Fundamentos MatemáticosAplicaciones de la

Derivada

Definición

Definición

Puntos Críticos

Los puntos en los cuales la derivada de una función es igual a cero o no existe se conocen como puntos críticos de la función y representan un posible valor máximo o mínimo de la función.

Criterio de la Primera Derivada

Criterio de la Primera Derivada

Ejemplo 1

Obtén los puntos en donde ocurren los máximos y mínimos para la función y proporciona el intervalo en donde  f (x)  es creciente y en  donde es decreciente.

f(x) =1/4 x4 – 2/3 x3

f’(x) = 4/4 x3 – 2(3) / 3 x2 = x3 - 2x2

f’(x) = 0 x3 - 2x2 = 0 x2 (x - 2) = 0

X = 0 y x = 2, son los valores de x, donde hay puntos críticos.

0 2

Ejemplo 1

Intervalos

No. seleccionado

f’(x)= x3 – 2x2

Signo 1ª. Derivada

Conclusión

(-оо, 0) -1 (-1)3 -2(-1)2= -3 - Decreciente

(0, 2) 1 (1)3 -2(1)2= -1 - Decreciente

(2, +оо) 4 (4)3 -2(4)2= 32 + CrecienteEn x=0, no es máximo, no es mínimo.

En x=2, es un mínimoSi f’(x) > 0, entonces f(x) es crecienteSi f’(x) < 0, entonces f(x) es decrecientef(x) es decreciente en el intervalo (-оо, 2)

Ejemplo 1

Si se quiere obtener el valor mínimo local de la función, se sustituye x=2 en la función original.

f(x) =1/4 x4 – 2/3 x3

f(2) =1/4 (2)4 – 2/3 (2)3 = -4/3

Por lo tanto, el punto más bajo de la función es (2, -4/3)

Concavidad y Puntos de Inflexión

La concavidad nos proporciona información acerca de la forma en que la gráfica de una función se flexiona, es decir, se vuelve curva. 

Si trazamos rectas tangentes a una gráfica y esta se encuentra siempre por arriba de las rectas tangentes, se dice que la gráfica es cóncava hacia arriba.

Concavidad y Puntos de Inflexión

De manera similar, si trazamos rectas tangentes a una gráfica y esta se encuentra siempre por abajo de las rectas tangentes, se dice que la gráfica es cóncava hacia abajo.

Puntos de Inflexión

Ejemplo 2

Utiliza la segunda derivada para determinar los puntos de inflexión de la función f(x) =1/20 x5 – 5/12 x4, determina los intervalos en los que la función es cóncava hacia arriba y en los que es cóncava hacia abajo.

f’(x) = 5/20 x4 – 5(4) / 12 x3 = 5/20 x4 - 20/12 x3

f’’(x) = 5(4) / 20 x3 – 20 (3) /12 x2 = 20/20 x3 – 60/12 x2 = x3 – 5 x2

f’’(x) = 0 x3 - 5x2 = 0 x2 (x - 5) = 0

X = 0 y x = 5, son los valores de x, donde podrían existir puntos de inflexión.

0 5

Ejemplo 2

Intervalos

No. seleccionado

f’’(x)= x3 – 5x2

Signo 1ª. Derivada

Conclusión

(-оо, 0) -1 (-1)3 -5(-1)2= -6 - Cóncava

hacia abajo(0, 5) 1 (1)3 -5(1)2=

-4 - Cóncava hacia abajo

(5, +оо) 6 (6)3 -5(6)2= 36 + Cóncava

hacia arriba

0 5Cóncava hacia abajo

Cóncava hacia abajo

Cóncava hacia arriba

f’’(x) < 0

f’’(x) < 0

f’’(x) > 0

En x=5, la gráfica de la función tiene un punto de inflexión.

Ejemplo 2

Si se quiere obtener la ordenada del valor de x, se sustituye x=5 en la función original.

f(x) = 1/20 x5 – 5/12 x4

f(5) = 1/20 (5)5 – 5/12 (5)4 = - 104.17

Por lo tanto, el punto de inflexión es (5, -104.17)