CATEDRÁTICO: ING. ROLANDO GÓMEZ MENDO

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA AL CAMPO PETROLERO. UNIDAD 3

INTEGRANTES:NUÑEZ RODRÍGUEZ STEPHANEE ARLETTESAYAGO CRUZ MARIANA MIGUEL EDUARDO SANTIAGO OSORIORODRÍGUEZ PECINA JESÚS EDOARDO

INGENIERÍA PETROLERA. GRUPO 2

3 .3DISTRIBUCIÓN DE PROPORCIONES

Distribución de Proporciones

Existen ocasiones en las cuales no estamos interesados en la media de una muestra, sino que queremos investigar la proporción de personas con cierta preferencia , etc. En la muestra. La distribución muestral de proporciones es la ó distribución de proporciones es la adecuada para dar respuesta a estas situaciones.

Esta distribución se genera de igual manera que la distribución muestral de medias, a excepción de que al extraer las muestras de la población se calcula el estadístico proporción (p = x/n) en dónde “x” es el número de éxitos u observaciones de interés y “n” el tamaño de la muestra) en lugar de la media de cada muestra que se calculaba antes.

El siguiente diagrama sirve para explicar el concepto de distribución muestral de proporciones

La distribución muestral de proporciones está estrechamente relacionada con la distribución binomial; una distribución binomial es una distribución del total de éxitos en las muestras, mientras que una distribución de proporciones es la distribución de un promedio (media) de los éxitos.

Una distribución binomial es, por ejemplo, si hechamos una moneda al aire y observamos el lado que cae. Está claro que sólo hay dos posibilidades. Ahora bien, la probabilidad de que caiga la moneda de cualquier lado es la misma siempre que no esté cargada. Como cada caso tiene igual probabilidad de ocurrir, y siendo la suma de probabilidades siempre igual a 1, entonces la probabilidad de que caiga la moneda de algún lado es 0.5.

Si realizamos el experimento “n” veces y queremos saber la probabilidad de que salga águila o sol “x” veces, entonces usamos una distribución binomial

Generación de la distribución muestral de proporciones

Suponga que se cuenta con un grupo de 12 personas, el cual tiene 4 personas con fobias. Se van a seleccionar 5 personas al azar de ese grupo sin reemplazo. Vamos a generar la distribución muestral de proporciones para el número de personas con fobias. Como se puede observar en este ejercicio la proporción de personas con fobias de esta población es:

P= 4/12=0.333

Por lo que podemos decir que el 33% de las personas de este grupo tienen fobias.

El número posible de muestras de tamaño 5 a extraer de una población de 12 elementos es 12C5=792, las cuales se pueden desglosar en la siguiente tabla.

Para calcular la media de la distribución muestral de proporciones se tendría que hacer la sumatoria de la frecuencia por el valor de la proporción muestral y dividirla entre el número total de muestras. Esto es:

Como podemos observar la media de la distribución muestral de proporciones es igual a la proporción de la población.

La desviación estándar de la distribución muestral de proporciones del ejemplo se puede calcular directamente con los datos:

Sin embargo, podemos usar la distribución binomial lo cual nos da la siguiente fórmula para la desviación estándar de la distribución muestral de proporciones:

Nota: “P” es la proporción de la población pero “n” es el tamaño de la muestra.

Como vimos antes, si contamos con una población finita y un muestreo sin reemplazo, para calcular la desviación estándar usamos la corrección (como regla aproximada, si el muestreo se hace sin reemplazo y el tamaño de la población es 20 veces el tamaño de la muestra o menor, entonces se puede usar la fórmula):

Para el ejemplo anterior, tendríamos la siguiente distribución de probabilidades

Para comprobar la fórmula anterior tendríamos que:

Lo cuál es el valor de la desviación estándar obtenida antes

Ejemplo: Se ha determinado que 85.1% de los estudiantes de una universidad

fuman cigarrillos. Se toma una muestra aleatoria de 200 estudiantes. Calcular la probabilidad de que no mas de 80% de alumnos de la muestra fume.

Solución: La media o valor esperado de la distribución muestral es de P=0.851

(que es la proporción de la población) por lo que:

Usando las tablas de valor Z, para Z=-2.02 encontramos que la probabilidad de que no mas de (es decir, menos de) 80% de los alumnos de la muestra fumen es de 0.0214, o sea 2.14%