Tema 1:Fundamentos MatemáticosFundamentos Matemáticos

Antonio González Fernández

ánde

z Departamento de Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla

nzál

ez F

erná

Parte 5/7

Anto

nio

Gon

Parte 5/7Circulación, rotacional y

t d St k

© 2

010,

A teorema de Stokes

La circulación es una integral de línea d t i lde un campo vectorial

Una integral de línea es una calculada a lo largo de una curvaUna integral de línea es una calculada a lo largo de una curva

Ejemplo: trabajo realizado por una fuerza

,lim · d

B

AC

r 0

F r F rΓ

ánde

z

Es un escalar con signoΔr

F

El resultado depende del camino

nzál

ez F

erná

p

Ej.: B = −yux + xuy = ρu Segmento: x (−a,a), y = 0, z = 0 0 d 0

aC x x

u u u

Anto

nio

Gon

Arco: ρ = a, φ (0,π), z = 0

0 d 0x y xaC x x u u u

© 2

010,

A

2

2

0dC a a a

u u

Circulación a lo largo de una curva dcerrada

Si consideramos una curva cerrada obtenemos la circulaciónSi consideramos una curva cerrada obtenemos la circulación como medida de la rotación neta

·dC

F r

ánde

z

ΓΓ

nzál

ez F

erná 0C 0C

Ej: Para Γ circular, A = r y 2d d 0C

A

Anto

nio

Gon

j , yB = −yux + xuy = ρu

Γ

0

·d d 0C a a A r u u

2

© 2

010,

A

3

Γ: ρ = a,φ (0,2π), z = 0 2 2

0·d d 2C a a a

B r u u

Definición de rotacional de un campo t i lvectorial

La circulación sobre Si queremos localizar las rotaciones, La circulación sobre una curva cerrada nos da la rotación

q ,debemos tomar curvas más pequeñas

1lim d F r Dividimos por ΔS para nos da la rotación neta de un campo. 0

lim ·dS S F r p p

que no tienda a 0

l d l

ánde

z

Esta es la componente del rotacional ×F en la dirección perpendicular a la curva y

nzál

ez F

erná perpendicular a la curva y

orientada según la regla de la mano derecha

Anto

nio

Gon

0

1lim ·dn S S

F F rPodemos imaginar una rueda

d l f l

© 2

010,

A

4

de paletas infinitesimal como medida del rotacional

El rotacional es un vector, aunque la i l ió lcirculación sea un escalar.

El rotacional ×F es un vector con tres componentes pindependientes, cada una de las cuales es un límite diferente

ánde

z nz

ález

Fer

náAn

toni

o G

on

xF z

F yF

© 2

010,

A

5 x y zx y z F F u F u F u

Ejemplo de rotacional: movimiento de t ió ifrotación uniforme

Para el campoPara el campo

x yy x B u u u

La circulación es no nula:

ánde

z

no nula:

En el eje

En el resto del

nzál

ez F

erná En el resto del

espacio

Anto

nio

Gon

El rotacional vale

2 B u

© 2

010,

A

6

2 z B u

En general ×F no es perpendicular a F

Rotacional en un movimiento rectilíneo

En el perfil de Poiseuille las líneas de campo son rectasp p

ánde

z nz

ález

Fer

náAn

toni

o G

on

2

1v v u 02v

v uSe produce rotación debido al movimiento

© 2

010,

A 0 21 zva

v u 2a v u

7

debido al movimiento diferencial

El rotacional da las fuentes vectoriales d t i lde un campo vectorial

El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorialEl rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial

F J · F

J: fuentes vectoriales de F ρ: fuentes escalares de F

ánde

z

Un campo que carece de fuentes vectoriales (J = 0) en todo el espacio se denomina

nzál

ez F

erná todo el espacio se denomina

irrotacional

Anto

nio

Gon Ej: todo campo central es

irrotacional

© 2

010,

A

8 F 0 rF rF u

El rotacional como aplicación del d bloperador nabla

El rotacional El rotacional puede calcularse como

31 21 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

A A Ah q h q h q

uu uA u u u

ánde

z nz

ález

Fer

ná

Puede 1 1 2 2 3 3h h hu u uLas derivadas

Anto

nio

Gon

Puedecalcularse como un

1 1 2 2 3 3

1 2 3 1 2 3

1h h h q q q

A

Las derivadas actúan sobre la fila inferior

© 2

010,

A

9

determinante1 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3

q q qh A h A h A

la fila inferior

Ejemplos de cálculo del rotacionalj p

Ejemplo: A = r0

0 0

x y z

z y

u u u

0

j p

0 0x y zy

x y z y zx y z

r u u u 0

Ejemplo: B =−yux + xuy = ρu

ánde

z

1z

u u u

r 0 2

x y z

yx

u u u

B u u

nzál

ez F

erná

0zz

r 0 2

0

z zx y z x yy x

B u u

Anto

nio

Gon

2

sen1

r r r

u u u

r 021 1 2

z

u u u

B u u

© 2

010,

A

10

2 sen0 0

rrr

r 0

2

2

0 0

z zz

B u u

Más álgebra del operador nablag p

Suma: Producto por un escalar:p

· · · A B A B · · · A A A A B A B A A A

A B A B A A A

ánde

z Producto escalar de dos vectores:

· · · A B A B B A A B B A

nzál

ez F

erná

Producto vectorial de dos vectores:

A B A B B A A B B A

Anto

nio

Gon

· · · · A B B A B A A B A B · · · A B A B B A

© 2

010,

A

11

Teorema de StokesS

La circulación sobre una curva El rotacional da la rotación cerrada da la rotación neta local en un punto del espacio

La suma de las rotaciones locales da la rotación netaLa suma de las rotaciones locales da la rotación neta·d

F r d

nSS F · d

SS F n ·d

S F S

J F

ánde

z Teorema de Stokes

·d ·d F r F S

J = ×F

n

nzál

ez F

erná ·d ·d

S F r F S

F

Anto

nio

Gon S es una superficie arbitraria

que tiene a Γ por borde y orientada según la regla de

Γ

F

© 2

010,

A

12

orientada según la regla de la mano derecha

Ejemplo de aplicación del teorema de St kStokes

1.11. Para el campo vectorial

A = (x − y)ux + (x + y)uy + zuz( y) x ( y) y z

calcule su circulación a lo largo de las siguientes curvas cerradas:

ánde

z

cerradas:(a) Un cuadrado de lado 2a, con vértices ±aux ± auy.(b) Una circunferencia de radio R situada en el plano z = 0 y

nzál

ez F

erná con centro el origen de coordenadas.

(c) Una circunferencia vertical, situada en el plano x = y ycon centro el origen de coordenadas

Anto

nio

Gon con centro el origen de coordenadas.

Halle la circulación por integración directa y por aplicación del teorema de Stokes.

© 2

010,

A

13

S

Solución

Una integral de línea que no es una i l ió t fi icirculación: vector superficie

1 16 D t i t d l d d d1.16 Demuestre que integrando alrededor de una curva cerrada, Γ, del plano XY, se cumple que

1

donde r es el vector de posición y S el área encerrada por

1 d2

S r r

ánde

z

donde r es el vector de posición y S el área encerrada por Γ. A partir de aquí, deduzca que para una curva arbitraria en el espacio 1

nzál

ez F

erná

d d S t t l á d

1 d2

r r S

Anto

nio

Gon donde S es un vector cuyas componentes son las áreas de

las proyecciones de la curva sobre los planos coordenados.

S l ió

© 2

010,

A

14

Solución

Más sobre el vector superficie. I t t ió ét iInterpretación geométrica

Curva plana en S: área de la Curva planaCurva plana en el plano XY

S

S: área de la porción de plano

Curva plana en el espacio

n: según la1 d zSu n: según la regla de la mano derecha

d2

r r

ánde

z

Curva alabeada

nzál

ez F

erná

x x y y z zS S S S u u u

Anto

nio

Gon Componentes: áreas de

las proyecciones sobre los planos coordenados

© 2

010,

A

15

los planos coordenados

Sevilla octubre de 2010

ánde

z

Sevilla, octubre de 2010

nzál

ez F

erná

Anto

nio

Gon

© 2

010,

A

16