4.13 Otros problemas que aplican regla de la cadena
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OTROS PROBLEMAS QUE APLICAN REGLA DE LA CADENA TEMAS DE CÁLCULO VECTORIAL
EJEMPLO APLICADO EN DERIVADAS PARCIALES POR SUSTITUCIÓN
Ejemplo: hallar las derivadas parciales por sustitución
𝜕𝑤
𝜕𝑠y
𝜕𝑤
𝜕𝑡
Para:
𝑤 = 2𝑥𝑦
Donde
𝑥 = 𝑠2 + 𝑡2 y 𝑦 =𝑠
𝑡
Solución:
Se sustituyen los parámetros 𝑥 y 𝑦 en la función 𝑤:
𝑤 = 2𝑥𝑦 = 2 𝑠2 + 𝑡2𝑠
𝑡=2𝑠3
𝑡+ 2𝑠𝑡
Derivando la nueva función 𝑤 con respecto a 𝑠:
𝜕𝑤
𝜕𝑠=
𝑑
𝑑𝑠
2𝑠3
𝑡+ 2𝑠𝑡
𝜕𝑤
𝜕𝑠=
𝜕
𝜕𝑠
2𝑠3
𝑡+
𝜕
𝜕𝑠2𝑠𝑡
𝜕𝑤
𝜕𝑠=2
𝑡
𝜕
𝜕𝑠𝑠3 + 2𝑡
𝜕
𝜕𝑠𝑠
𝜕𝑤
𝜕𝑠=2
𝑡3𝑠2 + 2𝑡 1
𝜕𝑤
𝜕𝑠=6𝑠2
𝑡+ 2𝑡
Y derivando la nueva función 𝑤 con respecto a 𝑡:𝜕𝑤
𝜕𝑡=
𝑑
𝑑𝑡
2𝑠3
𝑡+ 2𝑠𝑡
𝜕𝑤
𝜕𝑡=
𝜕
𝜕𝑡
2𝑠3
𝑡+
𝜕
𝜕𝑡2𝑠𝑡
𝜕𝑤
𝜕𝑡= 2𝑠3
𝜕
𝜕𝑡
1
𝑡+ 2𝑠
𝜕
𝜕𝑡𝑡 = 2𝑠3 −
1
𝑡2+ 2𝑠 1
𝜕𝑤
𝜕𝑡= −
2𝑠3
𝑡2+ 2𝑠
Así que los resultados son:
𝜕𝑤
𝜕𝑠=6𝑠2
𝑡+ 2𝑡
𝜕𝑤
𝜕𝑡= −
2𝑠3
𝑡2+ 2𝑠
REGLA DE LA CADENA: DOS VARIABLES INDEPENDIENTES
Sea 𝑤 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , donde 𝑓 es una función diferenciable de 𝑥 y 𝑦. Si 𝑥 = 𝑔 𝑠, 𝑡 y 𝑦 = ℎ 𝑠, 𝑡
son tales que las derivadas parciales de primer orden,𝜕𝑥
𝜕𝑠,𝜕𝑥
𝜕𝑡,𝜕𝑦
𝜕𝑠y𝜕𝑦
𝜕𝑡, existen, entonces
𝜕𝑤
𝜕𝑠y
𝜕𝑤
𝜕𝑡existan y están dadas por:
𝜕𝑤
𝜕𝑠=𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑠+𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑠
Y:𝜕𝑤
𝜕𝑡=𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑡+𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑡
REGLA DE LA CADENA: DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Si la ecuación 𝐹 𝑥, 𝑦 = 0 define a 𝑦 implícitamente como función derivable de 𝑥, entonces:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
𝐹𝑥 𝑥, 𝑦
𝐹𝑦 𝑥, 𝑦
Si la ecuación 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 define a 𝑧 implícitamente como función diferenciable de 𝑥 y 𝑦, entonces:
𝜕𝑧
𝜕𝑥= −
𝐹𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧
𝐹𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧
Y:
𝜕𝑧
𝜕𝑦= −
𝐹𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧
𝐹𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧
BIBLIOGRAFÍAS
Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo ce varias variables. Mexico: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW - HILL.