OTROS PROBLEMAS QUE APLICAN REGLA DE LA CADENA TEMAS DE CÁLCULO VECTORIAL

EJEMPLO APLICADO EN DERIVADAS PARCIALES POR SUSTITUCIÓN

Ejemplo: hallar las derivadas parciales por sustitución

𝜕𝑤

𝜕𝑠y

𝜕𝑤

𝜕𝑡

Para:

𝑤 = 2𝑥𝑦

Donde

𝑥 = 𝑠2 + 𝑡2 y 𝑦 =𝑠

𝑡

Solución:

Se sustituyen los parámetros 𝑥 y 𝑦 en la función 𝑤:

𝑤 = 2𝑥𝑦 = 2 𝑠2 + 𝑡2𝑠

𝑡=2𝑠3

𝑡+ 2𝑠𝑡

Derivando la nueva función 𝑤 con respecto a 𝑠:

𝜕𝑤

𝜕𝑠=

𝑑

𝑑𝑠

2𝑠3

𝑡+ 2𝑠𝑡

𝜕𝑤

𝜕𝑠=

𝜕

𝜕𝑠

2𝑠3

𝑡+

𝜕

𝜕𝑠2𝑠𝑡

𝜕𝑤

𝜕𝑠=2

𝑡

𝜕

𝜕𝑠𝑠3 + 2𝑡

𝜕

𝜕𝑠𝑠

𝜕𝑤

𝜕𝑠=2

𝑡3𝑠2 + 2𝑡 1

𝜕𝑤

𝜕𝑠=6𝑠2

𝑡+ 2𝑡

Y derivando la nueva función 𝑤 con respecto a 𝑡:𝜕𝑤

𝜕𝑡=

𝑑

𝑑𝑡

2𝑠3

𝑡+ 2𝑠𝑡

𝜕𝑤

𝜕𝑡=

𝜕

𝜕𝑡

2𝑠3

𝑡+

𝜕

𝜕𝑡2𝑠𝑡

𝜕𝑤

𝜕𝑡= 2𝑠3

𝜕

𝜕𝑡

1

𝑡+ 2𝑠

𝜕

𝜕𝑡𝑡 = 2𝑠3 −

1

𝑡2+ 2𝑠 1

𝜕𝑤

𝜕𝑡= −

2𝑠3

𝑡2+ 2𝑠

Así que los resultados son:

𝜕𝑤

𝜕𝑠=6𝑠2

𝑡+ 2𝑡

𝜕𝑤

𝜕𝑡= −

2𝑠3

𝑡2+ 2𝑠

REGLA DE LA CADENA: DOS VARIABLES INDEPENDIENTES

Sea 𝑤 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , donde 𝑓 es una función diferenciable de 𝑥 y 𝑦. Si 𝑥 = 𝑔 𝑠, 𝑡 y 𝑦 = ℎ 𝑠, 𝑡

son tales que las derivadas parciales de primer orden,𝜕𝑥

𝜕𝑠,𝜕𝑥

𝜕𝑡,𝜕𝑦

𝜕𝑠y𝜕𝑦

𝜕𝑡, existen, entonces

𝜕𝑤

𝜕𝑠y

𝜕𝑤

𝜕𝑡existan y están dadas por:

𝜕𝑤

𝜕𝑠=𝜕𝑤

𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑠+𝜕𝑤

𝜕𝑦

𝜕𝑦

𝜕𝑠

Y:𝜕𝑤

𝜕𝑡=𝜕𝑤

𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑡+𝜕𝑤

𝜕𝑦

𝜕𝑦

𝜕𝑡

REGLA DE LA CADENA: DERIVACIÓN IMPLÍCITA

Si la ecuación 𝐹 𝑥, 𝑦 = 0 define a 𝑦 implícitamente como función derivable de 𝑥, entonces:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

𝐹𝑥 𝑥, 𝑦

𝐹𝑦 𝑥, 𝑦

Si la ecuación 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 define a 𝑧 implícitamente como función diferenciable de 𝑥 y 𝑦, entonces:

𝜕𝑧

𝜕𝑥= −

𝐹𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧

𝐹𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧

Y:

𝜕𝑧

𝜕𝑦= −

𝐹𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧

𝐹𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧

BIBLIOGRAFÍAS

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.

Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo ce varias variables. Mexico: CENGAGE Learning.

R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW - HILL.