4.5 DERIVADA DIRECCIONAL

Si generalizamos la definición de una derivada parcial para obtener la razón de cambio de una función con respecto a la distancia, en cualquier dirección, obtenemos el concepto de una derivada direccional.

Sea F una función de las dos variables x e y, y sea P(x,y), un punto en el plano xy. Supongamos que U es el vector unitario que forma un ángulo de θ radianes con el lado positivo del eje x. Entonces:

U=Cos (θ ) i+Sen (θ ) j

La siguiente figura, muestra la representación de U , teniendo su punto inicial en el punto P(x,y).

Definición.

Sea f(x,y), si U es el vector unitario Cos (θ ) i+Sen (θ ) j , entonces la derivada

direccional de f, en la dirección de U , denotada por DU f , está dada por:

DU f ( x , y )=limh→0

f ( x+hCosθ , y+hSenθ )−f (x , y )h ,

si éste límite existe.

La derivada direccional da la razón de cambio de los valores de la función (x, y) con respecto a la distancia en el plano xy, medida en la dirección del vector unitario U .

A partir de la ecuación de DU f ( x , y ) podemos obtener:

a) Si U=i , entonces Cos (θ )=1 y Sen (θ )=0 , por lo tanto

Di f ( x , y )=limh→0

f (x+h , y )−f ( x , y )h

qué es la derivada parcial de f, respecto a x.

b) Si U= j , entonces Cos (θ )=0 y Sen (θ )=1 , por lo tanto

D j f ( x , y )=limh→0

f ( x , y+h )−f ( x , y )h

qué es la derivada parcial de f, respecto a y.

Por lo que, f x y f y , son casos especiales de la derivada direccional en las direcciones de los vectores unitarios i y j, respectivamente.

Teorema:

Si F es una función diferenciable en x e y, y U=Cos (θ ) i+Sen (θ ) j , entonces:

DU f ( x , y )=f x ( x , y )Cosθ+ f y ( x , y )Senθ

La derivada direccional se puede escribir como el producto punto de dos vectores. Como:

DU f ( x , y )= f x ( x , y )Cosθ+ f y ( x , y )Senθ

DU f ( x , y )= (Cos (θ ) i+Sen (θ ) j ) [ f x ( x , y ) i+ f y (x , y ) j ]El segundo vector, en el lado derecho de la ecuación anterior es muy

importante y se lama gradiente de la función f.

El símbolo que usamos para el gradiente de f, es ∇ f , donde ∇ es una delta mayúscula invertida. Algunas veces se utiliza también el término grad f.