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23051 – Análisis Numérico EDOs Numéricas – Guía 1 Marcelo Gallardo Maluenda
1
23051– ANÁLISIS NUMÉRICO
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
(EDO)
NUMÉRICAS
GUÍA 1 Teoría – Mg (c) Ingeniero Civil Mecánico – Marcelo Gallardo Maluenda
Problema 1: Sea la EDO
𝟐𝒚´ − 𝟒𝒚
𝒚(𝟎)
=
=
𝟎
𝟑
(∀ 𝒙 ∈ 𝑰)
definida para los valores de 𝑥 ∈ 𝐼 = [0,3]. Considerando además un conjunto de números particulares de 𝐼 que pertenecen a una partición
𝑃𝑥 = {𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3} = {0,1,2,3}
Encontrar la solución de la EDO, analítica para 𝑥 ∈ 𝐼 y numérica para 𝑥 ∈ 𝑃𝑥 , según el
siguiente procedimiento:
a) Analítica: Clasifique la EDO. En base a lo anterior, resuélvala con el método más
conveniente. Evalúe la solución analítica en 𝑃𝑥 y considere su resultado como los valores
verdaderos de la solución 𝑦(𝑥) al ser comparados con la solución numérica.
b) Numérica: Según los métodos
b.1) Euler Progresivo (EP).
b.2) Euler Modificado (EM).
b.3) Heun (H).
b.4) Runge-Kutta (RK).
b.5) Diferencias finitas (DF).
23051 – Análisis Numérico EDOs Numéricas – Guía 1 Marcelo Gallardo Maluenda
2
Para cada caso, calcule el error verdadero que se comente por estimación de 𝑦(𝑥𝑖) = 𝑦𝑖 .
Nota: Como nomenclatura, considere
Conjunto de valores verdaderos de 𝑦: 𝑃𝑦 = {𝑦(𝑥0), 𝑦(𝑥1), 𝑦(𝑥2), 𝑦(𝑥3)}
Conjunto de valores aproximados de 𝑦: 𝑃𝑦𝑎 = {𝑦0, 𝑦1, 𝑦2}
Condición de borde: 𝑦(𝑥0) = 𝑦(0) = 𝑦0 = 3
a) Solución analítica
Clasificación de la EDO
Considerando
𝑦´ = 𝑦´(𝑥) =𝑑𝑦
𝑑𝑥
En general, la EDO se puede expresar como
𝑎1(𝑥)𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑎0(𝑥)𝑦 = 0
𝑎1(𝑥)𝑑 1 𝑦
𝑑𝑥 1+ 𝑎0(𝑥)𝑦 = 0 ⟹ 𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 𝐸𝐷𝑂 = 𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 {
𝑑 1 𝑦
𝑑𝑥 1} = 1
⟹ 𝐸𝐷𝑂 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛
𝑎1(𝑥)𝑑𝑦 1
𝑑𝑥+ 𝑎0(𝑥)𝑦 1 = 0 ⟹ 𝐸𝐷𝑂 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙
(∀ 𝑖 ∈ {0,1}) 𝑎𝑖(𝑥) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ⟹ 𝐸𝐷𝑂 𝑎 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑎1(𝑥)𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑎0(𝑥)𝑦 = 0 ∧ 𝑎1(𝑥) ≠ 1 ⟹ 𝐸𝐷𝑂 𝑛𝑜 𝑛𝑜𝑚𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎
En consecuencia, tenemos
2𝑑𝑦
𝑑𝑥− 4𝑦 = 0
𝐸𝐷𝑂 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛, 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙, 𝑎 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑦 𝑛𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑧𝑎𝑑𝑎
Normalizando la EDO, despejando términos e integrando, tenemos
2𝑑𝑦
𝑑𝑥− 4𝑦 = 0 |
1
2 ⟹
𝑑𝑦
𝑑𝑥− 2𝑦 = 0 ⟹
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2𝑦 ⟹
𝑑𝑦
𝑦= 2𝑑𝑥 | ∫ ⟹
∫𝑑𝑦
𝑦= 2 ∫ 𝑑𝑥 ⟹ 𝑙𝑛(𝑦) = 2𝑥 + 𝑐 |𝑒 ⟹ 𝑦 = 𝑒2𝑥+𝑐 = 𝑒𝑐𝑒2𝑥 = 𝑘𝑒2𝑥
Solución general de la EDO (sin condición de borde)
𝑦(𝑥) = 𝑘𝑒2𝑥 (𝑘, 𝑥 ∈ ℝ)
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3
Considerando la condición de borde
𝑦(0) = 3
Obtenemos el valor de la constante 𝑘
𝑦(0) = 𝑘𝑒2(0) = 𝑘𝑒0 = 𝑘1 = 𝑘 = 3
Solución particular de la EDO (considerando la condición de borde)
𝑦(𝑥) = 3𝑒2𝑥 (𝑥 ∈ ℝ)
Corroborando
𝑦(𝑥) = 3𝑒2𝑥 ⟹
2𝑑𝑦
𝑑𝑥− 4𝑦 = 2
𝑑
𝑑𝑥(3𝑒2𝑥) − 4(3𝑒2𝑥) = 2(3𝑒2𝑥2) − 4(3𝑒2𝑥) = 12𝑒2𝑥 − 12𝑒2𝑥 = 0
𝑦(0) = 3𝑒2(0) = 3𝑒0 = 3(1) = 3
𝑦(1) = 3𝑒2(1) = 3𝑒2 = 3(7,389056) = 22,167168
𝑦(2) = 3𝑒2(2) = 3𝑒4 = 3(54,598150) = 163,794450
𝑦(3) = 3𝑒2(3) = 3𝑒6 = 3(54,598150) = 403,428793
b) Solución numérica
b.1) Método de Euler Progresivo (EP)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦´(𝑥)
EDO
2𝑑𝑦
𝑑𝑥− 4𝑦 = 0 ⟹ 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 4𝑦 ⟹
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
4
2𝑦 ⟹
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦´(𝑥) = 2𝑦
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑦´(𝑥𝑖)ℎ𝑖 ∧ ℎ𝑖 = ℎ = 1 ⟹ 𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑦´(𝑥𝑖) = 𝑦𝑖 + 2𝑦𝑖 = 3𝑦𝑖
𝑦𝑖+1 = 3𝑦𝑖
𝑥0 = 0 ∧ 𝑦(𝑥0) = 𝑦0 = 3 𝑦1 = 3𝑦0 = 3(3) = 9
𝐸𝑡1 = 𝑦(𝑥1) − 𝑦1 = 22,167168 − 9 = 13,167168
𝜀𝑡𝑝1 = [
𝐸𝑡1
𝑦(𝑥1)] 100 = [
13,167168
22,167168] 100 = 59,3994 ≈ 59,40 [%]
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4
𝑥1 = 1 ∧ 𝑦1 = 9 𝑦2 = 3𝑦1 = 3(9) = 27
𝐸𝑡
2 = 𝑦(𝑥2) − 𝑦2 = 163,794450 − 27 = 136,794450
𝜀𝑡𝑝2 = [
𝐸𝑡2
𝑦(𝑥2)] 100 = [
136,794450
163,794450] 100 = 83,5159 ≈ 83,52 [%]
𝑥2 = 2 ∧ 𝑦2 = 27 𝑦3 = 3𝑦2 = 3(27) = 81
𝐸𝑡3 = 𝑦(𝑥3) − 𝑦3 = 403,428793 − 81 = 322,428794
𝜀𝑡𝑝3 = [
𝐸𝑡3
𝑦(𝑥3)] 100 = [
322,428794
403,428793] 100 = 79,9221 ≈ 79,92 [%]
b.2) Euler Modificado (EM)
𝑦𝑖+1 2⁄ = 𝑦𝑖 + 𝑦´(𝑥𝑖)ℎ𝑖
2 ∧ ℎ𝑖 = 1 ⟹ 𝑦𝑖+1 2⁄ = 𝑦𝑖 +
𝑦´(𝑥𝑖)
2= 𝑦𝑖 +
2𝑦𝑖
2= 𝑦𝑖 + 𝑦𝑖 = 2𝑦𝑖
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑦´(𝑥𝑖+1 2⁄ )ℎ𝑖 ∧ ℎ𝑖 = 1 ⟹ 𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑦´(𝑥𝑖+1 2⁄ ) = 𝑦𝑖 + 2𝑦𝑖+1 2⁄
= 𝑦𝑖 + 2(2𝑦𝑖) = 𝑦𝑖 + 4𝑦𝑖 = 5𝑦𝑖
𝑦𝑖+1 = 5𝑦𝑖
𝑥0 = 0 ∧ 𝑦(𝑥0) = 𝑦0 = 3 𝑦1 = 5𝑦0 = 5(3) = 15
𝐸𝑡
1 = 𝑦(𝑥1) − 𝑦1 = 22,167168 − 15 = 7,167168
𝜀𝑡𝑝1 = [
𝐸𝑡1
𝑦(𝑥1)] 100 = [
7,167168
22,167168] 100 = 32,3324 ≈ 32,33 [%]
𝑥1 = 1 ∧ 𝑦1 = 15 𝑦2 = 5𝑦1 = 5(15) = 75
𝐸𝑡2 = 𝑦(𝑥2) − 𝑦2 = 163,794450 − 75 = 88,794450
𝜀𝑡𝑝2 = [
𝐸𝑡2
𝑦(𝑥2)] 100 = [
88,794450
163,794450] 100 = 54,2109 ≈ 54,21 [%]
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5
𝑥2 = 2 ∧ 𝑦2 = 75 𝑦3 = 5𝑦2 = 5(75) = 375
𝐸𝑡
3 = 𝑦(𝑥3) − 𝑦3 = 403,428793 − 375 = 28,428794
𝜀𝑡𝑝3 = [
𝐸𝑡3
𝑦(𝑥3)] 100 = [
28,428794
403,428793] 100 = 7,0468 ≈ 7,05 [%]
b.3) Heun (H)
𝑦𝑖+1𝑝
= 𝑦𝑖 + 𝑦´(𝑥𝑖)ℎ𝑖 ∧ ℎ𝑖 = ℎ = 1 ⟹ 𝑦𝑖+1𝑝
= 𝑦𝑖 + 𝑦´(𝑥𝑖) = 𝑦𝑖 + 2𝑦𝑖 = 3𝑦𝑖
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + [𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) + 𝑓(𝑥𝑖+1, 𝑦𝑖+1𝑝
)] (ℎ𝑖
2) = 𝑦𝑖 + [𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) + 𝑓(𝑥𝑖+1, 3𝑦𝑖)] (
ℎ𝑖
2)
= 𝑦𝑖 + [2𝑦𝑖 + 2(3𝑦𝑖)] (ℎ𝑖
2) = 𝑦𝑖 + [2𝑦𝑖 + 6𝑦𝑖] (
ℎ𝑖
2) = 𝑦𝑖 + 8𝑦𝑖 (
ℎ𝑖
2) = 𝑦𝑖 + 4𝑦𝑖ℎ𝑖
= (1 + 4ℎ𝑖)𝑦𝑖
𝑦𝑖+1 = (1 + 4ℎ𝑖)𝑦𝑖 ∧ ℎ𝑖 = ℎ = 1 ⟹ 𝑦𝑖+1 = (1 + 4[1])𝑦𝑖 = (1 + 4)𝑦𝑖 = 5𝑦𝑖
𝑦𝑖+1 = 5𝑦𝑖
𝑥0 = 0 ∧ 𝑦(𝑥0) = 𝑦0 = 3 𝑦1 = 5𝑦0 = 5(3) = 15
𝐸𝑡
1 = 𝑦(𝑥1) − 𝑦1 = 22,167168 − 15 = 7,167168
𝜀𝑡𝑝1 = [
𝐸𝑡1
𝑦(𝑥1)] 100 = [
7,167168
22,167168] 100 = 32,3324 ≈ 32,33 [%]
𝑥1 = 1 ∧ 𝑦1 = 15 𝑦2 = 5𝑦1 = 5(15) = 75
𝐸𝑡
2 = 𝑦(𝑥2) − 𝑦2 = 163,794450 − 75 = 88,794450
𝜀𝑡𝑝2 = [
𝐸𝑡2
𝑦(𝑥2)] 100 = [
88,794450
163,794450] 100 = 54,2109 ≈ 54,21 [%]
𝑥2 = 2 ∧ 𝑦2 = 75 𝑦3 = 5𝑦2 = 5(75) = 375
𝐸𝑡
3 = 𝑦(𝑥3) − 𝑦3 = 403,428793 − 375 = 28,428794
𝜀𝑡𝑝3 = [
𝐸𝑡3
𝑦(𝑥3)] 100 = [
28,428794
403,428793] 100 = 7,0468 ≈ 7,05 [%]
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Nota: Dependiendo de la naturaleza de la EDO, existe la posibilidad que la función incógnita
𝑦(𝑥) resultante tenga valores iguales para distintos métodos, como en este caso (EM y H).
Este hecho no necesariamente es frecuente al resolver EDOs numéricas.
b.4) Runge-Kutta (RK)
𝑥0 = 0 ∧ 𝑦(𝑥0) = 𝑦0 = 3
𝑘1 = 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) = 2𝑦𝑖 ⟹ 𝑦𝑖+
12
𝑝1= 𝑦𝑖 + 𝑘1
ℎ𝑖
2= 𝑦𝑖 + (2𝑦𝑖)
ℎ𝑖
2= 𝑦𝑖 + 𝑦𝑖ℎ𝑖 = (1 + ℎ𝑖)𝑦𝑖
𝑦𝑖+
12
𝑝1= (1 + ℎ𝑖)𝑦𝑖 ∧ ℎ𝑖 = ℎ = 1 ⟹ 𝑦
𝑖+12
𝑝1= (1 + [1])𝑦𝑖 = 2𝑦𝑖
𝑘2 = 𝑓 (𝑥𝑖+1/2, 𝑦𝑖+1/2𝑝1
) = 2 (𝑦𝑖+1/2𝑝1
) = 2(2𝑦𝑖) = 4𝑦𝑖 ⟹
𝑦𝑖+
12
𝑝2= 𝑦𝑖 + 𝑘2
ℎ𝑖
2= 𝑦𝑖 + (4𝑦𝑖)
ℎ𝑖
2= 𝑦𝑖 + 2𝑦𝑖ℎ𝑖 = (1 + 2ℎ𝑖)𝑦𝑖
𝑦𝑖+
12
𝑝2= (1 + 2ℎ𝑖)𝑦𝑖 ∧ ℎ𝑖 = ℎ = 1 ⟹ 𝑦
𝑖+12
𝑝2= (1 + 2[1])𝑦𝑖 = 3𝑦𝑖
𝑘3 = 𝑓 (𝑥𝑖+1/2, 𝑦𝑖+1/2𝑝2
) = 𝑓(𝑥𝑖+1/2, 3𝑦𝑖) = 2(3𝑦𝑖) = 6𝑦𝑖 ⟹
𝑦𝑖+1𝑝1
= 𝑦𝑖 + 𝑘3ℎ𝑖 = 𝑦𝑖 + (6𝑦𝑖)ℎ𝑖 = 𝑦𝑖 + 6𝑦𝑖ℎ𝑖 = (1 + 6ℎ𝑖)𝑦𝑖
𝑦𝑖+1𝑝1
= (1 + 6ℎ𝑖)𝑦𝑖 ∧ ℎ𝑖 = ℎ = 1 ⟹ 𝑦𝑖+1𝑝3
= (1 + 6[1])𝑦𝑖 = 7𝑦𝑖
𝑘4 = 𝑓(𝑥𝑖+1, 𝑦𝑖+1𝑝1
) = 𝑓(𝑥𝑖+1, 7𝑦𝑖) = 2(7𝑦𝑖) = 14𝑦𝑖
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + [𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4] (ℎ𝑖
6) = 𝑦𝑖 + [2𝑦𝑖 + 2(4𝑦𝑖) + 2(6𝑦𝑖) + 14𝑦𝑖] (
ℎ𝑖
6)
= 𝑦𝑖 + [2𝑦𝑖 + 8𝑦𝑖 + 12𝑦𝑖 + 14𝑦𝑖] (ℎ𝑖
6) = 𝑦𝑖 + [36𝑦𝑖] (
ℎ𝑖
6) = 𝑦𝑖 + 6𝑦𝑖ℎ𝑖 = (1 + 6ℎ𝑖)𝑦𝑖
𝑦𝑖+1 = (1 + 6ℎ𝑖)𝑦𝑖 ∧ ℎ𝑖 = ℎ = 1 ⟹ 𝑦𝑖+1 = (1 + 6[1])𝑦𝑖 = 7𝑦𝑖
𝑦𝑖+1 = 7𝑦𝑖
𝑥0 = 0 ∧ 𝑦(𝑥0) = 𝑦0 = 3 𝑦1 = 7𝑦0 = 7(3) = 21
𝐸𝑡
1 = 𝑦(𝑥1) − 𝑦1 = 22,167168 − 21 = 1,167168
𝜀𝑡𝑝1 = [
𝐸𝑡1
𝑦(𝑥1)] 100 = [
1,167168
22,167168] 100 = 5,2653 ≈ 5,27 [%]
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7
𝑥1 = 1 ∧ 𝑦1 = 21 𝑦2 = 7𝑦1 = 7(21) = 147
𝐸𝑡
2 = 𝑦(𝑥2) − 𝑦2 = 163,794450 − 147 = 16,794450
𝜀𝑡𝑝2 = [
𝐸𝑡2
𝑦(𝑥2)] 100 = [
16,794450
163,794450] 100 = 10,2534 ≈ 10,25 [%]
𝑥2 = 2 ∧ 𝑦2 = 147 𝑦3 = 7𝑦2 = 7(147) = 1029
𝐸𝑡
3 = 𝑦(𝑥3) − 𝑦3 = 403,428793 − 1029 = −625,571207
𝜀𝑡𝑝3 = [
𝐸𝑡3
𝑦(𝑥3)] 100 = [
−625,571207
403,428793] 100 = −155,0636 ≈ −155,06 [%]
b.5) Diferencias finitas (DF)
EDO
𝑦´ = 2𝑦
Derivada hacia adelante
𝑦´(𝑥𝑖) ≈𝑦(𝑥𝑖 + ℎ𝑖) − 𝑦(𝑥𝑖)
ℎ𝑖≈
𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖
ℎ𝑖 ∧ 𝑦(𝑥𝑖) = 𝑦𝑖 ⟹ 𝐸𝐷𝑂:
𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖
ℎ𝑖= 2𝑦𝑖 ⟹
𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖 = 2𝑦𝑖ℎ𝑖 ⟹ 𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 2𝑦𝑖ℎ𝑖
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 2𝑦𝑖ℎ𝑖 ∧ ℎ𝑖 = 1 ⟹ 𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 2𝑦𝑖(1) = 𝑦𝑖 + 2𝑦𝑖 = 3𝑦𝑖
𝑦𝑖+1 = 3𝑦𝑖
𝑥0 = 0 ∧ 𝑦(𝑥0) = 𝑦0 = 3 𝑦1 = 3𝑦0 = 3(3) = 9
𝐸𝑡1 = 𝑦(𝑥1) − 𝑦1 = 22,167168 − 9 = 13,167168
𝜀𝑡𝑝1 = [
𝐸𝑡1
𝑦(𝑥1)] 100 = [
13,167168
22,167168] 100 = 59,3994 ≈ 59,40 [%]
23051 – Análisis Numérico EDOs Numéricas – Guía 1 Marcelo Gallardo Maluenda
8
𝑥1 = 1 ∧ 𝑦1 = 9 𝑦2 = 3𝑦1 = 3(9) = 27
𝐸𝑡
2 = 𝑦(𝑥2) − 𝑦2 = 163,794450 − 27 = 136,794450
𝜀𝑡𝑝2 = [
𝐸𝑡2
𝑦(𝑥2)] 100 = [
136,794450
163,794450] 100 = 83,5159 ≈ 83,52 [%]
𝑥2 = 2 ∧ 𝑦2 = 27 𝑦3 = 3𝑦2 = 3(27) = 81
𝐸𝑡3 = 𝑦(𝑥3) − 𝑦3 = 403,428793 − 81 = 322,428794
𝜀𝑡𝑝3 = [
𝐸𝑡3
𝑦(𝑥3)] 100 = [
322,428794
403,428793] 100 = 79,9221 ≈ 79,92 [%]
Nota: Si nos interesa mejorar los valores obtenidos por la solución numérica, podemos reducir
el tamaño de separación ℎ𝑖 = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 entre valores 𝑥𝑖 y 𝑥𝑖+1. Por otra parte, debemos
recordar que ℎ𝑖 no necesariamente debe ser constante. Por ello, en este problema se ha
mantenido dicha rotulación y no se ha utilizado ℎ𝑖 = ℎ, para recordar que no estamos
obligados a considerar un paso constante. La elección de su naturaleza dependerá de la
información que se quiera obtener sobre la EDO.