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8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica – ILN 230
Profesores
Fredy Kristjanpoller R.fredy.kristjanpoller@usm.cl
Nicolás Cohen A.nicolas.cohen@usm.cl
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Ingeniería EconómicaPrimera Parte: Matemáticas Financieras
Profesores
Fredy Kristjanpoller R.fredy.kristjanpoller@usm.cl
Nicolás Cohen A.nicolas.cohen@usm.cl
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¿Ingeniería Económica?
Herramientas matemáticas de decisión paracomparar racionalmente alternativaseconómicas, de modo de seleccionar las másconveniente.
Permite evaluar aspectos económicos dediferentes alternativas que pueden cumplir un
cierto objetivo.
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Contenidos
• Matemáticas Financieras
– Valor del Dinero en el tiempo.
– Interés
– Tasa de Interés (simple, compuesto, nominal,
efectivo,continua).
– Valor Futuro
– Pagos Periódicos (PAYMENT).
– Gradientes (decrecientes, crecientes, escalada).
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– Interés interperiódico
– Bonos
– Inflación
– Amortización – Depreciación. Tipos de Depreciación
– Flujo de Caja
Contenidos
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Contenidos
• Indicadores Económicos
– Valor Actual Neto (VAN)
– Costo anual uniforme equivalente (CAUE)
– Tasa Interna de Retorno (TIR)
– Costo Capitalizado
– Tasa de Rentabilidad (TIR Modificada)
– Razón Beneficio/Costo , Ivan, Payback (Tiempo de Pago)
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Contenidos
• Análisis Económicos – Reemplazo de Equipos.
– Leasing.
– Evaluación de Inversiones.
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Valor del dinero en el tiempo
¿Es mejor recibir$100.000 hoy o enun año más?
R: Es mejor recibir el dinero hoy:
• Dentro de un año ese dinero sedesvalorizará debido a la inflación (entérminos generales, rara vez puede ocurriruna deflación por un periodo prolongado).
• Se pierde la oportunidad de invertirlo enalguna actividad que, además de protegerde la inflación me puede generar unautilidad adicional
El valor del dinero se refiere al poder adquisitivo que tiene eldinero en el tiempo. Debido al ejemplo, se puede concluir queel dinero actual “vale”más que el dinero futuro
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Algunas DefinicionesBien o recurso económico circulable y, por lo tanto, su
uso o posesión ocasiona un costo o un beneficio, cuya
magnitud depende tanto de la valoración que se le dé,como del tiempo de usufructo de dicho bien.
“Valor del dinero en el tiempo”.
“Valor recibido o entregado por el uso del dinero através del tiempo”.
“Utilidad o ganancia que genera un capital”.
Precio que se paga por el uso del dinero que se tieneen préstamo durante un tiempo determinado”
“Rendimiento de una inversión”
Dinero
Interés
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Interés
Ejemplo: Pido prestado 100.000 y tengo que
devolver 105.000. El interés pagado es $5.000
Por lo tanto......
Interés = Monto Final – Monto Inicial
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Tasa de InterésPorcentaje del monto inicial en un tiempo determinado
Monto Inicial = $100.000
Interés = $5.000. Por lo tanto:
100InicialMonto
Interés (%)InterésdeTasa •=
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Interés - Nomenclatura – VP, valor presente o actual de la suma de dinero o capital (Principal).
– VF, valor futuro, valor en el cual se convierte una suma de dinero
durante un tiempo determinado.
– PMT (Payment), serie de sumas de dinero consecutivas, iguales de fin
de período . – n, número de períodos de interés.
– I, valor de un interés devengado por una suma prestada durante un
cierto tiempo.
– i, tasa de interés por período.
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Diagramas Económicos
Representación gráfica de los flujos de efectivo trazados
en una escala de tiempo.
Permite visualizar un problema, facilitando así su
definición y análisis. Consta de una línea horizontal, dividida en intervalos de
tiempo, y de flechas verticales que representan los
ingresos y egresos.
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Diagramas Económicos
Ingresos
0 1 2 3 …… N tiempo
Presente Egresos
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Interés Simple
Es el interés que se aplica tomando solamente elMonto Inicial. Se ignora cualquier interés quepueda acumularse en los períodos precedentes
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Interés Compuesto
Es el interés que se calcula sobre el Monto Inicialmás la cantidad acumulada de intereses enperíodos anteriores. Es decir, se cobra interéssobre el monto inicial más el “interés sobre losintereses”
Este interés es el que
mejor representa el valor
del dinero en el tiempo
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Cálculo del Valor Futuro
niVPVF )1( +⋅=
Donde: VF = Valor FuturoVP = Valor Presentei = Tasa de Interésn = Períodos de Capitalización
Cuando se utiliza interés simple, el cálculo del valor futuro se
realiza por medio de la siguiente fórmula:
)1( niVPVF ⋅+⋅=
Si se utiliza interés compuesto, el valor futuro se calcularásegún:
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Ejemplos
1) Se ha obtenido un préstamo de $1.000 a interés simple con
una tasa del 6% anual. ¿Cuánto debería pagar en dos añosmás? ¿Cuánto estoy pagando en intereses?
120.112,1000.1)206,01(000.1 =⋅=⋅+⋅=VF
Debo pagar $1.120 al cabo de dos años
Solución: )1( niVPVF ⋅+⋅=
120000.1120.1 =−= Intereses
InicialMonto-FinalMontoInterés =
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2) Con el mismo ejemplo anterior, responder las preguntasconsiderando interés compuesto. Compare.
124.16,123.11236,1000.1)06,01(000.1 2 ≈=⋅=+⋅=VF
Debo pagar $1.124 al cabo de dos años
Solución:
124000.1124.1 =−= Intereses
InicialMonto-FinalMontoInterés =
niVPVF )1( +⋅=
Note que tanto VF como el
interés son mayores que enel caso de interés simple
Ejemplos
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Interés Efectivo y Nominal
Interés nominal (r ): La tasa de interés del período por el
número de períodos.
“Nominal” significa “aparente o pretendido” es decir, unatasa nominal no es real, por lo que se debe convertir a
una tasa efectiva
Interés efectivo (i ): Aquella que mide realmente elinterés otorgado o cobrado.
Analicémoslo con un ejemplo:
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A) 1.000 pesos depositados al 10% anual EFECTIVO
1.000 1.100 Al cabo de un año
B) 1.000 pesos depositados al 10% anual concapitalización semestral (NOMINAL)
1.000 1.050 1.102,5
5% 5%
5% en cada Semestre(período de Capitalización)
Equivalente a un interés efectivo anual de 10,25%
Interés Efectivo y Nominal
Ejercicio 1
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Conversión de una tasa nominal a una
efectiva
En general podemos calcular la tasa de
interés efectiva a partir de una tasa de
interés nominal, por medio de la siguiente
fórmula:
¿Cómo se calculó la
tasa de interés efectiva
en el ejercicio anterior?
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11 −
+=
m
m
r i
Donde:i = tasa de interés efectivo
r = tasa de interés nominal
m = número de capitalizacionesque ocurren dentro del períodoindicado en el enunciado de la tasade interés nominal
Conversión de una tasa nominal a una
efectiva
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 25
Observaciones
•Cuando el período de capitalización NO ESTA DADO, la tasa
de interés es EFECTIVA
Conversión de tasas efectivas36512642 )1()1()1()1()1()1( +=+=+=+=+=+ D M BT S A iiiiii
Donde: iA = Interés Anual Efectivo
iS = Interés Semestral Efectivo
iT
= Interés Trimestral Efectivo
iB = Interés Bimestral Efectivo
iM = Interés Mensual Efectivo
iD = Interés Diario Efectivo
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Ejercicio
En los siguientes enunciados, indique: Tipo de interés, y el
período de capitalización, además calcule el interés efectivo endicho período.
Enunciado Tipo de Interés Periodo Cap. ief del período cap.
10% anual Cap.trimestral
Nominal Trimestre 2,5%
5% Semestral Efectivo Semestre 5%
Ejercicio 2 Ejercicio 3
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Interés efectivo para capitalizaciones
continuas
11 −
+=
m
m
r iSabemos que la fórmula
nos sirve para convertir una tasa de interés nominal en unaefectiva, pero qué ocurre si las capitalizaciones soncontinuas, es decir, ¿qué ocurre si m tiende a infinito?
En estos casos podemos calcular la tasa de interés efectivapor medio de la siguiente fórmula:
r ei
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Ejemplo:
Un banco aplica a los préstamos una tasa del15% anual concapitalización en segundo. ¿Cuál es es la tasa de interésefectiva?
Como en este ejercicio el valor de “m” será bastante grande,podemos estimar la tasa de interés efectiva usando la fórmulapara capitalización continua:
%183,1616183,0115,0 ==−= ei
Interés efectivo para capitalizaciones
continuas
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000.536.31606024365 =⋅⋅⋅=m
%196,1616196,01000.536.31
15,01
000.536.31
==−
+=i
Calculemos la tasa efectiva real:
Note que existe diferencia entre la estimación y el valorreal desde el 4to decimal (2do si se utiliza comoporcentaje).
Interés efectivo para capitalizaciones
continuas
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Payment (Pagos periódicos)
Despejando el PMT, tendremos:
( )( )
capitaldelónrecuperacideFactor...11
1 ==
−+
⋅+ C RF i
iin
n
En donde:
( )
( )
−+
⋅+⋅=
11
1n
n
i
iiVPPMT
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Payment (Pagos periódicos)
También se puede relacionar el PMT con el valor futuro:
( )
( )
( )
−+
⋅+
⋅=
−+⋅= 11
1
11 n
n
n i
ii
VPi
i
VF PMT
Este término se conoce como SFF (Factorde amortización de capital)
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Simulación
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Simulación
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Ejemplo Nº 1
El ayudante tiene en mente
comprarse un automóvildeportivo.
Si el vehículo cuesta
$7.000.000 y se deseapagarlo en 48 cuotasiguales.
¿Cuál será el valor de cada cuota si el interés es del 3%mensual? ¿Cuánto debería pagar El ayudante si decidieracancelar toda su deuda al final de la cuota 48?
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Solución
( )
( )
−+
⋅+⋅=
11
1n
n
i
iiVPPMT
Para calcular el valor de cada cuota solo necesitamos
ocupar la fórmula del Payment
Reemplazando, tendremos:
( )
( ) 045.277
103,1
03,003,1000.000.7
48
48
=
−
⋅⋅=PMT
Por lo tanto, El ayudante deberá pagar cuotas de$277.045
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Para calcular cuanto debería pagar si decidiera cancelar
toda su deuda al final de la cuota 48, podemos utilizar lafórmula del Payment o simplemente llevar a valor fururo
el valor inicial del vehículo:
( ) ( ) 824.925.2803,0
103,1045.27711 48
=
−⋅=
−+⋅=
iiPMT VF
n
O simplemente:
( ) ( ) 763.925.2803,1000.000.71 48 =⋅=+⋅= niVPVF
(La pequeña diferencia entre estas dos cifras se debe solo a la
aproximación usada en el cálculo del PMT)
Solución (continuación)
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Ejemplo Nº 2 , Caso Real:
Una gran y conocida, tienda por departamento, ofrece paratodos sus clientes ofertas vacacionales . Estas ofertas
pueden ser canceladas de dos maneras: precio contado y
cuotas fijas. Determine la tasa de interés compuesto y elvalor de las cuotas (6), que debe asumir el cliente si opta
por unas vacaciones de Invierno en Punta Cana. ¿Usted
encuentra ésta, una tasa “razonable”?
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Continuación Ejemplo Nº2
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 41
( )( )
−+
+=11
*1*048.5106
6
iiiPMT
Aplicando la fórmula llegamos a un resultado de 6cuotas de $94.473 pesos, encuentra usted la tasa
encontrada de interés razonable?
Continuación Ejemplo Nº2
Ejercicio 4 Ejercicio 5 Ejercicio 6
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Gradientes
Otra alternativa es que los flujos vayan variando en el tiempo,ya sea en forma fija (uniforme) o en cierto porcentaje(escalada).
F3F1 FN
0 1 2 3
n
F2 O sea, los flujos yano serán igualesen cada periodo
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Gradiente Uniforme
En este caso, el aumento en los flujos
es constante.
Denominamos P al valor base (que no cambia) yG al aumento período a período
P+G P+2GP P+(n-1)G
0 1 2 3 n
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Gradiente Uniforme (Continuación)
Nótese que el primertérmino corresponde alPayment de los flujosconstantes
Al obtener una relación que lleve todos los flujos a Valor
Presente:
+
−
⋅+
−+±
⋅+
−+⋅=
nn
n
n
n
i
n
ii
i
i
G
ii
iPVP
11
11
1
110
Signo positivo si el gradientees creciente, negativo si esdecreciente
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Gradiente Uniforme (Continuación)
P = 1.000 G=100
Periodo Flujo
1 1.000
2 1.100
3 1.2004 1.300
5 1.400
El primer paso es determinarla Cantidad Base (P) y elGradiente o aumento (G)
Ejemplo: Considere los siguientes flujos:
Interés: 4% por período
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 46
Gradiente Uniforme (Continuación)
( )( )
( )( ) ( )
+
−⋅+
−++
⋅+
−+⋅=
55
5
5
5
004,01
5
04,004,01
104,01
04,0
100
04,004,01
104,011000VP
Reemplazando:
( ) [ ]1096,44518,4·25004518,410000 −+⋅=VP
53073,53075,8558,44510 ≈=+=VP
El primer términorepresenta sólo losdepósitos de 1000
El segundo término representa lossucesivos incrementos de 100cada uno.
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Gradiente en escalada
También es posible que el aumento en los
flujos sea en determinado “porcentaje”
P(1+E) P(1+E)2P P(1+E)n-1
0 1 2 3 n
Donde E = porcentaje deaumento del flujo
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Gradiente en escalada (continuación)
Nuevamente, podemos llevar a valor presente todos
los flujos con una sola expresión:
−
+
+⋅
−= 1
1
1
0
n
i
E
iE
PVP
Entonces, si se dice que los flujos
van aumentando en un 15% y elinterés es de un 10% E = 0,15i = 0,1
Ejercicio 7 Ejercicio 8
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Interés interperiódico
1) No se paga interés sobre el dinero depositado (oretirado) entre períodos de capitalización.
2) El dinero depositado (o retirado) entre períodos decapitalización gana interés simple
El cálculo del valor futuro o presente depende de las
condiciones existentes para los interperíodos decapitalización, que en general corresponden a unos desiguientes dos casos:
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Interés interperiódico
A través del siguiente ejemplo, veamos como se realizan los
cálculos de los dos casos:
El siguiente diagrama de flujos muestra los depósitos ygiros que realizó una persona en su cuenta de ahorros
durante 12 meses. Calcular la cantidad de dinero tienedicho individuo al final de los 12 meses si el banco pagaun interés del 3% trimestral y:
a) No paga interés interperiódico.
b) Paga interés interperiódico a los depósitos, pero no a losgiros.
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 52
90 900 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
50 30 30 50
50 20 70 70 40
(Depósitos)
(Giros)
Solución:
a) En este caso los depósitos se consideran como si sedepositarán al comienzo del siguiente período de capitalización,mientras que los giros se consideran como efectuados al final delperíodo de capitalización anterior.
Interés interperiódico
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En el diagrama de flujos:
0 1 2 3 4 5
90 90
6 7 8 9 10 11 12
50 30 30 50
50 20 70 70 40
0 1 2 3 4 5
90
6 7 8 9 10 11 12
90+50 30+30 50
50 20+70 70+40
Luego tendremos:
Interés interperiódico
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I t é i t iódi
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 55
0 1 2 3 4 5
90
6 7 8 9 10 11 12
50
50 20+70 70+40
)3
203,01(9050 ⋅+⋅+ )
3
103,01(30)
3
203,01(30 ⋅+⋅+⋅+⋅
Análogo al caso anterior:
0 1 2 3 4 5
90 90
6 7 8 9 10 11 12
50 30 30 50
50 20 70 70 40
Pero ahora los depósitos interperiódicos ganan interéssimple:
Interés interperiódico
I t é i t iódi
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 56
Ahora calcula de la siguiente manera la cantidad de dinero quetiene el individuo al final de los 12 meses:
50)03,1(110)3
03,01(30)
3
203,01(30)03,1()
3
203,01(9050)03,1(90)03,1(40 23412 +⋅
−+⋅+⋅+⋅+⋅
⋅+⋅++⋅−⋅=VF
9712
=VF Calculando:
Interés interperiódico
Ejercicio 9
A ti ió
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 57
Amortización
A la hora de cancelar un crédito en cuotas, existen dosalternativas en las formas de pago:
a) Con cuotas iguales b) Con amortización
Periodo Principal Amortización Interés Cuota
1
0
2
Deuda
Amortización (continuación)
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 58
Amortización (continuación)
Periodos de Gracia: Independiente del
método de pago, son períodos en losque sólo se cancelan los Intereses, sinpagar nada del Capital
Amortización Cuotas Iguales
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 59
Amortización Cuotas Iguales
Calculamos el Valor de la Cuota como un Payment de n
períodos e interés i. O sea CUOTA = PMT
PMT
PMT
B=A·iC=PMT-BD=A-C
Periodo Principal Amortización Interés Cuota
1
0
2
A
Amortizaciones iguales
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 60
Amortizaciones iguales
El valor de la amortización se fija :
AMORT
AMORT
B=A·iC=A-AM D=AM+B
Periodo Principal Amortización Interés Cuota
1
0
2
A
Amortización: Ejemplo
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 61
Amortización: Ejemplo
Se pide un préstamo de $1.000.000, a pagar en unperíodo de 3 años en cuotas anuales, con un interés
anual del 10%. Se dan 2 años de gracia. Calcule lospagos por ambos métodos.
A) Cuotas Iguales Calculo cuota, como Payment
( )
( ) 115.402
11,1
1,01,1000.000.1
3
3
≈
−
⋅⋅=PMT
B) Amortización Igual334.333
3
000.000.1≈= AMORT
Solución (continuación)
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 62
Solución (continuación)
402.115
402.115
100.0001
0
2
1.000.000
Periodo Principal Amortización Interés Cuota
4
5
3 402.115
1.000.000
1.000.000
697.885
365.559
0
100.000
69.789
36.556
100.000
100.000
100.000
302.115
332.326
365.559
Cuota Igual
Solución (continuación)
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 63
Solución (continuación)
400.000
366.667
100.0001
0
2
1.000.000Periodo Principal Amortización Interés Cuota
4
5
3 433.333
1.000.000
1.000.000
666.667
333.334
0
100.000
66.667
33.333
100.000
100.000
100.000
333.333
333.333
333.334
Amortización Igual
Ejercicio 10
Bonos
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 64
Bonos
Es una obligación a largo plazo, emitida por una corporación oentidad gubernamental, con el propósito de conseguir el capital
necesario para financiar obras importantes
Los bonos se utilizan frecuentemente, cuando se hace difícil elpréstamo de grandes cantidades de dinero de una sola fuente o
cuando deban pagarse en un largo período de tiempo
Condiciones de pago
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 65
Condiciones de pago
Estas condiciones se especifican en el momento de emitirlos bonos e incluyen en Valor nominal de bono, La tasa de
interés del bono, el período de pago de interés y su fechade vencimiento.
•Los intereses se pagan periódicamente
•En la fecha de vencimiento se paga el Interéscorrespondiente más el valor nominal del bono
Observaciones
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 66
Observaciones
•Los bonos pueden ser comprados y vendidos en el mercado
abierto, por personas diferentes al beneficiario original delbono
A usted le ofrecen un bono de $10.000 cuya tasa deinterés es de 3% semestral y paga los intereses
semestralmente. Si la fecha de vencimiento será en 15 años,¿Cuánto pagaría hoy por el bono si desea ganar 4% deinterés semestral?
Ejemplo:
Solución
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 67
Solución
Los intereses pagados semestralmente ascienden a:
El diagrama de flujos será:
Continúa...
30003,0*000.10 == I
300 300300 300+10.000
0 1 2 3 30
P
Solución
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 68
Luego
Reemplazando, tendremos
Por lo tanto, usted estaría dispuesto a pagar $8271 por elbono.
( )( ) ( )nn
n
iVN
iii I P
++
⋅+
−+⋅=11
11
( )
( ) ( ) 271.8
04,01
000.10
04,004,1
104,1300
3030
30
=+
+
⋅
−⋅=P
Solución
Bonos de Mercado
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 69
Bonos de Mercado
Un ejemplo de estos, es un bono emitido por el Banco
de Chile, este posee, las siguientes características:
•Valor nominal: 10.000 U.F.
•Tasa de interés: 6.5% anual.
•Moneda de pago: Expresado en Unidades de fomentoy se pagara en el equivalente en pesos.
•Reajustabilidad: Unidades de Fomento
•Cupones: 30 cupones para el cobro de intereses yamortización.
Continuación ejemplo
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 70
j p
•Periodo de Gracia: 5 años.
•Emisión: La emisión es por un valor nominal de5.000.000 de Unidades de Fomento, dividida en dos seriesde 250 bonos de 10.000 U.F. Cada una.
•Transferibilidad: Al portador.Junto con esta información, cada cupón debe tener comodato: el numero de serie, el numero de titulo, la fecha depago de ese cupón, la amortización, el interés y el total.
Continuación ejemplo
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 71
Continuación ejemplo
V.N.
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ejercicios Bonos
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 73
j
Ejercicio 11 Ejercicio 12
Inflación
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 74
Con $100 de hoy no puedocomprar la misma cantidad debienes o servicios como pude
en el año 1980...
Es debido a la Inflación.Esto es porque el valor deldinero ha decrecido comoun resultado de dar más
dinero por menos bienes.
Cálculos del valor futuro considerando
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 75
inflación
En los cálculos de valor futuro, se debe reconocer que la suma de
dinero futuro puede representar una de las cuatro diferentescantidades:
* Cantidad Real de Dinero
* Poder de Compra
* Número de pesos de entonces requeridos
* Ganancia de interés sobre inflación
A continuación se analizará cada uno de estos casos...
1) Cantidad real de dinero
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 76
No toma en cuenta la existencia de la inflación.
Se limita sólo a calcular la cantidad de dinero que seobtendría con un interés dado.
El cálculo del valor futuro es a través de la fórmulatradicional:
n
iVPVF )1( +⋅=
Ejemplo
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 77
Usted deposita $100.000 en una cuenta de ahorros
con10% anual de interés por 8 años.
¿Cuál será la cantidad de dinero que obtendrá ?
Por lo tanto en 8 años más usted tendría $214.359
359.214)1,01(000.100 8 =+⋅=VF
2) El poder de compra
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 78
En el ejemplo anterior, al cabo de 8 años usted tendríamás del doble del dinero que depositó inicialmente. Sinembargo, probablemente no podrá comprar el doble decosas que hubiera podido comprar en un principio.
¿Por qué?
La respuesta es simple, los precios se han incrementadodurante la inflación.
El poder de compra (continuación)
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 79
Una solución sería llevar a valor presente el valor futuro
obtenido con la tasa de interés. Para llevar a valor presente sedebe considerar la tasa de inflación (f), es decir, en la fórmulareemplazar el “i” por el “f”.
El dinero que recibiré ¿Cómo lo puedo comparar con eldinero inicial?, es decir, ¿Cómo puedo comparar el poder decompra del futuro con el actual?
En fórmulas...
El poder de compra (continuación)
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 80
Llevamos a valor futuro el depósito:
n f iVPVF )1( +⋅=
Finalmente este valor lo llevamos a valor presente (en donde
reemplazaremos “i” por “f”):
( )
( )
( )n
n f
n f
iVP
f
VF V +
+⋅=
+= 1
1
1
El poder de compra (continuación)
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 81
Para realizar este cálculo, podríamos utilizar la tasa de interésreal (ir ), la cual representa la tasa a la cual el dinero presente se
transformará en dinero futuro equivalente con el mismo poder decompra .
La fórmula sería:
n
r n
n f iVP
f
iVPV +⋅=+
+⋅= 1
1
1
Donde:
f f ii
f
r +
−=
1
Ejemplo
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 82
Usted deposita $100.000 en una cuenta de ahorroscon10% anual de interés por 7 años.
La tasa de inflación se espera de 8% anual. La cantidadde dinero que puede acumularse con el poder de comprade hoy sería:
Veamos lo que ocurre si utilizamos la tasa de interés realpara realizar los cálculos:
( )( )
706.11308,01
1,01000.1007
7
=+
+⋅=V
Ejemplo
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 83
%8519,108,01
08,01,0
1=
+
−=
+
−=
f
f ii
f
r
( ) 706.113018519,1000.100)1( 7 =⋅=+⋅= nr iVPV
Calculamos la tasa de interés real:
Luego:
Tal como se esperaba, se obtuvo el mismo resultado.
3) Números de pesos de entonces requeridos
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 84
Comprar algo en una fecha futura requerirá más pesosque los requeridos ahora para la misma cosa.
Notar que este caso también reconoce que los precios seincrementan durante los períodos inflacionarios
El cálculo del valor futuro se efectúa por medio de lasiguiente fórmula:
n f VPVF
4) Ganancia de interés sobre Inflación
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 85
Mantiene el poder de compra y la ganancia de interés.
nn i f VPVF )1()1( +⋅+⋅=
Para mantener el poder de compra podemos utilizar la fórmuladel caso 3, es decir, calculamos “el número de pesos deentonces requeridos”. Luego, a este valor se de debe agregar
la ganancia de interés, este cálculo es análogo al caso 1.La formula quedaría:
Ganancia de interés sobre Inflación
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 86
También podemos usar la llamada tasa de interés inflada (if ):
En donde se cumple que:
n
f
n
r
n
iVPi f VPVF )1()1()1( +⋅=+⋅+⋅=
f f iii r r f +⋅+=
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería EconómicaPrimera Parte: Matemáticas Financieras
Ejercicios
ProfesoresFredy Kristjanpoller R.
fredy.kristjanpoller@usm.clNicolás Cohen A.
nicolas.cohen@usm.cl
Ejercicio 1Nominal v/s Efectivo
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 88
1.- Un amigo suyo le cuenta que ha hecho un depósito de$ 1.000.000 en un Banco que, según él, le ofrece unatasa de interés de 12% anual. Al final del primer mesrevisa su estado de cuenta y encuentra que los intereses
recibidos en ese período son de $ 9.489. ¿Cómo ustedexplica y demuestra a su amigo lo que ha pasado, paraque no vaya al Banco a pedir que le expliquen lo queusted ya sabe?
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8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ejercicio 1Nominal v/s Efectivo
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 90
Ahora si la tasa hubiese sido 12% anual con capitalizaciónmensual:
01,0=mi
000.010.1)1(* 1
=+= iVPVF
12*m A ii =
000.10$= I
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Ejercicio 2Nominal v/s Efectivo
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 91
2.- Una familia decide comprar a crédito un auto nuevo. El
plan de pagos exige un pago inicial de US$ 1.000 ahora(año 0), US$ 2.000 en el año 3 y cuatro pagos anuales deUS$ 500 cada uno desde el año 3 hasta el año 6, ademásde un pago final de US$ 1.000 en el año 8. La tasa de
interés es de 13% anual capitalizada trimestralmente.¿Cuál es el valor del auto hoy?
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Ejercicio 2Nominal v/s Efectivo
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 92
Solución:0 1 2 3 4 5 6 7 8
1.000 1.000
2.000
500 500 500 500
Calculemos la tasa anual efectiva:
%13= A
i Capit. Trimestral 4*tri A ii =
0325,0=
trii 136476,0=
A
i (efectiva)
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Ejercicio 2Nominal v/s Efectivo
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
93/129
Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 93
Ahora, calculemos el VP del auto:
86543 )136476,1(
000.1
)136476,1(
500
)136476,1(
500
)136476,1(
500
)136476,1(
500.2000.1 −−−−−−=VP
35,35906,23274,26373,29917,073.1000.1 −−−−−−=
858.3$ −=VP
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Ejercicio 3Nominal v/s Efectivo
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 94
Usted desea realizar dos depósitos iguales, el primero de loscuales lo efectuará dentro de dos años y el segundo dentrode 5 años. Además quiere hacer 4 retiros anuales iguales de$10.000 cada uno a contar de un año después de haberhecho el segundo depósito. Por último desea retirar $35.000
un año después de que la serie de retiros termine. Se le pideque determine el monto de los depósitos. Considere unatasa de interés de un 6% semestral capitalizadatrimestralmente.
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Ejercicio 3Nominal v/s Efectivo
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
95/129
Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 95
1 2 3 4 5
0 6 7 8 9 10
X X
10.000 35.000
is = 6% semestral capit. trimestral is = itri* 2itri= 0,03 (3%)
(itri + 1)4
= (iA + 1) iA = 0,12550881iA = 12,55088 %
Solución:
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Ejercicio 3Nominal v/s Efectivo
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 96
El Valor Presente de los retiros debe ser igual al de los
depósitos: VPretiros = VPdepósitos
987610 12550881,110000
12550881,110000
12550881,110000
12550881,110000
12550881,135000 ++++
Entonces calculamos el VP de los retiros:
29,353.2732,345037,388377,437034,491949,729.10 =++++=
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Ejercicio 3Nominal v/s Efectivo
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
97/129
Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 97
Ahora, igualamos el VP de los depósitos al de los retiros:
29,353.2712550881,112550881,1 52
=+ X X
Así obtenemos el valor de los depósitos:
08139,403.49*425760887,2 = X
0145,366.20= X
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Ejercicio 4Payment
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
98/129
Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 98
2.- Usted ha recibido una herencia hoy de $5.000.000 con la cual deseacomprar un auto de $4.000.000 y abonar $1.000.000 al arancel de laUniversidad, con lo cual se quedaría “sin ningún peso”. Tiene la posibilidad
de invertir su plata en un depósito en UF mensual el cual le otorgaría unatasa de interés de 0,7% o tiene la posibilidad de invertir en una cuenta deahorro en pesos. La tasa de inflación esperada es de un 0,5% mensual y elvalor de la UF hoy es de $17.000. Basado en un análisis de IngenieríaEconómica que opción le conviene más de las siguientes:
a) Gastar toda la plata hoy según lo establecido.
b) Hacer un depósito en UF y realizar los gastos en 24 meses más.
c) Hacer un depósito en pesos y realizar los gastos en 24 meses más.
Nota: Considere que tanto la UF, como el valor del auto y el arancel de laUniversidad se verán afectados por la inflación en el lapso de 24 meses.
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Ejercicio 4Payment
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
99/129
Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 99
UF11,294000.000.5 ≡=VP
Alternativa A ldiferencia0000.000.1000.000.4000.000.5 ⇒+=
Alternativa B 7,347100
7,011,294
24
=
+⋅=VF
Los gastos crecen según lainflación 88,798.635.5$
100
5,01000.000.5
24
=
+⋅=VF
7,161.19$100
5,01000.17
24
=
+⋅=VF La UF crecerá
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Ejercicio 4Payment
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
100/129
Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 100
Por lo tanto, tenemos 347,7 UF,
cada una a $19.161,7091,892.662.6=VF
551,086.027.1=lDiferencia
Alternativa C (en $)012035,0
100
7,0
100
5,0
100
7,0
100
5,0=⋅++=F i
Depósito
Gastos
( ) 09,892.662.6$012035,01000.000.5 24 =+⋅=VF
88,798.635.5$
100
5,01000.000.5
24
=
+⋅=VF
21,093.027.1=lDiferencia Se elige B o C, porque se cubren losgastos y se gana algo
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Ejercicio 5Payment
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
101/129
Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 101
1.- Usted desea ayudar a su padre en la compra de un computadorPC. El precio contado hoy en una Casa Comercial es de $800.000 yla tasa de interés que aplica a las compras a crédito es de un 2%mensual. En otro local se vende el mismo PC con un precio contadode $700.000, o a crédito en 24 meses con cuotas de $41.333. Otraopción es que existe un Banco que le presta $700.000 hoy y se ledebe pagar $1.180.102 en 24 meses más; o le presta $800.000 hoyy se le debe pagar $1.348.688 en 24 meses más. Su padre no tienehoy el dinero y desea comprar a 24 meses. ¿Qué opción lerecomendaría Ud. a su padre y por qué, basándose en susconocimientos de ingeniería económica?
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Ejercicio 5Payment
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
102/129
Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 102
Alternativa 1: Casa Comercial
8778,296.42102,102,002,1000.800
24
24
=
−⋅⋅=PMT
000.800=VP %2= N i
Alternativa 2: 333.41=PMT 000.700=VP
Alternativa 3: Banco 1
( ) %2,21 24
=⇔+⋅= iiVPVF
000.700=VP 102.180.1=VF
854.37=PMT
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Ejercicio 5Payment
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
103/129
Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 103
Alternativa 4: Banco 2
( ) %2,21 24 =⇔+⋅= iiVPVF
000.800=VP 688.348.1=VF
261.43=PMT
Por lo tanto, por tener la menor cuota, pido
al banco $700.000 (alternativa 3) y pago alcontado la alternativa 2
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Ejercicio 6Payment
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 104
Dado que el verano recién pasado se “vio corto de plata”, se hadecidido a que le próximo verano será mejor, para lo cual ha
abierto una cuenta de ahorros en el Banco “Billetón”. Dichacuenta le garantiza una tasa de interés del 12% anualcapitalizado mensualmente. Hoy es 16 de marzo del 2004 yusted desea ahorrar hasta el 16 de diciembre del 2004, haciendoel primer depósito hoy. Ha estimado que con $220.000 a esafecha usted tendría un buen pasar (además de lo que le pase suabuelita). Sin embargo en septiembre usted no realizará ningún
ahorro debido a los gastos por el 18. ¿Cuánto deberá ahorrarcada mes, comenzando desde ahora hasta diciembre, paralograr un “verano feliz”?
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Ejercicio 6Payment
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 105
Solución:
Realizamos el diagrama de flujo de la situación dada:
DSJ
P PP
O N
PP
J A
P PP
M A M
P
963 7 84 50 1 2
Debemos calcular el interés mensual efectivo:
%112
%12==mi
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Ejercicio 6Payment
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 106
Ahora hay que calcular el valor futuro (al 16 de
diciembre) de los flujos:
Podríamos llevar cada flujo a diciembre, pero estosería un método “muy carretero”.
Otra alternativa sería usar las fórmulas del Payment:
( )
−+⋅=
11 niiVF P
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Ejercicio 6Payment
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 107
( )
−+⋅=
i
iPVF
n11
Despejando VF:
Ahora solo debemos ocupar adecuadamente lafórmula:
( ) ( ) ( ) PPPVF D ⋅=
−⋅+⋅
−⋅= 4319,9
01,0101,101,1
01,0101,1
3
4
6
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Ejercicio 6Payment
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 108
Pero sabemos que el VFD(VF
9)=$220.000, luego:
325.23$4319,9
000.220==⇒ P
Por lo tanto debería ahorrar $23.325 cada mes.
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Ejercicio 7Gradiente
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 109
1.- Ud. desea ir con unos amigos a pasar las vacaciones de Verano en dosaños más a Australia. Ya ha realizado las averiguaciones correspondientes y
ha encontrado los siguientes costos actuales individuales: US$2.200 para lospasajes; US$1.900 para hospedaje; US$1.750 para comer; y US$3.000 paraviajes, imprevistos y regalos. Para juntar el dinero Ud. decide utilizar losconceptos aprendidos en sus clases de Ingeniería Económica haciendodepósitos en el banco a partir del próximo mes, a los cuales usted aplicará
una tasa de crecimiento voluntaria de un 0,53% mensual. Si la tasa de interésofrecida por el banco a sus depósitos es de un 18% anual capitalizadacontinuamente, ¿cuál debe ser el monto a depositar los meses 1, 12 y 24?
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Ejercicio 7Gradiente
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 110
1.- Solución
0053,0%53,0 ≡=E 850.8000.3750.1900.1200.2 =+++=VP0 1 24
D
D·(1+E)23
19721736,0110018
=−= ei A ( ) ( ) 015113,011 12
=⇒+=+ mm A iii
( )( )
−
+
+⋅
−== 1
1
1850.8
24
24
i
E iE
DVP
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Ejercicio 7Gradiente
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 111
616,41719169,21850.8 =⇒⋅= D D
616,4171 = D
( ) 619,4421 11112 =+⋅= E D D
( ) 604,4711 23124 =+⋅= E D D
Por lo tanto:
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Ejercicio 8Gradiente
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 112
Aprovechando las bajas tasas de interés que presenta el mercado financieroactualmente usted ha decidido endeudarse por $ 8.000.000 para hacer los arreglosque siempre ha soñado hacer a su casa. Sin embargo, ningún banco quiereprestarle el total establecido, así que usted ha decidido pedir a dos bancos al mismotiempo. En el Banco 1 se pacta un préstamo a 5 años donde usted debe pagar unacantidad P el primer mes y a partir del segundo mes hasta el 60º debe aumentar en $5.000 cada pago. La tasa de interés que le aplica este banco es de 0,8% mensual.
En el Banco 2 usted también debe pagar la misma cantidad P el primer mes, y desdeel 2º mes en adelante debe aumentar sus pagos en 0,5% hasta el mes 60º. La tasade interés en este banco es de un 1% mensual.
Se le pide que calcule el monto que debe pedir en cada uno de los bancos, y el
monto del pago del último mes en cada uno de ellos.
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Ejercicio 8Gradiente
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 115
Finalmente tenemos los montos a pedir y el valor del
último mes:
793.810
207.189.7
2
1
=
=
VP
VP
128.21
742.310
60
60
=
=
P
P
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Ejercicio 9Interés Interperiódico
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 116
2.- Usted abrió una cuenta de ahorro que le daba una tasa deinterés del 6% anual capitalizado trimestralmente hace un añocon $ 200.000. Luego fue haciendo depósitos de $ 50.000cada mes hasta ahora. Sin embargo, dado algunos imprevistosusted tuvo a la vez que girar dinero desde su cuenta los meses
5 y 9 por $ 100.000 cada uno. ¿Cuánto dinero tieneactualmente en su cuenta, si el banco aplica interés simple alos movimientos interperiódicos? ¿Si hubiera sabido deIngeniería Económica cómo hubiera hecho los movimientos
para haber maximizado su ganancia?
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S l ió
Ejercicio 9Interés Interperiódico
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 117
Solución:
%6= Ai Anual Capit. Trim. %5,14
6==trii
3)1()1( Menstri ii +=+ 004975206,0=meni
Tasa efectiva
0 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12
200
100 100
50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50
3
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000200
Ejercicio 9Interés Interperiódico
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 118
000.1*
)2*0049752,01(
10050)1*0049752,01(*50)2*0049752,01(*50
000.200
3
0
+
−++++=
=
V
V
51867,731.513 =V
[ ] 000.1*50)1*0049,01(*50)2*0049,01(*506
++++=V
2809,746.1506 =V
[ ] 000.1*10050)1*0049,01(*50)2*0049,01(*509
−++++=V
2809,746.509 =V
[ ] 000.1*50)1*0049,01(*50)2*0049,01(*5012
++++=V
2809,746.15012
=V Regresar
Ejercicio 9Interés Interperiódico
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 119
129
2
6
3
3
4
012
100
5,11*
100
5,11*
100
5,11*
100
5,11* V V V V V VF +
++
++
++
+=
Evaluando tenemos que:
5838,923.62312 =TOTALVF
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P i d P i i l A ti ió I t é C tP i d P i i l A ti ió I t é C t
Ejercicio 10Amortización
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 121
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1.089.3751
0
2
7.000.000
Periodo Principal Amortización Interés Cuota
4
5
3
7.000.000
7.000.000
7.000.000
5.609.689 1.390.311
1.606.6784.003.011
2.146.294
(625)=0
1.089.375
1.089.375
1.089.375
1.089.375
1.089.375
1.089.375
2.479.686
2.479.686
2.479.686
2.479.686
873.008
622.9691.856.7176
7 334.0172.145.669
1.089.3751
0
2
7.000.000
Periodo Principal Amortización Interés Cuota
4
5
3
7.000.000
7.000.000
7.000.000
5.609.689 1.390.311
1.606.6784.003.011
2.146.294
(625)=0
1.089.375
1.089.375
1.089.375
1.089.375
1.089.375
1.089.375
2.479.686
2.479.686
2.479.686
2.479.686
873.008
622.9691.856.7176
7 334.0172.145.669
Periodo Principal Amortización Interés CuotaPeriodo Principal Amortización Interés Cuota
Ejercicio 10Amortización
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 122
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1.089.3751
0
2
7.000.000
Periodo Principal Amortización Interés Cuota
4
5
3
7.000.000
7.000.000
7.000.000
5.250.000 1.750.000
1.750.0003.500.000
1.750.000
0
1.089.375
1.089.375
1.089.375
1.089.375
1.089.375
1.089.375
2.839.375
2.567.031
2.294.688
2.022.344
817.031
544.6881.750.0006
7 272.3441.750.000
1.089.3751
0
2
7.000.000
Periodo Principal Amortización Interés Cuota
4
5
3
7.000.000
7.000.000
7.000.000
5.250.000 1.750.000
1.750.0003.500.000
1.750.000
0
1.089.375
1.089.375
1.089.375
1.089.375
1.089.375
1.089.375
2.839.375
2.567.031
2.294.688
2.022.344
817.031
544.6881.750.0006
7 272.3441.750.000
Ejercicio 11Bonos
Juan posee $5.000.000 y desea invertirlos de manera adecuada. Para esteefecto posee dos alternativas:
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 123
efecto posee dos alternativas:
a. Comprar un bono en los $5.000.000, de valor nominal $10.000.000, con
cupones mensuales, una tasa de interés del 12% anual efectiva y un períodode maduración de 5 años.
b. Brindar un crédito a un amigo suyo por $5.000.000, quien se comprometea pagarlo en 60 cuotas mensuales de 10 UF.
Juan evalúa sus inversiones con una tasa de descuento del 18% anualefectiva en pesos. Las proyecciones de inflación para los próximos 5 añosson de 0,5% mensual. El valor de hoy de la UF es de $18.000.
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8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
124/129
Ejercicio 11Bonos
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R. 125
Intereses del Bono = $10.000.000 * 0.009488793 = $94.888
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12( 1) ( 1) 0,009488793 A m mi i i mensual+ = + → =
( )
( ) ( )
60
60 60
1,013889 1 10.000.000$94.888
1,013889 0,013889 1,013889P
− = ⋅ + = ⋅
Ganancia Total= $3.216.649
– $8.216.649
VP Préstamo en UF = 10 / frc (0 8845% 60) = 464 0311 UF
Ejercicio 11Bonos
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
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Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R.126
VP Préstamo en UF = 10 / frc (0,8845%, 60) = 464,0311 UF
→ 464,0311 * 18000 = $8.352.560
Ganancia Total = $3.352.560
Por lo tanto la mejor alternativa para Juan es el crédito
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8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
127/129
Bono = 10.000, 10% , interés trimestrales, 5 años
Ejercicio 12Bonos
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
128/129
Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R.128
mentetrimestral250
4
1,0000.10=
⋅= BONO I
Cuenta de Ahorro
semestralcioncapitaliza%10= Ai semestralefectivo%5=S i
Flujo de movimientos sólo para un año
0 1 5 6 72 3 4 8 9 10 11 12
250 250 250 250
50 50
Regresar
153535
Ejercicio 12Bonos
8/18/2019 20131ILN230S3 Apuntes Primera Parte
129/129
Ingeniería Económica - Fredy Kristjanpoller R.129
12100
515050
6
3
100
51250250
6
3
100
51250250
+⋅
−−
⋅+⋅++
⋅+⋅+=VF
( ) ( )112 05,110025,25625025,256250 ⋅−+++=VF
812,93212 =VF
000.108125,932100
518125,932
100
518125,932
100
518125,932
100
518125,932
2
468
5
++
+⋅
+
+⋅+
+⋅+
+⋅=
AÑOVF
32458,723.15$5
= AÑO
VF
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