii) En este ıtem, se va probar que f(x) = 1, para todo x ∈ R.

Sustituyendo x = 0 = y en la ecuacion (3.10), se tiene que

f(0) = f(0) · f(0)

f(0) [1− f(0)] = 0.

Ası,

f(0) = 0 o f(0) = 1. (3.20)

Si f(0) = 1 entonces, sustituyendo y = 0 en la ecuacion (3.10), se obtiene que

f(0) = f(x) · f(0)


f(x) = 1, (3.21)


(3.10).

(iii) En este ıtem, se va probar que existe una constante c ∈ R tal que

f(x) = |x|c,

para todo x ∈ R.

Se supone que f(x) 6= 0, para todo x ∈ Rr {0} y por la ecuacion (3.18), se tiene

que f(x) > 0, para todo x > 0.

Se realiza el siguiente cambio de variable x = eu ⇔ u = log(x),

y = ev ⇔ v = log(y).

en la ecuacion (3.10) y dado que x, y ∈ R+, se ve que u, v ∈ R. Entonces,

f(eu+v) = f(eu) · f(ev)

log(f(eu+v)) = log [f(eu) · f(ev)] = log [(eu)] + log [f(ev)] , (3.22)

para todo u, v ∈ R. Se define una funcion A : R→ R por

A(x) := log [f(ex)] ,

20

para todo x ∈ R, donde f(y) > 0, para todo y > 0. Entonces, la ecuacion (3.22)

se transforma en

A(u+ v) = A(u) + A(v),

para todo u, v ∈ R. Como f es continua, entonces A es continua y satisface las

condiciones del Teorema 3.1.3. En consecuencia, existe una constante c ∈ R tal

que

A(x) = c x,


f(x) = xc, (3.23)

para todo x ∈ R+. Sustituyendo x = 1 = y en la ecuacion (3.10), se tiene que

f(1) · [1− f(1)] = 0. Entonces,

f(1) = 0 o f(1) = 1.

Si f(1) = 1, sustituyendo x = −1 = y en la ecuacion (3.10), se obtiene que

f(1) = f(−1) · f(−1) = f 2(−1).

Ası,

f(−1) = 1 o f(−1) = −1.

Si f(−1) = 1, sustituyendo y = −1 en (3.10), se obtiene que

f(−x) = f(x) · f(−1) = f(x),

para todo x ∈ Rr {0}. Ası,

f(−x) = f(x),

para todo x ∈ Rr {0}. Por tanto, f es par.

Como f es par y de las ecuaciones (3.20) y (3.23), se obtiene que

f(x) = |x|c, (3.24)



(iv) Finalmente, se va probar que existe una constante c ∈ R tal que

21

f(x) = |x|c · sgn(x),

para todo x ∈ R.

Si f(−1) = −1, sustituyendo y = −1 en la ecuacion (3.10), se obtiene que

f(−x) = f(x) · f(−1) = −f(x)

para todo x ∈ Rr {0}. Ası,

f(−x) = −f(x),

para todo x ∈ Rr {0}. Por tanto, f es impar.

Como f es impar y de las ecuaciones (3.20) y (3.24), se obtiene

f(x) = |x|c · sgn(x), (3.25)

para todo ∀x ∈ R, donde c ∈ R. Ası,

f(x) =

|x|c si x > 0,

0 si x = 0,

−|x|c. si x < 0


3.2 Ecuacion funcional d’Alembert

La ecuacion funcional que se va estudiar en esta seccion, la comenzo estudiando

Jean d’Alembert en 1769, Poisson en 1804 y Picard en 1922. El que determino la

solucion continua de la ecuacion funcional d’Alembert fue A. L. Cauchy.

Esta definida como una funcion f : R→ R tal que satisface la ecuacion funcional

f(x+ y) + f(x− y) = 2 f(x) · f(y),

para todo x, y ∈ R.

22

Teorema 3.2.1. Sea f : R → R una funcion continua, solucion general de la

ecuacion funcional

f(x+ y) + f(x− y) = 2 f(x) · f(y), (3.26)

para todo x, y ∈ R. Entonces, existen α, β constantes reales tal que

f(x) = 0, f(x) = 1,

f(x) = ch(αx) y f(x) = cos(β x),

para todo x ∈ R.


En efecto, sustituyendo x = 0 = y en (3.26), se obtiene que

f(0) + f(0) = 2 [f(0)]2 ,

Ası,

f(0) = 0 o f(0) = 1.

Si f(0) = 0, sustituyendo y = 0 en la ecuacion (3.26), se obtiene que

f(x) + f(x) = 2 f(x) ·��*0

f(0),


f(x) = 0, (3.27)


(3.26).

(ii) En este ıtem, se va probar que f(x) = 1, para todo x ∈ R.

Si f(0) = 1, se supone que f(x) 6= 0, para todo x ∈ R. Se va probar que f es una

funcion par.

Sustituyendo x = 0 en la ecuacion (3.26), se obtiene que

f(y) + f(−y) = 2��*1

f(0) · f(y)

f(y) + f(−y) = 2 f(y)

para todo y ∈ R. Ası,

f(−y) = f(y),

23

para todo y ∈ R. Por tanto, f es par.

Como f es una funcion continua en R, entonces f es integrable en cualquier

intervalo finito. En consecuencia, para t > 0 en (3.26), se obtiene que∫ t

−tf(x+ y) dy +

∫ t

−tf(x− y) dy = 2 f(x) ·

∫ t

−tf(y) dy, (3.28)

para todo x ∈ R. Se realiza la siguiente sustitucion z = x+ y,

w = x− y,

en la ecuacion (3.28), se obtiene que∫ x+t

x−tf(z) dz +

∫ x−t

x+t

f(w) (−dw) = 2 f(x) ·∫ t

−tf(y) dy,

para todo x ∈ R. Ası,∫ x+t

x−tf(y) dy +

∫ x+t

x−tf(y) dy = 2 f(x) ·

∫ t

−tf(y) dy∫ x+t

x−tf(y) dy = f(x) ·

∫ t

−tf(y) dy, (3.29)

para todo x ∈ R. Como f es continua y f(0) = 1, entonces existe t > 0 tal que∫ t

−tf(y) dy > 0. (3.30)

Por el teorema fundamental del calculo la parte izquierda de la ecuacion (3.29)

es derivable con respecto a x y de (3.30) que no depende de x. De lo cual, f es

derivable con respecto a x.

d

dx

∫ x+t

x−tf(y) dy =

d

dx

[f(x) ·

∫ t

−tf(y) dy

]f(x+ t)− f(x− t) = f ′(x) ·

∫ t

−tf(y) dy,


f ′(x) =f(x+ t)− f(x− t)∫ t

−tf(y) dy

, (3.31)

para todo x ∈ R. Como f es continua, entonces f ′ es continua por la definicion

de (3.31).

24

Se calcula la derivada de la ecuacion (3.31) con respecto a x, dado que f es

derivable con respecto a x, se tiene que

d

dx(f(x+ t)− f(x− t)) =

d

dx

[f ′(x) ·

∫ t

−tf(y) dy

],


f ′′(x) =f ′(x+ t)− f ′(x− t)∫ t

−tf(y) dy

,

para todo x ∈ R. Como f ′ es continua, entonces f ′′ es continua.

Se va probar por induccion que

f (n)(x) =f (n−1)(x+ t)− f (n−1)(x− t)∫ t

−tf(y) dy

, (3.32)


Sea x ∈ R. Para n = 1, es verdadero por (3.31).


f (k)(x) =f (k−1)(x+ t)− f (k−1)(x− t)∫ t

−tf(y) dy

,

para todo x ∈ R. Para n = k + 1, se utiliza que f (k) es derivable con respecto a

x y de la ecuacion anterior, se obtiene que

d

dx

(f (k)(x)

)=

d

dx

f (k−1)(x+ t)− f (k−1)(x− t)∫ t

−tf(y) dy

,


f (k+1)(x) =f (k)(x+ t)− f (k)(x− t)∫ t

−tf(y) dy

,

para todo x ∈ R. Por tanto, se ha demostrado (3.32).

Ademas, la continuidad de f (n) es porque f (n−1) es continua para todo n ∈ N.

De lo cual, f es continuamente diferenciable.

Sustituyendo x = 0 en (3.31), se obtiene que

f(t)− f(−t) = f ′(0) ·∫ t

−tf(y) dy,

25

para todo t ∈ R. Como f es una funcion par, entonces

f ′(0) ·∫ t

−tf(y) dy = 0.

Ası, f ′(0) = 0.

Calculando la segunda derivada con respecto a y a la ecuacion (3.26), se obtiene

que

f ′(x+ y)− f ′(x− y) = 2 f(x) · f ′(y),

para todo x, y ∈ R. Ası,

f ′′(x+ y) + f ′′(x− y) = 2 f(x) · f ′′(y),

para todo x, y ∈ R. Evaluando en y = 0 la ecuacion anterior, se tiene que

2 f ′′(x) = 2 f(x)f ′′(0),

para todo x ∈ R. De lo cual, se tiene la siguiente ecuacion diferencial ordinaria

de problema de valor inicial. d2y

dx2= k y,

y(0) = 1,

y′(0) = 0,

(3.33)

donde k = f ′′(0). Para resolver (3.33), se considera los siguientes casos: k = 0,

k > 0 y k < 0.

Si k = 0, para la ecuacion (3.33), se transforma en

d2y

dx2= 0

la misma tiene por solucion general,

y(x) = c1 x+ c2,

para todo x ∈ R. Reemplazando las condiciones iniciales, se tiene que c2 = 1 y

c1 = 0. Entonces,

f(x) = 1, (3.34)


26

(3.26).

Se observa que la ecuacion (3.33), es de segundo orden con coeficientes constantes

sus soluciones fundamentales son de la forma y = emx, donde m se determina a

partir del polinomio caracterıstico m2 = k.

(iii) En este ıtem, se va probar que existe una constante α ∈ R tal que

f(x) = ch(αx),

para todo x ∈ R.

Si k > 0, el polinomio tiene dos raıces reales. Es decir, m = ±√k tomando

α =√k ∈ R, se tiene que

y(x) = c1eαx + c2e

−αx,

para todo x ∈ R. Reemplazando las condiciones iniciales,

y(0) = 1

c1 + c2 = 1. (3.35)

Ademas, como α > 0, se tiene que

y′(0) = 0[c1 α e

αx − c2 α e−αx] ∣∣∣x=0

= 0

c1 α− c2 α = 0.

Ası,

c1 − c2 = 0. (3.36)

De las ecuaciones (3.35) y (3.36), se concluye que c1 = 12

= c2. Entonces,

f(x) =eαx + e−αx

2= ch(αx), (3.37)


(3.26).

(iv) Finalmente, se va probar que existe una constante β ∈ R tal que

f(x) = cos(β x),

para todo x ∈ R.

27

Si k < 0, el polinomio tiene dos raıces imaginarias. Es decir, m = ±i√−k to-

mando β =√−k ∈ R, se tiene que

y(x) = c1 cos(β x) + c2 sen(β x),

para todo x ∈ R. Reemplazando las condiciones iniciales, se tiene que si y(0) = 1,

entonces c1 = 1.

Ademas, como β > 0, se tiene que

y′(0) = 0

[−c1 β sen(β x) + c2 β cos(β x)]∣∣∣x=0

= 0

c2 β = 0.

Ası, c2 = 0. Entonces, f(x) = cos(β x), para todo x ∈ R. De lo cual, es solucion

de la ecuacion (3.26).

Caracterizacion de la Funcion Coseno: Esta caracterizacion la resolvio Van

Vleck (1910).

Teorema 3.2.2. Sea α ∈ R r {0} y f : R → R una funcion continua tal que

satisface

f(x− y + α)− f(x+ y + α) = 2 f(x) · f(y), (3.38)

para todo x, y ∈ R si y solo si

f(x) =

0 si x ∈ R, (i)

cos( π

2α(x− α)

)si x ∈ R. (ii)


Sea α ∈ Rr {0}. Sustituyendo x = 0 = y en la ecuacion (3.38), se tiene que

��f(α)−��f(α) = 2 f(0) f(0).

Ası, f(0) = 0.

Se supone que f(0) 6= 0, reemplazando y = 0 en la ecuacion (3.38), se obtiene

que

f(x+ α)− f(x+ α) = 2 f(x) f(0),

28

para todo x ∈ R. Entonces, f(x) = 0, para todo x ∈ Rr {0}.Por tanto, se concluye que f(x) = 0, para todo x ∈ R. De lo cual, es solucion de

la ecuacion (3.38).

(ii) En este ıtem, se va probar que

f(x) = cos( π

2α(x− α)

),

para todo x ∈ R. Se supone que f(x) 6= 0, para x ∈ R. Sustituyendo y por −y

en la ecuacion (3.38), se obtiene que

f(x+ y + α)− f(x− y + α) = 2 f(x) f(−y), (3.39)

para todo x, y ∈ R. Igualando las ecuaciones (3.38) y (3.39), se obtiene que

f(x) f(y) = −f(x) f(−y),

para todo x, y ∈ R. Como f(x) 6= 0, para todo x ∈ R. Entonces,

f(−y) = −f(y),

para todo y ∈ R. Por tanto, f es impar.

Sustituyendo x con y en la ecuacion (3.38), se tiene que

f(y − x+ α)− f(y + x+ α) = 2 f(y) f(x), (3.40)


f(x− y + α) = f(y − x+ α)

= f(−(x− y) + α)

para todo x, y ∈ R. Por ser f impar,

f(x− y + α) = −f(x− y − α),

para todo x, y ∈ R. Evaluando en y = 0 en la ecuacion anterior, se tiene que

f(x+ α) = −f(x− α), (3.41)

para todo x ∈ R. Ası, reemplazando x por x + α en la ecuacion anterior, se

obtiene que

f(x+ 2α) = −f(x),

29

para todo x ∈ R. Es decir, f no es de periodo 2α.

Ahora, sustituyendo x por x+ 2α en la ecuacion (3.41), se obtiene que

f(x+ 3α) = −f(x+ α), (3.42)

para todo x ∈ R. Igualando las ecuaciones (3.41) y (3.42), se obtiene que

f(x+ 3α) = f(x− α),

para todo x ∈ R. Reemplazando x por x+α en la ecuacion anterior, se tiene que

f(x+ 4α) = f(x),

para todo x ∈ R. Por tanto, se concluye que f es una funcion periodica, con

periodo 4α.

Sustituyendo x por x+ α y y por y + α en la ecuacion (3.38), se tiene que

f(x− y + α)− f(x+ y + 3α) = 2 f(x+ α) · f(y + α),

para todo x, y ∈ R. Ası, utilizando (3.42), se tiene que

f(x− y + α) + f(x+ y + α) = 2 f(x+ α) · f(y + α), (3.43)

para todo x, y ∈ R. Se define una funcion A : R→ R por

A(x) := f(x+ α),

para todo x ∈ R, donde α ∈ Rr {0}. Entonces, la ecuacion (3.43), se transforma

en

A(x+ y) + A(x− y) = 2A(x) · A(y),

para todo x, y ∈ R. Como f es una funcion continua, entonces A es una funcion

continua y satisface las condiciones del Teorema 3.2.1. En consecuencia, se tiene

los siguientes casos:

Si A(x) = 0, entonces f(x) = 0, para todo x ∈ R que es solucion de (3.38),

pero se supuso que f(x) 6= 0. Por tanto, no es la solucion buscada.

Si A(x) = 1, entonces f(x) = 1, para todo x ∈ R. Sustituyendo f(x) = 1

30

en la ecuacion (3.38), se obtiene una expresion falsa. Por tanto, no es la

solucion.

Si A(x) = ch(a x), entonces f(x) = ch(a (x− α)), para todo x ∈ R, donde

a ∈ R. Como f es periodica, con periodo 4α, se tiene que

f(x+ 4α) = f(x)

ch(a (x+ 3α)) = ch(a (x− α)),

para todo x ∈ R. Ası, sustituyendo x por x+ α, se obtiene que

ch(a x+ 4 aα) = ch(a x),

para todo x ∈ R. Igualando el argumento de la ecuacion anterior, se obtiene

que

a x+ 4 aα = a x

4 aα = 0.

Entonces, a = 0. Por tanto, f(x) = ch(0) = 1, para todo x ∈ R. Por el caso

anterior, no es solucion de la ecuacion (3.38).

Si A(x) = cos(a x), entonces f(x) = cos(a (x−α)), para todo x ∈ R, donde

a ∈ R. Como f es periodica, con periodo 4α, se tiene que

f(x+ 4α) = f(x)

cos(a (x+ 3α)) = cos(a (x− α)),

para todo x ∈ R. Ası, sustituyendo x por x+ α, se obtiene que

cos(a x+ 4 aα) = cos(a x),

para todo x ∈ R. Como la funcion coseno es periodica de periodo 2π, se

tiene que

4 aα = 2 π

a =π

2α.

Entonces,

f(x) = cos( π

2α(x− α)

), (3.44)

31

para todo x ∈ R, donde α ∈ Rr {0}.


3.3 Ecuacion Funcional de Davison

Durante el XVII congreso internacional de ecuaciones funcionales, Davison (1980)

introdujo la ecuacion funcional definida por

f(xy) + f(x+ y) = f(xy + x) + f(y),

para todo x, y ∈ R. Durante el congreso Benz (1980) obtuvo la solucion general

continua de la ecuacion funcional, donde su dominio y rango tiene que ser un

campo conmutativo.

Teorema 3.3.1. Sea f : R→ R una funcion continua que satisface la ecuacion

funcional

f(x y) + f(x+ y) = f(x y + x) + f(y), (3.45)

para todo x, y ∈ R. Entonces, existen a, b constantes reales tal que

f(x) = a x+ b,

para todo x ∈ R.

Demostracion. En efecto, de la ecuacion (3.45), se tiene que

f(x y + x)− f(x y) = f(x+ y)− f(y), (3.46)

para todo x, y ∈ R. Sustituyendo x y por y en la ecuacion (3.46), se obtiene que

f(x2 y + x)− f(x2 y) = f(x+ xy)− f(xy), (3.47)

para todo x, y ∈ R. Igualando las ecuaciones (3.46) y (3.47), se tiene que,

f(x2 y + x)− f(x2 y) = f(x+ y)− f(y), (3.48)

para todo x, y ∈ R. De igual manera, sustituyendo x y por y en la ecuacion (3.48),

se obtiene que

32

f(x3 y + x)− f(x3 y) = f(x+ x y)− f(x y)

= f(x+ y)− f(y), por (3.46)


f(x3y + x)− f(x3y) = f(x+ y)− f(y),

para todo x, y ∈ R. Ahora, se va probar por induccion que

f(xn y + x)− f(xn y) = f(x+ y)− f(y),

para todo x, y ∈ R y todo n ∈ N.

Sean x, y ∈ R. Para n = 1, es verdadero por la ecuacion (3.46).


f(xk y + x)− f(xk y) = f(x+ y)− f(y). (3.49)

para todo x, y ∈ R. Para n = k+ 1, sustituyendo x y por y en la ecuacion (3.49),

se tiene que

f(xk+1 y + x)− f(xk+1 y) = f(x+ x y)− f(x y)

= f(x+ y)− f(y), por (3.46)

para todo x, y ∈ R. Por tanto, se ha demostrado que

f(xny + x)− f(xny) = f(x+ y)− f(y), (3.50)

para todo x, y ∈ R y n ∈ N.

Ademas, si x 6= 0, sustituyendo y por x−1y en la ecuacion (3.46), se tiene que

f(x+ y)− f(y) = f(x+ x−1 y)− f(x−1 y)

para todo x ∈ Rr {0} y todo y ∈ R. De igual manera, se puede generalizar por

induccion que

f(x−n y + x)− f(x−n y) = f(x+ y)− f(y), (3.51)

33

para todo x ∈ Rr {0}, todo y ∈ R y todo n ∈ N.

De las ecuaciones (3.50) y (3.51), se concluye que

f(xn y + x)− f(xn y) = f(x+ y)− f(y) (3.52)

para todo x, y ∈ R y todo n ∈ Z.

Ahora, se considera los siguientes casos:

(i) Si 0 6= |x| < 1, tomando el limite cuando n → +∞ en la ecuacion (3.52), se

tiene que

lımn→+∞

f(x+ y)− f(y) = lımn→+∞

[f(xn y + x)− f(xn y)] ,

para todo y ∈ R. Por ser f continua

f(x+ y)− f(y) = f

(lım

n→+∞xn y + x

)− f

(lım

n→+∞xn y

)= f(x)− f(0),


f(x+ y) = f(x) + f(y)− f(0)

para todo y ∈ R y 0 6= |x| < 1.

(ii) Si |x| > 1, tomando el limite cuando n → −∞ en la ecuacion (3.52) y por

ser f continua, se obtiene que

f(x+ y)− f(y) = f

(lım

n→−∞xn y + x

)− f

(lım

n→−∞xn y

)= f(x)− f(0),


f(x+ y) = f(x) + f(y)− f(0),

para todo y ∈ R y |x| > 1. De (i) y (ii), se concluye que

f(x+ y) = f(x) + f(y)− f(0), (3.53)

para todo x ∈ Rr {−1, 0, 1} y todo y ∈ R. Finalmente, se analiza los siguientes

casos:

• Si x = 0, satisface la ecuacion (3.53).

34

• Cuando x→ 1 en (3.53) y por ser f continua, se obtiene que

lımx→1

f(x+ y) = lımx→1

f(x) + f(y)− f(0)

f(1 + y) = f(1) + f(y)− f(0),

para todo y ∈ R.

• Cuando x→ −1 en (3.53) y por ser f continua, se obtiene que

lımx→−1

f(x+ y) = lımx→−1

f(x) + f(y)− f(0)

f(−1 + y) = f(−1) + f(y)− f(0),

para todo y ∈ R. Por tanto, se concluye que

f(x+ y) = f(x) + f(y)− f(0), (3.54)

para todo x, y ∈ R. Se define una funcion, A : R→ R por

A(x) := f(x)− f(0),

para todo x ∈ R. Entonces, la ecuacion (3.54) se transforma en

A(x+ y) = A(x) + A(y),

para todo x, y ∈ R. Como f es una funcion continua, entonces A es una funcion

continua y satisface las condiciones del Teorema 3.1.3. En consecuencia, existe

una constante a ∈ R tal que

A(x) = a x,

para todo x ∈ R. Entonces,

f(x) = a x+ b,

para todo x ∈ R, donde b = f(0) y a ∈ R.

35

3.3.1 Solucion General de Ecuacion funcional de Davison

En esta seccion se presenta la solucion general de la ecuacion funcional de Davi-

son, sin ninguna condicion de regularidad sobre la funcion. La solucion general

de (3.45) fue dada por Girgensohn y Lajko en el ano 2000.

Teorema 3.3.2. Sea la funcion f : R→ R que satisface la ecuacion funcional

f(xy)+f(x+y) = f(xy+x)+f(y), (3.45)

para todo x, y ∈ R si y solo si f es de la forma

f(x) = A(x) + b,

para todo x ∈ R, donde A : R→ R es una funcion aditiva1 y b es una constante

real.

Demostracion. En efecto, sustituyendo y por y + 1 en (3.45), se obtiene que

f(xy + x) + f(x+ y + 1) = f(xy + 2x) + f(y + 1), (3.55)

para todo x, y ∈ R. Sumando las ecuaciones (3.45) y (3.55), se tiene que

f(xy) + f(x+ y) + f(x+ y + 1) = f(y) + f(xy + 2x) + f(y + 1), (3.56)

para todo x, y ∈ R. Ahora, sustituyendo x porx

2y y por 2y en (3.56), se tiene

que

f(xy) + f(x

2+ 2y

)+ f

(x2

+ 2y + 1)

= f(2y) + f(xy + x) + f(2y + 1),

para todo x, y ∈ R. Restando la ecuacion anterior de (3.45), se obtiene que

1Una funcion real A es aditiva si satisface la ecuacion funcional A(x + y) = A(x) + A(y),para todo x, y ∈ R.

36

f(x

2+ 2y

)+ f

(x2

+ 2y + 1)− f(x+ y) = f(2y) + f(2y + 1)− f(y),

para todo x, y ∈ R. Finalmente, sustituyendo x por x−y en la ecuacion anterior,

se tiene que

f

(x

2+

3y

2

)+ f

(x

2+

3y

2+ 1

)= f(2y) + f(2y + 1)− f(y) + f(x),

para todo x, y ∈ R. Reemplazando y pory

3en la ecuacion anterior, se obtiene

que

f(x

2+y

2

)+ f

(x2

+y

2+ 1)

= f

(2y

3

)+ f

(2y

3+ 1

)− f

(y3

)+ f(x), (3.57)

para todo x, y ∈ R. Se define de la ecuacion (3.57), las siguientes funcionesA1(t) = f

(2t

3

)+ f

(2t

3+ 1

)− f

(t

3

),

A2(t) = f(t),

A3(t) = f

(t

2

)+ f

(t

2+ 1

),

(3.58)

para todo t ∈ R. Entonces, la ecuacion (3.57), se transforma en

A1(y) + A2(x) = A3(x+ y), (3.59)

para todo x, y ∈ R. La ecuacion (3.59) es una ecuacion de Pexider (ver el Capıtulo

8 de [7]), su solucion esta dada por:A1(t) = A(t) + a

A2(t) = A(t) + b

A3(t) = A(t) + a+ b,

(3.60)

para todo t ∈ R, donde A : R → R es una funcion aditiva y a, b ∈ R. Ahora,

Igualando la funcion A2 de (3.58) y (3.60), se obtiene que

f(t) = A(t) + b,

para todo t ∈ R, donde A es una funcion aditiva y b una constante real.

37

3.4 Ecuacion Funcional Cuadratica

Teorema 3.4.1 ([7]). Sea f : R → R una funcion que satisface la ecuacion

funcional

f(x+ y) + f(x− y) = 2 f(x) + 2 f(y), (3.61)

para todo x, y ∈ R. Entonces, f es una funcion racionalmente homogenea.2

Ademas, en el conjunto de los numeros racionales Q, la funcion f tiene la forma

f(r) = c r2,

para todo r ∈ Q, donde c es una constante real.

Demostracion. Sustituyendo x = 0 = y en la ecuacion (3.61), se tiene que

f(0) + f(0) = 2 f(0) + 2 f(0).

Ası, f(0) = 0.

Ahora, sustituyendo y por −y en (3.61), se tiene que

f(x− y) + f(x+ y) = 2 f(x) + 2 f(−y), (3.62)


��2f(x) + 2f(y) =��

��2f(x) + 2f(−y)

f(y) = f(−y),

para todo y ∈ R. Por tanto, f es una funcion par.

Se va probar que f es una funcion racionalmente homogenea de grado 2.

Se va construir una formula recursiva. Sea x ∈ R. Sustituyendo y = x en la

ecuacion (3.61), se obtiene que

f(x+ x) + f(x− x) = 2 f(x) + 2 f(x)

f(2x) = 4 f(x),


2Una funcion real f es racionalmente homogenea si y solo si f(r x) = r f(x), para todox ∈ R y todo numero racional r.

38

f(2x) = 4 f(x) = 22 f(x),

para todo x ∈ R. De igual manera, sustituyendo x por 2x y y = x en la ecuacion

(3.61), se tiene que

f(2x+ x) + f(2x− x) = 2 f(2x) + 2 f(x)

f(3x) = 8 f(x) + f(x)

f(3x) = 9 f(x),


f(3x) = 32 f(x),

para todo x ∈ R. Se va probar por induccion que

f(nx) = n2 f(x), (3.63)




f(k x) = k2 f(x), (3.64)

para todo x ∈ R. Para n = k+1, reemplazando x por kx y y = x en la ecuacion


f(kx+ x) + f(kx− x) = 2f(kx) + 2f(x)

f ((k + 1)x) + f ((k − 1)x) = 2 f(kx) + 2f(x)

f ((k + 1)x) + (k − 1)2f(x) = 2k2f(x) + 2f(x) por (3.64)

f ((k + 1)x) + k2f(x)− 2kf(x) + f(x) = 2k2f(x) + 2f(x),


f ((k + 1)x) = (k + 1)2f(x),


Ahora, se va suponer que n es un entero negativo, entonces −n es un entero

positivo. Como f es par, se obtiene que

39

f(nx) = f(−(−n)x)

= f(−nx)

= (−n)2 f(x) por (3.63)

= n2 f(x)


f(nx) = n2 f(x),

para todo x ∈ R y todo n entero negativo. De la ecuacion anterior y (3.63), se

concluye que

f(nx) = n2 f(x), (3.65)

para todo x ∈ R y todo n ∈ Z.

Sea r ∈ Q. Es decir,

r =m

n

r x =(mn

)x

n(r x) = mx,

donde m ∈ Z y n ∈ N. Entonces, utilizando (3.65), se tiene que

m2 f(x) = f(mx)

= f(n (r x))

= n2 f(r x),


f(rx) =m2

n2f(x) = r2f(x),

para todo x ∈ R. De lo cual, f es una funcion racionalmente homogenea de grado

2. Ademas, evaluando en x = 1 la ecuacion anterior, se obtiene que

f(r) = r2 f(1),

para todo r ∈ Q. Tomando c = f(1), entonces f(r) = c r2, para todo r ∈ Q.

40

Corolario 3.4.1. Sea f : R→ R una funcion continua, tal que

f(x+y)+f(x−y) = 2 f(x)+2 f(y), (3.61)


f(x) = c x2,

para todo x ∈ R.

Demostracion. Sea f una funcion continua que es la solucion de la ecuacion

(3.61).



lımn→∞

rn = x.

Ademas, f satisface la ecuacion (3.61) y por el Teorema 3.4.1, se obtiene que

f(rn) = c r2n,

para todo n ∈ N. Ahora, usando la continuidad de f , se concluye que

f(x) = f(

lımn→∞

rn

)= lım

n→∞f(rn)

= lımn→∞

c r2n

= c x2,

para todo x ∈ R. Por tanto, f(x) = c x2, para todo x ∈ R.

41

CAPITULO 4

ESTABILIDAD DE CIERTAS ECUACIONES

FUNCIONALES

Una caracterıstica importante de las ecuaciones funcionales es su estabilidad, que

se explica como un pequeno cambio en cierta formula o ecuacion aplicable para

modelar un proceso fısico, lo cual da lugar a un pequeno cambio en su solucion

correspondiente.

Para desarrollar este tema de la Teorıa de la Estabilidad se realiza la siguiente

pregunta: Dada una aplicacion f : R → R solucion de la ecuacion funcional de

Cauchy Aditiva (ver la Seccion 3.1) definida por f(x+y)−f(x)−f(y) = 0, para

todo x, y ∈ R. ¿Sea ε > 0, se tiene que |f(x+y)−f(x)−f(y)| ≤ ε, entonces existe

una funcion real q solucion de la ecuacion de Cauchy, tal que |f(x) − q(x)| ≤ δ

para f(x) conocido y algun δ > 0?. Este tipo de problemas es la Estabilidad de

una ecuacion funcional.

En 1940 S. M. Ulam formulo el siguiente problema. Dados un grupo G, un grupo

metrico (H, d) y un numero real positivo ε, entonces existe un δ > 0 tal que si

f : G→ H satisface

d(f(x y), f(x) f(y)) ≤ δ

para todo x, y ∈ G, entonces existe un homomorfismo φ : G→ H tal que

d(f(x), φ(x)) ≤ ε,

para todo x ∈ G?.

El problema de Ulam fue resuelto por D. H. Hyers (1941). Considerando que

X, Y son dos espacios de Banach, si f : X → Y y tomando δ = ε, entonces existe

una funcion φ : X → Y tal que

φ(x) = lımn→∞

f (2n x)

2n,

42

para todo x ∈ X. Ademas, P. M. Gruber (1978) con la informacion de Ulam

propuso: ¿Cambiando un poco la hipotesis de algun teorema uno puede todavıa

afirmar que la tesis del teorema sigue siendo verdad o es aproximadamente cierta?.

De lo cual, este tipo de problemas de estabilidad es de interes particular en la

Teorıa de Probabilidades.

4.1 Estabilidad en la ecuacion funcional de Cauchy

En esta seccion se probara la estabilidad de la ecuacion funcional de Cauchy

Aditiva que fue demostrada por Hyers en 1941 y es el primer resultado importante

de la teorıa de la estabilidad, la cual se origino a partir problema de Ulam.

Teorema 4.1.1 (Hyers [5]). Sea f : R→ R una funcion real tal que

| f(x+ y)− f(x)− f(y) | ≤ δ, (4.1)

para todo x, y ∈ R, donde δ > 0. Entonces, existe una unica funcion aditiva1

A : R→ R tal que

| f(x)− A(x) | ≤ δ,

para todo x ∈ R.

Demostracion. Sea f : R→ R una funcion real tal que

|f(x+ y)− f(x)− f(y)| ≤ δ

para todo x, y ∈ R, donde δ > 0.

Para realizar la demostracion del teorema, primero se dara la existencia de la

funcion A mediante la sucesion de Hyers, para lo cual se va probar que es una

sucesion de Cauchy, por ser R un espacio completo se da la existencia de A.

Ademas, se va probar que A es una funcion aditiva unica.

(i) En este ıtem, se va probar que la sucesion de Hyers{f(2nx)

2n

}∞n=1

es de Cauchy,

para cada x ∈ R fijo.


43

En efecto, sustituyendo y = x en (4.1), se tiene que

|f(2x)− 2f(x)| ≤ δ, (4.2)

para todo x ∈ R. Luego, sustituyendo x por 2k−1x, donde k ∈ N, se obtiene que

∣∣f (2kx)− 2f(2k−1x

)∣∣ ≤ δ,

para todo x ∈ R y todo k ∈ N. Multiplicando ambos lados de la desigualdad por1

2ky aplicando la suma hasta n ∈ N, se tiene que

n∑k=1

1

2k∣∣f (2kx)− 2f

(2k−1x

)∣∣ ≤ n∑k=1

1

2kδ,

para todo x ∈ R. Ası, utilizando la desigualdad triangular, se tiene que∣∣∣∣∣n∑k=1

(1

2kf(2kx)− 1

2k−1f(2k−1x

))∣∣∣∣∣ ≤n∑k=1

1

2kδ

para todo x ∈ R. Ademas, la parte izquierda es una suma telescopica, entonces∣∣∣∣ 1

2nf (2nx)− f (x)

∣∣∣∣ ≤ δ

(1− 1

2n

), (4.3)

para todo x ∈ R y n ∈ N. Se va probar por induccion que (4.3), se cumple para

todo n ∈ N.



∣∣∣∣ 1

2kf(2k x

)− f (x)

∣∣∣∣ ≤ δ

(1− 1

2k

), (4.4)

para todo x ∈ R. Para n = k + 1, sustituyendo x por 2x en (4.4), se obtiene que∣∣∣∣ 1

2kf(2k+1 x

)− f (2x)

∣∣∣∣ ≤ δ

(1− 1

2k

),

para todo x ∈ R. Sumando la desigualdad anterior y (4.2), se tiene que∣∣∣∣ 1

2kf(2k+1 x

)− f (2x)

∣∣∣∣+ |f(2x)− 2 f(x)| ≤ δ

(1− 1

2k

)+ δ,

44

para todo x ∈ R. Ası, utilizando la desigualdad triangular, se tiene que∣∣∣∣ 1

2kf(2k+1 x

)− 2 f (x)

∣∣∣∣ ≤ δ

(2− 1

2k

),

para todo x ∈ R. Multiplicando ambos lados de la desigualdad por1

2, se obtiene

que ∣∣∣∣ 1

2k+1f(2k+1 x

)− f (x)

∣∣∣∣ ≤ δ

(1− 1

2k+1

),

para todo x ∈ R. Por tanto, se ha demostrado que∣∣∣∣ 1

2nf (2nx)− f (x)

∣∣∣∣ ≤ δ

(1− 1

2n

),

para todo x ∈ R y todo n ∈ N.

Si n > m > 0, entonces n−m es un numero natural. Sustituyendo n por n−m

en (4.3), se obtiene que∣∣∣∣f (2n−mx)

2n−m− f (x)

∣∣∣∣ ≤ δ

(1− 1

2n−m

),

para todo x ∈ R. Multiplicando ambos lados por1

2my sustituyendo x por 2m x,

se tiene que ∣∣∣∣f (2nx)

2n− f (2mx)

2m

∣∣∣∣ ≤ δ

(1

2m− 1

2n

), (4.5)

para todo x ∈ R. Como(

12m

)m∈N es una sucesion convergente, entonces

(12m

)m∈N

es una sucesion de Cauchy en R.

De (4.5), se concluye que{f(2nx)

2n

}∞n=1

es una sucesion de Cauchy en R. Como R

es un espacio completo, entonces existe el lımite de la sucesion Hyers.

Se define una funcion, A : R→ R tal que

A(x) := lımn→∞

f(2nx)

2n, (4.6)

para todo x ∈ R.

(ii) En este ıtem, se va probar que la funcion A definida en (4.6) es aditiva.

En efecto,

45

|A(x+ y)− A(x)− A(y)| =∣∣∣∣ lımn→∞

f (2n(x+ y))

2n− lım

n→∞

f(2nx)

2n− lım

n→∞

f(2ny)

2n

∣∣∣∣ ,para todo x, y ∈ R. Como los limites existen, se tiene que

|A(x+ y)− A(x)− A(y)| =

∣∣∣∣ lımn→∞

1

2n[f (2n(x+ y))− f(2nx)− f(2ny)]

∣∣∣∣= lım

n→∞

1

2n|f (2n(x+ y))− f(2nx)− f(2ny)|

≤ lımn→∞

δ

2npor (4.1)

= 0,

para todo x, y ∈ R. Entonces,

A(x+ y)− A(x)− A(y) = 0,


A(x+ y) = A(x) + A(y),

para todo x, y ∈ R. Por tanto, A es una funcion aditiva.

(iii) Ahora, se va probar que

|A(x)− f(x)| ≤ δ,

para todo x ∈ R. En efecto,

|A(x)− f(x)| =

∣∣∣∣ lımn→∞

f(2nx)

2n− f(x)

∣∣∣∣= lım

n→∞

∣∣∣∣f(2nx)

2n− f(x)

∣∣∣∣≤ lım

n→∞δ

(1− 1

2n

)por (4.3)

= δ,

para todo x ∈ R. Por tanto, se ha demostrado que

|A(x)− f(x)| ≤ δ,

46

para todo x ∈ R. Por tanto,

|A(x)−B(x)| ≤ 0,


A(x) = B(x),

para todo x ∈ R. De lo cual, es una contradiccion con la suposicion, se concluye

que A es la unica funcion real aditiva.

Observacion 1: En general la demostracion del Teorema 4.1.1, se puede realizar

para funciones f : E1 → E2 , donde (E1, ||.||1) es un espacio normado y (E2, ||.||2)

es un espacio de Banach.

Observacion 2: Cualquier resultado similar al Teorema 4.1.1, se llama la estabi-

lidad Hyers-Ulam correspondiente a una ecuacion funcional, ademas la sucesion{f(2nx)

2n

}es llamada la sucesion de Hyers-Ulam.

4.1.1 Generalizacion del Teorema de Hyers

Se presenta la generalizacion del Teorema 4.1.1 de Hyers, la generalizacion del

Teorema fue demostrado por Rassias (1978). Ademas, el teorema genero aportes

en la teorıa de la estabilidad de ecuaciones funcionales.

Teorema 4.1.2 ([8]). Sea f : R→ R una funcion real tal que

|f(x+ y)− f(x)− f(y)| ≤ δ (|x|p + |y|p) , (4.7)

para todo x, y ∈ R, donde δ > 0, y p ∈ [0, 1). Entonces, existe una unica funcion

aditiva2 A : R→ R tal que

|f(x)− A(x)| ≤ 2δ

2− 2p|x|p ,

para todo x ∈ R.2Una funcion real A es aditiva si satisface la ecuacion funcional A(x + y) = A(x) + A(y),


48

Demostracion. Sea f : R→ R una funcion real que satisface

|f(x+ y)− f(x)− f(y)| ≤ δ (|x|p + |y|p)

para todo x, y ∈ R, donde δ > 0 y p ∈ [0, 1).




Ademas, se va probar que A es una funcion aditiva unica.

(i) En este ıtem, se va probar que la sucesion de Hyers{f(2nx)

2n

}∞n=1

es de Cauchy,


En efecto, sustituyendo y = x en (4.7), se tiene que

|f(2x)− 2f(x)| ≤ 2δ |x|p, (4.8)

para todo x ∈ R. Luego, sustituyendo x por 2k−1 x, donde k ∈ N, se obtiene que

|f(2k x)− 2 f(2k−1 x)| ≤ 2kp−p+1 δ |x|p,



n∑k=1

1

2k|f(2k x)− 2 f(2k−1 x)| ≤ δ|x|p

n∑k=1

2kp−p+1

2k,


(1

2kf(2k x)− 1

2k−1f(2k−1 x)

)∣∣∣∣∣ ≤ 21−p δ |x|pn∑k=1

2k (p−1),

para todo x ∈ R. Ademas, la parte izquierda es una suma telescopica, entonces

∣∣∣∣ 1

2nf(2nx)− f(x)

∣∣∣∣ ≤ 21−p δ |x|pn∑k=1

2k(p−1), (4.9)

para todo x, y ∈ R y n ∈ N. Considerando

n∑k=1

2k(p−1) ≤∞∑k=1

2k(p−1) =∞∑k=1

(1

21−p

)k,

49

donde p ∈ [0, 1). Como 2p−1 < 1, entonces la serie es convergente. Sustituyendo

en la desigualdad (4.9), se tiene que

∣∣∣∣ 1

2nf(2nx)− f(x)

∣∣∣∣ ≤ 21−p δ|x|p∞∑k=1

2k(p−1)

para todo x ∈ R. Ademas, el lado derecho es una serie geometrica, dado que

p ∈ [0, 1). Entonces, ∣∣∣∣ 1

2nf(2n x)− f(x)

∣∣∣∣ ≤ 2δ

2− 2p|x|p (4.10)

para todo x ∈ R y n ∈ N. Se va probar por induccion que (4.10), se cumple para

todo n ∈ N.



∣∣∣∣ 1

2kf(2k x

)− f (x)

∣∣∣∣ ≤ 2δ

2− 2p|x|p, (4.11)

para todo x ∈ R. Para n = k+ 1, sustituyendo x por 2x en (4.11), se obtiene que∣∣∣∣ 1

2kf(2k+1 x

)− f (2x)

∣∣∣∣ ≤ 2δ

2− 2p|2x|p,

para todo x ∈ R. Sumando la desigualdad anterior y (4.8), se tiene que∣∣∣∣ 1

2kf(2k+1 x

)− f (2x)

∣∣∣∣+ |f(2x)− 2 f(x)| ≤ 2δ

2− 2p2p |x|p + 2 δ |x|p,

para todo x ∈ R. Ası, utilizando la desigualdad triangular, se tiene que∣∣∣∣ 1

2kf(2k+1 x

)− 2 f (x)

∣∣∣∣ ≤ 4δ

2− 2p|x|p,

para todo x ∈ R. Multiplicando ambos lados de la desigualdad por1

2, se obtiene

que ∣∣∣∣ 1

2k+1f(2k+1 x

)− f (x)

∣∣∣∣ ≤ 2δ

2− 2p|x|p,

50

para todo x ∈ R. Por tanto, se ha demostrado que∣∣∣∣ 1

2nf (2nx)− f (x)

∣∣∣∣ ≤ 2δ

2− 2p|x|p,


Si m > n > 0, entonces m− n es un numero natural. Sustituyendo n por m− n

en (4.10), se obtiene que∣∣∣∣ 1

2m−nf(2m−n x)− f(x)

∣∣∣∣ ≤ 2 δ

2− 2p|x|p,


2ny sustituyendo x por 2n x,

se tiene que ∣∣∣∣ 1

2mf(2m x)− 1

2nf(2n x)

∣∣∣∣ ≤ 1

2n

(2 δ

2− 2p

)|2nx|p,

para todo x ∈ R. Ası,∣∣∣∣ 1

2mf(2m x)− 1

2nf(2n x)

∣∣∣∣ ≤ 2n(p−1)(

2 δ

2− 2p

)|x|p, (4.12)

para todo x ∈ R. Ahora, {2n(p−1)}n∈N es una sucesion convergente, dado que

p ∈ [0, 1) . Entonces, {2n(p−1)}n∈N es una sucesion de Cauchy en R.

De (4.12), se concluye que{f(2n x)

2n

}∞n=1

es una sucesion de Cauchy en R. Como

R es un espacio completo, entonces existe el limite de la sucesion de Hyers. Se

define una funcion, A : R→ R tal que

A(x) := lımn→∞

f(2n x)

2n, (4.13)

para todo x ∈ R.


En efecto,

|A(x+ y)−A(x)−A(y)| =∣∣∣∣ lımn→∞

f(2n(x+ y))

2n− lım

n→∞

f(2n(x))

2n− lım

n→∞

f(2n(y))

2n

∣∣∣∣

51

para todo x, y ∈ R. Como los limites existen, se tiene que

|A(x+ y)− A(x)− A(y)| = lımn→∞

1

2n|f(2n x+ 2n y)− f(2n x)− f(2n y)|

≤ lımn→∞

δ (|2n x|p + |2n y|p)2n

por (4.7)

= lımn→∞

δ (|x|p + |y|p)2n(1−p)

= 0,

para todo x, y ∈ R, donde p ∈ [0, 1) . Entonces,

A(x+ y)− A(x)− A(y) = 0,


A(x+ y) = A(x) + A(y),



|f(x)− A(x)| ≤ 2 δ

2− 2p|x|p


|A(x)− f(x)| =

∣∣∣∣ lımn→∞

f(2n x)

2n− f(x)

∣∣∣∣= lım

n→∞

∣∣∣∣f(2n x)

2n− f(x)

∣∣∣∣≤ lım

n→∞

2 δ

2− 2p|x|p, por (4.10)


|A(x)− f(x)| ≤ 2 δ

2− 2p|x|p,

para todo x ∈ R.



52


|B(x)− f(x)| ≤ 2δ

2− 2p|x|p,


|B(x)− A(x)| = |B(x)− f(x) + f(x)− A(x)|

≤ |B(x)− f(x)|+ |A(x)− f(x)|

≤ 2δ

2− 2p|x|p +

2δ

2− 2p|x|p

=4δ

2− 2p|x|p,


|B(x)− A(x)| ≤ 4δ

2− 2p|x|p,

para todo x ∈ R. Como A y B son funciones aditivas, se obtiene que

|A(x)−B(x)| =

∣∣∣∣nA(x)

n− nB(x)

n

∣∣∣∣=

∣∣∣∣A(nx)

n− B(nx)

n

∣∣∣∣=

1

n|A(nx)−B(nx)|

≤ 1

n· 4δ

2− 2p|x|p,


|A(x)−B(x)| ≤ 1

n· 4δ

2− 2p|x|p,

para todo x ∈ R. Tomando el limite cuando n → ∞ en ambos lados, se obtiene

que


|A(x)−B(x)|

≤ lımn→∞

1

n· 4δ

2− 2p|x|p

= 0,

53


|A(x)−B(x)| ≤ 0,


A(x) = B(x),



4.2 Estabilidad de la ecuacion funcional cuadratica

En esta seccion se estudiara la estabilidad del tipo Hyers-Ulam para la ecuacion

funcional cuadratica. El siguiente teorema se debe al aporte de Skof (1983).

Teorema 4.2.1. Sea f : R→ R una funcion real que satisface la desigualdad

|f(x+ y) + f(x− y)− 2 f(x)− 2 f(y)| ≤ δ, (4.14)

para todo x, y ∈ R, donde δ > 0. Entonces, existe una unica funcion cuadratica3

q : R→ R tal que

|f(x)− q(x)| ≤ δ

2,

para todo x ∈ R.

Demostracion. Sea f : R→ R una funcion que satisface

|f(x+ y) + f(x− y)− 2 f(x)− 2 f(y)| ≤ δ,



funcion q mediante la sucesion{f(2n x)22n

}∞n=1

, para lo cual se va probar que es

una sucesion de Cauchy, por ser R un espacio completo se da la existencia de q.

Ademas, se probara que q es una funcion cuadratica unica.

3Una funcion real q es cuadratica si satisface la ecuacion funcional q(x + y) + q(x − y) =2 q(x) + 2 q(y) para todo x, y ∈ R.

54

(i) En este ıtem, se va probar que la sucesion{f(2n x)22n

}∞n=1

es de Cauchy, para

cada x ∈ R fijo.

En efecto, sustituyendo x = 0 = y en (4.14), se tiene que

|f(0) + f(0)− 2f(0)− 2f(0)| ≤ δ

| − 2 f(0)| ≤ δ.

Ası,

|f(0)| ≤ δ

2. (4.15)

Ademas, sustituyendo y = x en (4.14), se obtiene que

|f(2x) + f(0)− 4 f(x)| ≤ δ

|(4 f(x)− f(2x))− f(0)| ≤ δ,

para todo x ∈ R. Ası, utilizando la desigualdad | |x| − |y| | ≤ |x− y|, se tiene que

|f(2x)− 4 f(x)| − |f(0)| ≤ δ

|f(2x)− 22 f(x)| ≤ δ + |f(0)|,

para todo x ∈ R. Entonces, por (4.15),

|f(2x)− 22 f(x)| ≤ 3

2δ,

para todo x ∈ R. Luego, sustituyendo x por 2k−1 x, donde k ∈ N, se obtiene que

∣∣f (2k x)− 22 f(2k−1 x

)∣∣ ≤ 3

2δ,



n∑k=1

1

22k

∣∣f (2k x)− 22 f(2k−1 x

)∣∣ ≤ n∑k=1

3

2δ

(1

22k

),

55


(1

22kf(2k x

)− 1

22(k−1) f(2k−1 x

))∣∣∣∣∣ ≤ 3

2δ

n∑k=1

(1

4

)k,

para todo x ∈ R. Ademas, la parte izquierda es una suma telescopica. Entonces,

∣∣∣∣ 1

22nf(2n x)− f(x)

∣∣∣∣ ≤ 3

2δ

n∑k=1

(1

4

)k, (4.16)

para todo x ∈ R y n ∈ N. Considerando

n∑k=1

(1

4

)k≤

∞∑k=1

(1

4

)k.

Como 14< 1, entonces la serie es convergente. Sustituyendo en la desigualdad

(4.16), se tiene que

∣∣∣∣ 1

22nf(2n x)− f(x)

∣∣∣∣ ≤ 3

2δ∞∑k=1

(1

4

)k

para todo x ∈ R. Ademas, el lado derecho es una serie geometrica, se tiene que∣∣∣∣ 1

22nf(2n x)− f(x)

∣∣∣∣ ≤ δ

2(4.17)



en (4.17), se obtiene que∣∣∣∣ 1

22(m−n) f(2m−n x)− f(x)

∣∣∣∣ ≤ δ

2


22ny sustituyendo x por 2n x,

se tiene que ∣∣∣∣ 1

22mf(2m x)− 1

22nf(2n x)

∣∣∣∣ ≤ δ

22n+1. (4.18)

Ahora,{

122n+1

}n∈N es una sucesion convergente, entonces

{1

22n+1

}n∈N es una su-

cesion de Cauchy en R.

56

De (4.18), se concluye que{f(2n x)22n

}∞n=1

es una sucesion de Cauchy en R. Como

R es un espacio completo, entonces existe el limite de la sucesion.

Se define una funcion, q : R→ R tal que

q(x) = lımn→∞

f(2n x)

22n, (4.19)

para todo x ∈ R.

(ii) En este ıtem, se va probar que la funcion q definida en (4.19) es cuadratica.

En efecto,

|q(x+ y) + q(x− y)− 2 q(x)− 2 q(y)|

=

∣∣∣∣ lımn→∞

f(2n (x+ y))

22n+ lım

n→∞

f(2n (x− y))

22n− 2 lım

n→∞

f(2n x)

22n− 2 lım

n→∞

f(2n y)

22n

∣∣∣∣ ,para todo x, y ∈ R. Como los limites existen, se tiene que

|q(x+ y) + q(x− y)− 2 q(x)− 2 q(y)|

= lımn→∞

1

22n|f(2nx+ 2ny) + f(2nx− 2ny)− 2f(2nx)− 2f(2ny)|

= lımn→∞

δ

22npor (4.14)

= 0,


q(x+ y) + q(x− y)− 2 q(x)− 2 q(y) = 0,


q(x+ y) + q(x− y) = 2 q(x) + 2 q(y),

para todo x, y ∈ R. Por tanto, q es una funcion cuadratica.


|q(x)− f(x)| ≤ δ

2,

57

|s(x)− q(x)| =

∣∣∣∣n2 s(x)

n2− n2 q(x)

n2

∣∣∣∣=

∣∣∣∣s(nx)

n2− q(nx)

n2

∣∣∣∣=

1

n2|s(nx)− q(nx)|

≤ δ

n2,


|s(x)− q(x)| ≤ δ

n2,

para todo x ∈ R. Tomando el limite cuando n → ∞ en ambos lados, se obtiene

que

|s(x)− q(x)| = lımn→∞

|s(x)− q(x)|

≤ lımn→∞

δ

n2

= 0,


|s(x)− q(x)| ≤ 0,


s(x) = q(x),


que q es la unica funcion cuadratica.

Observacion 1: En general la demostracion del Teorema 4.2.1, se puede realizar

para funciones f : E1 → E2 , donde (E1, ||.||1) es un espacio normado y (E2, ||.||2)

es un espacio de Banach.

59

4.3 Estabilidad de la ecuacion funcional de Davison

En esta seccion se estudiara la estabilidad del tipo Hyers-Ulam para la ecuacion

funcional de Davison que fue tratada por primera vez por Jung y Sahoo (1999).


|f(xy) + f(x+ y)− f(x y + x)− f(y)| ≤ δ, (4.20)

para todo x, y ∈ R, donde δ > 0. Entonces, existe una funcion aditiva4 A : R→ R

y una constante b ∈ R tal que

|f(x)− A(x)− b| ≤ 12 δ,

para todo x ∈ R.


|f(xy) + f(x+ y)− f(x y + x)− f(y)| ≤ δ,


En efecto, sustituyendo y por y + 1 en (4.20), se obtiene que

|f(xy + x) + f(x+ y + 1)− f(xy + 2x)− f(y + 1)| ≤ δ, (4.21)

para todo x, y ∈ R. Luego, sumando las desigualdades (4.20) y (4.21), se tiene

que

|f(xy + x) + f(x+ y + 1)− f(xy + 2x)− f(y + 1)|

+ |f(xy) + f(x+ y)− f(x y + x)− f(y)|

≤ δ + δ,

para todo x, y ∈ R. Ası, utilizando la desigualdad triangular, se tiene que

|f(x+ y + 1)− f(xy + 2x)− f(y + 1) + f(xy) + f(x+ y)− f(y)| ≤ 2 δ,


60

para todo x, y ∈ R. Sustituyendo x porx

2y y por 2y en la desigualdad anterior,

se obtiene que

∣∣∣f (x2

+ 2y + 1)− f(xy + x)− f(2y + 1) + f(xy) + f

(x2

+ 2y)− f(2y)

∣∣∣ ≤ 2 δ,

para todo x, y ∈ R. Ademas, sumando (4.20) y la desigualdad anterior , se tiene

que ∣∣∣f (x2

+ 2y + 1)− f(xy + x)− f(2y + 1) + f(xy) + f

(x2

+ 2y)− f(2y)

∣∣∣+ |f(x y + x) + f(y)− f(xy)− f(x+ y)|

≤ 2 δ + δ,


∣∣∣f (x2

+ 2y + 1)− f(2y + 1) + f

(x2

+ 2y)− f(2y)− f(x+ y) + f(y)

∣∣∣ ≤ 3 δ,

para todo x, y ∈ R. Sustituyendo x por x−y en la desigualdad anterior, se obtiene

que∣∣∣∣f (x2 +3y

2+ 1

)− f(2y + 1) + f

(x

2+

3y

2

)− f(2y)− f(x) + f(y)

∣∣∣∣ ≤ 3 δ,

para todo x, y ∈ R. Finalmente, sustituyendo y pory

3en desigualdad anterior,

se tiene que∣∣∣∣(f (x2 +y

2

)+ f

(x2

+y

2+ 1))−(f

(2y

3

)+ f

(2y

3+ 1

)− f

(y3

))− f(x)

∣∣∣∣ ≤ 3 δ,

(4.22)

para todo x, y ∈ R. Se define las funciones g, h : R→ R tal queg(x) := f

(2x

3

)+ f

(2x

3+ 1

)− f

(x3

),

h(x) := f(x

2

)+ f

(x2

+ 1),

para todo t ∈ R. Entonces, la desigualdad (4.22) se transforma en

|h(x+ y)− f(x)− g(y)| ≤ 3 δ, (4.23)

61

4.3.1 Generalizacion de la estabilidad de la ecuacion fun-

cional de Davison

En esta seccion se generaliza la estabilidad de la ecuacion funcional de Davison

y en la demostracion se utilizara la idea de la estabilidad del tipo Hyers-Ulam-

Rassias. Ademas, este teorema es un mejor resultado del Teorema 4.3.1.

Sea φ : R× R→ [0,∞) una funcion dada por

Φ(x, y) :=∞∑i=0

2−i ϕ(2i x, 2i y

)<∞, (4.29)

para todo x, y ∈ R, donde

ϕ(x, y) := φ(6x− 2y, 2y) + φ(3x− y, 4y) + φ(3x− y, 4y + 1), (4.30)



|f(xy) + f(x+ y)− f(xy + x)− f(y)| ≤ φ(x, y), (4.31)

para todo x, y ∈ R. Entonces, existe una unica funcion aditiva5 A : R → R tal

que

|f(6x)− A(x)− f(0)| ≤ 1

2Φ(x,−x) +

1

2Φ(x, 0) +

1

2Φ(2x,−x),

para todo x ∈ R.


|f(xy) + f(x+ y)− f(xy + x)− f(y)| ≤ φ(x, y),





64


Ademas, se probara que A es una funcion aditiva unica.

(i) En este ıtem, se va probar que la sucesion de Hyers{g(2n·6x)

2n

}∞n=1

es de Cauchy,


En efecto, se define una funcion g : R→ R tal que

g(x) := f(x)− f(0), (4.32)

para todo x ∈ R, donde g(0) = 0. Entonces, la desigualdad (4.31), se transforma

en

|g(xy) + g(x+ y)− g(xy + x)− g(y)| ≤ φ(x, y), (4.33)

para todo x, y ∈ R. Sustituyendo y por y + 1 en (4.31), se obtiene que

|g(xy + x) + g(x+ y + 1)− g(xy + 2x)− g(y + 1)| ≤ φ(x, y + 1), (4.34)

para todo x, y ∈ R. Ahora, sumando las desigualdades (4.33) y (4.34), se tiene

que

|g(xy) + g(x+ y)− g(xy + x)− g(y)|

+ |g(xy + x) + g(x+ y + 1)− g(xy + 2x)− g(y + 1)|

≤ φ(x, y) + φ(x, y + 1),


|g(xy) + g(x+ y)− g(y) + g(x+ y + 1)− g(xy + 2x)− g(y + 1)|

≤ φ(x, y) + φ(x, y + 1),

para todo x, y ∈ R. Sustituyendo y por 4y en la desigualdad anterior, se obtiene

que

|g(4xy) + g(x+ 4y) + g(x+ 4y + 1)− g(4y)− g(4xy + 2x)− g(4y + 1)|

≤ φ(x, 4y) + φ(x, 4y + 1), (4.35)

65

para todo x, y ∈ R. Sustituyendo x por 2x y y por 2y en (4.31), se tiene que

|g(4xy) + g(2x+ 2y)− g(4xy + 2x)− g(2y)| ≤ φ(2x, 2y), (4.36)

para todo x, y ∈ R. Sumando las desigualdades (4.35) y (4.36), se obtiene que

|g(4xy) + g(x+ 4y) + g(x+ 4y + 1)− g(4y)− g(4xy + 2x)− g(4y + 1)|

+|g(4xy + 2x) + g(2y)− g(4xy)− g(2x+ 2y)|

≤ φ(x, 4y) + φ(x, 4y + 1) + φ(2x, 2y),


|g(x+ 4y) + g(x+ 4y + 1)− g(4y)− g(4y + 1) + g(2y)− g(2x+ 2y)|

≤ φ(x, 4y) + φ(x, 4y + 1) + φ(2x, 2y),

para todo x, y ∈ R. Sustituyendo x por 3x − y en la anterior desigualdad, se

obtiene que

|g(3x+ 3y) + g(3x+ 3y + 1)− g(4y)− g(4y + 1) + g(2y)− g(6x)|

≤ φ(3x− y, 4y) + φ(3x− y, 4y + 1) + φ(6x− 2y, 2y),

para todo x, y ∈ R. Ası, utilizando (4.30), se tiene que

|g(3x+3y)+g(3x+3y+1)−g(4y)−g(4y+1)+g(2y)−g(6x)| ≤ ϕ(x, y), (4.37)

para todo x, y ∈ R. Se va construir una formula recursiva, utilizando algunas

desigualdades de (4.37) y que g(0) = 0, se obtiene que

| − g(1) + g(−4x) + g(−4x+ 1)− g(−2x) + g(6x)|

+ | − g(3x)− g(3x+ 1) + g(1) + g(6x)|

+ |g(3x) + g(3x+ 1)− g(−4x)− g(−4x+ 1) + g(−2x)− g(12x)|

≤ ϕ(x,−x) + ϕ(x, 0) + ϕ(2x,−x),


|2 g(6x)− g(12x)| ≤ ϕ(x,−x) + ϕ(x, 0) + ϕ(2x,−x), (4.38)

66


|2n g(6x)− g (2n · 6x)|

≤n−1∑i=0

2n−1−i[ϕ(2ix,−2ix

)+ ϕ

(2ix, 0

)+ ϕ

(2i+1x,−2ix

)], (4.39)


Sea x ∈ R. Para n = 1 es verdadero por (4.38).

Para n = k ∈ N, se supone que es verdadero tal que∣∣2k g(6x)− g(2k · 6x

)∣∣≤

k−1∑i=0

2k−1−i[ϕ(2ix,−2ix

)+ ϕ

(2ix, 0

)+ ϕ

(2i+1x,−2ix

)], (4.40)

para todo x ∈ R. Para n = k + 1,∣∣2k+1g(6x)− g(2k+1 6x

)∣∣ =∣∣2k+1g(6x)− 2 g(2k 6x) + 2 g(2k 6x)− g

(2k+1 6x

)∣∣≤ 2

∣∣2k g(6x)− g(2k 6x

)∣∣+∣∣2 g(2k 6x)− g

(2k+1 6x

)∣∣≤

k∑i=0

2k−i[ϕ(2ix,−2ix

)+ ϕ

(2ix, 0

)+ ϕ

(2i+1x,−2ix

)]. por (4.40), (4.38)



en (4.39), se obtiene que

∣∣2m−n g(6x)− g(2m−n · 6x

)∣∣≤

m−n−1∑i=0

2m−n−1−i[ϕ(2ix,−2ix

)+ ϕ

(2ix, 0

)+ ϕ

(2i+1x,−2ix

)].


2my sustituyendo x por 2n x,

se tiene que

∣∣2−ng (2n · 6x)− 2−mg (2m · 6x)∣∣

≤m−n−1∑i=0

2−n−i−1[ϕ(2i+nx,−2i+nx

)+ ϕ

(2i+nx, 0

)+ ϕ

(2i+n+1x,−2i+nx

)]=

m−1∑j=n

2−(j+1)[ϕ(2jx,−2jx

)+ ϕ

(2jx, 0

)+ ϕ

(2j+1x,−2jx

)], (4.41)

67

para todo x ∈ R. Tomando el limite cuando n→∞ en la parte derecha de (4.41)

y sustituyendo m = n+ p, se obtiene que

lımn→∞

n+p−1∑j=n

2−(j+1)[ϕ(2jx,−2jx

)+ ϕ

(2jx, 0

)+ ϕ

(2j+1x,−2jx

)]= 0,

para todo x ∈ R, dado por (4.29)

Por tanto, se concluye que{g(2n·6x)

2n

}∞n=1

es una sucesion de Cauchy en R.

Como R es un espacio completo, entonces existe el limite de la sucesion de Hyers.

Se define una funcion, A : R→ R tal que

A(x) = lımn→∞

g (2n · 6x)

2n. (4.42)

para todo x ∈ R.


En efecto, utilizando algunas desigualdades de (4.37), se obtiene que

| − g(3y)− g(3y + 1) + g(−4x) + g(−4x+ 1)− g(−2x) + g(6x+ 6y)|

+ | − g(3x)− g(3x+ 1) + g(−4y) + g(−4y + 1)− g(−2y) + g(6x+ 6y)|

+ |g(3y) + g(3y + 1)− g(−4y)− g(−4y + 1) + g(−2y)− g(12y)|

+ |g(3x) + g(3x+ 1)− g(−4x)− g(−4x+ 1) + g(−2x)− g(12x)|

≤ ϕ(x+ y,−x) + ϕ(x+ y,−y) + ϕ(2y,−y) + ϕ(2x,−x),


|2 g(6x+ 6y)− g(12x)− g(12y)|

≤ ϕ(x+ y,−x) + ϕ(x+ y,−y) + ϕ(2y,−y) + ϕ(2x,−x),

para todo x, y ∈ R. Multiplicando ambos lados por1

2ny sustituyendo x por

2n−1 x y y por 2n−1 y, se tiene que

68

∣∣∣∣g (2n−1 · 6(x+ y))

2n−1− g (2n · 6x)

2n− g (2n · 6y)

2n

∣∣∣∣≤ 1

2n[ϕ(2n−1(x+ y),−2n−1 x

)+ ϕ

(2n−1(x+ y),−2n y

)+ ϕ

(2n y,−2n−1 y

)+ϕ(2n x,−2n−1 x

)],

para todo x, y ∈ R. Tomando el limite cuando n→∞ en ambos lados, se obtiene

que

lımn→∞

∣∣∣∣g (2n−1 · 6(x+ y))

2n−1− g (2n · 6x)

2n− g (2n · 6y)

2n

∣∣∣∣≤ lım

n→∞

1

2n[ϕ(2n−1(x+ y),−2n−1 x

)+ ϕ

(2n−1(x+ y),−2n y

)+ ϕ

(2n y,−2n−1 y

)+ϕ(2n x,−2n−1 x

)]= 0, por (4.29) (4.43)

para todo x, y ∈ R. Como los limites existen por (4.42), se tiene que

|A(x+ y)− A(x)− A(y)|

=

∣∣∣∣ lımn→∞

g (2n−1 · 6(x+ y))

2n−1− lım

n→∞

g (2n · 6x)

2n− lım

n→∞

g (2n · 6y)

2n

∣∣∣∣= lım

n→∞

∣∣∣∣g (2n−1 · 6(x+ y))

2n−1− g (2n · 6x)

2n− g (2n · 6y)

2n

∣∣∣∣≤ 0, por (4.43)


A(x+ y)− A(x)− A(y) = 0,


A(x+ y) = A(x) + A(y),


69


|f(6x)− A(x)− f(0)| ≤ 1

2Φ(x,−x) +

1

2Φ(x, 0) +

1

2Φ(2x,−x),


|f(6x)− A(x)− f(0)| = |f(6x)− f(0)− A(x)|

= |g(6x)− A(x)| por (4.32)

=

∣∣∣∣g(6x)− lımn→∞

g (2n · 6x)

2n

∣∣∣∣= lım

n→∞

1

2n|2n g(6x)− g (2n · 6x)| ,

para todo x ∈ R. Ası, utilizando (4.39), se tiene que

|f(6x)− A(x)− f(0)|

≤ lımn→∞

1

2n

n−1∑i=0

2n−1−i[ϕ(2ix,−2ix

)+ ϕ

(2ix, 0

)+ ϕ

(2i+1x,−2ix

)]=

∞∑i=0

2−(i+1)[ϕ(2ix,−2ix

)+ ϕ

(2ix, 0

)+ ϕ

(2i+1x,−2ix

)]=

1

2

[∞∑i=0

2−i ϕ(2ix,−2ix

)+∞∑i=0

2−i ϕ(2ix, 0

)+∞∑i=0

2−i ϕ(2i+1x,−2ix

)]=

1

2[Φ(x,−x) + Φ(x, 0) + Φ(2x,−x)] , por (4.29)


|f(6x)− A(x)− f(0)| ≤ 1

2Φ(x,−x) +

1

2Φ(x, 0) +

1

2Φ(2x,−x),

para todo x ∈ R.




|f(6x)−B(x)− f(0)| ≤ 1

2Φ(x,−x) +

1

2Φ(x, 0) +

1

2Φ(2x,−x),


70

|A(x)−B(x)| = |A(x)− f(6x) + f(0)−B(x) + f(6x)− f(0)|

≤ |f(6x)− A(x)− f(0)|+ |f(6x)−B(x)− f(0)|

≤ Φ(x,−x) + Φ(x, 0) + Φ(2x,−x)


|A(x)−B(x)| ≤ Φ(x,−x) + Φ(x, 0) + Φ(2x,−x), (4.44)

para todo x ∈ R. Como A y B son funciones aditivas, se obtiene que

|A(x)−B(x)| =

∣∣∣∣A (2n x)

2n− B (2n x)

2n

∣∣∣∣=

1

2n|A (2n x)−B (2n x)|

≤ 1

2n[Φ(2n x,−2n x) + Φ(2n x, 0) + Φ(2n+1 x,−2n x)

], por (4.44)

para todo x ∈ R. Ası, utilizando (4.29), se tiene que

|A(x)−B(x)|

≤ 1

2n

∞∑i=0

2−i[ϕ(2i+nx,−2i+nx

)+ ϕ

(2i+nx, 0

)+ ϕ

(2i+n+1x,−2i+nx

)]=

1

2n

∞∑j=n

2−j+n[ϕ(2jx,−2jx

)+ ϕ

(2jx, 0

)+ ϕ

(2j+1x,−2jx

)]=

∞∑j=n

2−j[ϕ(2jx,−2jx

)+ ϕ

(2jx, 0

)+ ϕ

(2j+1x,−2jx

)],


|A(x)−B(x)| ≤∞∑j=n

2−j[ϕ(2jx,−2jx

)+ ϕ

(2jx, 0

)+ ϕ

(2j+1x,−2jx

)]para todo x ∈ R. Tomando el limite cuando n → ∞ en ambos lados, se obtiene

que

71


|A(x)−B(x)|

≤ lımn→∞

∞∑j=n

2−j[ϕ(2jx,−2jx

)+ ϕ

(2jx, 0

)+ ϕ

(2j+1x,−2jx

)]= 0,


|A(x)−B(x)| ≤ 0,


A(x) = B(x),



Observacion: El Teorema 4.3.2 es un mejor resultado del Teorema 4.3.1.

Dado que, tomando φ(x, y) = δ ≥ 0 y sustituyendo en (4.30), se obtiene que

ϕ(x, y) = φ(6x− 2y, 2y) + φ(3x− y, 4y) + φ(3x− y, 4y + 1)

= δ + δ + δ

= 3 δ,

para todo x, y ∈ R. Ası, ϕ(x, y) = 3 δ. Luego, por (4.29)

Φ(x, y) =∞∑i=0

2−i ϕ(2i x, 2i y

)= 3 δ

∞∑i=0

2−i

= 6 δ,

para todo x, y ∈ R. Del Teorema 4.3.2, existe una funcion aditiva unicaA : R→ R

72

tal que

|f(x)− A(x)− b(x)| ≤ 1

2Φ(x,−x) +

1

2Φ(x, 0) +

1

2Φ(2x,−x)

=1

2(6 δ + 6 δ + 6 δ)

= 9 δ,


|f(x)− A(x)− b(x)| ≤ 9 δ,

para todo x ∈ R.

4.4 Estabilidad de la ecuacion funcional de d’Alembert

En esta seccion se estudiara la estabilidad de la ecuacion funcional de d’Alembert,

la demostracion es basado de los aportes de Baker (1980).

Teorema 4.4.1. Sea la funcion f : R→ C que satisface la desigualdad

|f(x+ y) + f(x− y)− 2f(x) f(y)| ≤ δ, (4.45)

para todo x, y ∈ R, donde δ > 0. Entonces, existe una funcion m : R→ C tal que

f(x) =m(x) +m(−x)

2,

y

|m(x+ y)−m(x)m(y)| ≤ δ

2,


Demostracion. Sea la funcion f : R→ C que satisface la desigualdad

|f(x+ y) + f(x− y)− 2f(x) f(y)| ≤ δ,


73

En efecto, sustituyendo x = 0 = y en (4.45), se obtiene que

|2 f(0)− 2f 2(0)| ≤ δ.

Tomando z = f(0) y utilizando la desigualdad ||x| − |y|| ≤ |x− y|, se tiene que

|z − z2| ≤ δ

2

||z| − |z|2| ≤ δ

2

2|z|2 − 2|z| − δ ≤ 0

|z| <1 +√

1 + 2δ

2.

Por tanto,

|f(0)| < ε,

donde ε = 1+√1+2δ2

.

Se va probar que, si |f(x)| > ε, para todo x ∈ R, entonces la funcion f no es

acotada. Es decir,

lımn→∞

|f (2n x)| → ∞

Sea x ∈ R. Si |f(x)| > ε, en consecuencia

y = |f(x)| = ε+ p, (4.46)

para algun p > 0. Luego,

2y2 − y − δ − ε = 2(ε+ p)2 − (ε+ p)− δ − ε

= 2ε2 + 4p ε+ 2p2 − 2ε− p− δ

= 2(ε2 − ε) + (4ε− 1) p+ 2p2 − δ

= δ + (4ε− 1) p+ 2p2 − δ − 3p+ 3p

= 4(ε− 1) p+ 2p2 + 3p

> 3p,

74

donde δ > 0, p > 0 y ε > 1. Por tanto,

2|f(x)|2 − δ − ε > |f(x)|+ 3p, (4.47)

para todo x ∈ R. Ademas, utilizando la desigualdad ||x| − |y|| ≤ |x− y|, se tiene

que

|f(2x)| =∣∣2 f 2(x)− f(0)−

[2 f 2(x)− f(0)− f(2x)

]∣∣≥ |2 f 2(x)− f(0)| − |f(2x) + f(0)− 2f 2(x)|

> |2 f 2(x)| − |f(0)| − δ por (4.45)

> 2 |f(x)|2 − ε− δ,


|f(2x)| > 2 |f(x)|2 − ε− δ, (4.48)


|f(2x)| > 2 |f(x)|2 − ε− δ

> |f(x)|+ 3 p por (4.47)

= ε+ p+ 3 p por (4.46)

> ε+ 2 p,


|f(2x)| > ε+ 2 p, (4.49)

para todo x ∈ R. Se va probar por induccion que,

|f(2nx)| > ε+ 2n p,




|f(2k x)| > ε+ 2k p, (4.50)

75

para todo x ∈ R. Para n = k + 1, sustituyendo x por 2k x en (4.48), se obtiene

que

∣∣f (2k+1 x)∣∣ > 2

∣∣f (2k x)∣∣2 − ε− δ> 2

(ε+ 2k p

)2 − ε− δ por (4.50)

= 2ε2 + 2k+2ε p+ 22k+1 p2 − ε− δ

= (2ε2 − 2ε− δ) + ε+ 2k+1 p (2ε+ 2kp)

> ε+ 2k+1 p,

para todo x ∈ R, donde ε > 1 y p > 0. Por tanto, se ha demostrado que

|f(2nx)| > ε+ 2n p,


Tomando el limite cuando n→∞ en ambos lados, se obtiene que

lımn→∞

|f(2n x)| → ∞.

Por tanto, la funcion f no es acotada.

Luego, sustituyendo y = 0 en (4.45), se obtiene que

|f(x) + f(x)− 2 f(x)f(0)| ≤ δ

|2 f(x)− 2 f(x)f(0)| ≤ δ

2 |f(x)| |1− f(0)| ≤ δ,


|1− f(0)| ≤ δ

2 |f(x)|,

para todo x ∈ R. Como f no es una funcion acotada, se obtiene que

|1− f(0)| ≤ 0.

Por tanto, f(0) = 1. Se va probar que f es una funcion par.

76

Se define las funciones, g,m : R→ C tal que g(x) := f(x+ a)− f(x− a),

m(x) := f(x) + α g(x),(4.53)

para todo x ∈ R. Como f es una funcion par, se obtiene que

g(−x) = f(−x+ a)− f(−x− a)

= f(x− a)− f(x+ a)

= −g(x),


g(−x) = −g(x),

para todo x ∈ R. Por tanto, g es impar.

Como f es par y g es impar, se obtiene que

m(−x) = f(−x) + αg(−x)

= f(x)− α g(x).


m(−x) = f(x)− α g(x), (4.54)

para todo x ∈ R. Sumando las ecuaciones (4.53) y (4.54), se tiene que

f(x) =m(x) +m(−x)

2,

para todo x ∈ R.

(ii) En este ıtem, se va probar que

|m(x+ y)−m(x)m(y)| ≤ δ

2,


Sea

2 f(x) f(y) = f(x+ y) + f(x− y) + E(x, y) (4.55)

para todo x, y ∈ R, donde |E(x, y)| ≤ δ. Luego,

78

2 f(x) g(y) + 2 f(y) g(x)

= 2f(x) [f(y + a)− f(y − a)] + 2 f(y) [f(x+ a)− f(x− a)] por (4.53)

= 2 f(x) f(y + a)− 2 f(x) f(y − a) + 2 f(y) f(x+ a)− 2 f(y) f(x− a)

= f(x+ y + a) + f(x− y − a) + E(x, y + a)− f(x+ y − a)

−f(x− y + a)− E(x, y − a) + f(x+ a+ y) + f(x+ a− y)

+E(x+ a, y)− f(x− a+ y)− f(x− a− y)− E(x− a, y) por (4.55)

= f(x+ y + a) +(((((((f(x− y − a)− f(x+ y − a)−(((((

((f(x− y + a)

+f(x+ y + a) +(((((((f(x− y + a)− f(x+ y − a)−(((((

((f(x− y − a)

+E(x, y + a)− E(x, y − a) + E(x+ a, y)− E(x− a, y)

= 2f(x+ y + a)− 2f(x+ y − a) + E(x, y + a)− E(x, y − a)

+E(x+ a, y)− E(x− a, y)

= 2 g(x+ y) + E(x, y + a)− E(x, y − a) + E(x+ a, y)− E(x− a, y), por (4.53)


2 g(x+ y)− 2 f(x) g(y)− 2 f(y) g(x)

= E(x, y − a)− E(x, y + a)− E(x+ a, y) + E(x− a, y),

para todo x, y ∈ R. Aplicando el valor absoluto a la ecuacion anterior, se obtiene

que

|2 g(x+ y)− 2 f(x) g(y)− 2 f(y) g(x)|

= |E(x, y − a)− E(x, y + a)− E(x+ a, y) + E(x− a, y)|

≤ |E(x, y − a)|+ |E(x, y + a)|+ |E(x+ a, y)|+ |E(x− a, y)|

≤ δ + δ + δ + δ

= 4 δ,


|g(x+ y)− f(x) g(y)− f(y) g(x)| ≤ 2 δ, (4.56)

por tanto, x, y ∈ R. Ademas,

79

2 g(x) g(y) = 2 [f(x+ a)− f(x− a)] [f(y + a)− f(y − a)] por (4.53)

= 2 f(x+ a)f(y + a)− 2 f(x+ a)f(y − a)

−2 f(x− a)f(y + a) + 2 f(x− a)f(y − a)

= f(x+ y + 2a) + f(x− y) + E(x+ a, y + a)

−f(x+ y)− f(x− y + 2a)− E(x+ a, y − a)

−f(x+ y)− f(x− y − 2a)− E(x− a, y + a)

+f(x+ y − 2a) + f(x− y) + E(x− a, y − a) por (4.55)

= 2 f(x− y)− 2 f(x+ y) + f(x+ y + 2a)

+f(x+ y − 2a)− f(x− y + 2a)− f(x− y − 2a)

+E(x+ a, y + a)− E(x+ a, y − a)

−E(x− a, y + a) + E(x− a, y − a)

= 2 f(x− y)− 2 f(x+ y) + 2 f(x+ y)f(2a)

−2 f(x− y)f(2a) + E(x+ a, y + a)− E(x+ a, y − a)

−E(x+ y + 2a, x+ y − 2a) + E(x− y + 2a, x− y − 2a)

−E(x− a, y + a) + E(x− a, y − a), por (4.55)


2 g(x) g(y)− 2 (f(2a)− 1) [f(x+ y)− f(x− y)]

= E(x− y + 2a, x− y − 2a) + E(x+ a, y + a)− E(x+ a, y − a)

−E(x− a, y + a) + E(x− a, y − a)− E(x+ y + 2a, x+ y − 2a),

para todo x, y ∈ R. Aplicando el valor absoluto en la ecuacion anterior, se obtiene

que

80

|2 g(x) g(y)− 2 (f(2a)− 1) [f(x+ y)− f(x− y)]|

= |E(x− y + 2a, x− y − 2a) + E(x+ a, y + a)− E(x+ a, y − a)

−E(x− a, y + a) + E(x− a, y − a)− E(x+ y + 2a, x+ y − 2a)|

≤ |E(x− y + 2a, x− y − 2a)|+ |E(x+ a, y + a)|+ |E(x+ a, y − a)|

+|E(x− a, y + a)|+ |E(x− a, y − a)|+ |E(x+ y + 2a, x+ y − 2a)|

≤ δ + δ + δ + δ + δ + δ

= 6 δ,


|g(x) g(y)− (f(2a)− 1) [f(x+ y)− f(x− y)]| ≤ 3 δ, (4.57)

para todo x, y ∈ R. Finalmente,

|m(x+ y)−m(x)m(y)|

= |f(x+ y) + α g(x+ y)− [f(x) + α g(x)] [f(y) + α g(y)] | por (4.53)

= |f(x+ y) + α g(x+ y)− f(x)f(y)− α f(x)g(y)

−α g(x)f(y)− α2 g(x)g(y)∣∣

= |α [g(x+ y)− f(x)g(y)− g(x)f(y)]

+[f(x+ y)− f(x)f(y)− α2g(x)g(y)

]∣∣≤ |α| |g(x+ y)− f(x)g(y)− g(x)f(y)|

+|f(x+ y)− f(x)f(y)− α2g(x)g(y)|

≤ 2 |α| δ +

∣∣∣∣f(x+ y) + f(x− y)

2− f(x)f(y)

−α2 g(x)g(y) +f(x+ y) + f(x− y)

2

∣∣∣∣ por (4.56)

≤ 2 |α| δ +

∣∣∣∣f(x)f(y)− f(x+ y) + f(x− y)

2

∣∣∣∣+

∣∣∣∣f(x+ y) + f(x− y)

2− α2g(x)g(y)

∣∣∣∣ ,

81

para todo x, y ∈ R. Entonces, utilizando la desigualdad (4.52), se obtiene que

|m(x+ y)−m(x)m(y)|

≤ 2 |α| δ +δ

2+∣∣α2 [g(x)g(y)− (f(2a)− 1) (f(x+ y)− f(x− y))]

∣∣≤ 2 |α| δ +

δ

2+ 3 |α2| δ por (4.57)

= δ

(3 |α2|+ 2 |α|+ 1

2

),


|m(x+ y)−m(x)m(y)| ≤ δ

(3|α2|+ 2|α|+ 1

2

),

para todo x, y ∈ R. Como f no es acotada, se elige a ∈ R tal que |f(2a)| es valor

muy grande, entonces α un valor muy pequeno por (4.52). Por tanto,

|m(x+ y)−m(x)m(y)| ≤ δ

2,


82

CAPITULO 5

METODOS DE SOLUCION

En este capıtulo se dara a conocer algunos metodos basicos para la resolucion de

las Ecuaciones Funcionales y los principales metodos que se van estudiar son:

Metodo de sustitucion de variables por valores.

Transformacion de una o varias variables.

Punto fijo.

Simetrıa.

Metodo de Acotacion.

Metodo Inductivo.

Ecuaciones Funcionales Polinomicas.

Transformacion de una o varias funciones.

Ecuaciones en diferencias lineales.

En la siguientes secciones se describira los metodos y se presentara algunos ejem-

plos ilustrativos.

5.1 Metodo de sustitucion de variables por valores

El metodo consiste en sustituir en la ecuacion funcional una o varias variables

por valores dados, lo mas comun es sustituir por constantes (Por ejemplo 0 o

1), de la misma forma se puede sustituir por variables. Despues, se observa si es

posible hacer una parte de la ecuacion funcional constante.

Sin embargo, las sustituciones se hacen menos evidentes cuando la dificultad del

83

problema incrementa, pero es importante no subestimar su potencia ya que se

puede simplificar una ecuacion compleja o dar un comportamiento de la solucion.

Es decir, propiedades generales como inyectividad o sobreyectividad de la funcion.

En la mayorıa de los metodos que se resuelve la ecuacion funcional es bajo el

supuesto que existe la funcion solucion. En consecuencia, es necesario comprobar

que la funcion obtenida satisface la ecuacion funcional dada y sus condiciones

iniciales.

Ejemplo 5.1.1. Hallar todas las funciones reales tal que satisfacen la ecuacion

funcional

f(x+ y) + f(x− y) = k cos(x) cos(y), (5.1)

para todo x, y ∈ R, donde k ∈ R.

Solucion: Sustituyendo y = 0 en la ecuacion (5.1), se obtiene que

f(x) + f(x) = k cos(x) cos(0)

2 f(x) = k cos(x),


f(x) =k

2cos(x),

para todo x ∈ R, donde k ∈ R.

Ejemplo 5.1.2. Hallar todas las funciones reales tal que satisfacen la ecuacion

funcional

f(x+ y) + f(x− y) = k f(x) cos(y), (5.2)

para todo x ∈ R, donde k ∈ R.

Solucion: Sustituyendo x = 0, y = t en la ecuacion (5.2) y tomando a = f(0),

se obtiene que

f(t) + f(−t) = k a cos(t), (5.3)

84

para todo t ∈ R, donde k ∈ R. Sustituyendo x =π

2+ t y y =

π

2en la ecuacion


f(t+ π) + f(t) = 0, (5.4)

para todo t ∈ R. Ademas, sustituyendo x =π

2, y =

π

2+ t en la ecuacion (5.2),

se obtiene que

f(π

2+π

2+ t)

+ f(π

2− π

2− t)

= k f(π

2

)cos(π

2+ t)

para todo t ∈ R. Tomando b = f(π

2

), se obtiene que

f(t+ π) + f(−t) = −k b sen(t), (5.5)

para todo t ∈ R. Sumando las ecuaciones (5.3) y (5.4), se tiene que

2 f(t) + f(t+ π) + f(−t) = k a cos(t),

para todo t ∈ R. Luego, restando la ecuacion anterior de (5.5), se obtiene que

2 f(t) = k a cos(t) + k b sen(t)

para todo t ∈ R. Por tanto,

f(t) =k

2[a cos(t) + b sen(t)] ,

para todo t ∈ R, donde a, b y k son constantes reales.

5.2 Transformacion de una o varias variables

El metodo consiste en sustituir una expresion algebraica por una variable. Es

decir, que generalmente se tiene ecuaciones funcionales como f(g(x)) = f(h(x)),

donde g y h son funciones conocidas. Para facilitar la resolucion de la ecuacion

funcional se sustituye por variables a las funciones conocidas.

85

Ejemplo 5.2.1. Encontrar todas las funciones reales tal que satisfacen la ecua-

cion funcional

f(1− x) + x f(x− 1) =k

x, (5.6)

para todo x ∈ Rr {−1, 1, 0}, donde k ∈ R.

Solucion: Sustituyendo t = 1− x en la ecuacion (5.6), se obtiene que

f(t) + (1− t) f(−t) =k

1− t, (5.7)

para todo t ∈ Rr {1}, donde k ∈ R. Sustituyendo t = x− 1 en la ecuacion (5.6),

se obtiene que

f(−t) + (1 + t) f(t) =k

1 + t,

para todo t ∈ Rr {−1}. Ası,

f(−t) =k

1 + t− (1 + t) f(t), (5.8)

para todo t ∈ Rr {−1}. Reemplazando la ecuacion (5.8) en (5.7), se tiene que

f(t) + (1− t)[

k

1 + t− (1 + t) f(t)

]=

k

1− t

f(t)[1− (1− t2)

]=

k

1− t− k (1− t)

1 + t

f(t) =k + k t− k (1− t)2

(1− t2) t2,

para todo t ∈ Rr {−1, 0, 1}. Por tanto,

f(t) =k (3− t)t (1− t2)

,

para todo t ∈ Rr {−1, 0, 1}, donde k ∈ R.

Ejemplo 5.2.2. Encontrar todas las funciones f : Rr{0} → R tal que satisfacen

la ecuacion funcional

f

(k

x

)+k

xf(−x) = x, (5.9)

para todo x ∈ Rr {0}, donde k 6= −1 es una constante real.

86

Solucion: Sea x ∈ Rr {0}. Sustituyendo t =k

xen la ecuacion (5.9), se obtiene

que

f(t) + t f

(−kt

)=k

t, (5.10)

para todo t ∈ R r {0}. Luego, reemplazando t = −x en la ecuacion (5.10), se

obtiene que

f(−x)− x f(k

x

)= −k

x, (5.11)

para todo x ∈ Rr {0}. Multiplicando por x ambos lados de la ecuacion (5.9), se

tiene que

x f

(k

x

)+ k f(−x) = x2, (5.12)

para todo x ∈ Rr{0}. Ahora, sumando las ecuaciones (5.11) y (5.12), se obtiene

que

k f(−x) + f(−x) = x2 − k

x

f(x) =x3 + k

x (k + 1),

para todo x ∈ Rr {0}, donde k 6= −1.

5.3 Metodo del punto fijo

El metodo se basa en encontrar un punto fijo de la funcion solucion. En conse-

cuencia, se puede expresar la solucion de la ecuacion funcional con el valor punto

fijo encontrado. Ademas, para afirmar la existencia del punto fijo se puede utilizar

el Teorema de punto fijo de Banach (Ver la seccion 2.2).

Ejemplo 5.3.1. Encontrar todas las funciones f : R+ → R+ tal que satisfacen

las siguientes condiciones:

(i) f(x f(y)) = y f(x), para todo x, y ∈ R+.

(ii) lımx→+∞

f(x) = 0.

87

Solucion: Sea x, y ∈ R+. Sustituyendo y = x en (i), se obtiene que

f(x f(x)) = x f(x), (5.13)

para todo x ∈ R+. En consecuencia, x · f(x) es un punto fijo de f, para todo

x ∈ R+. Se supone que existe un a ∈ R+ punto fijo de f . Es decir, f(a) = a.

Se va probar por induccion que

f(an) = an, (5.14)

para todo n ∈ N.

Sea a ∈ R+. Para n = 1, es verdadero puesto que f(a) = a.

Para n = k ∈ N, se supone que es verdadero tal que f(ak) = ak.

Para n = k + 1,

f(ak+1) = f(ak · a)

= f(a · f(ak))

= ak · f(a) por (i)

= a · ak

= ak+1.

Ası,

f(ak+1

)= ak+1.

Por tanto, se ha demostrado (5.14).

Ahora, se considera los siguientes casos:

• Si a > 1, tomando el limite cuando n→∞ en (5.14), se tiene que

lımn→+∞

f(an) = lımn→+∞

an = +∞.

De lo cual, contradice la condicion (ii). Ahora, se va probar que f es una funcion

inyectiva.

88

Sea x, y ∈ R+. Sustituyendo x = 1 en (i), se obtiene que

f(f(y)) = y f(1). (5.15)

Si f(x) = f(y), entonces

f(f(x)) = f(f(y))

x ·��f(1) = y ·��f(1) por (5.15)

x = y.

Por tanto, f es inyectiva. Luego, sustituyendo y = 1 en (i) y por ser f inyectiva,

se obtiene que

f(x f(1)) = f(x)

�x f(1) = �x

f(1) = 1.

Por tanto, a = 1 es un punto fijo de f .

• Si a < 1, se tiene que

a f(a−1) = f(a−1f(a)) por (i)

= f(a−1 · a)

= f(1)

= 1.

Ası,

f(a−1) = a−1,

donde a ∈ R+. De la misma forma, se puede generalizar por induccion que

f(a−n) = a−n, (5.16)

para todo n ∈ N. Como a < 1, entonces a−1 > 1. Tomando el limite cuando

89

n→∞ en (5.16), se ve que contradice la condicion (ii).

Por tanto, se concluye que el unico punto fijo es a = 1 y utilizando (5.13), se

obtiene que

x · f(x) = 1,

para todo x ∈ R+. Ası,

f(x) =1

x,

para todo x ∈ R+. Ademas, f satisface las condiciones (i) y (ii).

Observacion: En el ejemplo se encontro varios puntos fijos, pero es necesario

analizar en cada caso cuales son los que satisfacen las condiciones del problema.

Ejemplo 5.3.2. Sea el conjunto T = {x ∈ R | x > −1}. Encontrar todas la

funciones f : T → T tal que satisfacen las siguientes condiciones:

(i) f(x+ f(y) + x f(y)) = y + f(x) + y f(x), para todo x, y ∈ T.

(ii)f(x)

xes estrictamente creciente en los intervalos ]−1, 0[ y ]0,+∞[.

Solucion: Sea x, y ∈ T. Sustituyendo x = y en (i), se obtiene que

f(x+ (1 + x) f(x)) = x+ (1 + x) f(x), (5.17)

para todo x ∈ T . En consecuencia, x + (1 + x) f(x) es un punto fijo de f , para

todo x ∈ T. Se supone que existe un a ∈ T punto fijo de f . Es decir, f(a) = a.

Primero se va probar que f es una funcion inyectiva.

Sea x, y ∈ T . Sustituyendo x = 0 en (i), se obtiene que

f(f(y)) = y + f(0) (y + 1). (5.18)

Si f(x) = f(y), entonces

f(f(x)) = f(f(y))

y (1 + f(0)) +��f(0) = x (1 + f(0)) +��

�f(0) por (5.18)

x = y.

90

Por tanto, f es inyectiva. Luego, sustituyendo y = 0 en (i) y por ser f inyectiva,

se obtiene que

f(x+ f(0) (1 + x)) = f(x)

�x+ f(0) (1 + x) = �x

f(0) = 0.

Por tanto, a = 0 es un punto fijo de f .

Se analiza los siguientes casos:

• Si a ∈ ]−1, 0[, entonces utilizando (5.17),

�a+ (1 + a) f(a) = �a

a (a+ 1) = 0

a = 0, a = 1.

De lo cual, es una contradiccion puesto que a ∈ ]−1, 0[. De igual manera, cuando

a > 0. Por tanto, el unico punto fijo es a = 0 y utilizando (5.17), se obtiene que

x+ (1 + x) f(x) = 0,

para todo x ∈ T. Ası,

f(x) = − x

1 + x,

para todo x ∈ T. Ademas, f satisface las condiciones (i) y (ii).

5.4 Utilizando Simetrıa

El metodo consiste en tener una parte de la ecuacion funcional simetrica. Es

decir, si f(x, y) = g(x, y) tal que uno de los dos lados de la ecuacion funcional

es simetrica con respecto a x, y y el otro lado no necesariamente. Si no se tiene

la condicion con una sustitucion adecuada o agregando una variable se puede

obtener la simetrıa.

91

Ejemplo 5.4.1. Encontrar todas las funciones f : R → R tal que satisfacen la

ecuacion funcional

f

(k

2(x− y)2

)= f 2(x)− k x f(y) +

(k y

2

)2

, (5.19)

para todo x, y ∈ R, donde k ∈ R.

Solucion: La parte izquierda de la ecuacion (5.19) es simetrica. Ası,

f

(k

2(x− y)2

)= f

(k

2(y − x)2

)f 2(x)− k x f(y) +

(k y

2

)2

= f 2(y)− k y f(x) +

(k x

2

)2

[f(x) +

k y

2

]2=

[f(y) +

k x

2

]2,

para todo x, y ∈ R. Ası,(i) f(x)− k x

2= f(y)− k y

2,

(ii) f(x) +k x

2= −f(y)− k y

2,

(5.20)

para todo x, y ∈ R, donde k ∈ R. Por tanto, las ecuaciones de (5.20) difieren en

una constante real, entonces

(i) f(x)− k x

2= c (ii) f(x) +

k x

2= 0

f(x) =k x

2+ c, f(x) = −k x

2,


Finalmente, se comprueba si (i) o (ii) satisfacen la ecuacion (5.19).

Sustituyendo (i) en la ecuacion (5.19), se obtiene que

f

(k

2(x− y)2

)= c+

k2 (x− y)2

4,

92

f 2(x)− k x f(y) +

(k y

2

)2

=

(c+

k x

2

)2

− k x(c+

k y

2

)+

(k y

2

)2

= c2 +k2 (x− y)2

4,

para todo x, y ∈ R. Entonces, c = 0 y c = 1.

Por tanto, f(x) =k x

2+ 1 y f(x) =

k x

2, para todo x ∈ R, donde k ∈ R son

soluciones de la ecuacion funcional.

Sustituyendo (ii) en la ecuacion (5.19), se obtiene que

f

(k

2(x− y)2

)= −k

2 (x− y)2

4,

f 2(x)− k x f(y) +

(k y

2

)2

=

(k x

2

)2

− k x(−k y

2

)+

(k y

2

)2

=k2 (x+ y)2

4,

para todo x, y ∈ R. Por tanto, (ii) no es solucion de la ecuacion funcional.

5.5 Metodo de Acotacion

El metodo consiste en acotar la funcion solucion mediante una funcion conocida

utilizando las condiciones establecidas sobre la funcion. Es decir, si se encuentra

que f(x) ≤ g(x), para todo x ∈ I, donde I es un intervalo de los numeros en R

y g es una funcion conocida. Ademas, utilizando las condiciones sobre la funcion

se prueba que f(x) > g(x), para todo x ∈ I. Por tanto, g es la solucion de la

ecuacion funcional.

Ejemplo 5.5.1. Sea el conjunto T = {x ∈ R |x ≥ 0}. Encontrar todas las

funciones f : T → T tal que satisfacen las siguientes condiciones:

(i) f(x f(y)) f(y) = f(x+ y), para todo x, y ∈ T.

(ii) f(2) = 0.

(iii) f(x) 6= 0, para todo x ∈ [0, 2[ .

93

Solucion: Sea t ≥ 2. Sustituyendo x = t− 2 y y = 2 en (i), se obtiene que

f((t− 2) f(2)) · f(2) = f(t),

para todo t ≥ 2. Ası, por (ii)

f(t) = 0, (5.21)

para todo t ≥ 2. Por tanto, (5.21) es solucion de la ecuacion funcional (i).

Si y ∈ [0, 2[, entonces f(y) 6= 0. Ahora, sustituyendo x = 2− y en (i), se obtiene

que

f((2− y) f(y)) · f(y) = f(2− y + y)

= f(2)

= 0, por (ii)

para todo y ∈ [0, 2[. Entonces, utilizando (5.21), se obtiene que

(2− y) f(y) ≥ 2

f(y) ≥ 2

2− y, (5.22)

para todo y ∈ [0, 2[ .

Sea ε > 0. Sustituyendo x = 2− y − ε en (i), se tiene que

f((2− y − ε) f(y)) f(y) = f(2− y − ε+ y)

= f(2− ε)

6= 0, por (iii)

para todo y ∈ [0, 2[. Entonces, utilizando (iii), se obtiene que

(2− y − ε) f(y) < 2

f(y) <2

2− y − ε, (5.23)

94

para todo y ∈ [0, 2[. Tomando el limite cuando ε→ 0 en (5.23), se tiene que

f(y) = lımε→0

f(y)

< lımε→0

2

2− y − ε

<2

2− y, (5.24)

para todo y ∈ [0, 2[. De (5.22) y (5.24), se concluye que

f(x) =2

2− x,

para todo x ∈ [0, 2[ es solucion de la ecuacion funcional (i).

5.6 Metodo Inductivo

El metodo de Induccion se basa en utilizar el valor f(1) para encontrar f(n),

para todo n ∈ Z. Despues, se puede encontrar f(1n

)y f(r), para r un numero

racional. Ahora, para poder extender al conjunto de los numeros reales la solucion,

se utiliza la continuidad de la funcion y que Q es un espacio denso en R.

Este metodo se lo utiliza en problemas donde la funcion esta definida sobre Q.

Ejemplo 5.6.1. Encontrar todas las funciones continuas f : R → R, tal que

satisfacen la ecuacion funcional

f(x+ y) = f(x) + f(y)− f(x) f(y), (5.25)


Solucion: Primero se va construir una formula recursiva.

Sea x ∈ R. Sustituyendo y = x en la ecuacion (5.25), se obtiene que

f(x+ x) = f(x) + f(x)− f(x) f(x)

f(2x) = 2 f(x)− f 2(x),

95


f(2x) = 1− [1− f(x)]2 , (5.26)

para todo x ∈ R. De igual manera, sustituyendo x por 2 x y y = x en la ecuacion


f(3x) = f(2x+ x)

= f(x) + f(2x)− f(x) f(2x)

= f(x) + 2 f(x)− f 2(x)− f(x)(2 f(x)− f 2(x)

)= 3 f(x)− 3 f 2(x) + f 3(x)

= 1− [1− f(x)]3 ,


f(3x) = 1− [1− f(x)]3 ,


f(nx) = 1− [1− f(x)]n , (5.27)




f(k x) = 1− [1− f(x)]k (5.28)

para todo x ∈ R. Para n = k + 1,

f [(k + 1)x] = f(x+ k x)

= f(x) + f(k x)− f(x) f(k x) por (5.25)

= f(x) + 1− [1− f(x)]k − f(x){

1− [1− f(x)]k}

por (5.28)

= ��f(x) + 1− [1− f(x)]k −��f(x) + f(x) [1− f(x)]k

= 1− [1− f(x)]k+1 ,

96


f((k + 1)x) = 1− [1− f(x)]k+1 ,


Sustituyendo x = 0 en (5.27), se obtiene que

f(0) = 1− [1− f(0)]n .

Ası, f(0) = 1 y f(0) = 0.

Si f(0) = 1, entonces sustituyendo x = 0 en la ecuacion en (5.25), se tiene que

f(x) = f(x) + f(0)− f(x) f(0)


f(x) = 1,

para todo x ∈ R. De lo cual, es solucion de la ecuacion funcional (5.25).

Ahora, sustituyendo x = 1 en (5.27), se obtiene que

f(n) = 1− an, (5.29)

para todo n ∈ N, donde a = 1− f(1). De igual manera, sustituyendo x = −1 en


f(−n) = 1− bn, (5.30)

para todo n ∈ N, donde b = 1− f(−1).

Si f(0) = 0, entonces sustituyendo x = 1 y y = 1 en la ecuacion (5.25), se obtiene

que

f(0) = f(1) + f(−1)− f(1) f(−1)

0 = f(1) + f(−1)− f(1) f(−1)

1 = (1− f(1))(1− f(−1)).

97

Ası, a · b = 1. De (5.29) y (5.30), se concluye que

f(x) = 1− ax, (5.31)

para todo x ∈ Z.

Sea r ∈ Q. Es decir, r = mn

, donde m ∈ Z y n ∈ N. Entonces,

f(m) = f(nm

n

)f(m) = 1−

[1− f

(mn

)]npor (5.27)

1− am = 1−[1− f

(mn

)]n. por (5.31)

Ası,

f(mn

)= 1− a

mn ,

donde m ∈ Z y n ∈ N. Por tanto, f(r) = 1− ar, para todo r ∈ Q.



lımn→∞

rn = x.

Ademas, f es una funcion continua tal que

f(x) = f(

lımn→∞

rn

)= lım

n→∞f(rn)

= lımn→∞

(1− arn)

= 1− ax,

para todo x ∈ R. Por tanto, f(x) = 1− ax, para todo x ∈ R.

98

5.7 Metodo para ecuaciones polinomicas

Las funciones que se van a encontrar son polinomios. El metodo consiste en

utilizar distintas propiedades que se puede obtener de los polinomios, las mas

principales son:

El grado del polinomio.

Las raıces del polinomio o los ceros del polinomio es decir, si α es una raız

de P [ P (α) = 0 si y solo si (x− α) es divisor de P (x) ].

Ejemplo 5.7.1. Encontrar todos los polinomios P ∈ R [x], tal que satisfacen la

ecuacion funcional

xP (x− k) = (x− l)P (x), (5.32)

para todo x ∈ R, donde k, l ∈ N.

Solucion: Si P es el polinomio constante, entonces P (x) = 0, para todo x ∈ R

y que satisface la ecuacion funcional (5.32).

Se supone que P no es constante y que grad(P ) = n ∈ N. Luego,

P (x) = an xn + an−1 x

n−1 + . . .+ a0

P (x− k) = an (x− k)n + an−1 (x− k)n−1 + . . .+ a0, (5.33)

para todo x ∈ R, donde ai ∈ R, para todo i ∈ {0, 1, 2, . . .}.

Utilizando el Teorema del Binomio de Newton, se tiene que

(x− k)n =n∑j=0

(−1)j(n

j

)xn−j kj = xn − nxn−1 k + . . .

para todo x ∈ R. Entonces, la ecuacion (5.33), se transforma en

P (x− k) = an xn + (an−1 − n k an)xn−1 + . . .+ a0,

para todo x ∈ R. Multiplicando por x ambos lados, se obtiene que

xP (x− k) = an xn+1 + (an−1 − an n k)xn + . . .+ a0 x, (5.34)

99

para todo x ∈ R. Ademas,

(x− l)P (x) = (x− l) (an xn + an−1 x

n−1 + . . .+ a0)

= an xn+1 + (an−1 − an l)xn + . . .− a0 l,


(x− l)P (x) = an xn+1 + (an−1 − an l)xn + . . .− a0 l, (5.35)

para todo x ∈ R, donde l ∈ N.

De la ecuacion (5.32) se iguala el coeficiente del termino xn de las ecuaciones

(5.34) y (5.35), se tiene que

��an−1 − an n k = ��an−1 − an l

an n k = an l.

Ası, l = n k, dado que an 6= 0. Reemplazando en la ecuacion (5.32), se obtiene

que

xP (x− k) = (x− n k)P (x), (5.36)

para todo x ∈ R. Evaluando en x = 0 a la ecuacion (5.36), se obtiene que

P (0) = 0,

dado que n, k ∈ N. Sustituyendo x = k en la ecuacion (5.32), se obtiene que

k P (0) = (k − n k)P (k)

P (k) = 0.

Por tanto, (x− k) es una raız de P. De igual manera, (x− 2k) es una raız de P .

Ası, se puede encontrar hasta x = (n− 1)k es una raız de P , entonces

P (x) = x (x− k) . . . (x− (n− 1) k)Q(x), (5.37)

100

para todo x ∈ R, donde grad(Q) < grad(P ).

Reemplazando (5.37) en la ecuacion (5.36), se obtiene que

Q(x− k) = Q(x), (5.38)

para todo x ∈ R.

Sea x0 ∈ R fijo. Se define un polinomio H : R→ R tal que

H(x) := Q(x)−Q(x0)

para todo x ∈ R. Entonces, H(x0) = 0.

Luego,

H(x0 + k) = Q(x0 + k)−Q(x0)

= Q(x0)−Q(x0) por (5.38)

= 0,

donde k ∈ N. Se puede generalizar que

H(x0 + n) = 0,

para todo n ∈ Z. Por tanto, Q(x) = c, donde c es una constante real.

Finalmente, sustituyendo Q(x) en (5.37), se obtiene que

P (x) = c x (x− k) . . . (x− (n− 1) k),

para todo x ∈ R, donde n, k ∈ N.

101

5.8 Transformacion de una o varias funciones

El metodo consiste en sustituir una funcion por otra funcion, de manera que se

obtiene una ecuacion donde se conoce su solucion. Despues, de obtener la funcion

solucion se comprueba que satisface la ecuacion inicial.

Teorema 5.8.1. Sea f : T → R una funcion continua solucion general de la

ecuacion funcional

f(x+ y + nx y) = f(x) f(y), (5.39)

para todo x, y ∈ T , donde T =

{x, y ∈ R

∣∣∣∣∣ x > − 1

n, y > − 1

n, donde n ∈ N y n→ +∞

}.

Entonces, existe una constante k ∈ R tal que

f(x) = 0 y f(x) = (1 + nx)k,

para todo x ∈ T.

Demostracion. En efecto, la parte izquierda de la ecuacion (5.39) se puede escribir

como,

f

((1 + nx) (1 + n y)− 1

n

)= f(x+ y + nx y),

para todo x, y ∈ T . Ası,

f

((1 + nx) (1 + n y)− 1

n

)= f(x) f(y), (5.40)

para todo x, y ∈ T.

Como x > − 1

n, entonces 1 + nx > 0. Realizando el siguiente cambio de variable

1 + nx = eu ⇔ u = log(1 + nx),

1 + n y = ev ⇔ v = log(1 + n y),(5.41)

en la ecuacion (5.40) y dado que x, y ∈ T , se ve que u, v ∈ R. Entonces,

f

(eu+v − 1

n

)= f

(eu − 1

n

)· f(ev − 1

n

), (5.42)

102

para todo u, v ∈ R. Se define una funcion A : R→ R tal que

A(x) := f

(ex − 1

n

),

para todo x ∈ R, donde n ∈ N. Entonces, la ecuacion (5.42) se transforma en

A(u+ v) = A(u) · A(v),

para todo u, v ∈ R. Como f es una funcion continua, entonces A es una funcion

continua y satisface las condiciones del Teorema 3.1.4. En consecuencia, se tiene

los siguientes casos:

• Si A(x) = 0, entonces f(x) = 0, para todo x ∈ T. De lo cual, es solucion de la

ecuacion (5.39).

• Si A(x) = ekx, entonces utilizando (5.41)

f(x) = (1 + nx)k, (5.43)

para todo x ∈ T , donde k ∈ R. Por tanto, se ha demostrado que (5.43) es solucion

de la ecuacion (5.39).

5.9 Ecuaciones en diferencias lineales

En esta seccion se estudiara las ecuaciones en diferencias lineales que son un tipo

de ecuaciones funcionales, se enuncia los siguientes conceptos y teoremas para

hallar la solucion de la ecuacion.

Definicion 5.1 ([6]). Una ecuacion en diferencias de orden k se dice lineal,

si es de la forma

p0(n) f(n+ k) + p1(n) f(n+ k − 1) + . . .+ pk(n) f(n) = g(n),

para todo n ∈ Z, donde los coeficientes pi son funciones definidas en Z.

Las ecuaciones en diferencias lineales se clasifican en:

103

Homogenea: si g(n) = 0.

Completa: si g(n) 6= 0.

De coeficientes constantes: si pi(n) = ai, para todo i ∈ {1, 2, . . . , k}.

De coeficientes no constante: si pi(n) 6= ai para algun i ∈ {1, 2, . . . , k}.

Teorema 5.9.1 (Existencia y Unicidad [6]). Sea la ecuacion en diferencias lineal

de coeficientes constantes y de orden k

a0 f(n+ k) + a1 f(n+ k − 1) + . . .+ ak f(n) = g(n), (5.44)

para todo n ∈ Z. Entonces, existe una unica funcion f definida en Z tal que

satisface la ecuacion (5.44) y satisfacen las condiciones iniciales

f(n0) = c0, f(n0 + 1) = c1, . . . , f(n0 + k − 1) = ck−1,

donde c0, c1, . . . , ck−1 numeros reales.

Teorema 5.9.2 ([6]). Toda combinacion lineal de las soluciones de una ecuacion

en diferencias, (5.44) tambien es solucion de la ecuacion en diferencias lineal.

Definicion 5.2 ([6]). Un sistema fundamental de soluciones de una ecuacion

en diferencias (5.44) es todo conjunto {f1, f2, . . . , fk} de soluciones de la ecuacion

que verifica, para algun n0 ∈ Z la matriz fundamental es invertible. Es decir,

D(n0) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

f1(n0) f2(n0) . . . fk(n0)

f1(n0 + 1) f2(n0 + 1) . . . fk(n0 + 1)...

.... . .

...

f1(n0 + k − 1) f2(n0 + k − 1) . . . fk(n0 + k − 1)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣6= 0

Teorema 5.9.3 ([6]). Sea {f1, f2, . . . , fk} es un sistema fundamental de solucio-

nes de una ecuacion en diferencias lineal. Entonces,

i) D(n) 6= 0, para todo n ∈ Z.

ii) Toda solucion de la ecuacion homogenea es combinacion lineal de f1, f2, . . . , fk.

104

Es decir,

f(n) =k∑i=1

ci fi(n),

para todo n ∈ Z.

iii) Si z(n), para todo n ∈ Z es una solucion de la ecuacion completa de la

ecuacion en diferencias, se puede expresar como la suma de z(n) y de la

solucion general de la ecuacion homogenea. Es decir,

f(n) = z(n) +k∑i=1

ci fi(n),

para todo n ∈ Z.

5.9.1 Solucion de la ecuacion homogenea

Se considera la ecuacion en diferencias lineal homogenea de coeficientes constantes

y de orden k,

a0 f(n+ k) + a1 f(n+ k − 1) + . . .+ ak f(n) = 0, (5.45)

para todo n ∈ Z, donde ai ∈ R, para todo i ∈ {1, 2, . . . , k} con ak 6= 0.

Observacion: Si ak = 0 en (5.45) se realiza la sustitucion n+ 1 = t.

Definicion 5.3 ([6]). La ecuacion caracterıstica asociada a la ecuacion en

diferencias (5.45) es,

a0 rk + a1 r

k−1 + . . .+ ak = 0. (5.46)

Teorema 5.9.4 ([6]). Si r es raız de la ecuacion caracterıstica (5.46), entonces

f(n) = rn es solucion de (5.45).

El estudio de la solucion dependera de si las raıces de la ecuacion caracterıstica

son simples o multiples.

105

1. Raıces Simples

Sean r1, r2, . . . , rk las k raıces reales de la ecuacion caracterıstica (5.46),

entonces

fj(n) = rnj ,

para todo n ∈ Z, donde j = 1, 2, . . . , k. Por tanto, {f1, f2, . . . , fk} es un

sistema fundamental de soluciones.

Si r es una raız compleja, tambien su conjugada r es raız, dado que toda

combinacion lineal de rn y rn es solucion de la ecuacion. En consecuencia,

Re(rn) =1

2(rn + rn),

Im(rn) =1

2 i(rn − rn).

Entonces, en el sistema fundamental se reemplaza los terminos complejos

rn y rn por los correspondientes terminos reales Re(rn) e Im(rn).

Observacion: Considere que si r es una raız compleja, se utilizara

r = ρ (cos(θ) + i sen(θ)) .

Ası,

rn = ρn (cos(nθ) + i sen(nθ)) .

Por tanto,

Re(rn) = ρn cos(nθ), Im(rn) = ρn sen(nθ).

2. Raıces multiples

Sea r una raız de multiplicidad m de la ecuacion caracterıstica (5.46).

Esta raız proporciona m soluciones diferentes del tipo,

fj(n) = nj rn,

para todo n ∈ Z, donde j = 0, 1, . . . ,m − 1. Entonces, {f1, f2, . . . , fm−1}

hacen parte del sistema fundamental de soluciones.

106

Se va realizar algunos ejemplos de ecuaciones en diferencias lineales homogeneas.

Ejemplo 5.9.1 (Numeros de Fibonacci(1202)). Encontrar la solucion de la ecua-

cion en diferencias,

f(n+ 2) = f(n+ 1) + f(n) (5.47)

para todo n ∈ {0, 1, 2, . . .}, tal que satisface

f(0) = 0, f(1) = 1.

Solucion: En efecto, la ecuacion caracterıstica asociada a la ecuacion (5.47) es,

r2 − r − 1 = 0.

Ası,

r =1±√

5

2.

Entonces,

f(n) = c1

(1 +√

5

2

)n

+ c2

(1−√

5

2

)n

.

para todo n ∈ {0, 1, 2, . . .}. Reemplazando las condiciones iniciales, se obtiene

que

f(0) = 0

c1 + c2 = 0. (5.48)

Ademas,

f(1) = 1

c1

(1 +√

5

2

)+ c2

(1−√

5

2

)= 1. (5.49)

De las ecuaciones (5.48) y (5.49), se tiene que c1 =1√5

y c2 = − 1√5.

Por tanto,

f(n) =1√5

(1 +√

5

2

)n

− 1√5

(1−√

5

2

)n

.

para todo n ∈ {0, 1, 2, . . .}.

107

Ahora, sustituyendo por el numero aureo que es ϕ =1 +√

5

2, se obtiene que

f(n) =ϕn − (1− ϕ)n√

5

para todo n ∈ {0, 1, 2, . . .}.

Ejemplo 5.9.2. Encontrar la solucion de la ecuacion en diferencias homogenea

f(n+ 2)− f(n+ 1) + f(n) = 0, (5.50)

para todo n ∈ Z, tal que satisface

f(0) = 0, f(1) = 1.

Solucion: En efecto, la ecuacion caracterıstica asociada a la ecuacion (5.50) es,

r2 − r + 1 = 0.

Ası,

r1 =1

2+

√3

2i, r2 =

1

2−√

3

2i.

Entonces,

r1 = cos(π

3

)+ i sen

(π3

), r2 = r1.

Por tanto,

f(n) = c1 1n cos(nπ

3

)+ c2 1n sen

(nπ3

)f(n) = c1 cos

(nπ3

)+ c2 sen

(nπ3

), (5.51)

para todo n ∈ Z. Reemplazando las condiciones iniciales, se tiene que

f(0) = 0

c1 = 0.

Ademas,

f(1) = 1

1

2c1 +

√3

2c2 = 1.

108

Ası, c2 =2√3. De (5.51), se tiene que

f(n) =2√3

sen(nπ

3

),

para todo n ∈ Z.

5.9.2 Solucion de la ecuacion completa

Sea la ecuacion en diferencias lineal,

a0 f(n+ k) + a1 f(n+ k − 1) + . . .+ ak f(n) = g(n), (5.52)

para todo n ∈ Z, donde ak 6= 0 y g(n) 6= 0.

Teorema 5.9.5 ([6]). La solucion general de la ecuacion completa, se obtiene

sumando la solucion general de la ecuacion homogenea con la solucion particular

de la ecuacion completa. Es decir,

f(n) = fh(n) + fp(n),

para todo n ∈ Z.

Para encontrar la solucion particular se utiliza el metodo de coeficientes indeter-

minados, pero tambien existe el metodo de variacion de constantes que es analogo

al explicado en ecuaciones diferenciales ordinarias.

Metodo de los coeficientes indeterminados

El metodo de coeficientes indeterminados tiene algunas restricciones, porque de-

pende de la forma del termino independiente g(n). Se muestra en la tabla la

solucion particular de la ecuacion (5.52) respecto de la forma de g(n).

109

Tip

og(n

)no

raız

raız

de

mult

iplici

dad

mf p

c1

–a

c–

1anm

Pk(n

)1

–Qk(n

)

Pk(n

)–

1nmQk(n

)

rnr

–arn

rn–

ranmrn

Pk(n

)rn

r–

Qk(n

)rn

Pk(n

)rn

–r

nmQk(n

)rn

aco

s(nθ)

+b

sen(nθ)

cos(θ)

+ise

n(θ

)–

Aco

s(nθ)

+B

cos(nθ)

aco

s(nθ)

+b

sen(nθ)

–co

s(θ)

+ise

n(θ

)nm

(Aco

s(nθ)

+B

cos(nθ)

)

rn(a

cos(nθ)

+b

sen(nθ)

)r

(cos

(θ)

+ise

n(θ

))–

rn(A

cos(nθ)

+B

cos(nθ)

)

rn(a

cos(nθ)

+b

sen(nθ)

)–

r(c

os(θ

)+ise

n(θ

))rnnm

(Aco

s(nθ)

+B

cos(nθ)

)

Tabla 5.1: Solucion particular de una ecuacion en diferencias lineal.

Se realiza algunos ejemplos utilizando la Tabla 5.1.

Ejemplo 5.9.3. Encontrar la solucion de la ecuacion en diferencias lineal

f(n+ 2)− 3 f(n+ 1) + 2 f(n) = 6, (5.53)

110

para todo n ∈ Z.

Solucion: En efecto, la ecuacion caracterıstica es,

r2 − 3r + 2 = 0.

Ası,

r1 = 2, r2 = 1.

Entonces,

fh(n) = c1 2n + c2 1n = c1 2n + c2,

para todo n ∈ Z.

Como g(n) = 6 y r = 1 = r2, entonces tiene multiplicidad m = 1. Utilizando la

Tabla 5.1, se obtiene que fp(n) = a n, para todo n ∈ Z.

Sustituyendo fp en la ecuacion (5.53), se obtiene que

a (n+ 2)− 3 a (n+ 1) + 2 an = 6

a = −6.

Ası, fp(n) = −6n, para todo n ∈ Z. Por tanto,

f(n) = c1 2n − 6n+ c2,

para todo n ∈ Z.


f(n+ 2)− 3 f(n+ 1) + 2 f(n) = 2n, (5.54)

para todo n ∈ Z.


r2 − 3r + 2 = 0.

111

Ası,

r1 = 2, r2 = 1.

Entonces,

fh(n) = c1 2n + c2 1n = c1 2n + c2,

para todo n ∈ Z.

Como g(n) = 2n y r = 2 = r1, entonces tiene multiplicidad m = 1. Utilizando la

tabla 5.1, se obtiene que fp(n) = a n 2n, para todo n ∈ Z.

Sustituyendo fp en la ecuacion (5.54), se obtiene que

a(n+ 2) 2n+2 − 3 a(n+ 1) 2n+1 + 2 a n 2n = 2n

4an+ 8a− 6an− 6a+ 2an = 1

a =1

2.

Ası, fp(n) = n 2n−1 para todo n ∈ Z. Por tanto,

f(n) = c1 2n + c2 + n 2n−1,

para todo n ∈ Z.


f(n+ 2) + f(n) = sen(nπ

2

), (5.55)

para todo n ∈ Z.


r2 + 1 = 0.

Ası,

r1 = i, r2 = −i.

Entonces,

fh(n) = c1 cos(nπ

2

)+ c2 sen

(nπ2

).

112

para todo n ∈ Z.

Como g(n) = sen(nπ

2

)y r = cos

(π2

)+ i sen

(π2

)= i = r1, entonces tiene

multiplicidad m = 1. Utilizando la Tabla 5.1, se obtiene que

fp(n) = a n cos(nπ

2

)+ b nsen

(nπ2

),

para todo n ∈ Z. Sustituyendo fp en la ecuacion (5.55), se obtiene que

a(n+ 2) cos

((n+ 2)π

2

)+ b(n+ 2) sen

((n+ 2)π

2

)+ a n cos

(nπ2

)+ b n sen

(nπ2

)= sen

(nπ2

)− 2 a cos

(nπ2

)− 2 b sen

(nπ2

)= sen

(nπ2

).

Ası, a = 0 y b = −1

2. Entonces,

fp(n) = −n2

sen(nπ

2

),

para todo n ∈ Z. Por tanto,

f(n) = c1 cos(nπ

2

)+ c2 sen

(nπ2

)− n

2sen(nπ

2

),

para todo n ∈ Z.


f(n+ 2)− 6 f(n+ 1) + 9 f(n) = 2n, (5.56)

para todo n ∈ Z.


r2 − 6r + 9 = 0.

113

Ası,

r1,2 = 3.

Entonces,

fh(n) = c1 3n + c2 n 3n,

para todo n ∈ Z.

Como g(n) = 2n y r = 1 6= r1,2, entonces utilizando la Tabla 5.1, se obtiene que

fp(n) = a n+ b, para todo n ∈ Z.

Sustituyendo fp es la ecuacion (5.56), se obtiene que

a(n+ 2) + b− 6 [a(n+ 1) + b] + 9(a n+ b) = 2n

4an− 4a+ 4b = 2n.

Ası, a = 12

y b = 12. Entonces,

fp(n) =1

2n+

1

2,

para todo n ∈ Z. Por tanto,

f(n) = c1 3n + c2 n 3n +n

2+

1

2,

para todo n ∈ Z.

114

CAPITULO 6

APLICACIONES

Las ecuaciones funcionales se originaron de las aplicaciones, para resolver pro-

blemas en la ciencia y en la ingenierıa que generalmente son modelados por la

ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, pero antes del desarrollo de las

ecuaciones diferenciales los procesos fısicos fueron analizados por funciones.

Cuando un proceso fısico es modelado por una funcion f , se utiliza la variable x

con los valores de entrada y la variable f(x) como los valores de salida, que sa-

tisfacen relaciones o propiedades del proceso fısico, que se conocen generalmente

por la observacion. Lo cual conduce a ecuaciones funcionales en funcion de f .

Para modelar estas ecuaciones funcionales no se necesita de la diferenciabilidad

de la funcion dada, por lo cual puede llevar a soluciones diferentes a las de ecua-

ciones diferenciales que pueden ser de gran interes para ingenieros y cientıficos.

6.1 Caracterizacion de la Distribucion Geometrica

En esta sesion se utilizara la ecuacion exponencial de Cauchy que esta mostrada

en el Teorema 3.1.4, para la caracterizacion de la Distribucion Geometrica en

terminos de la propiedad de ausencia de memoria.

Una variable aleatoria X se dice geometrica, si su funcion de densidad de proba-

bilidad esta dada por

f(x) = (1− p)x−1 p,

para todo x ∈ N, donde p ∈ [0, 1] es un parametro dado.

Ademas, p usualmente se denota como la probabilidad de sucesos.

115

Una variable aleatoria, X, tiene la propiedad de ausencia de memoria si satisface

P (X > m+ n|X > n) = P (X > m), (6.1)

para todo m,n ∈ N. De la definicion de probabilidad condicional, se tiene que

P (X > m+ n|X > n) =P ((X > m+ n) ∩ (X > n))

P (X > n), (6.2)

para todo m,n ∈ N. Igualando las ecuaciones (6.1) y (6.2), se obtiene que

P ((X > m+ n) ∩ (X > n)) = P (X > m) · P (X > n),

para todo m,n ∈ N. Ası,

P (X > m+ n) = P (X > m) · P (X > n), (6.3)

para todo m,n ∈ N.

Teorema 6.1.1. Se tiene que X es una variable aleatoria geometrica si y solo si

X satisface la propiedad de ausencia de memoria.

Demostracion. ⇒) Primero, se supone que X es una variable aleatoria geometrica

tal que

X ∼ (1− p)x−1 p

para todo x ∈ N, donde p ∈ ]0, 1[. Luego,

P (X > m+ n) =∞∑

x=m+n+1

(1− p)x−1 p

= p

∞∑j=0

(1− p)j+m+n

= p (1− p)m+n

∞∑j=0

(1− p)j

= (1− p)n+m

= (1− p)n · (1− p)m

= P (X > n) · P (X > m),

116

para todo m,n ∈ R. Ası,

P (X > m+ n) = P (X > n) · P (X > m).

para todo m,n ∈ N. De (6.3), se concluye que X es una variable aleatoria con la

propiedad de ausencia de memoria.

⇐) Sea X una variable aleatoria que satisface la propiedad de ausencia de me-

moria. Es decir,

P (X > m+ n) = P (X > m) · P (X > n),

para todo m,n ∈ N. Se va probar que X es una variable geometrica.

Se define una funcion g : N→ R tal que

g(n) := P (X > n), (6.4)

para todo n ∈ N. Entonces, la ecuacion (6.4) se transforma en

g(m+ n) = g(m) · g(n),

para todo m,n ∈ N. Como P (X > n) es una funcion continua, entonces g es una

funcion continua y satisface las condiciones del Teorema 3.1.4. En consecuencia,

existe una constante a ∈ R tal que

g(n) = an,

para todo n ∈ N. Ası,

P (X > n) = an

1− F (n) = an,

para todo n ∈ N, donde F es la funcion de distribucion acumulativa.

Por tanto,

F (n) = 1− an, (6.5)

117

para todo n ∈ N. Utilizando las propiedades de la funcion de distribucion, se

tiene que

1 = lımn→+∞

F (n)

1 = lımn→+∞

(1− an).

De lo cual, se concluye que a ∈ ]0, 1[.

Ahora, sustituyendo a por (1− p) en (6.5), se obtiene que

F (n) = 1− (1− p)n

para todo n ∈ N, donde p ∈ ]0, 1[. De la funcion de densidad de una variable

aleatorio X, se tiene que

f(1) = F (1) = p.

f(2) = F (2)− F (1)

= 1− (1− p)2 − p

= (1− p) · p

= (1− p) · f(1).

f(3) = F (3)− F (2)

= 1− (1− p)3 − 1 + (1− p)2

= (1− p)2 · p

= (1− p) · f(2).

Se va probar que por induccion que

f(x) = (1− p)x−1 · p,

para todo x ∈ N.

Para x = 1, es verdadero puesto que f(1) = p.

Para x = k ∈ N, se supone que es verdadero tal que

f(k) = (1− p)k−1 · p (6.6)

118

Para x = k + 1,

f(k + 1) = (1− p) · f(k)

= (1− p) · (1− p)k−1 · p por (6.6)

= (1− p)k · p.

Por tanto, se ha demostrado que

f(x) = (1− p)x−1 · p,

para todo x ∈ N, donde p ∈ ]0, 1[. Entonces, X es una variable aleatoria geometri-

ca de parametro p.

6.2 Suma de potencias de los numeros enteros

Sea fk : N→ N una funcion continua dada por

fk(n) = 1k + 2k + · · ·+ nk,

donde n, k son numeros enteros positivos. Se denota fk(n) como la suma de los

primeros n numeros naturales elevados potencia k. Encontrar la formula general

fk(n) tiene interesado a los matematicos mas de 300 anos, uno de los primeros en

resolver este problema fue James Bernoulli (1655-1705), para lo cual se utilizaron

varios metodos para encontrar la suma fk(n) (ver [9]) esto conduce a varias

relaciones de recurrencia, donde se utilizan ecuaciones funcionales.

Ahora, mediante el uso ecuaciones funcionales se determina las formulas de fk(n),

para k = 1, 2 y un numero arbitrario k ∈ N.

119

https://revistasuma.es/IMG/pdf/51/089-092.pdf

6.2.1 Suma de los primeros n numeros naturales

Sea f1 : N→ N una funcion continua dada por

f1(n) = 1 + 2 + · · ·+ n,

para todo n ∈ N. Luego,

f1(m+ n) = 1 + 2 + 3 + · · ·+m+ (m+ 1) + · · ·+ (m+ n)

= f1(m) + (m+ 1) + (m+ 2) + · · ·+ (m+ n)

= f1(m) + f1(n) +mn,


f1(m+ n) = f1(m) + f1(n) +mn, (6.7)

para todo m,n ∈ N. Se define una funcion g1 : N→ R tal que

g1(n) = f1(n)− 1

2n2 (6.8)


g1(m+ n) = g1(m) + g1(n),

para todo m,n ∈ N. Como f1 es una funcion continua, entonces g1 es una funcion


una constante c ∈ R tal que

g1(n) = c n,

para todo n ∈ N. Entonces, utilizando (6.8), se obtiene que

f1(n) = c n+1

2n2,

120

para todo n ∈ N. Evaluando en n = 1 la ecuacion anterior, se tiene que

f1(1) = c+1

2

1 = c+1

2.

Ası, c =1

2. Por tanto,

f1(n) =n

2+n2

2

=n(n+ 1)

2,


f1(n) = 1 + 2 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2,

para todo n ∈ N.

6.2.2 Suma de cuadrados de los primeros n numeros natu-

rales

Sea f2 : N→ N una funcion continua dada por

f2(n) = 1 + 22 + · · ·+ n2,


f2(m+ n) = 12 + 22 + · · ·+m2 + (m+ 1)2 + · · ·+ (m+ n)2

= f2(m) +[12 + 22 + · · ·+ n2

]+ 2m [1 + 2 + · · ·+ n] +m2 n

= f2(m) + f2(n) + 2mf1(n) +m2 n

= f2(m) + f2(n) +mn2 +m2 n+mn,


f2(m+ n) = f2(m) + f2(n) +mn2 +m2 n+mn, (6.9)

121


g2(n) = f2(n)− n2

2− n3

3, (6.10)


g2(m+ n) = f2(m+ n)− (m+ n)2

2− (m+ n)3

3

= f2(m) + f2(n)− m2

2− n2

2− m3

3− n3

3

= g2(m) + g2(n),


g2(m+ n) = g2(m) + g2(n),




g2(n) = c n,

para todo n ∈ N. Entonces, utilizando (6.10), se obtiene que

f2(n) = c n+n2

2+n3

3,

para todo n ∈ N. Evaluando en n = 1 la ecuacion anterior, se obtiene que

f2(1) = c+1

2+

1

3

1 = c+5

6.

122

Ası, c =1

6. Por tanto,

f2(n) =n

6+n2

2+n3

3

=n+ 3n2 + 2n3

6

=n(n+ 1)(2n+ 1)

6,


f2(n) =n (n+ 1) (2n+ 1)

6,

para todo n ∈ N.

6.2.3 Suma de kth potencias de los primeros n numeros na-

turales

Sea fk : N→ N dada por

fk(n) = 1k + 2k + · · ·+ nk, (6.11)

para todo n ∈ N, donde k ∈ N dado. Utilizando el Teorema Binomial, se obtiene

que

fk(n+m) = 1k + 2k + · · ·+ nk + (n+ 1)k + · · ·+ (n+m)k

= fk(n) +k∑i=0

(k

i

)ni 1k−i + · · ·+

k∑i=0

(k

i

)nimk−i

= fk(n) +k∑i=0

(k

i

)ni[1k−i + · · ·+mk−i]

= fk(n) +k∑i=0

(k

i

)nifk−i(m)

= fk(n) + fk(m) +k∑i=1

(k

i

)nifk−i(m),

123


fk(n+m)− fk(n)− fk(m) =k∑i=1

(k

i

)nifk−i(m), (6.12)

para todo m,n ∈ N. Para resolver la ecuacion funcional (6.12) se va explicar dos

metodos. Considere,

fk(1) = 1, f0(m) = m

(i) Evaluando en n = 1 la ecuacion (6.12), se obtiene que

fk(m+ 1)− fk(m)− fk(1) =k∑i=1

(k

i

)fk−i(m)

para todo m ∈ N. Ası,

(m+ 1)k − 1 =k∑i=1

(k

i

)fk−i(m), (6.13)

para todo m ∈ N. Por tanto, la solucion de (6.11) es la relacion de recurrencia

(6.13).

Para k = 2 en (6.13), se tiene que

m2 + 2m = 2 f1(m) + f0(m)

= 2 f1(m) +m,

para todo m ∈ N. Por tanto,

f1(m) =m (m+ 1)

2,

para todo m ∈ N.


m3 + 3m2 + 3m = 3 f2(m) + 3 f1(m) + f0(m)

= 3 f2(m) +3m(m+ 1)

2+m,

124

para todo m ∈ N. Por tanto,

f2(m) =m(m+ 1)(2m+ 1)

6,

para todo m ∈ N.

(ii) La parte izquierda de la ecuacion (6.12) es simetrica con respecto a m y n.

Entonces,

k∑i=1

(k

i

)nifk−i(m) =

k∑i=1

(k

i

)mifk−i(n),

para todo m,n ∈ N. Sustituyendo m = 1 y utilizando fk(1) = 1, se obtiene que

k∑i=1

(k

i

)nifk−i(1) =

k∑i=1

(k

i

)fk−i(n)

k∑i=1

(k

i

)fk−i(n) = (1 + n)k − 1.


k fk−1(n) = (1 + n)k − 1−k∑i=2

(k

i

)fk−i(n)


fk−1(n) =

(1 + n)k − 1−k∑i=2

(k

i

)fk−i(n)

k, (6.14)

para todo n ∈ N, donde k ∈ N. Por tanto, la solucion de (6.11) es una relacion

de recurrencia (6.14). Utilizando f0(n) = n se puede determinar la suma de los

n primeros numeros naturales a cualquier potencia entera positiva.

Para k = 2 en (6.14), se obtiene que

f1(n) =n2 + 2n− f0(n)

2,

125

para todo n ∈ N. Por tanto,

f1(n) =n(n+ 1)

2,

para todo n ∈ N.


f2(n) =n3 + 3n2 + 3n− 3f1(n)− f0(n)

3

=1

3

[n3 +

3n2

2+n

2

],


f2(n) =1

6n(n+ 1)(2n+ 1),

para todo n ∈ N.

La tabla que se presenta a continuacion contiene los coeficientes de fk,

n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7

f0(n) 1

f1(n) 1/2 1/2

f2(n) 1/6 1/2 1/3

f3(n) 1/4 1/2 1/4

f4(n) −1/30 1/3 1/2 1/5

f5(n) −1/12 5/12 1/2 1/6

f6(n) 1/42 −1/6 1/2 1/2 1/7

Tabla 6.1: Coeficientes de la suma de potencias de numeros naturales.

La Tabla 6.1 muestra los coeficientes de fk hasta k = 7, para obtener los coefi-

cientes se procede de la siguiente forma se empieza con el 1 en la esquina superior

izquierda, puesto que f0(n) = n y no se llena el resto de la fila, esto representa

como un cero para los coeficientes de los terminos de orden superior.

Se obtiene el resto de los coeficientes de la tabla de la siguiente forma ca-

da cuadro en forma diagonal hacia abajo se calcula con la siguiente formula

126

C(i − 1, j − 1) = C(i, j) · (i/j), donde i representa el subındice para la fila y j

representa el exponente para la columna. Para obtener los elementos de la prime-

ra columna, se suma los valores que estan a la derecha de la primera columna y

luego se resta para 1, este procedimiento genera todas las formulas para la suma

de la potencias de los numeros enteros.

6.3 Numeros de Combinaciones con n objetos

Sea f2(n) como el numero de posibles duplas de n ∈ N objetos. Se considera dos

conjuntos de n ∈ N y m ∈ N objetos, respectivamente.

n objetos m objetos

Conjunto A Conjunto B

Entonces, el numero de posible duplas de m + n objetos es igual al numero de

duplas del conjunto A mas el numero de duplas del conjunto B mas el producto

del numero de objetos de cada conjunto. Es decir,

f2(m+ n) = f2(m) + f2(n) +mn, (6.15)


g2(n) = f2(n)− n2

2(6.16)


g2(m+ n) = g2(m) + g2(n), (6.17)

127




g2(n) = c n,

para todo n ∈ N. Entonces, utilizando (6.16), se tiene que

f2(n) = c n+n2

2, (6.18)

para todo n ∈ N. Utilizando que f2(2) = 1, se obtiene que

1 = 2 c+ 2

c = −1

2.

Por tanto,

f2(n) =n(n− 1)

2=

(n

2

),

para todo n ∈ N.

Si f3(n) se denota como el numero de tripletas posibles n ∈ N objetos. Se va

probar que f3(n) =(n3

). Considerando dos conjuntos de n ∈ N y m ∈ N objetos,

respectivamente f3(m + n) es igual al numero de tripletas del conjunto A mas

el numero de tripletas del conjunto B mas la combinacion de terminos con tres

elementos tomando algun elemento de cada conjunto. Es decir,

f3(m+ n) = f3(m) + f3(n) +mf2(n) + n f2(m)

= f3(m) + f3(n) +1

2(mn2 + nm2)−mn


f3(m+ n) = f3(m) + f3(n) +1

2

(mn2 + nm2

)−mn, (6.19)


g3(n) = f3(n)− n3

6+n

2,

128


g3(m+ n) = g3(n) + g3(m),


f3(n) = c n− n2

2+n3

6,

para todo n ∈ N. Utilizando que f3(3) = 1, se obtiene que

1 = 3 c− 9

2+

27

6

1 = 3 c.

Ası, c =1

3. Por tanto,

f3(n) =n(n− 1)(n− 2)

6=

(n

3

),

para todo n ∈ N.

129

BILIOGRAFIA

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[2] CAUCHY, A. L. 1821. Cours d’Analyse de l’Ecole Royale Polytechnique, Pre-

miere partie : Analyse algebrique, Parıs, Francia.

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[7] SAHOO, Prasanna K., and KANNAPPAN, Palaniappan. 2011. Introduction

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