4.5 Derivada Direccional
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4.5 DERIVADA DIRECCIONAL Si generalizamos la definición de una derivada parcial para obtener la razón de cambio de una función con respecto a la distancia, en cualquier dirección, obtenemos el concepto de una derivada direccional. Sea F una función de las dos variables x e y, y sea P(x,y), un punto en el plano xy. Supongamos que U es el vector unitario que forma un ángulo de θ radianes con el lado positivo del eje x. Entonces: U=Cos ( θ ) i+ Sen ( θ ) j La siguiente figura, muestra la representación de U , teniendo su punto inicial en el punto P(x,y). Definición. Sea f(x,y), si U es el vector unitario Cos ( θ ) i+ Sen ( θ ) j , entonces la derivada direccional de f, en la dirección de U , denotada por D U f , está dada por: D U f ( x,y )= lim h → 0 f ( x + hCosθ,y + hSen θ) −f ( x,y ) h , si éste límite existe. La derivada direccional da la razón de cambio de los valores de la función (x, y) con respecto a la distancia
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Derivada direccional
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4.5 DERIVADA DIRECCIONAL
Si generalizamos la definición de una derivada parcial para obtener la razón de cambio de una función con respecto a la distancia, en cualquier dirección, obtenemos el concepto de una derivada direccional.
Sea F una función de las dos variables x e y, y sea P(x,y), un punto en el plano xy. Supongamos que U es el vector unitario que forma un ángulo de θ radianes con el lado positivo del eje x. Entonces:
U=Cos (θ ) i+Sen (θ ) j
La siguiente figura, muestra la representación de U , teniendo su punto inicial en el punto P(x,y).
Definición.
Sea f(x,y), si U es el vector unitario Cos (θ ) i+Sen (θ ) j , entonces la derivada
direccional de f, en la dirección de U , denotada por DU f , está dada por:
DU f ( x , y )=limh→0
f ( x+hCosθ , y+hSenθ )−f (x , y )h ,
si éste límite existe.
La derivada direccional da la razón de cambio de los valores de la función (x, y) con respecto a la distancia en el plano xy, medida en la dirección del vector unitario U .
A partir de la ecuación de DU f ( x , y ) podemos obtener:
a) Si U=i , entonces Cos (θ )=1 y Sen (θ )=0 , por lo tanto
Di f ( x , y )=limh→0
f (x+h , y )−f ( x , y )h
qué es la derivada parcial de f, respecto a x.
b) Si U= j , entonces Cos (θ )=0 y Sen (θ )=1 , por lo tanto
D j f ( x , y )=limh→0
f ( x , y+h )−f ( x , y )h
qué es la derivada parcial de f, respecto a y.
Por lo que, f x y f y , son casos especiales de la derivada direccional en las direcciones de los vectores unitarios i y j, respectivamente.
Teorema:
Si F es una función diferenciable en x e y, y U=Cos (θ ) i+Sen (θ ) j , entonces:
DU f ( x , y )=f x ( x , y )Cosθ+ f y ( x , y )Senθ
La derivada direccional se puede escribir como el producto punto de dos vectores. Como:
DU f ( x , y )= f x ( x , y )Cosθ+ f y ( x , y )Senθ
DU f ( x , y )= (Cos (θ ) i+Sen (θ ) j ) [ f x ( x , y ) i+ f y (x , y ) j ]El segundo vector, en el lado derecho de la ecuación anterior es muy
importante y se lama gradiente de la función f.
El símbolo que usamos para el gradiente de f, es ∇ f , donde ∇ es una delta mayúscula invertida. Algunas veces se utiliza también el término grad f.
