Apuntes de Cálculo II Primera parte Derivadas y sus Aplicaciones 2010

Apuntes de Cálculo II – Primera Parte – La Derivada y sus Aplicaciones – C. Fernández & J. E. Navarro

1

C M

∆

∆∆

` lim

Función f(x) Tasa media de variación

Derivada de la función

Diferencial de la función

Mat 112

Apuntes de Cálculo II La derivada y sus Aplicaciones Juan E. Navarro y Cesar Fernández


2

Índice 0 INTRODUCCIÓN 03

1. LA DERIVADA 04

1.1. Recta tangente 05

1.2. Pendiente, razon de cambio, velocidad: Tres nombres para un mismo limite 08

1.3. La funcion derivada 09

1.4. Algebra de derivadas 14

1.5. La regla de la cadena 22 1.6. Derivada de la funcion inversa 27

2 APLICACIONES DE LA DERIVADA 29

2.1. La derivada implicita 30

2.2. Derivadas de orden superior 37

2.3. Razon de cambio 41

2.4. Extremos de una funcion en un intervalo cerrado 47

2.5. Teoremas del Valor Medio 52

2.6. Criteros de la segunda derivada 58

2.7. Problemas apicados de maximos y minimos 62

3 ANEXOS 67

1. Rectas pendientes a una curva de un punto cualquiera 67

2. Función derivada y calculo de derivada elementales 70

3. Función derivaday la relacion entre derivada y diferencial. 73

4. Derivada lateral, al gebra de derivadas 77

5. Extremos de una función 80

4 TALLER DE CURSO CONSTRUCCIÓN ANALÍTICA DE LA GRAFICA 85

5 TRABAJO DE CURSO 87

BIBLIOGRAFIA 89

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS 90

REFERENCIAS 93


3

Introducción Al final del primer semestre, estudiamos la recta tangente a una función y el concepto de razón de cambio de una función. Esto es útil para determinar, por ejemplo, en qué intervalos una función es creciente o decreciente. En este curso profundizaremos estos conceptos. Pero veremos que la forma de calcular la razón de cambio como lo hicimos durante el primer curso, es decir usando límites, dista mucho de ser un método eficiente o amigable y en general resulta bastante tedioso, (está bien, de acuerdo: no es “bastante tedioso”, sino “totalmente tedioso y latero”). Justamente por esto, aparece una herramienta nueva y mejor: la derivada. Aunque hay que decir que es “nueva” sólo porque usted no la conoce: en realidad lleva en el mundo ya unos 400 años y su existencia es atribuida por igual a dos grandes genios de las ciencias: Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz. Veremos cómo muchos cálculos se simplifican notablemente con el uso de la derivada. Pero aunque la derivada es una herramienta poderosísima e ineludible en cualquier área de las ciencias, su estudio no es fácil y requiere de un trabajo metódico. Si bien logra simplificar ciertos cálculos, surgirán nuevas dificultades. No se confíe y trabaje con dedicación. Una vez entendidos los fundamentos de la derivada, la utilizaremos para resolver muchos ejercicios de aplicación. Esta es una de las partes del cálculo que causa mayores problemas a los alumnos. Lo invitamos a hacer todos los ejercicios que aparecen en este apunte, buscar más problemas en libros y preguntar todas sus dudas, en clases o fuera de ella. La segunda mitad de este semestre está destinada al estudio de la hermana mayor de la derivada, la integral. De una manera burda y simplona, podríamos decir que la integral es el “proceso inverso” de la derivada o que la integral es la extensión de las sumatorias a los reales. Y en realidad es eso y mucho más. Pero esto es sólo una introducción y si quiere saber más, siga leyendo. Con la integral se completan los conceptos básicos del “cálculo diferencial e integral en una variable” y es posible resolver gran cantidad de problemas aplicados. Pero nuevamente lo llamamos a estar atento. Todos estos conceptos, al ser estudiados por primera vez, resultan bastante difíciles y oscuros y muchas veces usted oirá a su profesor decir cosas como پخصؤءزشفك بع ,o, según el profesor que le toque ص ظةخد جpodría ser: Ирония судьбы, или с легким паром. Sólo un esfuerzo constante lo llevará con éxito al siguiente curso. ¡Le deseamos mucha suerte!

“Galería de arte”, M. C. Escher

Escher usó rectas tangentes para crear su ilusión


4

Objetivos del curso Esta asignatura constituye a la formación del pensamiento lógico deductivo, proporcionando a los estudiantes los fundamentos que le permitirán enfrentar con éxito problemas que requieren de la capacidad analítica e innovación y proporcionan la preparación suficiente para la actualización constante de sus conocimientos. La Derivada Aunque se considera a Gottfried Wilhelm Leibniz y a Isaac Newton como los “padres del cálculo”, lo que hoy se conoce como cálculo diferencial e integral se remonta a problemas matemáticos que ya se estudiaban en la Grecia antigua. Demócrito, Zenón, Eudoxo, Arquímedes figuran entre los grandes matemáticos de la antigüedad que analizaron el cálculo de áreas y volúmenes.

Sin embargo fueron Leibniz y Newton los que hicieron del cálculo una disciplina estructurada dentro de las matemáticas. Sus trabajos se basaron en estudios de otros matemáticos, por ejemplo Galileo, Cavalieri o Roberval. También el famoso Kepler hizo su aporte: el hombre que demostró que los planetas se movían en curvas elípticas, utilizó métodos del cálculo para… ¡construir toneles de vino! (¡Cómo que el cálculo no sirve para nada!). Pero uno de los que más influyó en la creación del cálculo no fue un matemático, sino un abogado: Pierre de Fermat, quien es apodado el “Príncipe de los aficionados”. Fue él quien resolvió el problema de máximos y mínimos para una función que estudiaremos en el capítulo 2.

Todos estos resultados, sin embargo, o eran problemas del cálculo diferencial, o eran problemas del cálculo integral. Fueron Leibniz y Newton quienes, casi simultáneamente, lograron relacionar las derivadas con las integrales y fusionar así dos grandes disciplinas en una sola. Leibniz utilizó un método conocido como “Cálculo de Diferenciales”. Newton lo hizo con su “Método de Fluxiones”. Sus estudios se publicaron a fines del siglo XVII, con pocos años de diferencia, lo cual causó una de las polémicas más famosas de las matemáticas, acerca de quién fue el verdadero “padre del cálculo”. Posteriormente apareció un ejercito de matemáticos que perfeccionaron los métodos del cálculo: L’Hopital, los hermanos Bernoulli, Ricatti, D’Alambert, Lagrange, Taylor, Cauchy y muchos otros. Curiosamente recién después de unos 70 años, Leonhard Euler inventó la notación de funciones como hoy las conocemos. De más está decir que Euler fue uno de los que más aportó en el cálculo y en la matemática en general.


5

1.1. Rectas tangentes

Aunque ya vimos el concepto de recta tangente y razón de cambio de una función, en esta sección recordaremos estos conceptos, fundamentales para todo lo que sigue en el curso.

Teorema 1.1.1: PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE Sea ( )y f x= una función y ( )( ),P a f a= un punto perteneciente a su gráfica. La pendiente de la

recta tangente a ( )f x en el punto P (también se dice “en x = a”), está dada por:

( ) ( )

0limh

f a h f am

h→

+ −= ,

o, equivalentemente, por

( ) ( )lim

x a

f x f am

x a→

−=

−

siempre y cuando dicho límite exista. Cuando se habla de la pendiente de la recta tangente, no es común utilizar la letra “m”. La pendiente de la recta tangente a una función f en x = a se anota ( )f a′ y se llama la derivada de f en a. Sabiendo la derivada de f en a, es decir, sabiendo la pendiente de la recta tangente, podemos calcular su ecuación con la fórmula punto-pendiente. Teorema 1.1.2: ECUACION DE LA RECTA TANGENTE La ecuación de la recta tangente a una función ( )y f x= en x = a está dada por la ecuación ( ) ( )( )y f a f a x a′= + − Demostración: Se obtiene simplemente de la ecuación punto pendiente. Ejemplo 1.1.3: Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y = 3x2 – 1, en x = 2. Solución:

1. Como sólo nos dan el valor de x, debemos calcular su correspondiente valor de y, es decir, su imagen. Por lo tanto, lo primero que haremos será hallar el punto P. Para eso, calculamos ( ) 22 3 2 1 11f = ⋅ − = .

Es decir, el punto es: P = (2, 11).

2. Ahora calculamos la pendiente, usando el límite del teorema 1.1.1. lim

lim

lim

lim


6

lim 12 3 12 Esto significa que la recta tangente a la curva f(x) en el punto P, tiene pendiente 12.

3. Finalmente, usando la ecuación punto-pendiente obtenemos la ecuación de la recta tangente y – 11 = 12(x – 2) o, simplificada: y = 12x – 13.

Definición 1.1.4: RECTA NORMAL Una recta normal a una curva en un punto P, es una recta perpendicular a la recta tangente en dicho punto. La recta normal es perpendicular a la tangente y este tipo de rectas se utiliza mucho en física. Recordemos que para que dos rectas sean perpendiculares, sus pendientes multiplicadas deben dar -1. Por ejemplo, en el ejercicio anterior, la pendiente de la recta tangente nos dio m = 12. Por lo tanto, la pendiente de la recta normal debe ser 1

12m⊥ = − . Nuevamente utilizando la ecuación punto-pendiente podemos obtener el siguiente teorema: Teorema 1.1.4: Ecuación de la recta normal La ecuación de la recta normal a una función ( )y f x= en x = a está dada por la ecuación

( ) ( ) ( )1y f a x af a

= − −′

Antes de pasar a los ejercicios un comentario importante: La gente inculta y de poco mundo, cree que una recta tangente es “una recta que toca a la curva en un solo punto”. Lo cual puede ser cierto en muchos casos, como en las circunferencias o en las parábolas, pero no siempre. Observemos algunos ejemplos gráficos:

En el gráfico de la izquierda, la recta mostrada es, efectivamente, la recta tangente a la curva, en el punto C. Aún así, intercepta a la curva en otros puntos (D, E y F). Nótese que en estos tres puntos no es tangente. Es decir una misma recta puede o no ser tangente. Todo depende de en cuál punto se esta. En el gráfico del centro, vemos tres rectas que “tocan” a la curva en un solo punto (A), pero aún así ninguna de ellas es la recta tangente. De hecho, no existe la recta tangente a la curva en el punto A. La razón está en el teorema 1.1. Ahí se afirma que el límite que hay que calcular es la pendiente de la recta tangente, “siempre y cuando dicho límite exista” y en este caso, el límite no existe. ¿Por qué? Pues porque los límites laterales son distintos.


7

Finalmente, en el gráfico de la derecha, vemos una recta que “toca” a la curva sinusoidal en un solo punto, pero nadie en su sano juicio, podría afirmar que la recta es “tangente” a la curva. Entonces: la recta tangente no es “una recta que toca a la curva en un solo punto”. Mejor sería decir que la recta tangente es la recta “que se parece a la curva en un punto”. Así, vemos que la recta del gráfico de la izquierda “se parece” a la curva en el punto C. (De hecho, si hiciéramos un “zoom in” prácticamente no veríamos diferencia). En cambio, ninguna de las rectas del gráfico del centro se parece a la curva en el punto A. (De hecho, ninguna recta se parece a una ∧ ). Ejercicios 1.1: 1. Hallar la ecuación de la recta tangente a y = f(x) en los puntos que se indica.

a) f(x) = 22 −x , en x = 0 b) f(x) = xx 33 − en x = -2

c) f(x) =1

2+x

en x = 1 d) f(x) = 1

2−x

en x = 0

e) f(x) = 3+x en x = -2

2. Escribir las ecuaciones de la tangente y la normal al gráfico de la función3

13 +=

xy en el punto

de intersección del mismo con el eje de las abscisas.

3. Escribir la ecuación de las tangentes a las curvas dadas por y = 52 2 −x , y = 532 +− xx y que pasan por el punto de intersección de las mismas.

4. Demostrar que en la función 123 +++= xxxy no existen puntos en los cuales las tangentes trazadas por los mismos son paralelas al eje x.

5. ¿En cuáles puntos, las tangentes a la curva 13

23

+−−= xxxy son paralelas a la recta 12 −= xy ?

6. Hallar las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la gráfica de f que pasan por los puntos

indicados. Graficar en cada caso. a) 24)( xxxf −= , en el punto (2,5) b) 2)( xxf = , en el punto (1, -3).

7. En las siguientes funciones, determinar gráficamente si existe la recta tangente a y = f(x) en x = a. Si existe, estimar su pendiente. En caso contrario, explicar por qué no existe.

a) f(x) = 1,1 =− ax b) f(x) =⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

<−

0

023

2

xx

xx , a = 0 c) f(x) =

⎩⎨⎧

≥−<−

1312

xxxx

, a = 1

d) f(x) =⎪⎩

⎪⎨⎧

≥+

<−

01

013

2

xx

xx, a = 0 e) f(x) =

2

2 02 0

x xx x x− <⎧⎨

− ≥⎩, a = 0

Nota: Existen ejercicios donde nos interesa determinar: Si existe la recta tangente a la curva dada

que pasa por un punto determinado, el cual no necesariamente pasa por la curva.

Este caso será visto en el Anexo 1.


8

1.2. Recta tangente, razón de cambio, velocidad instantánea: 3 nombres para un mismo límite

El límite ( ) ( )

0limh

f a h f am

h→

+ −= , que aparece en el teorema 1.1.1 no sólo sirve para calcular la

pendiente de la recta tangente a una función f en un punto P. Esto se ve mejor al escribir el límite de la

forma ( ) ( )lim

x a

f x f am

x a→

−=

−.

Si analizamos la fracción que allí aparece, vemos que el numerador (“f(x) – f(a)”) es la diferencia de dos imágenes y por lo tanto lo podemos abreviar como ∆f. De la misma forma, si miramos el denominador (“x – a”) es la diferencia entre dos pre imágenes y lo podemos abreviar como ∆x. Esto

nos permite escribir el límite anterior como 0

limx

fmx∆ →

∆=

∆.

La fracción fx

∆∆

se puede considerar como la razón entre ∆f y ∆x y esta razón permite entender cómo

cambia f a medida que cambia x. Debido a esto, 0

limx

fx∆ →

∆∆

se conoce como la razón de cambio

instantánea de f con respecto a x y se anota como dfdx

. (Se lee “df a dx”).

Por ejemplo, si x representara al tiempo y f a la posición de un objeto en el tiempo, entonces la razón de cambio instantánea nos indicaría cómo cambia la posición del objeto en el tiempo. ¡Pero a eso, lo llamamos velocidad! Y efectivamente, la razón de cambio, cuando x representa el tiempo, es la

velocidad de un objeto, más precisamente la velocidad instantánea. La anotaremos dfdt

o ( )df adt

.

Recapitulemos:

Un mismo límite, ( ) ( )

0limh

f a h f ah→

+ −o

( ) ( )limx a

f x f ax a→

−−

o 0

limt

ft∆ →

∆∆

, permite calcular diferentes

cosas: en un caso nos permite calcular la pendiente de la recta tangente en x = a y lo llamamos m o ( )f a′ . En otro caso nos permite calcular la razón de cambio en x = a (razón de cambio instantánea) y

lo llamamos dfdx

. En el último caso permite calcula la velocidad instantánea de un objeto en t = a y lo

llamamos dfdt

o incluso v.

¡Pero sigue siendo el mismo límite! ¡Sigue siendo el mismo número! ¿Por qué, entonces, no aunar criterios y elegir un nombre común para todos estos fenómenos? Y que cada uno decida qué está calculando, si la pendiente o la razón de cambio en un punto o la velocidad instantánea.


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Pues bien, eso es exactamente lo que se hicieron Newton y Leibniz por separado y al famoso límite se le llamó: la derivada. (Inserte fanfarria aquí) Definición 1.2.1: DERIVADA EN UN PUNTO Sea y = f(x) una función. La derivada de f(x) en x = a, está dada por:

( ) ( )

0( ) lim

h

f a h f af a

h→

+ −′ = ,

o, equivalentemente, por

( ) ( )( ) lim

x a

f x f af a

x a→

−′ =

−

siempre y cuando dicho límite exista, en cuyo caso la función f se dice derivable en x = a. Nótese que, en realidad se trata del teorema 1.1.1, pero sin nombrar la recta tangente. Lo que sabe, sabe. Ejercicios 1.2

1. Calcular la velocidad instantánea para cada función, en el instante indicado.

a) f(t) = 516 2 +− t , en t =1 y t = 2 b) f(t) = 16+t , en t = 0 c) f(t) = 142 +t , en t = 2. 2. Utilizando la definición de derivada en un punto, obtener los valores siguientes.

a) 73)()0(' 2 −= xxfsif b) '(3), ( ) 1 3f si f x x= − c) '(1), ( )f si f x x=

3. Analizar, gráfica y algebraicamente en qué puntos las funciones siguientes son diferenciables. Hallar la derivada para los puntos en que sea diferenciable

a) ( )f x x= b) 2 0

( )0

x si xf x

x si x⎧ <

= ⎨≥⎩

c) ( ) [ ]f x x=

1.3. La función derivada

Y ahora empiezan los problemas.

Tenemos una definición que unifica tres conceptos, pero dicha definición sigue dependiendo de que el

límite ( ) ( )

0( ) lim

h

f a h f af a

h→

+ −′ = exista, es decir, utilizando la nueva terminología, que f sea

diferenciable en x = a. Y para saber si es diferenciable, debemos calcular el límite. Y para calcularlo, debemos saber,…, pues ¡debemos saber calcular límites! Y ahí, precisamente, radica el problema. Si la función f es un poco complicada, calcular el famoso límite puede ser… bah, pero qué le vamos a decir a usted lo que puede ser calcular dichos límites, ¿cierto?


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El primer paso para resolver este problema es el siguiente: en vez de calcular la derivada en un punto, trataremos de calcular la derivada para cualquier punto. Si logramos hacer esto, obtendremos una fórmula, una función, que nos permitirá calcular la derivada de forma fácil. ¿Cómo hacer eso? Pues en vez de calcular el límite en x = a, lo calcularemos en x. Punto. En vez de “la derivada de f en x = a” esto se denomina, simplemente, “la función derivada de f ” o, aún más simple “la derivada de f ”. Definición 1.3.1: DERIVADA DE UNA FUNCION Sea y = f(x) una función. La derivada de f(x), está dada por:

( ) ( )

0( ) lim

h

f x h f xf x

h→

+ −′ = ,

siempre y cuando dicho límite exista, en cuyo caso la función se dice derivable. Nótese que nuevamente se trata del teorema 1.1.1 o de la definición 1.2.2, pero ahora sin especificar un punto en particular. Veamos algunos ejemplos. Ejemplo 1.3.2: Hallar la derivada de 2( ) 3f x x x= + Solución:

Aplicamos la definición

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

0

2 2

0

2 2 2

0

2

0

0

0

( ) lim

3 3lim

3 6 3 3lim

6 3lim

6 3 1lim

lim 6 3 1 6 1

h

h

h

h

h

h

f x h f xf x

hx h x h x x

hx xh h x h x x

hxh h h

hh x h

hx h x

→

→

→

→

→

→

+ −′ =

+ + + − +=

+ + + + − −=

+ +=

+ +=

= + + = +

Ejemplo 1.3.3: Hallar la ecuación de la recta tangente a 2( ) 3f x x x= + en x = -1. Solución:

1. Para calcular la pendiente de la recta tangente, ya no es necesario calcular el límite. Por el ejercicio anterior sabemos que la derivada de 2( ) 3f x x x= + es ( ) 6 1f x x′ = + . Entonces para calcular la pendiente, reemplazamos x = -1 y obtenemos ( 1) 6 1 1 5f ′ − = ⋅− + = − . 2. Usamos la ecuación punto pendiente con m = -5 y el punto P = (-1, 2) y llegamos a la ecuación de la recta tangente: y = –5x – 3.


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El ejemplo 1.3.3 muestra cómo la función derivada permite calcular de manera rápida y eficiente la pendiente de la recta tangente (o la razón de cambio o la velocidad instantánea, si lo prefiere). En ese

sentido, es un paso importante para resolver el problema del límite ( ) ( )

0limh

f x h f xh→

+ −. Piénselo

de la siguiente manera: Si nos aprendemos de memoria que la derivada de la función 2( ) 3f x x x= + es ( ) 6 1f x x′ = + , no necesitaremos calcular el límite nuevamente. Así mismo, si nos aprendiéramos las derivadas de las demás funciones, no necesitaremos calcular nunca más el límite dichoso. Lo cual nos lleva al siguiente problema: Hay infinitas funciones, lo que hace imposible la idea anterior. Lo que haremos es lo siguiente: Calcularemos las derivadas para las funciones básicas y luego estudiaremos cómo combinar dichas funciones básicas. Las derivadas de las funciones básicas se muestran a continuación: DERIVADAS BASICAS Polinomios

1.3.4 Si ( ) ( : constante)f x k k= , entonces ( ) 0f x′ = .

1.3.5 Si ( )f x x= , entonces ( ) 1f x′ = .

1.3.6 Si 2( )f x x= , entonces ( ) 2f x x′ = .

1.3.7 Si 3( )f x x= , entonces ( ) 23f x x′ = .

1.3.8 Si ( ) nf x x= , entonces ( ) 1nf x nx −′ = . Raíces

1.3.9 Si ( )f x x= , entonces ( ) 12

f xx

′ = .

1.3.10 En el caso de otro tipo de raíces, se utiliza el resultado 1.3.8 Funciones trigonométrica

1.3.11 Si ( ) senf x x= , entonces ( ) cosf x x′ = .

1.3.12 Si ( ) cosf x x= , entonces ( ) senf x x′ = − .

1.3.13 Si ( ) tanf x x= , entonces ( ) 2secf x x′ = . Funciones exponencial y logarítmica

1.3.14 Si ( ) xf x e= , entonces ( ) xf x e′ = .

1.3.15 Si ( ) xf x a= , entonces ( ) lnxf x a a′ = ⋅ .

1.3.16 Si ( ) lnf x x= , entonces ( ) 1f xx

′ = .

Nota ver anexo 2. Función derivada y calculo de derivadas elementales.


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Es de suma importancia para lo que viene a continuación en el curso (en realidad en lo que viene en su carrera) que se sepa estas fórmulas de memoria. Por supuesto, en este listado faltan varias funciones. Usted deberá ir completando el listado, a medida que surjan nuevos resultados. A modo de ejemplo, demostraremos la fórmula 1.3.9.

Proposición1 1.3.9: Si ( )f x x= , entonces ( ) 12

f xx

′ = .

Demostración: Demostraremos la proposición de dos maneras 1ª Forma: usando la definición

( ) ( )

( )

0

0

0

0

( ) lim

lim Racionalizamos el numerador

lim

1 1lim2

h

x h xx h xh

h

h

f x h f xf x

hx h x

hx h x

h x h x

x h x x

→

+ ++ +→

→

→

+ −′ =

+ −= ⋅ ←

+ −=

+ +

= =+ +

2ª Forma: usando derivadas:

Lo interesante de conocer algunos resultados como los del listado de derivadas básicas, es que dichos resultados pueden reutilizar se para generar nuevos resultados. Así, nos apartamos cada vez más de tener que usar el límite de la definición.

En este caso, usaremos la fórmula 1.3.8, que establece que si ( ) nf x x= , entonces

( ) 1nf x nx −′ = .

La función ( )f x x= se puede escribir como 12( )f x x= , por lo que podemos usar la

fórmula 1.3.8, con 12

n = y obtenemos de inmediato que

( )1 112 2

12

1 1 1 12 2 22

f x x xxx

− −′ = = = = .

Fíjese que en la 2ª forma no usamos el límite de la definición. Sólo reemplazamos en una fórmula ya conocida. De a poco la derivada empieza a mostrar su poderío. El siguiente teorema muestra un poco más del poder de la derivada.

1 Una proposición, según la RAE, es una “enunciación de una verdad matemática que se trata de demostrar”. Generalmente se trata de un resultado menor, que no alcanza a tener los méritos para ser llamado “teorema”.


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Teorema 1.3.10: RELACION ENTRE DERIVADA Y CONTINUIDAD

Si f es derivable en x = a, entonces es continua en x = a.

Demostración: (Recuerde que para demostrar que f es continua en x = a, debemos demostrar tres cosas:

(i) f(a) existe (ii) ( )limx a

f x→

existe (iii) ( )lim ( )x a

f x f a→

=

Aunque en realidad basta demostrar (iii), ya que incluye a (i) y a (ii). ) Lo que sabemos es que f es diferenciable en x = a, y esto quiere decir que existe ( )f a′ , lo cual, a

su vez, significa que existe ( ) ( )lim

x a

f x f ax a→

−−

. Pero para que exista este límite, debe existir f(a).

(Hemos demostrado el punto (i)).

Para demostrar los otros dos puntos, recurrimos a ciertos trucos. Primer escribimos ( )lim

x af x

→como ( ) ( ) ( )( )lim

x af x f a f a

→− + . Ahora amplificamos los dos

primeros términos por x ax a−−

y obtenemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim limx a x a

f x f af x x a f a

x a→ →

⎛ − ⎞= − +⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

Ahora separamos y evaluamos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

lim lim lim lim

0 ( )x a x a x a x a

f x f af x x a f a

x af a f a

f a

→ → → →

−= ⋅ − +

−′= ⋅ +

=

Así demostramos (ii) y (iii) y en consecuencia demostramos que f es continua en x = a.

Debe entender bien el teorema. Si f es derivable, entonces es continua. ¡NO LO CONTRARIO! Ser “derivable” es más que ser “continua”. Si no está seguro, recuerde la función “valor absoluto”, que tiene una punta en x = 0 y por lo tanto no es derivable en dicho punto. Pero sí es continua en x = 0. Ejercicios 1.3

1. Utilizando la definición encontrar las derivadas de las siguientes funciones.

a) 53)( 2 −= xxf b) 1( )f xx

= c) 21)(x

xf = d) ( )f x mx n= +

2. Demostrar las fórmulas del listado básico, usando la manera más eficiente.

Nota: Para introducir nos en el concepto de Diferencial y su relación con la Derivada vea el Anexo 3.


14

1.4. Algebra de Derivadas

Ahora que ya contamos con un listado de derivadas básicas, vamos a estudiar funciones más complejas. Pero ya no nos aprenderemos las derivadas de memoria, sino que encontraremos fórmulas que permitan “construirlas” usando el álgebra de funciones. A esto se le conoce como álgebra de derivadas.

Sabemos que a partir de dos funciones dadas, f y g, podemos generar 5 nuevas funciones: la función suma, la función resta, la función producto, la función cuociente y la función compuesta.

El álgebra de derivadas establece reglas para encontrar las derivadas de estos 5 tipos de funciones.

ÁLGEBRA DE DERIVADAS

Teorema 1.4.1: Si f y g son diferenciables, entonces f + g también lo es. Más aún:

( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x′ ′ ′+ = + . Teorema 1.4.2: Si f y g son diferenciables, entonces f – g también lo es. Más aún:

( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x′ ′ ′− = − . Teorema 1.4.3: Si f y g son diferenciables, entonces f · g también lo es. Más aún:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x f x g x′ ′ ′⋅ = ⋅ + ⋅ . Teorema 1.4.4: Si f es diferenciable, entonces k · f también lo es (con k, constante). Más aún:

( ) ( ) ( )k f x k f x′ ′⋅ = ⋅ .

Teorema 1.4.5: Si g es diferenciable, entonces 1g

también lo es (siempre que ( ) 0g x ≠ ). Más aún:

( ) ( )( )( )2

1 g xx

g g x

′ ′⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Teorema 1.4.6: Si f y g son diferenciables, entonces fg

también lo es (siempre que ( ) 0g x ≠ ).

Más aún: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )2

f x g x f x g xf xg g x

′ ′ ′⋅ − ⋅⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

Demostraremos dos de estos resultados (ver anexo 4 si deseas ver la comprobación de los demás

Teoremas) Demostración teorema 1.4.3

Si usamos la definición, obtenemos


15

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )0

0

( ) lim

lim

h

h

f g x h f g xf g x

hf x h g x h f x g x

h

→

→

⋅ + − ⋅′⋅ =

+ ⋅ + − ⋅=

Queremos que aparezca la derivada de f, y para eso necesitamos la expresión

( ) ( )

0limh

f x h f xh→

+ −.

Para lograr que aparezca, usaremos un truco algebraico:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

0

( ) lim

lim

h

h

f x h g x h f x g xf g x

hf x h f x g x h f xg x h f x xg x h g

h

→

→

− ⋅ + + ⋅ +

+ ⋅ + − ⋅′⋅ =

+ ⋅ + − ⋅=

Es decir, le agregamos una expresión al numerador (resaltado en rojo) que es 0, y por lo tanto mantiene la expresión original. Este truco, sumarle 0 a algo, puede parecer insustancial, pero ahora nos permite agrupar el numerador de la siguiente manera:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0

0

( ) lim

lim

h

h

f x h g x h f x g x h f x g x h

f x g x h g x

f x g xf g

f x h f x g x h

xh

h

→

→

+ ⋅ + − ⋅ + + ⋅ + − ⋅′⋅

+ − ⋅ + ++ ⋅ −

=

=

Nótese que sacamos factor común en los dos primeros términos (en azul), así como en los otros dos (en verde). Esto nos permite separar la fracción en dos fracciones y demostrar finalmente el teorema.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0

0

( ) lim

lim

h

h

f x h f x g x h f x g x h g xf g x

h hf x h f x g x h g x

g x h f xh h

f x g x f x g x

→

→

+ − ⋅ + ⋅ + −′⋅ = +

+ − + −= + +

′ ′= +

Demostración teorema 1.4.4:

Al igual como lo hicimos en la proposición 1.3.9, ya no usaremos la definición, sino resultados ya conocidos, mostrando así como la derivada hace que los cálculos se realicen cada vez más eficiente.

Si usamos el teorema 1.4.3, obtenemos ( ) ( ) ( ) ( )k f x k f x k f x′ ′ ′⋅ = ⋅ + ⋅ .

Pero sabemos que la derivada de una constante es 0 (fórmula 1.3.4), por lo tanto

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0k f x f x k f x k f x′ ′ ′⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅


16

Veamos ahora algunos ejemplos

Ejemplo 1.4.7: Hallar la derivada de ( ) 2 1xf x

x=

−

Solución: Aplicamos la regla para la división (teorema 1.4.6) y queda:

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

22

1 1

1

x x x xf x

x

′′ ⋅ − − ⋅ −′ =

−. (*)

Para poder seguir, debemos calcular dos “sub-derivadas”: la derivada de “x” y la de “x2 – 1”.

1. derivada de x Esta derivada ya la demostramos en la fórmula 1.3.5, por lo que no hay nada que calcular: 1x′ =

2. derivada de x2 – 1 Esta expresión es una resta, por lo que aplicamos el teorema 1.4.2 y obtenemos

( ) ( ) ( )2 21 1x x′ ′ ′− = − .

Ahora tenemos que calcular dos “sub-subderivadas”, la de “x2” y la “1” b1) derivada de x2

La sabemos por la fórmula 1.3.6: ( )2 2x x′ =

b2) derivada de 1 “1” es una constante, por lo que (fórmula 1.3.4) su derivada es 0.

Juntando b1 y b2, obtenemos que ( )2 1 2 0 2x x x′− = − =

Finalmente volvemos a (*), reemplazamos y obtenemos el resultado final.

( ) ( )( )

( )

( )

2

22

2 2

22

2

22

1 1 2

1

1 2

1

1

1

x x xf x

x

x x

x

x

x

⋅ − − ⋅′ =

−

− −=

−

+= −

−

Por supuesto, este ejercicio puede hacerse (y con un poco más de práctica debe hacerse) de manera mucho más breve. No son necesarios todos los pasos que escribimos. Pero mire el ejercicio como una estructura: para resolver una derivada, vamos calculando sub-derivadas y sub-subderivadas, hasta tener todos los componentes. Luego reemplazamos estos componentes en la fórmula que corresponda.

Uno de los errores que más cometen los alumnos (usted) cuando empiezan a derivar es tratar de hacer todos los cálculos en forma simultánea. Esto hace que, tarde o temprano, cometan errores garrafales ¡como olvidar incluso qué fórmula está usando!


17

Le recomendamos no apresurarse y de a poco irse soltando. También le recomendamos hacer los cálculos auxiliares en forma ordenada (no a un lado de la hoja con letra minúscula, por ejemplo). Los cálculos auxiliares son tan importantes como el resultado final y es lo único que le permite obtener puntaje en una evaluación, de estar malo el resultado final.

Con estas recomendaciones en mente, vuelva a leer el ejercicio 1.4.7.

Ejemplo 1.4.8: Hallar la derivada de ( ) 2senf x x= . Solución:

¿Qué es “sen2x? No es una suma ni una resta. No es un producto ni una división. Es una función compuesta. Es “sen x” al cuadrado. Pero aún no sabemos derivar una función compuesta (de hecho, de eso se trata el siguiente apartado). Afortunadamente, en este caso podemos expresar la función como un producto, ya que ( ) 2sen sen senf x x x x= = ⋅ y podemos aplicar el teorema 1.4.3. Resulta

( ) ( ) ( )

( )

sen sen sen sencos sen sen cos2 sen cossen 2

f x x x x xx x x x

x xx

′ ′′ = ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅= ⋅ ⋅

=

El hecho de escribir la función original de una manera distinta (en el ejemplo escribir una función compuesta como una multiplicación) es un procedimiento muy usado y debe tenerlo en cuenta cuando haga ejercicios. Puede simplificarle los cálculos considerablemente.

En el ejemplo 1.4.7, podríamos haber escrito la función ( ) 2 1xf x

x=

− de diferentes maneras:

Como una multiplicación: ( ) 2

11

f x xx

= ⋅−

Como una multiplicación con una función compuesta: ( ) ( ) 12 1f x x x−

= ⋅ −

Factorizando: ( ) ( )( )1 1xf x

x x=

− +

Existen muchas otras formas y no es para nada claro, a priori, cuál es la mejor a la hora de derivar. Por ello, cuando tenga que derivar una función, considere primero si no será mejor re-escribir la función.

Veamos para finalizar, un ejemplo un poco más exigente (tipo prueba).


18

Ejemplo 1.4.9: Dada la función ( ) 2

14

f xx

=+

a) Determinar su derivada. b) Determinar la ecuación de la recta tangente en x = a. c) Determinar la intersección de la recta tangente con el eje de las abscisas. d) ¿Corta la recta tangente a la curva en algún otro punto?

Solución: En el gráfico vemos la función f(x), en negro y una recta tangente (en rojo) en un punto P arbitrario. Podemos observar que se trata de una función continua, que tiene al eje x como asíntota horizontal y que es diferenciable en cualquier punto, puesto que existe la recta tangente en cada punto. (Esto último tiene que imaginárselo). a) Determinar ( )f x′ .

Usamos la fórmula para la división y obtenemos

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 22 2

1 4 1 4 2

4 4

x x xf xx x

′′ ⋅ + − ⋅ +′ = = −

+ +. (*)

(Aquí nos saltamos algunos pasos, que estamos seguros usted puede hacer).

b) Determinar la ecuación de la recta tangente en x = a. Necesitamos un punto y la pendiente. b1) El punto

Remplazamos x = a en la función y obtenemos 2

14

ya

=+

.

El punto es 2

1,4

P aa

⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

b2) La pendiente Una advertencia: la derivada NO ES la pendiente de la recta tangente. Es decir, ( )f x′ NO ES “m”. La derivada SIRVE para calcular la pendiente de la recta tangente. La pendiente de la recta tangente es la derivada EVALUADA en el punto de tangencia. Es decir ( )m f a′= .

En nuestro caso, usando (*), queda ( )( )22

2

4

am f aa

′= = −+

.

Ahora podemos determinar la ecuación de la recta tangente, con la fórmula,

( ) ( )( )y f a f a x a′− = − y obtenemos ( )

( )22 2

1 24 4

ay x aa a

− = − −+ +

.

Simplificando obtenemos


19

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 22

2

2 2 22 2

2 2

2 22 2

2

2 22 2

2 144

2 2 144 4

2 2 4

4 4

2 3 4

4 4

ay x aaa

a ay xaa a

a a ay xa a

a ay xa a

= − − +++

⇒ = − + +++ +

+ +⇒ = − +

+ +

+⇒ = − +

+ +

Respuesta: La ecuación de la recta tangente a f(x) en x = a es ( ) ( )

2

2 22 2

2 3 4

4 4

a ay xa a

+= − +

+ +.

c) Determinar la intersección de la recta tangente con el eje de las abscisas.

Para hallar la intersección de una recta con el eje de las abscisas, hacemos y = 0. Para la recta tangente que calculamos, se llega a la ecuación

( ) ( )

2

2 22 2

2 3 4 04 4

a axa a

+− + =

+ +.

Si despejamos x, obtenemos

( )

( )( )

( )2

2 22 22 2

22

22

3 4

4 43 4 3 42 2 24

4

a

a aa ax a a aaa

+

+ ++ += = ⋅ =

++

.

Respuesta: la recta tangente corta al eje x en el punto 23 4 ,02

aa

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Comentario: Esta respuesta es válida sólo si 0a ≠ , ya que si a = 0 la fracción se indetermina. Efectivamente, al observar el gráfico vemos que la recta tangente en x = 0 es paralela al eje x y por lo tanto no intercepta al eje x.

d) ¿Corta la recta tangente a la curva en algún otro punto?2

Para determinar un posible punto de intersección entre la función y la recta tangente, debemos resolver la ecuación: “f(x) = recta tangente”. En este caso, la ecuación es:

( ) ( )

2

2 22 2 2

1 2 3 44 4 4

a axx a a

+= − +

+ + +.

2 Esta parte es difícil. Léala varias veces. Trate de entender lo medular y después los detalles.


20

Para ver mejor la ecuación, haremos los siguientes cambios de variables:

( )22

2

4

ama

= −+

y ( )

2

22

3 4

4

ana

+=

+

es decir, resolveremos la ecuación 2

14

mx nx

= ++

.

Multiplicando a ambos lados por “x2 + 4”, queda 3 21 4 4mx mx nx n= + + + . Ordenando los términos, llegamos a una ecuación cúbica: ( )3 2 4 4 1 0mx nx mx n+ + + − = Volviendo a las variables originales, y simplificando:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( )

2 23 2

2 2 2 22 2 2 2

22 223 2

2 2 2 22 2 2 2

2 4 223 2

2 2 2 22 2 2 2

23 2

2 2 22 2 2

2 3 4 8 3 44 1 04 4 4 4

12 16 42 3 4 8 04 4 4 4

12 16 8 162 3 4 8 04 4 4 4

2 3 4 8

4 4 4

a a a ax x xa a a a

a aa a ax x xa a a a

a a aa a ax x xa a a a

a a ax xa a a

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟− + − + − =⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠

+ − ++⇒ − + − + =

+ + + +

+ − + ++⇒ − + − + =

+ + + +

+⇒ − + −

+ + + ( )4 2

22

4 04

a axa

− ++ =

+

Multiplicamos por ( )22 4a− + a ambos lados: ( ) ( )3 2 2 4 22 3 4 8 4 0ax a x ax a a− + + + − = (**)

¿Cómo resolver una ecuación cúbica? Pues necesitamos encontrar una primera raíz “al ojo”. Pero en nuestro caso, ya sabemos una solución a la ecuación “f(x) = recta tangente”: ¡El punto de tangencia! Es decir, x = a es una raíz para la ecuación (**) y por lo tanto el polinomio de la izquierda se puede factorizar por (x – a) y obtendremos un polinomio de segundo grado. Efectivamente, con un esfuerzo insignificante se obtiene

( ) ( ) ( ) ( )( )( )3 2 2 4 2 2 2 22 3 4 8 4 2 4 4ax a x ax a a ax a x a a x a− + + + − = − + − − − .

Por lo tanto la ecuación (**) queda ( ) ( )( )( )2 2 22 4 4 0ax a x a a x a− + − − − = ,

lo que significa que ( ) ( )2 2 22 4 4 0ax a x a a− + − − = ó 0x a− = .

La segunda ecuación nos da el punto de tangencia (x = a), que no nos interesa. ¿Se acuerda todavía qué estamos buscando? Queremos determinar si la recta tangente corta a la curva en otro punto. Por lo tanto debemos analizar la ecuación ( ) ( )2 2 22 4 4 0ax a x a a− + − − = .


21

No nos interesa resolverla, sólo nos interesa saber si esta ecuación cuadrática tiene solución en . Y para eso, su discriminante debe ser positivo. Es decir, la recta tangente intercepta a la gráfica de la función si y sólo si ∆ > 0. En este caso:

4 8 4 0 9 24 16 0 3 4 0 |3 4| 0

|3 4| 0 Esta última expresión es cierta, salvo cuando el argumento del valor

absoluto s igual a 0, es decir salvo cuando 23

a = ± .

Finalmente tenemos la respuesta: Cualquier recta tangente a f(x) intersecta la gráfica en otro punto, excepto por dos rectas tangentes: aquellas con

23

x = ± . En el gráfico vemos una de ellas.

Ejercicios 1.4

1. Demuestre los teoremas 1.4.1 a 1.4.6. 2. Demuestre que si f, g y h son derivables en x = a, entonces f · g · h también lo es. Más aún:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g h a f a g a h a f a g a h a f a g a h a′ ′ ′ ′⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ . 3. Utilizando las fórmulas y reglas de derivación, encontrar la derivada de las siguientes funciones.

a) y = 22 xx −+ b) y = xxx 223

23

−+ c) y = 3cosx + 2senx

d) y = 45x

e) y = xx 93 2 + f) y =x

x 1+

g) y = xe x cos3− h) y = senxex ⋅ i) ( )2

2

11

xf xx−

=+

4. Calcular las derivadas de las siguientes funciones racionales

a) f(x) = 23

++

xx

b) ( )213

xf xx−

=−

c) ( )3 2xf xx−

= d) ( )2

2

24

xf xx

=−

e) ( )23

2 3xf x

x=

+

5. Dada la función ( )34−⋅= xxy , encontrar los puntos de la misma en los cuales, las tangentes trazadas sean paralelas al eje de las abscisas.

6. Se sabe que la recta 323

43

−−= xy es tangente a la curva descrita por xxy −= 45,0 . Hallar el

punto de tangencia. 7. ¿En qué punto, la pendiente de la tangente al gráfico de f(x) = 122 23 −+− xxx es igual a 3?

Nota Ver anexo 4 Derivadas laterales y algebra de derivadas.


22

1.5. La regla de la cadena

La regla de la cadena es el nombre que se la da a la derivada de la función compuesta. Al hacer ejercicios quedará claro el porqué de esta denominación. Esta propiedad es una de las más importantes del cálculo y requiere de mucha ejercitación para dominarla.

Teorema 1.5.1: REGLA DE LA CADENA Sean : , , y : , funciones reales de variable real. De modo que es derivable en , y es derivable en con

, entonces la función compuesta : , , Es decir es derivable en , donde la derivada es . Esquema de Demostración

Por definición de la derivada tenemos que ( )0

0

00

)()(lim

xxxhxh

xhxx −

−=′

→

Además por regla de la cadena tenemos que

.

Luego ( )0

0

00

))(())((lim

xxxfgxfg

xhxx −

−=′

→

A su vez con tenemos ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )0

0

0

0

00 lim)(

xfxfxfxf

xxxfgxfg

xhxx −

−⋅

−−

=′→

Reordenando vemos que ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

0

0

0

0

00 lim)(

xxxfxf

xfxfxfgxfg

xhxx −

−⋅

−−

=′→

Con ( ) yxf = 00 )( yxf = si ( ) ( )00 xfxfxx →⇒→ entonces 0yy →

Entonces separando límites obtenemos ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

0

00

0

00 limlim

xxxfxf

yyygyg

xhxxyy −

−⋅

−−

=′→→

Con lo cual concluimos que ( ) ( ) ( )000 xfygxh ′⋅′=′ Es decir ( ) ( )( ) ( )000 xfxfgxh ′⋅′=′

Notación 1.5.2

a. ( )

dxdf

xf =′

b. tgfh = )(xty = ( )ygz = )(zfv =

( ) ( ) ( )xtygzf

dxdt

dydg

dzdf

dxdhxh ′′′=⋅⋅==′ )(


23

La fórmula de este teorema establece que para derivar una función compuesta, se deriva cada función involucrada, pero se mantienen sus respectivos argumentos. Los resultados se van multiplicando, formando una cadena de derivadas, de ahí lo de “regla de la cadena”.

Pasemos a analizar algunos ejemplos. Ejemplo 1.5.3: Hallar la derivada de 2seny x= Solución:

¿Cuáles son las funciones involucradas en este ejercicio?

1. Primero tenemos la función “seno”, cuya derivada es “coseno”. Y como el argumento es “x2”, el primer resultado parcial es “ 2cos x ”.

2. En segundo lugar tenemos la función “ ( )2 ”, cuya derivada es “ ( )2 ⋅ ” y como el

argumento es “x”, el segundo componente es “2x”.

Por lo tanto la derivada de 2seny x= es 22 cosy x x′ = ⋅ .

Ejemplo 1.5.4: Hallar la derivada de ( ) 2senf x x= . Solución:

Debe tenerse claro que “ 2sen x ” significa “ ( )2sen x ”. Teniendo eso en mente, las funciones involucradas en este ejercicio son 1. “ ( )2 ”, cuya derivada es “ ( )2 ⋅ ” y cuyo argumento es “sen x”. El primer componente es, por lo tanto, “2 · sen x”. 2. “seno”, cuya derivada es “coseno” y cuyo argumento es “x”. El segundo componente es entonces “ cos x ”.

Por lo tanto la derivada de ( ) 2senf x x= es 2sen cos sen 2y x x x′ = ⋅ = . Este es justamente el resultado que obtuvimos en el ejemplo 1.4.7.

Estos dos ejemplos, muy parecidos pero a la vez muy distintos, muestran que se debe tener cuidado con cuál es el argumento de cada función.

ERRORES TIPICOS

Uno de los errores que más típicamente comete un alumno sin sentido del ridículo es derivar la función y el argumento, al mismo tiempo y no en cadena. En el ejemplo 1.5.2, tal alumno hubiera insistido que la derivada de 2seny x= es cos 2y x= .


24

El segundo error típico se produce por desorden o descuido. En los dos ejemplos anteriores, la resolución es bastante simple, ya que las funciones lo eran. Pero si en una función intervienen diferentes operaciones (por ejemplo, una división que a su vez contiene multiplicaciones y sumas y cuyos componentes son todos funciones compuestas), hay una alta probabilidad que cuando llegue al final del ejercicio ni siquiera se acuerde de usar la regla de la cadena o alguna de las fórmulas. La recomendación es simple: no se apresure y no sea desordenado. Veremos un ejemplo de esto.

Ejemplo 1.5.5: Sean , , , funciones derivables en un intervalo dado.

a) y , Probar que Solución: Si miramos primero se tiene la composición luego al interior una adición Sea , como son derivables por linealidad también es derivable, es decir Luego como la composición de funciones derivables es derivable, tenemos que , con lo cual . Y por distribución de la multiplicación por ultimo tenemos Ahora si miramos primero se tiene la adición luego la composición. Sea , e . Como son derivables por composición también es derivable, es decir . Sea , y . Como son derivables por composición también es derivable, es decir Luego como las funciones son derivable y la suma de funciones derivables es derivable, tenemos que Con lo cual probamos que

¿Se da cuenta por qué debe hacer los ejercicios ordenados? Es cierto que a medida que ejercite va a ser capaz de saltarse algunos pasos, pero sea cuidadoso. Nota: Si nace el interés de saber el porque de las cosas mirar anexo 4 acerca de la regla de la cadena.


25

Ejercicios 1.5

2. Calcular las derivadas de las siguientes funciones con respecto a la variable x. a) ( )2( ) 1f x sen x= +

b) ( )2ln 3 9 4y x x= + + c) ( )tany x=

d) 29 4y x= + e) 2 43 xy e −= f) f(x) = cos(2x + 3)

g) 2

2x

ey−

= h) y = 3 2 93 −x

3. Ejercicios un poco más exigentes

a) 22 9 xxy −= b) nxxseny n cos⋅= c) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++= 1ln 2xxy

d) 11ln

41

2

2

+−

=xxy

e) 3 83 24 xctgxctgy +⋅= f) ( )11ln1 ++−+= xxy

4. ¿Qué valor(es) debe tener la constante a, para que la derivada de la función f(x)=3 23ax x xe + + sea

positiva en todo su dominio? 5. Encontrar el dominio de la derivada de la función y = 234 xx −+ . 6. Escribir la ecuación de la recta tangente al gráfico de f(x)= xex −2 en el punto x = 1. 7. Una función f está dada por f(x)= ( )132 ++− xxe x . Resolver la ecuación f’(x) = 2f(x).

8. Dada la función 1( ) 42 3

f x sen x π⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

a) Escribir la ecuación de la tangente al gráfico de la misma en el punto con abscisa 6x π= . b) ¿En qué puntos del intervalo π≤≤ x0 , la tangente forma con el eje x un ángulo de 60º?

9. Dada la función ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

63cos

32)( πxxf , encontrar el ángulo que forma con el eje x la tangente al

gráfico, en el punto con abscisa 3x π= .

10. ¿En cuáles puntos el gráfico de la función 3 senxxy += tendrá tangentes verticales?

11. Sea: f(x) = 121 3 +x y g(x)= xex −⋅ . Demostrar que f’(2) es solución de la ecuación g’(x)=0.

12. Sea: f(x)= 12 ++bxaxe . Hallar el valor de las constantes a y b sabiendo que f(1) = f(0) = f’(0).

13. Dada las funciones ; ; continuas, y derivables entonces: a) Si · y · , Probar que

b) Si y , Probar que


26

1.6. Derivada de la función inversa

Sean la función : , , y su función inversa : , , ambas funciones derivables. Tenemos que : y : , con y Vemos las composiciones: es decir

es decir (1)

Derivando (1)

Por regla de la cadena tenemos que · 1

Si conocemos la derivada de podemos determinar la derivada de : y como

sustituyendo tenemos: Teorema 1.6.1: DERIVADA DE LA FUNCION INVERSA Sea es continua y monótona en , con ,

Si existe 0 entonces la función inversa tiene derivada en con:

Ejemplo 1.6.2: Hallar la derivada de la función inversa de

i. ( )( ) ln( )

yg y e xf x x y

= == =

( )( )

yex

xxxf

yg =====11

ln1

)´/1)´(

´

ii. ( ) cos( )g y ar y x= = ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤∈

2,0 πx

( ) cos( )f x x y= =

( )( ) ( ) 22 1

1

)(cos1

11´cos

1)´(

1)´(yxxsenxxf

yg−

−=

−

−=

−===

Recuerde 1)(cos)( 22 =+ xxsen , luego )(cos1)( 2 xxsen −=


27

Ejemplo 1.6.3: Hallar la derivada de ( ) ( )3 5

3ln

Arc tan

xx ef xx

= .

Solución:

Es cierto que este ejercicio es poco real. Pero lo importante es que permite mostrar el método para derivar funciones. Vamos a desglosar todo paso por paso. 1. Lo primero que debe preguntarse es: ¿Qué es esto que vamos a derivar? ¿Una suma, resta,

multiplicación, división o función compuesta? En este caso se trata de una función compuesta (logaritmo de una fracción), por lo que utilizaremos la regla de la cadena.

1.1. La primera función es “ln”, cuya derivada es “ 1 ”. Y como el argumento del logaritmo

es ( )

3 5

3Arc tan

xx ex

, la primera parte de la derivada es

( )3 5

3

1

Arc tan

xx ex

, o, en forma

simplificada: ( )3

3 5

Arc tanx

x

x e

Por lo tanto, ya podemos dar una primera respuesta:

La derivada de ( ) ( )3 5

3ln

Arc tan

xx ef xx

= es

( )( )

( )3 3 5

3 5 3

Arc tan

Arc tan

x

x

x x ef xx e x

′⎛ ⎞⎜ ⎟′ = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

(1)

2. Ahora debemos derivar ( )

3 5

3Arc tan

xx ex

. ¿Qué es? Una división. Por lo tanto debemos ocupar la

fórmula del teorema 1.4.6: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )2

f x g x f x g xf xg g x

′ ′ ′⋅ − ⋅⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

En este caso, la fórmula se transforma en

( )( ) ( ) ( )( )

( )( )3 5 3 53 33 5

23 3

Arc tan Arc tan

Arc tan Arc tan

x xx x e x x e xx e

x x

′′ ′⎛ ⎞ ⋅ − ⋅⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(2)

Antes de seguir, debemos derivar las dos expresiones que aparecen en el numerador 2.1. Derivada de 3 5xx e


28

¿Qué es? Una multiplicación entre 3x y 5xe . Por lo tanto usamos la fórmula

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x f x g x′ ′ ′⋅ = ⋅ + ⋅ , que para los dos factores se transforma en

( ) ( ) ( )3 5 3 5 3 5x x xx e x e x e′ ′ ′= ⋅ + ⋅ (3).

Debemos calcular las dos derivadas que aparecen.

2.1.1. Derivada de 3x Esta es una función básica, cuya derivada se debe conocer de memoria:

( )3 23x x′ = .

2.1.2. Derivada de 5xe

¡Atención! ¡Esta no es una función básica! La función básica es “ex”, no “e5x”. ¿Qué es “e5x”? Una función compuesta.

Por lo tanto, usamos la regla de la cadena y queda: ( )5 55x xe e′ = ⋅ .

(A estas alturas, debe ser capaz de verificar el resultado anterior y verificarlo efectivamente.)

Ahora podemos reemplazar en (3) y obtenemos la derivada de 3 5xx e :

( ) ( )3 5 2 5 3 5 2 53 5 5 3x x x xx e x e x e x x e′ = + = + . (4)

2.2. Derivada de ( )3Arc tan x

Como siempre: ¿qué es? Una función compuesta, por lo que hay que usar la regla de la cadena. Pero tenemos un problema: No conocemos la deriva de “Arctan”. Pues bien, esto le sucederá a menudo. En estos casos, lo que debe hacer es buscar la derivada en algún libro, o en Internet (¡en este caso busque en varias páginas ya que hay páginas con errores!) y, en caso que sea necesario, aprendérsela de memoria.

En el caso de “Arctan”, encontrará que ( ) 2

1Arc tan1

xx

′ =+

, así que, como el argumento

en nuestro caso es 3 x , queda 3 2

11 x+

.

Pero como debemos utilizar la regla de la cadena, falta aún derivar 3 x . Reescribimos la

raíz cúbica y derivamos como un polinomio: ( )1 1 213 3 3 3

3 2

1 1 13 3 3

x x x xx

− −′⎛ ⎞′ = = = =⎜ ⎟

⎝ ⎠ .

Con todo esto, la derivada de ( )3Arc tan x queda:


29

( )( ) ( )3

3 32 2 3 32 2

1 1 1Arc tan1 3 3 1

xx x x x

′= ⋅ =

+ +. (5)

Ahora reemplazamos (4) y (5) en (2):

( )

( ) ( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( ) ( )( )

2 5 3 53

3 32 23 5

23 3

3 32 2 2 5 3 53

23 32 2 3

3 32 5 2 2 3

23 32 2 3

15 3 Arc tan3 1

Arc tan Arc tan

3 1 5 3 Arc tan

3 1 Arc tan

3 1 5 3 Arc tan

3 1 Arc tan

x x

x

x x

x

x x e x x ex xx e

x x

x x x x e x x e

x x x

x e x x x x x

x x x

+ ⋅ − ⋅′⎛ ⎞ +⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎝ ⎠

+ + ⋅ −=

+

+ + ⋅ −=

+

Finalmente (¡uf!) tenemos la respuesta al remplazar todo en (1):

( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

3 32 5 2 2 33

23 53 32 2 3

3 1 5 3 Arc tanArc tan

3 1 Arc tan

x

x

x e x x x x xxf x

x e x x x

+ + ⋅ −′ = ⋅

+

Y simplificando obtenemos la respuesta final: Suponiendo que no nos hemos equivocado:

( )( ) ( )3 32 2 3

5 3 1

3 1 Arc tan

xf xx x x x

+′ = −+

¿Con esto remarcamos la idea qué debe ser cuidadoso y ordenado al hacer los ejercicios? Y a medida que ejercite va a ser capaz de saltarse algunos pasos, pero sea cuidadoso.

Ejercicios 1.6

1. Demostrar usando el teorema de la derivada de la función inversa las siguientes derivadas.

1.1 1.2 1.3.

1.4 1.5

2. Calcular la derivada de las siguientes funciones (Ejercicios un poco más exigentes)

a)x

arcseny 1= b) 21arccos xy −= c)

xxarctgy

−+

=11


30

2. Aplicaciones de la derivada El desarrollo de las aplicaciones se debe al estudio de varios, primero que nada seres humanos, “endiosados científicos” entre ellos DÁlembert: Fue sin duda un hombre de intereses muy variados, y quizá hoy se le conoce mejor por su principio mecánico llamado “principio de DÁlembert”, que afirma que las acciones y reacciones internas de un sistema de cuerpos rígidos en movimiento están en equilibrio. Otros tratados de DÁlembert están dedicados a la música, al problema de los tres cuerpos, al movimiento en medios resistentes y las perturbaciones del movimiento lunar. El estudio del problema de la cuerda vibrante le condujo a la ecuación en derivadas parciales.

Cauchy: Durante el siglo XVIII la integración había sido considerada como la operación inversa de la diferenciación; sin embargo, la definición de Cauchy de la derivada mostraba claramente que no existiría la derivada en un punto anguloso de la curva o en un punto en que la función fuese discontinua, mientras que la integral podría no ofrecer dificultad alguna.

Incluso las curvas discontínuas (en el sentido de Cauchy) pueden determinar un área bien definida, por no decir las continuas aunque no sean derivables. Como consecuencia de estas observaciones, Cauchy decidió recuperar el sentido geométrico original de la integral como área, y definir la integral definida en términos del límite de las sumas integrales, de una manera no muy distintas de la que se sigue hoy en los textos elementales, excepto en que él tomaba el valor de la función correspondiente a cada subintervalo siempre en el extremo izquierdo del subintervalo. Maclaurin: A la visita de los sorprendentes resultados obtenidos por Maclaurin en geometría, resulta bastante irónico el que su nombre se recuerde hoy casi exclusivamente en relación con una parte del análisis, en el que anticiparon una buena media docena de matemáticos. La llamada serie de Maclaurin, que aparece en su Treatise of Fluxions de 1742, es sólo un caso especial de la serie más general de Taylor, que fue publicada por Brook Taylor de (1685-1731) en 1715 en su tratado Methodus in crementorum directa et inversa. Taylor: Fue graduado por la Universidad de Cambridge, entusiasta admirador de Newton y también secretario de la Royal Society. Se interesó mucho por la perspectiva, tema sobre el que


31

publicó dos libros en 1715 y 1719, en el segundo de los cuales dio la primera formulación general del principio de los puntos de fuga. Sin embargo, su nombre se recuerda hoy casi exclusivamente en relación con la serie, que aparece incluida en el Methodus incrementorum. La serie de Taylor había sido conocida mucho antes por James Gregory, y esencialmente también por Jean Bernoulli, pero Taylor no lo sabía. Por otra parte, la serie de Maclaurin había aparecido en el Methodus differentialis de Stirlind más de una docena de años antes de que fuera publicada por Maclaurin. ¡Verdaderamente Clio, la musa de la historia, a menudo se muestra voluble y caprichosa al atribuir nombres a los teoremas!

2.1. La derivada implícita

En muchas aplicaciones – la razón de cambio dentro de las más importantes – se solucionan a través de esquemas geométricos. Estos esquemas geométricos sugieren alguna relación o fórmula entre las variables involucradas, por ejemplo el teorema de Pitágoras o el teorema de Tales y recién entonces se utiliza la derivada. El problema es que las fórmulas a las que se llega, no son siempre funciones, es decir, no son de la forma “y = f(x)”. Normalmente llegaremos a expresiones como “ 2 2x y y a ax+ + − = ” y entonces surge la pregunta, ¿cómo derivar expresiones así? (Si no las derivamos, no podremos resolver ningún problema).

Una solución es despejar “y” y luego derivar. Pero si observa la expresión “ 2 2x y y a ax+ + − = ”, verá que eso podría ser levemente complicado.

En esos casos, la herramienta que permite derivar este tipo de expresiones se denomina derivada implícita. La derivada implícita permite derivar expresiones, sin necesidad de despejar. Es necesario familiarizarse con esta técnica, antes de poder resolver problemas concretos y es por esto que este es el primer apartado de este capítulo.

Cuando definimos la derivada, vimos que se podía denotar de varias maneras. Hasta el momento hemos utilizado casi exclusivamente la forma “ y′ ” o “ ( )f x′ ”, pero cuando uno tiene una expresión

como “ 2 2x y y a ax+ + − = ”, ninguna de estas formas tiene mucho sentido, y se utiliza la forma “dydx

”. Esta notación fue introducida por primera vez por Leibniz, y se conoce justamente como

“notación de Leibniz”.

Pero ¿por qué ya no tienen sentido las otras dos formas?

Analicémoslas: La notación “ ( )f x′ ” no tiene sentido, simplemente porque no aparecerá f(x) en las expresiones a las que llegaremos. ¡Puede que ni siquiera aparezca “x” o “y”!


32

La notación “ y′ ” no tiene sentido, por lo siguiente: ¿Qué significa “ y′ ”? Significa que hay una función (y), que se deriva. ¿Pero cuál es la variable? ¿x? ¿t? ¿a? No queda claro. Entonces en una expresión como “ 2 2x y y a ax+ + − = ”, ¿cuál es la variable? ¿x? ¿Seguro?

Al usar la notación de Leibniz, queda absolutamente claro cuál es la función y cuál es la variable. Por

ejemplo, si escribiéramos “ dxdt

”, significa que vamos a derivar “x” con respecto a la variable “t”.

Fíjese que la variable “t” ni siquiera aparece en “ 2 2x y y a ax+ + − = ”.

Veamos algunos ejemplos

Ejemplo 2.1.1: Hallar dydx

para 2 2x y y a ax+ + − =

Solución: Simplemente aplicamos la derivada a ambos lados de la igualdad:

( ) ( )2 2d dx y y a axdx dx

+ + − = .

“ ddx

” significa que vamos a derivar todo lo que venga a continuación (todo lo que está dentro del

paréntesis) con respecto a la variable “x”. Par eso usamos las propiedades ya estudiadas: 1. Derivada del lado izquierdo

Dentro del paréntesis aparecen una suma y una resta. Por lo tanto

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2

2 2

d d d dx y y a x y y adx dx dx dx

d dyx ydx dx

+ + − = + + −

= + +

(Nótese que estamos suponiendo que “a” no es una variable, sino una constante y que por lo

tanto ( )d adx

es igual a 0. En las aplicaciones normalmente queda claro si algo es variable o

constante.

Falta calcular ( )2 2d x ydx

+ . Aquí debemos utilizar la regla de la cadena.


33

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2

2 2

derivada delargumentoderivada dela raíz

2 2

2 2

derivada dela suma

2 2

* **

2 2

2

12

12

1 2 22

1 2 22

d dx y x ydx dxx y

d dx ydx dxx y

d dx x y ydx dxx y

dyx ydxx y

xx y

+ = ⋅ ++

⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠+

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ ⋅ + ⋅⎜ ⎟

+ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠+

=+ 2 2 2

y dydxx y

+ ⋅+

Obsérvese que en (*) y (**) se volvió a usar la regla de la cadena. En resumen, la derivada del lado izquierdo es

( )2 2

2 2 2 2

d x y dy dyx y y adx dx dxx y x y

+ + − = + ⋅ ++ +

2. Derivada del lado derecho Como supusimos que “a” es constante, queda simplemente

( ) ( )d dax a x adx dx

= =

En síntesis, si derivamos la igualdad 2 2x y y a ax+ + − = , obtenemos la igualdad

2 2 2 2

x y dy dy adx dxx y x y

+ ⋅ + =+ +

.

Ahora podemos despejar fácilmente dydx

y se llega al resultado final

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

1y dy xadxx y x y

y x y a x y xdydxx y x y

a x y xdydx y x y

⎛ ⎞⎜ ⎟+ ⋅ = −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

+ + + −⇒ ⋅ =

+ +

+ −⇒ =

+ +

Formalicemos esta idea Definición 2.1.2 Decimos que una función esta dada en forma explícita si la podemos escribir de la forma .


34

Decimos que una función esta dada en forma implícita si tenemos una ecuación de dos variables , 0, en la cual existe una o varias relaciones que obedecen al concepto de función .

Nota: El que exista no nos implica que seamos capas de determinar su forma explicita. Ejemplos 2.1.3

1. Forma implícita: , 1 0

Forma explicita , existe una. 2. Forma implícita: , 1 0

Forma explicita:

a. √1 b. √1

Hay dos relaciones explicitas

3. Forma implícita: , 1 0 En forma explicita a pesar de que existe una relación que obedece al concepto de función no es posible escribirla en forma explicita.

Nos interesa determinar la derivada de la función implícita, sea esta conocida en su forma explicita o no. Es decir determinar ′ o en la anotación de Leibniz . Para lo cual tenemos que , 0 es una función constante nula que depende de x, entonces derivando por regla de la cadena respecto de la variable independiente tenemos

, ′ 0

Despegando determinamos la derivada, como ya vimos en el ejemplo anterior. Observemos un teorema qué nos permite resolver esto de otra forma Teorema 2.1.4 Dada la función en forma implícita , 0 Sea y constante, si , función continua derivable en . Sea x constante, si , función continua derivable en , con 0.

Entonces existe la derivada de la función implícita y esta es

Ahora veamos el ejemplo 2.1.1 utilizando el teorema Sea , 0


35

Tomando tenemos la función , y como la función en continua y derivable tememos

Tomando tenemos la función , y como la función en continua y derivable tememos

1

Luego con 0 por el teorema tenemos que

1

Reordenando tenemos que

Con lo cual obtuvimos el mismo resultado que en el ejemplo 2.1.1

Ejemplo 2.1.5

Forma explicita

Su derivada es

Forma implícita 1 0

Su derivada es 1 0

Por las reglas algebraicas de la derivación tenemos 0

Es decir 0 entonces 0

Despegando obtenemos con 0 y como , tenemos que .

Utilizando el teorema tenemos

, 1

Con constante vemos 1 función continua y derivable respecto de

Luego

Con constante vemos 1 función continua y derivable respecto de

Luego con 0 tenemos como , tenemos que .


36

Ejemplo 2.1.6: Dada la curva de ecuación ( )2 3 2y x x= − a) Hallar la ecuación de la recta tangente en el punto (1, 1).

b) Hallar en qué puntos la recta tangente es horizontal.

Solución:

c) A la derecha vemos el gráfico de la curva “piriforme” (en forma de pera). Aunque la curva no es una función, existe la recta tangente.

Para hallar esta recta, necesitamos su pendiente y para eso necesitamos la derivada dydx

que

calcularemos mediante la derivada implícita. Aplicando la derivada a ambos lados de la igualdad ( )2 3 2y x x= − , obtenemos 2

2 2

2 6 4

2 2

Reiteramos que la derivada NO ES la pendiente de la recta tangente. Debemos evaluar el punto en cuestión, en este caso, (1, 1).

6 4 12

m −= =

Ahora usamos la ecuación punto pendiente y se llega a que la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (1, 1) es y = x. d) Para que la recta tangente sea horizontal, la pendiente debe ser 0 y para eso

( )

2 3

2 3

2

0

6 4 02

6 4 02 3 2 0

302

dydx

x xy

x xx x

x x

=

−⇒ =

⇒ − =

⇒ − =

⇒ = ∨ =


37

Si x = 0, obtenemos y = 0. Pero en el punto (0, 0) la derivada se indeterminada, por lo que no existe recta tangente en dicho punto (observe el gráfico).

Si 32

x = , al reemplazar en la ecuación de la curva ( )2 3 2y x x= − , obtenemos

2 27 3 2728 2 16

y ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

y, en consecuencia hay dos puntos donde la recta tangente es horizontal:

3 3 3,2 4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

y 3 3 3,2 4

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Cuando observamos la derivada de la función inversa vimos que f(x) = Arctan x es ( ) 2

11

f xx

′ =+

.

Con la derivada implícita, también podemos demostrarla

Ejemplo 2.1.7: Demostrar que si f(x) = Arctan x, entonces ( ) 2

11

f xx

′ =+

Solución:

No sabemos la derivada de y = Arctan x, pero sí conocemos la derivada de su función inversa, que es “tan x”. Por lo tanto, a partir de y = Arctan x, escribimos tan y = x y luego aplicamos la derivada con respecto a x a ambos lados.

tan

1 1

Para poder llegar a la fórmula pedida, utilizamos la identidad trigonométrica 2 21 tan secy y+ = ,

además del hecho que tan y x= :

2 2

1 11 tan 1

dydx y x

= =+ +

La idea presentada en este ejemplo muestra mucho más de lo que parece. Permite tener una herramienta mas para hallar la derivada de una función inversa.


38

Ejercicios 2.1

1. Encontrar la derivada dxdy en las siguientes funciones dadas en forma implícita.

a) xyxyx 22 22 =−+ , en (2;4) b) pxy 22 = c) 12

2

2

2

=+by

ax

d) ayx =+ e) 222 −=+ xyyx f) yxyx 2−= g) 22ln yxxyarctg +=

h) xee yyx =−2

i) 22cos yxxy += j) 13 =− senxyex y k) 8cos 2 =− yy

l) 1ln =+ yxy m) xy yx = n) xyy=

+−

11 ñ) 24xyyx +=+

o) xye y 2ln4 =− 2. Escribir las ecuaciones de las rectas tangente y normal en los puntos indicados. a) 84 22 =+ yx en (2;1) b) yxxyx 23 4 =− en (2; 2 )

c) xyxy cos3 2 =− en (0;1) d) 0422 =++ xyy en (-2;2)

e) 3216 44 =+ yx , en el punto (2;1) f) 1242 =− xyy , en el punto (1;6)

g) xyxy cos3 2 =− , en el punto (0;1) h) xyyx 323 −= , en el punto (-1;-3). 3. Determinar en qué punto(s) de las siguientes curvas las tangentes son verticales y en qué punto(s)

son horizontales. a) 4332 =−+ yyx b) 222 =− yxy

4. Seguramente sabrá que la fórmula de una circunferencia con centro en (0, 0) es 2 2 2x y r+ = . Si se desea hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en un punto P = (x0, y0), se debe encontrar la pendiente en dicho punto.

a) Probar que dicha pendiente es 0

0

xdydx y

= − .

b) Demostrar que la ecuación de la recta tangente es 20 0x x y y r⋅ + ⋅ = . Si se fija, es

prácticamente la misma ecuación que la de la circunferencia. Esto se conoce como “desdoblar la ecuación”.

5. Comprobar que la normal en cualquier punto ( )00 ; yx sobre la circunferencia 222 ayx =+ pasa por el centro.

6. La fórmula de una circunferencia con centro en (h, k) es ( ) ( )2 2 2x h y k r− + − = . Se desea hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en un punto P = (x0, y0).

a) Probar que dicha pendiente es 0

0

x hdydx y k

−= −

−.

b) Demostrar que también en este caso, sirve “desdoblar” la ecuación de la circunferencia, es decir, demuestre que la ecuación de la recta tangente es ( )( ) ( )( ) 2

0 0x h x h y k y k r− − + − − = .

7. Se desea hallar la ecuación de la recta tangente a la elipse 2 2

2 2 1x ya b

+ = en el punto P = (x0, y0).


39

2.2. Derivadas de orden superior

La derivada de una función f, es otra función f ′ . Como f ′ es una función, tiene sentido hablar de su

derivada. A esta nueva función, la derivada de la derivada se le llama segunda derivada de f y se

anota ( )f x′′ o, en la notación de Leibniz 2

2

d fdx

.

Definición 2.2.1

Sea : , función continua derivable.

Existe ′ función continua en su dominio ′

Si existe lim∆′ ∆ ′

∆ decimos que es la derivada de orden dos de la función y la

denotamos por ′ ′ ′′ lim∆′ ∆ ′

∆

Análogamente podemos definir ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , niv vf x f x f x f x′′′ … . Nótese que a partir de la cuarta derivada, se utilizan números romanos escritos en minúscula. Para la derivada n-ésima se utiliza un paréntesis, para evitar confusión entre “la n-ésima derivada de f ” y “f elevado a n. Generalizando

Sea : función continua en su dominio.

Si existe lim∆∆∆

entonces existe la derivada de orden 1 de .

En la notación de Leibniz, estas derivadas se escriben 3 4

3 4, , ,n

n

d f d f d fdx dx dx

… .

Ejemplo2.2.2

Sea función continua derivable.

′ cos Función continua derivable.

′′ Función continua derivable.

Nos interesa


40

Como por traslación tenemos ′ cos

Derivando por regla de la cadena y traslación tenemos

′′ sen′

cos′

cos sen 2

Generalizando tenemos .

Ejemplo 2.2.3:

Hallar una fórmula para ( ) ( )nf x , si ( )( )2

11

f xx

=−

.

Solución: Escribiremos algunas derivadas, para tratar de entender la lógica que las relaciona y así poder generar la fórmula pedida. Antes de derivar la función, para evitar tener que usar la derivada de una división, escribiremos ( ) ( ) 21f x x −= − .

La primera derivada es (no olvide la regla de la cadena)

( ) ( ) ( )( )

3 33

22 1 1 2 11

f x x xx

− −′ = − − ⋅ − = − =−

La segunda derivada: ( ) ( ) ( )( )

4 44

3!2·3 1 1 3! 11

f x x xx

− −′′ = − − ⋅ − = ⋅ − =−

La tercera derivada

( ) ( ) ( )( )

5 55

4!3!· 4 1 1 4! 11

f x x xx

− −′′′ = − − ⋅ − = ⋅ − =−

Y generalizando obtenemos ( ) ( ) ( )( ) 2

1 !

1n

n

nf x

x +

+=

−

Las derivadas de orden superior tienen muchas utilidades, una de las principales es su utilización en un adminículo matemático llamado “serie”, como la Serie de Fourier que usted estudiará en cursos posteriores. (Pero seguramente ya habrá escuchado maldecir a alumnos de cursos superiores al respecto.) Nosotros usaremos principalmente la primera y la segunda derivada.

Así como la primera derivada da la razón de cambio de la función, la segunda derivada da la razón de cambio de la derivada. ¿Qué significa eso?

Si una función s(t) da la posición de un objeto, la derivada muestra cómo cambia (la razón de cambio) la posición de dicho objeto y a eso lo llamamos velocidad (instantánea). De igual manera, la segunda derivada muestra cómo cambia la velocidad del objeto. A eso lo llamamos aceleración. Ejercicio 2.2.4 Analizar el movimiento de un resorte que se mueve según la función ( ) 2sen3y t t= .


41

Solución: Calcularemos la primera y segunda derivada, antes de entrar en el análisis del movimiento del resorte. Usando la regla de la cadena, obtenemos ( ) 6cos3y t t′ = y ( ) 18sen3y t t′′ = − .

El gráfico de la de la derecha muestra el movimiento del resorte y los gráficos de las diferentes funciones. En negro se muestra el gráfico de la posición del resorte, en rojo su velocidad (la primera derivada) y en azul la aceleración del resorte (la segunda derivada). Analicemos algunos momentos en la trayectoria del resorte. t0: El resorte pasa por la posición de reposo (y = 0) mientras se mueve hacia arriba, es decir, se está comprimiendo. En este momento, alcanza su mayor velocidad pero es el momento exacto en que empieza a frenarse. Su aceleración es 0. t1: El resorte está comprimido al máximo (la función alcanza un máximo) y está detenido (su velocidad es 0). Pero en este momento está acelerando al máximo para ganar nuevamente velocidad. t2: Pasa lo mismo que en t0, pero el resorte se está estirando. Esto se ve en el gráfico de la primera derivada: en un caso la velocidad disminuye y en el otro aumenta, siendo velocidades con signo negativo y su aceleración va en aumento pasando de signo negativo a positivo. t3: Igual a t1, pero el resorte está estirado al máximo. De nuevo está acelerando, pero para moverse en la dirección opuesta. Por eso la primera derivada en un caso es negativa y en otra positiva. t4: Se empieza a repetir el ciclo.

Ejercicio 2.2.3: Calcular 2

2

d ydx

para 1x y+ =

Solución: Derivamos ambos lados con respecto a x y obtenemos

√ √0. Entonces tenemos √

√

Derivamos nuevamente a ambos lados. (Esto se podría haber hecho antes de despejar dydx

.)

√√

, es decir √ √ √

t0 t1 t2 t3 t4


42

Obteniendo por ende √√

Ahora viene el paso crucial en este tipo de ejercicios. Aparentemente, parece que acabamos de llegar a lo pedido y efectivamente lo es. Pero el resultado al cual llegamos se puede simplificar bastante más. ¿Cómo? Usando la derivada que calculamos inicialmente. Es decir, usamos

ydydx x

= − para simplificar 2

2

d ydx

. De esta manera

2

2

122 2

2

y y xy xd y x x

dx x x x x

− +−

+= − = = .

Con esto, el resultado queda más simple. ¡Pero se puede simplificar aún más! ¿Cómo?

Observe el enunciado del ejercicio.

¡Dice que 1x y+ = !

Por lo tanto, finalmente 2

2

12

d ydx x x

= .

Ejercicios 2.2

1. Encontrar 2

2

d ydx

en las siguientes funciones dadas en forma implícita.

a) 422 =+ yx b) 3232 =−+ yyx c) 12

2

2

2

=+by

ax

d) 3 3 1x y+ =

2. Analizar el movimiento de una partícula que se mueve según la función

a) ( ) 3 26 9y t t t t= − + b) ( ) 2 1y t t t= − + c) ( ) 4 34 2y t t t= − +

3. Encuentre una fórmula para ( ) ( )nf x , si

a) ( ) nf x x= b) cos c) ( ) lnf x x= d) ( ) 2xf x e= e) ( ) 1f xx a

=−

4. Dada la función sen cosy A x B x= + , determine los parámetros A y B, para que la función cumpla 2 seny y y x′′ ′+ − = .

5. Dada la función 2y Ax Bx C= + + , determine los parámetros A, B y C, para que la función cumpla 22y y y x′′ ′+ − = .

6. Dada la función kxy e= , determine el parámetro k, para que la función cumpla 5 6 0y y y′′ ′+ − = .


43

2.3. Razón de cambio

Ya hemos hablado de la razón de cambio. Sabemos que si una función es y = f(x), entonces dydx

representa cómo cambia “y” a medida que cambia “x”. Sin embargo, la mayoría de las veces estamos

interesados en cómo cambia algo en el tiempo, es decir lo que se desea calcular es dydt

.

PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE RAZÓN DE CAMBIO

Los problemas de aplicación de razón de cambio consisten normalmente en una variable que está cambiando y de la cual queremos saber con que rapidez está cambiando en un instante determinado. En general podemos usar el siguiente procedimiento para solucionarlos

Al principio no se preocupe por el instante puntual pedido, si es que lo hay. Piense primero en forma general. 1. Si corresponde, bosqueje un dibujo que sirva para el planteamiento del problema. Trate que su

bosquejo sea lo más general posible, es decir que no refleje un momento particular del problema.

2. Defina las variables y los parámetros que intervienen en el problema. Por Ejemplo: x: Longitud de la base del rectángulo (en centímetros) h: altura de la torre (en metros)

Normalmente estos dos puntos se van haciendo a la par y deben concluir en lo siguiente: ¿Qué piden? y ¿cuáles son los datos con los que se cuenta? Son los pasos trascendentales en el problema. Si esto está mal planteado, lo demás no tiene ningún sentido. Por lo tanto, tómese su tiempo en esta parte. 3. Encuentre relaciones (ecuaciones, fórmulas) entre estas variables y parámetros. (Recuerde

especialmente en el teorema de Pitágoras, el teorema de Tales y fórmulas de áreas y volumen.)

4. Derive (lo más probable es que sea implícitamente) la ecuación anterior con respecto al tiempo y despeje la razón de cambio buscada.

Recién ahora (si corresponde) considere el instante en que se desea saber la razón de cambio. 5. Sustituya los valores numéricos en la razón de cambio.

6. De una respuesta adecuada al problema.

Veamos cómo aplicar este procedimiento a diferentes ejemplos

Ejemplo 2.3.1:

Un auto de policía viaja por una carretera recta hacia el sur, con una velocidad de 60 km/h. En cierto momento, cuando el auto está a 600 metros de un cruce, ven un auto sospechoso que dobló en el cruce con dirección este y lo “pistolean” desde el auto de policía en marcha. El radar muestra


44

50 km/h. Sabiendo que, en ese momento, el auto sospechoso ya se ha alejado 800 metros del cruce, determinar la velocidad que tiene el auto sospechoso en dicho momento.

Solución:

Pasos 1 y 2. Hacemos un bosquejo de la situación. Dibujaremos las carreteras vistas desde arriba como líneas rectas. Los autos los representaremos como puntos. “P” representa al auto de policía, “S” al auto sospechoso y C al cruce. ¡Atención! Un error común es marcar la distancia PC como 600 y la distancia CS como 800. Después de todo, eso es lo que dice en el enunciado, ¿cierto? Sí, cierto, pero esas distancias corresponden a un instante puntual, están cambiando. Como se señala en el procedimiento de arriba, no debemos considerarlos aún. Sólo se debe considerar lo que es constante (la velocidad del auto de policía, por ejemplo). Por eso usaremos variables para denotar estas distancias. Como se ve en el bosquejo finalizado, usaremos las variables x, y ,z. Ahora se debe tener cuidado con lo siguiente: las velocidades están expresadas en kilómetros, en cambio las distancias en metros. Debemos elegir una unidad única, en este caso usaremos kilómetros. Estamos a punto de enunciar el problema: ¿Qué sabemos? - la velocidad del auto de policía, es decir cómo cambia “x”. ¿Qué queremos calcular? - La velocidad del auto S, es decir cómo cambia “y” en un instante muy puntual. Finalmente formulamos todo lo anterior, usando lenguaje matemático: Variables: x: Distancia del auto de policía al cruce (en kilómetros) y: Distancia del auto sospechoso al cruce (en kilómetros) z: Distancia entre ambos autos (en kilómetros)

Datos: 60dxdt

= − (el signo negativo indica que auto se acerca al cruce, para diferenciarlo del

otro que se aleja de él).

Piden: dydt

, en el instante puntual en que x = 0,6; y = 0,8 y 50dzdt

=

3. Relación entre las variables Claramente se ve que las dos carreteras forman un ángulo recto y como aparece un triángulo rectángulo, el bosquejo sugiere utilizar el teorema de Pitágoras. 2 2 2x y z+ =

P

S

N

S

E O C

x

y

z

P

S

N

S

E O C


45

4. Derivamos implícitamente con respecto al tiempo

2 2 2 /

2 2 2

dx y zdt

dx dy dzx y zdt dt dt

+ =

⇒ + =

Sabemos que 60dxdt

= − , por lo que queda

120 2 2dy dzx y zdt dt

− + = .

Despejamos dydt

y obtenemos

60dzz xdy dt

dt y

+=

5. Sustituimos los datos del instante puntual

Sabemos que x = 0,6; y = 0,8 y 50dzdt

= . Pero no sabemos el valor de z. Sin embargo podemos

calcularlo usando nuevamente el teorema de Pitágoras. 2 2 20,6 0,8 1z z+ = ⇒ =

Por lo tanto, 60 1 50 60 0,6 107,5

0,8

dzz xdy dtdt y

+ ⋅ + ⋅= = =

Respuesta El auto sospechoso lleva, en ese momento, una velocidad de 107,5 km/h.

Ejemplo 2.3.2:

Un recipiente tiene forma de cono con su punta hacia abajo. Su altura es de 10 pies y el radio de su circunferencia basal mide 5 pies. Si está entrando agua al cono a razón de 9 pies3/min, ¿con qué rapidez está subiendo el nivel del agua cuando el agua llega a 6 pies de profundidad?

Solución: 1. Esquema gráfico y variables A la derecha vemos un bosquejo del problema. Fíjese que al igual que en el ejercicio anterior, la altura del agua no la marcamos como “6”, ya que la profundidad del agua está cambiando. Los 6 pies de profundidad corresponden a un instante puntual. Definiremos las siguientes variables:

h: profundidad del agua (en pies) R: Radio del cono de agua (en pies) V: Volumen del cono de agua (en pies3)

Piden:

dhdt

, cuando h = 6.

10

h

5

R


46

Datos:

9dVdt

=

2. Relación entre las variables Como queremos encontrar información acerca de la altura del cono de agua y tenemos información acerca de su volumen, lo lógico es usar la fórmula del volumen de un cono, que es:

213

V R hπ= . (De hecho, pensando en esta fórmula fue que incluimos a R dentro de las variables.)

Si observamos el radio y la alturavestan en dependencia del tiempo. 3. Derivamos implícitamente con respecto a t

2

2

1 /3

1 23

dV R hdt

dV dR dhR h Rdt dt dt

π

π

=

⎛ ⎞⇒ = ⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

El problema de esta última expresión es que no tenemos información

acerca de R ni de dRdt

. Necesitamos por lo tanto, relacionar R con h.

2’. Relación entre las variables R y h. Para poder ver mejor cómo se relacionan estas variables, observemos nuevamente el esquema pero esta vez en forma bidimensional para mayor comprensión. Ahora podemos ver que ambas variables se relacionan mediante

el teorema de Tales: 10 5h R= , o, simplificando,

2hR = .

Podríamos usar esta relación, derivarla respecto a t y remplazar todo en la derivada obtenida en el punto 3. Sin embargo, pensamos que es más conveniente remplazar esta relación en la fórmula del volumen, y derivar de nuevo. La fórmula de

volumen se transforma en 2

2 31 1 13 3 2 12

hV R h h hπ π π⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

3’. Derivamos respecto a t. 3

2

112

1 312

V h

dV dhhdt dt

π

π

=

⇒ = ⋅

Sabemos que 9dVdt

= , por lo tanto remplazamos y despejamos dhdt

. Obtenemos:

2

36dhdt hπ

=

4.Cuando h = 6, queda 1 0,32dhdt π

= ≈ .

Respuesta: El nivel del agua está subiendo a razón de 0,32 pies/minuto (aproximadamente).

10

h

5

R


47

Ejercicios 2.3

1. Hallar dtdy cuando x = 1, sabiendo que 32 += xy y que si x = 1,

dtdx = 2.

2. El radio de un círculo crece 2 centímetros por minuto. Hallar la razón de cambio del área cuando

a) r = 6 cm b) r = 24 cm.

3. Un automóvil se dirige hacia el sur a 50 mph y dista 1/2 milla del cruce. Un coche de la policía se dirige hacia el oeste a 40 mph y dista del cruce 1/4 milla. En ese instante, el radar de la policía mide el ritmo de cambio de la distancia entre los dos vehículos. ¿Qué dato registra el radar?

4. Un controlador aéreo observa que dos aviones que vuelan a la misma altitud se acercan al

mismo punto en ángulo recto. Uno de ellos, está a 150 millas de ese punto y vuela a 450 mph. El otro está a 200 millas del punto y vuela a 600 mph. a) ¿A qué ritmo decrece la distancia entre los dos aviones? b) ¿De cuánto tiempo dispone el controlador para situarlos en trayectorias distintas?

5. Un obrero de la construcción levanta una plancha de 5 m de longitud

tirando de una cuerda a lo largo de un muro. Si el obrero tira de la cuerda a razón de 0,2 m/s. ¿A qué velocidad se mueve el extremo alejado de la plancha por el suelo cuando se encuentra a 2 metros de la base del muro?

6. Una cámara sigue el lanzamiento de un cohete espacial. La cámara está situada en el suelo, a

dos millas de distancia del punto de lanzamiento. Cuando el cohete ha subido 3 millas y viaja a 0,2 millas por segundo, ¿a qué ritmo está cambiando el ángulo de la cámara medido respecto de la horizontal?

7. Un avión se encuentra a una altura de h millas y a una distancia (horizontal) x = 40 millas de un

aeropuerto. Un radar del aeropuerto detecta que la distancia s(t) del avión al aeropuerto está cambiando a un ritmo s’(t) = + 240 millas por hora. Si el avión vuela hacia el aeropuerto a una altitud constante h = 4, calcular su rapidez.

8. Un lado de un rectángulo está creciendo a una tasa de 7 pulgadas por minuto y el otro lado está decreciendo a una tasa de 5 pulgadas por minuto. En un cierto momento las longitudes de estos dos lados son 10 pulgadas y 7 pulgadas, respectivamente. ¿Está el área del rectángulo creciendo o decreciendo en ese momento? ¿Con qué rapidez?

9. Sobre un montón cónico cae arena a razón de 10 pies cúbicos por minuto. El diámetro de la base del cono es aproximadamente tres veces su altura. ¿A qué ritmo está cambiando la altura del montón cuando su altura es 15 pies? (Vcono = 1

3 BaseA h⋅ )

10. Un depósito cónico (con vértice abajo) tiene 10 pies de ancho arriba y 10 pies de hondo. Si el agua fluye en él a razón de 10 pies cúbicos por minuto, hallar la razón de cambio de la altura del agua cuando tal altura es 8 pies.

Apuntes d

48

11. Si1R

1,

12. Upr

13. UagV

14. Daginun

15. U

depiSipoha

16. U

pam Semex

17. U

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21

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Un meteorito roporcional a

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49

2.4. Extremos de una función.

Otra de las utilidades que presenta la derivada es que permite resolver problemas de optimización. ¿Cuál es la ganancia máxima posible en la fabricación de un producto? ¿Cuál es el tiempo mínimo necesario para hacer algún recorrido? ¿Cuál es el grosor mínimo que debe tener un aislamiento acústico para que sea eficiente? Todos estos son problemas de optimización. Sin embargo, como siempre, primero debemos entender estos conceptos un poco “en seco” para después aplicarlos.

Lo primero que debemos saber es ¿qué es un máximo? ¿Qué es un mínimo?

Definición 2.4.1: MAXIMOS Y MINIMOS Sea f una función de variable real, A un subconjunto del dominio de f (en lenguaje matemático se anota DomA f⊆ ) y 0x A∈ . Diremos que f posee un máximo en A en x = x0, si ( ) ( )0 ,f x f x x A≥ ∀ ∈ .

Diremos que f posee un mínimo en A en x = x0, si ( ) ( )0 ,f x f x x A≤ ∀ ∈ .

( )0f x se denomina valor máximo (o mínimo) para f en A. ( )0 max ( )x A

f x f x∈

= ( ( )0 min ( )x A

f x f x∈

= )

Analicemos que dice esta definición. En lo medular, establece que en x0 hay un máximo, si f(x0) es mayor (¡o igual!) que todas las demás imágenes. Esto es lo que dice la expresión “( ) ( )0 ,f x f x x A≥ ∀ ∈ ”. (El símbolo “∀ ”, significa “para todo”).

¿Qué es el conjunto A? Puede ser cualquier subconjunto del dominio. En la práctica, sin embargo, lo normal es que el conjunto A sea igual al dominio de la función (en este caso hablaremos de un máximo o mínimo global), o un intervalo (en cuyo caso se habla de un máximo o mínimo local). De todas maneras, la definición es lo suficientemente flexible como para aceptar casos más extraños.

Nótese también que para ser “máximo” se debe ser “mayor o igual” que los demás. En particular, se podría ser “igual” a otra imagen. Esto significa que el máximo y el mínimo no son necesariamente únicos.

Veámoslo en un ejemplo:

Si en el siguiente gráfico consideramos A , es decir , vemos que hay un máximo global: el punto B y un mínimo global: el punto C.

Es decir, en x = 0,2 hay un máximo global. El valor máximo es y = 4,3 (aproximadamente). En x = - 0,9 hay un mínimo global. El valor mínimo es y = - 3,8 (aproximadamente). Si en cambio, consideramos ] [0.5,1.5A= , vemos que el mínimo es el punto D. Formalmente, En x = 1,1 hay un mínimo local. El valor mínimo es y = - 0,7 (aproximadamente). No existen máximos en este intervalo abierto.


50

Si, por ejemplo, 1.5, 2.5 , se tiene que E es un máximo local.

En realidad, es poco común señalar el conjunto A. En el caso de este gráfico, diremos que: en x = 0,2 hay un máximo global con valor máximo y = 4,3; en x = - 0,9 hay un mínimo global con valor mínimo y = - 3,8; en x = - 2 hay un máximo local con valor máximo y = 1,1; en x = 1,1 hay un mínimo local. El valor mínimo es y = - 0,7; en x = 1,9 hay un máximo local con valor máximo y = 0,2.

(Por qué los intervalos se consideraron abiertos y no cerrados lo veremos más adelante.)

Para mayor comprensión, todos los valores fueron aproximados. Justamente la derivada es indispensable si se necesita estos valores de manera exacta. Y eso es lo que estudiaremos ahora: ¿Cómo encontrar los máximos y mínimos de manera exacta?

Para poder responder a esta pregunta hay que plantearse otra mucho más básica: ¿Qué características tienen los máximos y mínimos? Si logramos determinar sus características, podremos saber en qué fijarnos y de esa manera encontrar un método para encontrar los extremos.

El siguiente teorema responde justamente esta pregunta y para eso recurre a la derivada o mejor dicho a la recta tangente. Lo que establece en palabras simples es que si existe la recta tangente en un extremo, esta recta debe ser paralela al eje x, es decir, su derivada debe ser 0.

Teorema 2.4.2: TEOREMA FERMAT Sea f una función definida en el intervalo abierto , . Si en x0 hay un máximo o un mínimo para f en , y si f es diferenciable en x0, entonces ( )0 0f x′ = .

Demostración: Haremos la demostración suponiendo que en x0 hay un máximo. El caso en que en x0 hay un

mínimo se demuestra en forma análoga. 1. Como el intervalo , es abierto y como ] [0 ,x a b∈ , es posible encontrar un número h

( 0h ≠ ), tal que ] [0 ,x h a b+ ∈ .

2. En x0 hay un máximo. Por lo tanto, según la definición, su imagen es mayor o igual que cualquier otra. En particular, debe ser mayor o igual que la de 0x h+ , es decir ( ) ( )0 0f x f x h≥ + lo que equivale a decir que ( ) ( )0 0 0f x h f x+ − ≤ .

3. Si dividimos a ambos lados por h, obtenemos dos casos:

caso 1. ( ) ( )0 0 0f x h f x

h+ −

≤ , si h > 0

caso 2. ( ) ( )0 0 0f x h f x

h+ −

≥ , si h < 0 (Recuerde que al dividir por un

número negativo, la desigualdad se invierte.)

4. Si aplicamos límites laterales a ambos casos, cuando h tiende a 0, obtenemos


51

caso 1. ( ) ( )0 0

0lim 0h

f x h f xh+→

+ −≤

caso 2. ( ) ( )0 0

0lim 0h

f x h f xh−→

+ −≥

5. Si los límites laterales fuesen distintos, no existiría el límite. Y como el límite es la derivada de f en x0, eso significaría que no existiría ( )0f x′ . Pero este límite existe (y por lo tanto los límites laterales deben ser iguales), porque, por hipótesis, f es diferenciable en x0. Y la única manera que los límites laterales sean iguales, es que sean igual a 0. Por lo tanto

( )0 0f x′ = , que es lo que se quería demostrar.

En el gráfico podemos ver que en los 5 extremos las rectas tangentes son paralelas al eje x. (De hecho, son los únicos puntos en que eso sucede). Sin embargo, aunque este teorema pudiera parecer muy simple, provoca errores graves, si no se entiende en su totalidad. Los errores se cometen, porque no se es Cuidadoso con las hipótesis:

· Debe haber un intervalo abierto ]a, b[ · Debe haber un extremo en x0. · La función debe ser diferenciable en x0.

Recién si se cumplen todas estas ondiciones, se puede asegurar que ( )0 0f x′ = . El mayor error es pensar que ( )0 0f x′ = es equivalente a decir que existe un extremo. ¡Eso es falso!

Lo repetimos una vez más, por lo importante: Si ( )0 0f x′ = , NO SIGNIFICA que haya un extremo en

x0. Si hay un extremo en x0, NO SIGNIFICA que ( )0 0f x′ = . ¡Deben cumplirse las hipótesis!

Veamos algunos ejemplos en que no se cumpla alguna de estas hipótesis.

Ejemplo en que no hay un intervalo abierto:

La función ( )f x x= tiene un mínimo global en x = 0. Sin embargo, no existe recta tangente en ese punto, es decir ¡no existe ( )0f ′ !

Error: El intervalo no era abierto, sino [ [0,∞ .


52

Ejemplo en que no hay un extremo en x0.

La función ( ) 3f x x= , no tiene ni máximos ni mínimos.

Sin embargo ( )0 0f ′ = .

Ejemplo en que la función no es diferenciable.

La función ( )f x x= tiene un mínimo global en x = 0, pero no existe la recta tangente en ese punto. Error: la función no era diferenciable en el punto x = 0.

Entonces, volviendo a la pregunta: ¿Qué características tienen los máximos y mínimos?

Podrían ser puntos en que ( ) 0f x′ = Podrían ser puntos en los que la función no es diferenciable, es decir en donde la derivada no exista. (Gráficamente podrían ser una “punta”, como en el caso del valor absoluto. Algebraicamente se determinan analizando Dom f ′ ). Podrían ser los extremos del intervalo, en caso de haber intervalo cerrado.

¿Hay alguna otra posibilidad? Respuesta: No. Eso es justamente lo que establece el teorema 2.4.2: Sólo existen esas tres posibilidades. Esto nos lleva a la siguiente definición:

Definición 2.4.3: PUNTO CRÍTICO

Un punto crítico es un punto en el que ( ) 0f x′ = o no existe ( )f x′ ose indetermina. En el caso en que hubiere un intervalo cerrado, los extremos del intervalo también se consideran puntos críticos.

Todo lo anterior, en conjunto con el teorema de valores extremos visto en el primer semestre, permite garantizar la existencia de máximos y mínimos. Recordemos este teorema.

Teorema 2.4.4: TEOREMA DE VALORES EXTREMOS

Si f es continua en [a, b], entonces existen los extremos para f en el intervalo.


53

PROCEDIMIENTO PARA HALLAR EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO CERRADO

1. Analice si la función es continua en el intervalo cerrado. Si lo es, el teorema de valores extremos

justifica todo lo que hagamos en los siguientes pasos. Si no es continua, aún puede hacer los pasos que siguen, pero ya no hay garantía de que lo que encuentre sean efectivamente extremos. Se debe buscar esa garantía en otros criterios que veremos más adelante.

2. Encuentre los puntos críticos a) Calcule la derivada. b) Determine los puntos que tengan derivada igual a 0. c) Determine los puntos en los que derivada se indefine, analizando el dominio de la derivada. d) Considere los extremos del intervalo

3. Calcule las imágenes para cada punto crítico. La de mayor imagen es el máximo, la de menor el mínimo.

Ejemplo 2.4.5: Hallar los extremos para ( ) 3 2 1f x x x x= + − + en el intervalo [0, 2]. Solución:

1. La función es continua en el intervalo, pues es un polinomio. Se cumple por lo tanto el teorema de valores extremos.

2. Derivada de f. ( ) 23 2 1f x x x′ = + −

3. Puntos críticos a) IRfDom =′ . Eso significa que no hay puntos en los que la derivada se indetermine. b) ( ) 0f x′ =

Resolvemos la ecuación 23 2 1 0x x+ − = y obtenemos dos valores: 113

x = y 2 1x = − .

Sin embargo este último valor no pertenece al intervalo dado, por lo que no se considera.

Los puntos críticos son x = 0, 13

x = y x = 2.

4. Evaluamos los tres puntos críticos y obtenemos respectivamente

y = 1, 22 0,81427

y = ≈ e y = 11

Respuesta: El máximo se encuentra en el punto (2, 11) y el mínimo en 1 22,3 27

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Nota ver anexo 5 sobre extremos de una función .


54

Ejercicios 2.4

1. Hallar los extremos de las siguientes funciones en el intervalo indicado. a) 13)( 3 +−= xxxf , [0, 2] b) 28)( 24 +−= xxxf , [-3, 1] c) 3/2)( xxf = , [2,4]

d) xsenxxf cos)( += , [ ]ππ ,2/ e) xexxg += 2)( , [-2, 2] f) xxf 2)( = en [-1; 5]

g) 64)( 2 +−= xxxf en [-3; 10] h)x

xxf 1)( += en [0,01; 100]

j) xxf 45)( −= en [-1; 1] k) 1

1)( 2 +=

xxf en [0; 3]

l) ( ) 3/21)( += xxf en [0; 2] m) 600205)( 345 ++−= xxxxf en [0; 3/2]

2. Explicar por qué la función 2/1)( xxf = tiene un máximo en [1, 2] pero no en [-2, 0 [.

3. Una montaña rusa tiene la forma dada por 104 35 +−−= xxxy , con x entre -2 y 2. Hallar los extremos relativos y explicar qué parte de la montaña rusa representan. Localizar el punto de máxima pendiente.

4. Construir una fórmula para una función f(x) con un máximo en x = -2 y un mínimo en x = 1.

2.5. Teoremas del valor medio.

Suponer que una función es continua, o incluso suponer que es diferenciable (recuerde que diferenciable es más que continua) no es algo tan raro. De hecho, las funciones con las que trabajamos son por lo general continuas y diferenciables, salvo en puntos aislados. Sin embargo, suponer la existencia de un intervalo cerrado, sí lo es.

Cuando existe el intervalo cerrado, el teorema de valores extremos se hace cargo y comparar las imágenes de los puntos críticos basta para saber si un punto es máximo o mínimo. Pero cuando no se tiene un intervalo cerrado, ¿cómo saber si los puntos críticos encontrados corresponden a extremos?

Antes de mirar los criterios que nos permiten responder esta pregunta.

Necesitamos algunos teoremas previos, que usan todavía el concepto de intervalo cerrado. Conocidos como Teoremas del Valor Medio (TVM).

Partimos con el teorema de Rolle debe su nombre al matemático francés Michel Rolle (1652 – 1719), al cual además le debemos el símbolo “ n ”, para denotar la raíz n-ésima. Sin embargo, Rolle no era muy partidario del cálculo. Decía que el cálculo era un “conjunto de falacias ingeniosas”.

Teorema 2.5.1: TEOREMA DE ROLLE

Si f es una función continua en [a, b] y diferenciable en ]a, b[, y si además f(a) = f(b), entonces debe existir un punto c en el intervalo abierto , , tal que ( ) 0f c′ = .


55

Demostración: Si la función f es constante, entonces ( ) ] [0, ,f x x a b′ = ∀ ∈ y por lo tanto cualquier punto sirve. Si la función no es constante, como es continua en un intervalo cerrado, debe existir el máximo y el mínimo en el intervalo, y por lo menos uno de ellos debe ser distinto a los extremos del intervalo. En ese punto, según el teorema 2.4.2, la derivada debe ser igual a 0.

Interpretacion geometrica Fíjese que la recta tangente es paralela al segmento que una A con B. El Teorema del Valor Medio, establece que si el gráfico se gira en un cierto ángulo, siempre será posible mantener ese paralelismo.

Nota 2.5.2 Observemos los siguientes casos en los cuales no se cumple el teorema. Caso 1

⎩⎨⎧

≠=

=0x six-10x i s

xf0

)( [ ]1,0=fD No es continua en [ ]1,0

Entonces ( ) ( ) 01,0 =′∈∃/ cfquetalc Caso 2

.)( xxg = [ ]1,1−=gD Es continua en [ ]1,1− pero no es derivable en cero.

Entonces ] [ ( ) 0'1,1 =−∈∃/ cfquetalc

Teorema 2.5.3: TEOREMA DE CAUCHY

Si f y g son funciones reales continuas en [ ]ba, diferenciable en ( )ba, ( ) quetalbac ,∈∃⇒

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )cfagbgcgafbf ′−=′−

Esquema de Demostración

Sea [ ] [ ] )()()()()()()( tfagbgtgafbfth −−−= con bta ≤≤

h es continua en [ ]ba.,

Diferenciable en ] [ba,

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )afagbgagafbfah −−−= ( ) )()()()()()()( afagafbgagafagbf +−−=

)()()()( afbgagbf −=

[ ] [ ])()()()()()()( bfagbgbgafbfbh −−−= )()()()()()()()( bfagbfbgbgafbgbf +−−=


56

)()()()( bfagbgaf +−=

Luego )()( bhah =

Por el teorema de Rolle ] [bac ,∈∃ tal que 0)( =′ ch

Teorema 2.5.4: TEOREMA DE LA GRANLLE (TVM)

Si f es una función continua en [a, b], y diferenciable en , , entonces debe existir un punto c en el intervalo abierto , , tal que

( ) ( ) ( )f b f af c

b a−

′ =−

.

Esquema de Demostración

Usaremos una función auxiliar, que definiremos de la siguiente manera:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f b f ah x f x x a

b a−

= − −−

.

Fíjese que la función h es la resta entre la función f (que es continua y diferenciable) y una función lineal (que también es continua y diferenciable). Por lo tanto, la función h también es continua en el intervalo [a, b], y diferenciable en el intervalo ]a, b[. Además:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f b f ah a f a a a f a

b a−

= − − =−

y

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )f b f ah b f b b a f b f b f a f a

b a−

= − − = − − =−

.

Es decir, la función h cumple las condiciones del teorema de Rolle, y por lo tanto debe existir un valor c, tal que ( ) 0h c′ = .

Pero si derivamos h, obtenemos ( ) ( ) ( ) ( )f b f ah x f x

b a−

′ ′= −−

, por lo tanto el valor c debe cumplir

( ) ( ) ( ) 0f b f a

f cb a−

′ − =−

, que es lo que queríamos demostrar.

Otro esquema de demostración mediante el teorema de Cauchy

[ ] [ ] ttgytfagbgtgafbfth =−−−= )()()()()()()()(

[ ] [ ] )()()()( tfabtafbfth −−−=


57

ab

afbfcf

−−

=′ )()()(

Interpretación Geométrica

Dado un intervalo , existe por lómenos un

puto en su interior para el cual la recta tangente a

la curva en el punto , es paralela al

segmento que une los dos punto de la grafica

, y ,

Los Teoremas del Valor Medio permiten demostrar muchos resultados de gran utilidad, mientras humildemente se queda en un segundo plano. Usted tal vez no lo ocupe directamente, pero eso no significa que no sea de gran importancia.

Ejemplos 2.5.5

1. Probar que 81866

91

<−<

xxf =)( Continua en [ ]66,64

Diferenciable en ( )66,64

] [66,64∈∃t Tal que ( ) ( )

ttfff

21)(

64666466

=′=−−

t2

12

866=

− Luego

t1866 =− como ( )66,64∈t

6411

811

<<⇒t

Por ende 811

91

<<t

2. Demostrar que ( ) nhh n +>+ 11 con 0>h INn∈

Sea ( )nxxf += 1)( [ ]hx ,0∈

f Continua en [ ]h,0

Derivable en ] [h,0

Entonces ( )tfh

fhf ′=−−

0)0()( ( )ht ,0∈

a b c

,

, ,


58

Luego ( ) ( ) ( ) 11 01111 −− +>+=

−+ nnn

ntnhh

Es decir ( ) nhh n >−+ 11

Obteniendo ( ) nhh n +>+ 11

A continuación veremos los corolarios que se desprenden del TVM.

Corolario 2.5.3: Si f está definida en un intervalo y ( ) 0f x′ = para cualquier valor de ese intervalo, entonces f debe ser una función constante.

Demostración:

Elegimos dos valores distintos arbitrarios a y b del intervalo. El TVM afirma que debe existir un valor c en el intervalo abierto , , tal que

( ) ( ) ( )f b f af c

b a−

′ =−

.

Pero como por hipótesis ( ) 0f c′ = , se debe tener que ( ) ( )f a f b= y como los puntos elegidos fueron arbitrarios, la función debe ser constante. Este corolario lo que establece, es que la función constante es la única función cuya derivada es 0. No hay otra. Esto debiera ser bastante obvio, pero no es posible demostrarlo sin el TVM. El siguiente corolario establece que si dos funciones tienen la misma derivada, se diferencian solamente por una constante. Corolario 2.5.4: Si f y g son funciones definidas sobre el mismo intervalo y si en ese intervalo

( ) ( )f x g x′ ′= para cualquier valor de x, entonces ( ) ( )f x g x C= + , con C constante. Demostración:

Si ( ) ( )f x g x′ ′= , entonces ( ) ( ) 0f x g x′ ′− = . Según el corolario anterior, eso implica que

( ) ( )f x g x C− = , con C constante, que es lo que se quería demostrar.

Este corolario será trascendental cuando queramos devolvernos desde la derivada a la función original, proceso que se conoce como integrar. El tercer corolario, se conoce como criterio de la primera derivada y permite justificar que un punto crítico sea un extremo, aún cuando no se cuente con un intervalo cerrado.

Corolario 2.5.5: Si ( ) 0f x′ > en un intervalo, entonces f es creciente en dicho intervalo.

Si ( ) 0f x′ < en un intervalo, entonces f es decreciente en dicho intervalo.


59

Demostración: Demostraremos el primer caso. El segundo es análogo. Elegimos dos valores distintos arbitrarios, a < b del intervalo. Por el TVM debe existir un valor c en el intervalo abierto ]a, b[, tal que

( ) ( ) ( )f b f af c

b a−

′ =−

.

Pero como por hipótesis ( ) 0f c′ > y como b – a > 0, se debe tener que ( ) ( )f a f b< , lo cual significa que f es creciente. Ejercicio 2.5.6:

Hallar los puntos críticos para la función ( )4 13 34f x x x= + y averiguar si corresponden a un máximo

local, a un mínimo local o a ninguna de ambas cosas. Encontrar los intervalos de monotonía de dicha función. Solución:

1. Derivamos ( ) ( ) ( )1 2 23 3 3

3 2

4 14 4 4 13 3 3 3

xf x x x x x

x

− − +′ = + = + =

Nótese que en el segundo paso sacamos factor común 23x

−, con lo que se simplificó la

expresión dentro del paréntesis. Tenga esta idea en cuenta a futuro.

2. Puntos críticos a) ` 0 , por lo tanto x = 0 es un punto crítico (posible punta). b) 0f ′ = El único punto en que la derivada se hace 0, es en x = -1. c) Intervalos de monotonía Para x < -1 En este caso, ( ) 0f x′ < , por lo tanto f es decreciente en

] [, 1−∞ − .

Para -1 < x < 0 En este caso, ( ) 0f x′ > , por lo tanto f es

creciente en ] [1,0− .

Conclusión: En x = -1 debe haber un mínimo, ya que la función cambió de “decreciente” a “creciente”. Para x > 0. En este caso ( ) 0f x′ > , por lo tanto f es creciente en 0, ∞ . Conclusión: En x = 0 no hay extremo, ya que la función no cambió de monotonía.


60

A la derecha vemos el gráfico de la función. Nótese que la función en x = 0 es prácticamente vertical (de hecho, Geogebra no es capaz de dibujarlo de manera continua). Esto concuerda con el hecho que en x = 0 no existe la derivada.

Ejercicios 2.5 1. Compruebe que se cumplen las hipótesis del TVM para cada una de las siguientes funciones en

el intervalo indicado. Luego encuentre un valor adecuado para c, que cumpla la conclusión del TVM. a) ( ) [ ]2 2 1; 0,1f x x x= + − b) ( ) [ ]3 2 ; 2,1f x x x x= + − −

c) ( ) [ ]23 ; 0,1f x x= d) ( ) 1 sen ; 0,

2f x x π⎡ ⎤= − ⎢ ⎥⎣ ⎦

e) ( ) 1 cos ; ,2 2

f x x π π⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦ f) ( ) [ ]

2 4 ; 2,67

x xf xx+

=−

2. Sea 22 /)1()( xxxf −= en [ ]1,1− . Demostrar que no hay un valor x en [ ]1,1− para el cual

( ) 0f x′ = . Explicar por qué esto no contradice al Teorema de Rolle.

3. Demuestre que con 0>h tenemos que h+1 < 12+

h

4. Demuestre las desigualdad siguientes desigualdades:

a. | | | |

b. | | | |

c. | | si 0


61

2.6. Criterios de la segunda derivada.

El criterio de la primera derivada hace uso del hecho cuando existe un máximo, la función cambia de “creciente” a “decreciente” y cuando existe un mínimo cambia de “decreciente” a “creciente”. Todo depende entonces de los intervalos de monotonía de la función.

Definición 2.6.1: CONVEXIDAD

Una función f es convexa (o cóncava hacia arriba) en un intervalo, si cualquier segmento que une dos puntos de su gráfica está sobre la gráfica de f.

Nota Si f es continua y derivable en el intervalo entonces f convexa es equivalente a decir que en todo punto del intervalo la recta tangente en cada punto esta bajo la curva.

Definición 2.6.2: CONCAVIDAD

Una función f es cóncava (o cóncava hacia abajo) en un intervalo, si cualquier segmento que une dos puntos de su gráfica está bajo la gráfica de f.

Nota Si f es continua y derivable en el intervalo entonces f cóncava es equivalente a decir que en todo punto del intervalo la recta tangente en cada punto esta sobre la curva.

En el caso de una función, la segunda derivada permite entender su concavidad.

Teorema 2.6.3:

Sea f una función que admite primera y segunda derivada. Si ( ) 0f x′′ > en un intervalo, entonces ’ es creciente en ese intervalo, entonces es cóncava hacia arriba en ese intervalo. Si ( ) 0f x′′ < en un intervalo, entonces ’ es decreciente en ese intervalo, entonces es cóncava hacia abajo en ese intervalo.

Definición 2.6.4: Los puntos donde una función cambia de concavidad se denominan puntos de inflexión.

Existe otro criterio para justificar si un punto crítico es máximo o mínimo, que se conoce como el Criterio de la Segunda Derivada.


62

Teorema 2.6.5: CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA Sea f una función que admite primera y segunda derivada y c un valor tal que ( ) 0f c′ = .

Si ( ) 0f c′′ > , entonces en c existe un mínimo.

Si ( ) 0f c′′ < , entonces en c existe un máximo.

Si ( ) 0=′′ cf y 0>∃δ tal que ( ) ( ) 0, 00 >′′−∈∀ xfxxx δ

( )δ+∈∀ 00 , xxx ( ) 0<′′ xf

ó 0>∃δ tal que ( ) ( ) 0, 00 <′′−∈∀ xfxxx δ

( )δ+∈∀ 00 , xxx ( ) 0>′′ xf Entonces f es un punto de inflexión

Demostración: Demostraremos el primer caso. El segundo es análogo.

Por definición de derivada, ( ) ( ) ( ) ( )0 0

lim limh h

f c h f c f c hf c

h h→ →

′ ′ ′+ − +′′ = =

Pero como ( ) 0f c′′ > , obtenemos que ( )

0lim 0h

f c hh→

′ +> .

Si h > 0, esto significa que ( ) 0f c h′ + > , lo cual, a su vez, implica que f es creciente a la derecha de c. Si h < 0, esto significa que ( ) 0f c h′ + < , lo cual, a su vez, implica que f es decreciente a la izquierda de c. Por lo tanto, f cambió de “decreciente” a “creciente” en c y por el criterio de la primera derivada, en c debe haber un mínimo.

Nota: Los puntos críticos pueden ser

a) máximo

b) mínimo

c) punto de inflexión.

El criterio de la segunda derivada tiene dos posibles problemas que se deben tener en cuenta. El primero es que para poder aplicar este criterio, se debe calcular la segunda derivada de la función y si esta función es un poco compleja, este cálculo puede ser bastante engorroso.


63

El segundo es que el criterio establece conclusiones si ( ) 0f c′′ > o si ( ) 0f c′′ < , pero no si

( ) 0f c′′ = . Es decir, puede que después de todos los cálculos realizados, el criterio no sirva. Por lo tanto le aconsejamos usarlo con prudencia.

Ejemplo 2.6.7: Hallar los extremos de ( ) 4 3 24 43

f x x x x= + − .

Solución: 1. Primera derivada y puntos críticos

( ) ( ) ( )( )3 2 24 4 8 4 2 4 2 1f x x x x x x x x x x′ = + − = + − = + −

Los puntos críticos son x = 0, x = -2 y x = 1. 2. Segunda derivada y evaluaciones

( ) 212 8 8f x x x′′ = + − Evaluamos los tres puntos críticos:

( )0 8f ′′ = − , ( )2 24f ′′ − = , ( )1 12f ′′ = 3. Conclusión

Como la segunda derivada es negativa, en (0, 0) hay un máximo. Como la segunda derivada es positiva, en (-2, 32

3− ) y en (1, 53− ) hay mínimos.

Usaremos estos últimos conceptos, junto con todo lo ya visto para funciones, para analizar una función.

Ejemplo 2.6.8: Analizar la función ( ) 2xf x xe−= . Solución:

Iremos dando los resultados de este ejercicio. Usted debe ir haciéndolo mientras lo lee, para ir verificando lo dicho. 1. Se trata de una función continua (pues es el producto entre un polinomio y una exponencial,

las cuales son ambas continuas) en su dominio, que es . Además es una función impar.

2. Asíntotas El eje x es una asíntota horizontal para la gráfica.

3. Derivadas ( ) 2xf x xe−=

( ) ( )2 2 2 22 1 2x x xf x e x xe e x− − −′ = + ⋅ − = −

( ) ( ) ( )2 2 22 22 1 2 4 2 3 2x x xf x xe x e x xe x− − −′′ = − ⋅ − + ⋅ − = − −

4. Puntos críticos Los puntos críticos para la primera derivada son: 1

√2

Los puntos críticos para la segunda derivada son: 0; 32.

5. Intervalos de crecimiento y concavidad


64

Intervalo 3,2

⎤ ⎡−∞ −⎥ ⎢⎦ ⎣

3 1,2 2

⎤ ⎡− −⎥ ⎢⎦ ⎣

1 ,02

⎤ ⎡−⎥ ⎢⎦ ⎣ 10,

2⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣

1 3,22

⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣

3 ,2

⎤ ⎡∞⎥ ⎢

⎦ ⎣

( )f x′ negativa negativa positiva positiva negativa negativa

( )f x′′ Negativa positiva positiva Negativa Negativa positiva

Conclusión Decreciente Cóncava hacia abajo

Decreciente Cóncava hacia arriba

Creciente Cóncava hacia arriba

Creciente Cóncava hacia arriba

Decreciente Cóncava hacia arriba

Decreciente Cóncava hacia abajo

6. Extremos y puntos de inflexión

En el punto 323 3,

2 2e−⎛ ⎞

− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

hay un punto de inflexión (punto E).

En el punto 121 1,

2 2e−⎛ ⎞

− −⎜ ⎟⎝ ⎠

hay un mínimo global (punto D).

En el punto ( )0,0 hay un punto de inflexión (punto A).

En el punto 121 1,

2 2e

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

hay un máximo global (punto B).

En el punto 323 3,

2 2e

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

hay un punto de inflexión (punto E).

7. Gráfico

Ejercicios 2.6

1. Hallar los puntos críticos y averiguar si corresponden a un máximo local, a un mínimo local o a

ninguna de ambas cosas .Encontrar los intervalos de monotonía y concavidad de dichas funciones. Graficar.

a) 11)(

−+

=xxxf b)

14)(

2

−+−

=x

xxxf c) ( )xx eexf −+=21)( d) 3/23/13/4 44)( −++= xxxxf

e) 12)( += xxxf f) 1

)(2 +

=x

xxf g) 2

)( xexf −= h) xexxf −=)(


65

2.7. Problemas aplicados de máximos y mínimos

Al igual que en los problemas de razón de cambio, la mejor manera de resolver problemas de optimización es ceñirse a un procedimiento que señalamos a continuación. PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS.

1. Asigne variables a todas las cantidades dadas y a las cantidades a determinar. Si es posible, hágase

una figura de análisis. Determine claramente: ¿Qué piden? ¿Cuáles son los datos? 2. Escriba una función para la variable que se desea hacer máxima o mínima. 3. Si es necesario, escriba la función de manera que tenga una sola variable. Esto puede exigir el uso

de ecuaciones secundarias que relacionan las variables entre sí. 4. Determine el dominio de la ecuación, es decir, aquellos valores para los que el problema

propuesto tenga sentido. 5. Hallar el máximo o el mínimo por los métodos estudiados. Recuerde que si el dominio hallado en

el punto anterior es un intervalo cerrado, el teorema de valores extremos garantiza que los puntos encontrados sean máximos o mínimos. Si no hay intervalo cerrado, debe utilizar el criterio de la primera o segunda derivada.

Ejemplo 2.7.1

Se desea construir una lata cilíndrica que contenga 1 litro. ¿Qué dimensiones debe tener esta lata para gastar la mínima cantidad de material?

Solución: 1. ¿Qué piden? – área mínima

¿Qué datos hay? - es un cilindro - el volumen debe ser 1 litro (o 1000 cm3) Variables: A: área total del cilindro (en cm2) R: radio basal del cilindro (en cm) h: altura del cilindro (en cm) V: Volumen del cilindro (en cm3)

2. Necesitamos una ecuación para el área: 2 base lateralA A A= ⋅ + Cambiamos el área de la base por 2Rπ y el área lateral por 2 Rhπ y obtenemos 22 2A R Rhπ π= + Vemos que esta función tiene 2 variables (R y h). Necesitamos dejarla con una sola variable.

3. Sabemos que V = 1000 y sabemos que la fórmula de volumen de un cilindro es 2V R hπ= .

Combinando ambos resultados, obtenemos que 2

1000 hRπ

= . Por lo tanto podemos escribir la

función del área sólo en términos del radio:

( ) 2 20002A R RR

π= +

y que su dominio es .


66

4. Derivada y puntos críticos

( ) 2

20004A R RR

π′ = −

Dominio de la derivada: . No hay puntos críticos para este caso. Derivada igual a 0:

Debemos resolver la ecuación 2

20004 0RR

π − = para encontrar un punto crítico:

3500 5,42R cmπ

= ≈ .

5. Debemos justificar que el punto crítico encontrado sea el que da área mínima. Como no tenemos un intervalo cerrado, usaremos el criterio de la segunda derivada.

Como ( ) 3

40004A RR

π′′ = + , vemos que al evaluar el punto crítico obtendremos un valor

positivo. Eso garantiza que el área es mínima. 6. Usando el valor de R, podemos encontrar el valor de h y de A.

2

1000

3 500h =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ππ

, y racionalizando: 35002 2h Rπ

= = . (Es decir, la altura de la lata debe ser el

doble del radio para que la cantidad de material usada sea mínima).

Para el área se obtiene ( )2

235006 553,58A R cmππ

⎛ ⎞= ≈⎜ ⎟⎝ ⎠

Respuesta al problema: La lata que utiliza la menor cantidad de material debe tener un diámetro de aproximadamente 10,84 cm al igual que su altura. Así, la cantidad de material necesaria es de aproximadamente 553,58 cm2.

Ejercicios 2.7

1. Hallar las dimensiones del triángulo isósceles de mayor área que se puede inscribir en un círculo de radio 4.

2. Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse en una

semicircunferencia de radio a.

3. Hallar las dimensiones del cono circular recto de mayor volumen que se puede inscribir en una esfera de radio r.

4. Calcular el volumen de un cilindro circular recto más grande que se puede inscribir en una

esfera de radio r.

5. Una lata de bebida debe contener 12 onzas de líquido. Hallar las dimensiones que minimizan la cantidad de aluminio empleada en su construcción, suponiendo que es de grosor uniforme.


67

6. Un alambre de longitud L ha de cortarse en dos trozos, doblándose uno de ellos para formar un cuadrado y el otro para formar una circunferencia. ¿Cómo debería cortarse el alambre para que la suma de las áreas encerradas por los dos trozos sea máxima? ¿Y para que sea mínima?

7. Se llama ventana Norman a la formada por un semicírculo sobre una ventana rectangular. Hallar las dimensiones de una ventana de Norman de área máxima que tenga un perímetro total de 16 pies.

8. Se forma un sólido adosando dos semiesferas a los extremos de un cilindro circular recto. El volumen total es de 12 cm3. Hallar el radio del cilindro que produce la mínima área de la figura.

9. Un depósito industrial de la forma descrita en el ejercicio anterior, ha de contener 3000 litros. Si

el costo de construcción de los hemisferios adosados es, por centímetro cuadrado, doble que la del lateral, calcular las dimensiones que minimizan el costo. (Recuerde que 1 litro = 1000 cm3)

10. Un ganadero desea cercar un prado rectangular adyacente a un río. El prado ha de tener 180.000 m2 para proporcionar suficiente pasto. ¿Qué dimensiones debe tener para que requiera la menor cantidad de valla posible, teniendo en cuenta que no hay que poner valla en el lado que da al río?

11. Una librería puede conseguir un libro a un precio de 4 dólares el ejemplar. La gerente de la librería estima que puede vender 180 ejemplares a un precio de 10 dólares y que cada reducción de 50 centavos en el precio aumentará las ventas en 30 ejemplares. ¿Cuál debería ser el precio del libro para maximizar el beneficio total de la librería?

12. El estado va a construir una autopista para unir la ciudad A con la ciudad B situada 8 Km. al

este y 8 Km. al sur de A. Hay que atravesar un terreno pantanoso de 5 Km. de anchura adyacente a la ciudad A. La construcción de 1 Km. de autopista cuesta 10 millones de dólares sobre terreno pantanoso y 7 millones sobre terreno seco. ¿A cuántos Km. al este de A interesa que salga la autopista del terreno pantanoso?

13. Una compañía necesita construir un oleoducto desde una plataforma petrolífera a 25 millas de la

costa hasta una estación de almacenamiento situada 5 millas tierra adentro. La costa tiene dirección este-oeste y la estación está 8 millas al este de la plataforma. Construir una milla cuesta 50000 dólares por mar y 20000 dólares por tierra. El oleoducto se construirá en dos tramos rectos, uno por mar y otro por tierra. ¿Por qué punto de la costa debe pasar el oleoducto para minimizar su costo?

14. El suelo de una nueva sucursal bancaria debe tener un área de 3500 pies cuadrados. Debe ser un rectángulo con tres paredes sólidas de ladillo y una pared frontal decorativa de cristal. El cristal cuesta 1,8 veces más por pie lineal que la pared de ladrillo. ¿Qué dimensiones del edificio minimizarán el costo de los materiales para las cuatro paredes?

15. Un rectángulo tiene un área de 32 pulgadas cuadradas. ¿Cuáles son sus dimensiones si la

distancia de un vértice al punto medio de un lado no adyacente es la menor posible?

16. Una carretera este-oeste y una norte-sur se cortan en un punto O. Una carretera diagonal debe construirse desde un punto A al este de O hasta un punto B al norte de O, pasando por una ciudad C que está a millas al este y b millas al norte de O. Hallar el cociente entre OA y OB si el área triangular OAB es lo más pequeña posible.


68

17. Un tanque cilíndrico sin tapa superior tiene un volumen V. El material usado para la base cuesta

el triple del costo del material usado para la parte lateral. Hallar la relación entre la altura y el diámetro de la base para que el costo total sea mínimo.

18. Un silo tiene paredes cilíndricas, un suelo circular plano y una parte superior semiesférica. Para

un volumen dado V, hallar la relación entre la altura total y el diámetro de la base que hace mínima la superficie total.

19. Debe construirse una pista atlética con la forma de un rectángulo junto con una parte

semicircular en cada extremo, y el perímetro total debe ser de longitud L. Hallar las proporciones de la pista que darán a la parte rectangular un área lo más grande posible.

20. El eje x es la orilla sur de un lago que contiene una pequeña isla en el punto (a; b) del primer cuadrante. Una mujer situada en el origen puede correr r metros por segundo a lo largo de la orilla y puede nadar s metros por segundo, siendo r > s. Si quiere alcanzar la isla lo más rápidamente posible, ¿cuánto debería correr antes de comenzar a nadar?

21. A partir de un tronco cilíndrico de diámetro d se desea obtener una viga de sección rectangular.

Si la resistencia de la viga es proporcional al producto de la base por el cuadrado de la altura de la sección rectangular, hallar las dimensiones que aseguren la máxima resistencia de la viga.

22. La iluminación de una lámpara es directamente proporcional a su intensidad e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la lámpara. Dos lámparas de intensidades I1 e I2 están separadas una distancia d. ¿En qué punto del segmento recto que las une es mínima la iluminación?


69

Anexos Como no existe en la vida lo ideal, y todo es un proceso, en la medida que no se estanque el rio del conocimiento y todo sea perfectible, nacerán los anexos en aras de completar los conocimientos

Anexo 1 Rectas tangentes a una curva desde un punto dado

Nos interesa determinar si existe la recta tangente a la curva dada que pasa por un punto determinado.

Sea , : la curva conocida.

Sea , el punto dado perteneciente a la recta tangente.

Debemos precisar la recta tangente a la curva que pasa por el punto , .

Es decir determinar la recta .

Significa conseguir la pendiente de la recta: m

Con lo cual tenemos dos situaciones posibles

A) Si el punto , pertenece a la curva entonces

determinamos la recta tangente a la curva si existe la pendiente de

la recta en ese punto.

Es decir existe el límite: Lim

Entonces determinamos la recta .

Que es tangente a la curva en el punto , .

Ejemplo

Escribir la ecuación de las rectas tangentes a la curva descrita por 3 3 que pasan por el

punto 2,1 . Desarrolle la representación gráfica.

Probemos si el punto pertenece o no a la curva , es decir

2 2 3 2 3 4 6 3 1

Con lo cual tenemos que 2,1 es un punto de la curva .

Luego como la derivada en un punto , esta dada por

2 3 y nos interesa la pendiente de la recta tangente en el punto

2,1 , tenemos que la pendiente de la recta en ese punto es:

2 2 2 2 3 1

Y

0

P

t

X


70

Luego la ecuación de recta tangente a la curva, que pasa por el punto 2,1 de la curva es:

1 1 2 .

B) Si el punto , no pertenece a la curva .

Supongamos que existe un punto , perteneciente a la curva y a

la recta tangente a dicha curva en el punto , , pasa por el punto

, .

El cual debemos determinar de modo que la recta ,

sea tangente a la curva en el punto , .

Si dicha recta existe entonces existe genéricamente la pendiente, la cual

esta dada por la derivada de la función en el punto es decir

Lim .

La cual nos da una función respecto de .

Como el punto , pertenece a la curva tenemos que .

A su vez como el punto , pertenece la recta tangente a la curva en dicho punto, formamos una

ecuación respecto de , es decir

De acuerdo al tipo de solución de la ecuación podemos tener:

a) La existencia de un punto

b) O la existencia de varios punto

c) O la no existencia de dicho punto

Luego en caso de existir un punto determinamos una pendiente , con lo cual queda

determinada la existencia de una recta tangente a la curva que pasa por el punto , , es decir la

recta de ecuación:

Si existen varios puntos .

Determinamos para cada punto una pendiente

con lo cual queda determinada la existencia de una

recta tangente a la curva que pasa por el punto

, , es decir la recta de ecuación:

Si no existe dicho punto entonces no existe la recta

tangente a la curva que pase por el punto , .

Ejemplo

Y

0

l

X

Y

0 X


71

Escribir la ecuación de las rectas tangentes a la curva descrita por 4 3 que pasan por el

punto M (2, -5), y desarrolle la representación gráfica.

Partamos por probar: si el punto pertenece o no a la curva .

Es decir 2 2 4 2 3 4 8 3 1

Con lo cual tenemos que 2, 5 no es un punto de la curva .

Supongamos que existe el punto , de la curva, de modo que la recta sea tangente a dicho punto y

pase por el punto 2, 5 .

Observemos que la derivada en un punto , esta dada por 2 4 y nos interesa la

pendiente de la recta tangente en el punto , , con lo cual tenemos que la pendiente de la recta en

ese punto es: 2 4

Luego la ecuación de recta tangente a la curva en el punto , y que pasa por el punto

2, 5 esta dada por 5 2 4 2 .

Y como en el punto , también pertenece a la recta tenemos que

5 2 4 2 , con 4 3 .

Con lo cual tenemos la ecuación respecto de la variable

4 3 5 2 4 2

Reordenando y abriendo los paréntesis tenemos 4 8 2 8 8

Agrupando la variable tenemos 4 0

Obteniendo dos raíces 0 y 4

Con lo cual determinamos dos pendientes 0 4

y 4 4es decir tenemos dos rectas tangentes a dicha curva

5 4 2

5 20 2 .

Y la representación grafica esta dada por


72

Anexo 2 Función derivada y calculo de derivadas elementales

Función Derivada Definición La derivada de una función f es otra función : , definida por . Donde el dominio de es /

Observaciones

1. 2. Si para algún valor 0x existe el límite +∞=

∆∆

→∆ xy

Limx 0

ó −∞=∆∆

→∆ xy

Limx 0

.

Entonces decimos que con 0xx = existe derivada infinita.

Cálculo de Derivada de Funciones Elementales a) Función Constante cxf =)( entonces 0)( =′ xf

Sea IRx ∈0 : 0)()(

)(00 0

00 =

−−

=−−

=′→→ cc

ccLimxx

xfxfLimxf

xxxx

b) Función Identidad xxf =)( entonces 1)( =′ xf

Sea IRx ∈0 : 1)()(

)(0

0

0

00

00

=−−

=−−

=′→→ xx

xxLim

xxxfxf

Limxfxxxx

c) Función Afín baxxf +=)( . Entonces axf =′ )(

Sea IRx ∈0 : ( ) ( ) ( )a

xxxxa

Limxx

baxbaxLim

xxxfxf

Limxfxxxxxx

=−−

=→

+−+=

−−

=′→→→ 0

0

0

0

0

00

000

)()()(

d) Función Potencial I. 2)( xxf = entonces xxf 2)( =′ Sea IRx ∈0 : ( )( )

( )0

00

0

20

2

000

)(xx

xxxxLim

xxxx

Limxfxxxx −

−+=

−−

=′→→

( ) 00 20

xxxLimxx

=+=→

II. 3)( xxf = entonces 23)( xxf =′


73

Sea IRx ∈0 : ( )( )

( )0

200

20

0

30

3

000

)(xx

xxxxxxLim

xxxx

Limxfxxxx −

++−=

−−

=′→→

( ) 2

0200

2 30

xxxxxLimxx

=++=→

III. INn xxf n ∈= ;)( entonces 1)( −=′ nnxxf

Sea IRx ∈0 , Utilizando la fórmula del binomio de Newton nn xxxxfxxff 0000 )()()( −∆+=−∆+=∆

nnnnn xxxxnnxnxx 022

01

00 ...2

)1(. −∆++∆−

+∆+= −−

nn xxnx ∆++∆= − ...10

Luego 120

10 ...

2)1( −−− ∆++∆

−+=

∆∆ nnn xxxnnnx

xf

Tomando el límite 10

120

100

...2

)1( −−−−

→∆=∆++∆

−+ nnnn

xnxxxxnnnxLim

Nota se extiende para 0−∈ IRn

e) Función seno: )()( xsenxf = entonces ( )( ) ( )xxsen cos=′ .

Sea IRx ∈0 , observemos ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

+=−∆+=∆22

cos2)()( 000xsenxxxsenxxsenf .

Luego ( )00

000

cos

2

22

cos xx

xsenLimxxLim

xfLim

xxx=

∆

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

+=∆∆

→∆→∆→∆

f. Función coseno: )cos()( xxf = entonces ( )xsenx −=′))(cos( . Sea IRx ∈0 , observemos:

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

+−=−∆+=∆22

2coscos 000xsenxxsenxxxf .

Luego x

xsenxxsenLim

xf

Limxx ∆

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

+−=

∆∆

→∆→∆

222 0

00( )0

00

0

2

22

xsenx

xsenLimxxsenLimxx

−=∆

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

+−=→∆→∆

g. Función logaritmo natural: ( ) ( )xxf ln= entonces ( )[ ]x

xLn 1=′

Sea +∈ IRx0 , miremos ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆+=−∆+=∆

0

000 lnlnln

xxx

xxxf


74

0

0

0

01ln

11ln

xxx

x

xxx

x

xf

∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆+

=∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆+

=∆∆

xx

xx

x∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆+=

0

001ln1 .

Luego x

x

xx xxLn

xxy ∆

→∆→∆ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎢⎣

⎡ ∆+=

∆∆

0

00001lim1lim ( )

00

1ln1x

ex

==

Nota: Análogo ( ) ( )xxf blog= entonces ( ) ( )ex

xf blog1=′ , +∈∀ IRx

h) Función exponencial: xexf =)( entonces xexf =′ )(

Sea IRx ∈0 observemos )1()()( 0000 −=−=−=∆ −xxxxx eeeexfxff .

Luego 00

00

0

1)1( xx

x

xxx

xe

xeLime

xeeLim

xfLim =

∆−

=∆

−=

∆∆ ∆

→∆

∆

→∆

Nota: Análogo ( ) xaxf = entonces )()( aLnaxf x=′ , IRx∈∀


75

Anexo 3 Función derivada y la relación entre derivada y diferencial Llamamos curva a la grafica de una función continua sobre un intervalo. G , : ó – curva Estudiaremos el problema de determinar la recta tangente a una curva en un punto

CP ∈0 ( )( )( )000 , xfxP . Como posición límite de secantes a la misma

RL Es la recta que pasa por RyP0 de ecuación: ( )00 xxmyy R −=−

Siendo ∆

∆ la pendiente de dicha

recta. Como 00 xxxxxx +∆=⇒−=∆

( ) ( )x

xfxxfmR ∆

−+∆=⇒ 00

Nos interesa: 0xx → y )()( 0xfxf → por ende la curva es continua en 0P .

Buscamos si existe: mmR → cuando PR → esta idea nos conduce a establecer el concepto de derivada o tasa instantánea de una función. Sea IRbaf →),(: ),( baD f = . Definimos la derivada )( 0xf ′ de la función f en

),(0 bax ∈ como mxx

xfxfLimxf

xx=

−−

=′→ 0

00

)()()(

0

.

Observaciones: 1. Sea )()()( 0xfxfxf −=∆ , con 00 xxxxxx +∆=⇔−=∆

Si 00 →∆⇔→ xxx luego

xxfxxf

Limxfx ∆

−∆+=′

→∆

)()()( 00

00 , entonces

xxf

Limxfx ∆

∆=′

→∆

)()(

00 .

2. Si f es una función, con ),(0 baDx f =∈ . Hemos dicho que la derivada de f en 0x es

( ) ( ) ( )x

xfxxfLimxfx ∆

−∆+=′

→∆

00

00 . Pero si usamos la nomenclatura ).(xfy =

C

R

y

0y

0x x

x∆

y∆


76

Podemos señalar y ′ para designar la derivada de f en un punto x de su dominio, es decir)(xfy ′=′

3. Otras notaciones dx

xdfdx

xdyxf

)()()( 00

0 ==′.

Diferencial Consideremos la función definida por derivable en , . En un punto del intervalo , la derivada de esta función es Lim∆

∆∆

′ . Cuando ∆ 0 , la razón ∆

∆ tiende a un número determinado ′ , y por lo tanto el

cociente ∆∆

se diferencia de la derivada ′ en un infinitésimo , es decir, ∆∆

f´ x α (1)

Donde 0 cuando ∆ 0 ( . Multiplicando ambos miembros de (1) por ∆ 0 obtenemos: ∆ ′ ∆ ∆ (2) Si ′ 0, entonces fijando x y siendo ∆ 0 (variable),El producto f´(x) ∆x es una infinitésimo de primer orden respecto a ∆ , ya que lim∆ ∆

∆f´ x 0

El producto α ∆x es siempre un infinitésimo de orden superior a ∆x, ya que lim∆

α∆∆

lim∆

0. Llamemos ∆ . Luego se tiene: ∆ ′ , esto motiva la siguiente definición. Definición: Denominaremos diferencial de la función y=f(x) en el punto x a la función lineal IR→IR, que a , le asigna el valor ′ , es decir ′ y denotamos la diferencial de la función en el punto por o . Consideremos la expresión (2): ∆ ′ ∆ donde suponemos ′ 0 y además se cumple que 0, cuando ∆ 0y como ′ ∆ , entonces la expresión (2) se convierte en ∆ ∆ . Esta formula es útil para cálculos aproximados ya que podemos decir que: ∆ ~ (3) Donde ∆ ∆ . Observemos una definición equivalente Definición: La función y = f(x), definida en un intervalo del punto , se llama diferenciable en .


77

Si el incremento de la función en ese punto ∆ ∆ , con la variación del argumento ∆ , tiene la forma ∆ ∆ ∆ . Donde A es una constante y α es una infinitésimo cuando ∆ 0. La función lineal · ∆ ( de ∆ ) se llama diferencial de la función f en el punto y lo denotamos por o . De esta forma ∆ ∆ , cuando ∆ 0 con · ∆ Observemos, que la diferencial · ∆ , como toda función lineal, está definida para todo valor ∆ : ∞ ∆ ∞, al mismo tiempo como el incremento ∆ ∆ implica que podemos tomar para ∆ , solo los valores para los cuales ∆ pertenecen al dominio de la función. Si 0, es decir 0, entonces ∆ ∆ , cuando ∆ 0, de esta forma cuando 0 el incremento ∆ es un infinitesimal de un orden mayor que ∆ , cuando ∆ 0. Para una mayor simetría escribimos la diferencial es ∆ . Aclaremos ahora, la relación entre diferencial en un punto y la existencia de la derivada en ese mismo punto. Teorema: Para que la función f sea diferenciable en , es necesario y suficiente que ella tenga su derivada en este punto. Con esto tenemos que , o sea: Teorema: Si la función f es diferenciable que el punto , entonces ella es continua en este punto. Aproximación lineal por medio de la diferencial Sea . Entonces ∆ – , con ∆ – ₀. Luego · ∆ – ₀ Observemos que ∆ ∆ ₀ Obteniendo ₀ ₀ ₀ , como 0 cuando ₀. De esta forma, si la función es diferenciable en el punto , entonces con una precisión infinitamente pequeña de orden superior que , ella es equivalente a una función lineal:

~ ₀ ₀


78

SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DE LA DIFERENCIAL Y LA DERIVADA El concepto de derivada y diferencial de una función en un punto, está relacionada con el concepto de tangente en el gráfico de esta función en el punto. Para aclarar la relación, veamos. Sea la función definida en el intervalo , y continua en el punto ₀ , . Sea , el punto ₀, ₀) perteneciente a la grafica de la función ; con ∆ perteneciente al intervalo , luego el punto ∆ , ∆ perteneciente a la grafica de .

C M

∆

∆


79

Anexo 4 Derivada lateral, algebra de derivadas Derivada lateral Como la derivada es un caso particular del limite extendemos el concepto de lateral a las derivadas Derivada lateral derecha

lim

Derivada lateral izquierda

lim

Nota: f es derivable en [ ]ba, : Si es derivable en (a,b), y derivable por la derecha en a y derivable por la izquierda en b Nota: Tenemos que f es derivable en : si y solo si existen la derivada lateral derecha

y la

derivada lateral izquierda

y estas son iguales

. Ejemplo | | 1 0

1 0 La derivada en cero no existe, ya que: La derivada por la derecha de cero es:

0 lim | | | |

Como tiende a cero por la derecha tenemos que: 0 con lo cual | | , es decir

0lim 1

La derivada por la izquierda de cero es:

0 lim | | | | Como tiende a cero por la izquierda tenemos que: 0 con lo cual | | , es decir

0

lim 1 Y como la derivada por la derecha no es igual a la derivada por la izquierda este función no es derivable en cero Nota: Si una función es derivable en un intervalo se dice que es una curva suave. Álgebra de derivadas Sean y funciones reales de variable real definidas en el intervalo abierto , derivables en

, , Sea un real. Si las funciones son derivables en perteneciente al intervalo abierto , , entonces Teorema 1.4.1 Esquema de demostración Por definición tenemos

lim lim


80

lim lim lim

Con lo que queda probado. Teorema 1.4.2

Esquema de demostración Por definición tenemos

lim lim

lim lim lim

Con lo que queda probado. Teorema 1.4.3 · · ·

Esquema de demostración realizado en el apunte.

Teorema 1.4.4 Esquema de demostración realizado en el apunte. Teorema 1.4.5 Si 0 entonces

Esquema de demostración

Utilizando el teorema 1.4.6 tenemos · · Y como la derivada de una constante es cero es decir 1 0. Queda demostrado. Teorema 1.4.6 Si 0 entonces · · Esquema de demostración Por definición

lim lim lim

·

lim

lim


81

lim lim

lim· ·

Con lo que quede probado. Sea el conjunto ó . Dicho conjunto es un espacio vectorial, ya que cumple con las propiedades de un espacio vectorial. Y además cumple con la propiedad de linealidad Propiedad de Linealidad Si entonces

I. II. .

Proposición (Operaciones algebraicas de la diferencial ) Sean y derivables en el intervalo abierto , , entonces

a. b. · · · c. · · d. · ·

²

Esquema de demostración

a. .

b. · ´ ´

· ·

c. · · ´ · ´ ·

d. ´ ´ · · ´ ´ ´²

· · ²


82

Anexo 5 Extremos de una función

Definición

Una función f posee un máximo absoluto o global en el punto

Si , para todo perteneciente al dominio de la función.

max

Nota:

I. El número recibe el nombre de valor máximo de .

II. El número recibe el nombre de punto de valor máximo.

III. Una función puede tener más de un punto de valor máximo pero en cambio posee a lo sumo un

solo valor máximo.

Definición

Una función f posee un mínimo absoluto o global en el punto

Si , para todo perteneciente al dominio de la función.

min

Nota:

I. El número recibe el nombre de valor mínimo de .

II. El número recibe el nombre de punto de valor mínimo.

III. Una función puede tener más de un punto de valor mínimo pero en cambio posee a lo sumo un

solo valor mínimo.

Ejemplo:

Dada la función cuyo dominio son todos los todos los reales.

Observando su gráfica observamos que tiene:

2

52

32

2

32


83

Varios Puntos de valor máximo:… . , , , , … es decir tiene puntos valor máximo para todo

con 2

Valor máximo 1

Varios Puntos de valor mínimo:… . , , , , … es decir tiene puntos valor mínimo para todo

con 2

Valor mínimo -1

Definición

Llamamos vecindad o entorno del punto a cualquier intervalo abierto , que contenga al punto

.

Definición

Diremos que el punto es un punto de máximo relativo si posee un máximo en el punto

cuando se restringe a una vecindad de . . max ,

Definición

Diremos que el punto es un punto de mínimo relativo si posee un mínimo en el punto cuando

se restringe a una vecindad de . . min ,

Nota:

Geométricamente los máximos y mínimos

relativos corresponden a las cumbres y valles

en la gráfica de una función


84

Teorema2.4.2 Teorema de Fermat.

- Sea función definida en ,

- Si es un punto extremo (máximo relativo o mínimo relativo) para sobre , .

- Sea derivable en .

Entonces 0.

Otro esquema de demostración

Sea – punto de máximo relativo entonces existe una vecindad , de :

Es decir , y para todo con , entonces .

Luego 0

Si miramos la derivada lateral izquierda tenemos que 0

Entonces 0 luego la derivada lateral izquierda es lim 0

Si miramos la derivada lateral derecha tenemos que 0

Entonces 0 luego la derivada lateral derecha es lim 0

Como es derivable entonces 0 ` 0 luego 0

Nota:

El reciproco no es cierto

Veamos la función , su derivada es 3 , la cual se anula en 0.

Sin embargo, no es ni máximo ni mínimo ya que:

Si 0 tenemos que 0.

Si 0 tenemos que 0 con lo cual no es punto extrermo.

Definición

Decimos que la función f tiene un punto singular o punto crítico , si 0


85

Definición

Sea : , , una función derivable en dicho intervalo

La función es creciente en , , si cualquiera que sean , ∆ , ,

tenemos que ∆∆

0, lo que es equivalente a pedir que: 0 para todo

, .

Definición

Sea : , , una función derivable en dicho intervalo

La función es decreciente en , , si cualquiera que sean , ∆ , ,

tenemos que ∆∆

0, lo que es equivalente a pedir que: 0 para todo

, .

Teorema:

Sea : , , una función derivable en dicho intervalo y , tal que 0, entonces

1. Si existe 0 tal que 0 para todo , y 0 para todo

, entonces en el punto tenemos un máximo relativo

2. Si existe 0 tal que 0 para todo , y 0 para todo

, entonces en el punto tenemos un mínimo relativo

3. Si existe 0 tal que 0 para todo , entonces en el punto no

tenemos un extremo.

4. Si existe 0 tal que 0 para todo , entonces en el punto no

tenemos un extremo.

Nota

Existen funciones en las cuales existe un punto extremo, si embargo la derivada en ese punto no existe o

se indetermina

Ejemplo

La función valor absoluto | |

Su función derivada es 1 01 0


86

En el punto cero no tiene derivada si embargo para todo 0

tenemos que | | |0| es decir en el punto 0 tenemos un

mínimo absoluto.

Nota: Existen puntos extremos en los cuales no existe la derivada; por ende debemos estudiar los 3

casos.

I. Los puntos singulares de en

II. Los extremos y .

III. Los puntos tal que no es derivable.


87

Idea Gráfica

I. No hay extremos

i. Función creciente

ii. Función decreciente

II. Existen extremos

i. Máximo

ii. Mínimo

0>′f 0>′f

0<′f 0>′f 0<′f 0<′f

0=′f f existe No ′∞=′f

0<′f 0<′f

0<′f0>′f0>′f

0>′f

0=′f ∞=′f f existe No ′

0>′f

0>′f

0=′f

0>′f

0>′f

∞=′f

0>′f

0>′f f existe no ′

0<′f

0<′f 0=′f

0<′f

0<′f

∞=′f

0<′f

0<′f

f existe no ′


88

Taller de curso primera parcial Construcción analítica de la representación grafica Analizar una curva dada y construir su grafica

Para el estudio de una función dada y la construcción de su grafica con ayuda del desarrollo

analítico. Se plantea seguir el siguiente punteo.

1) Definir el dominio de la función

2) Averiguar si la función tiene otras características importantes: par, impar, periódica, signos,

etc.

3) Definir el dominio donde la función es continua y sus puntos de discontinuidad, tipos de

discontinuidad.

4) Tratamos de encontrar los cortes con los ejes coordenados.

5) Si f esta definida en un intervalo cerrado [ ]ba, analizamos el comportamiento de f en ax = ,

bx = .

6) Si f esta definida en un intervalo Abierto ] [ba, analizamos el comportamiento de f en los

extremos +→ ax , −→ bx .

7) Buscamos si la grafica de f tiene asíntotas.

8) Calculamos la primera y segunda derivada.

9) Encontramos los puntos, en los cuales la primera y segunda derivada se anulan o no existen.

10) Construir una tabla con el cambio de signos de la función, su primera derivada y su segunda

derivada.

11) Determinamos los intervalos donde f es creciente, decreciente o constante.

12) Buscamos los puntos críticos de f.

13) Analizamos los puntos donde no existe la primera derivada, o donde esta se hace infinita.

14) Constractar lo encontrado graficando por medio de algún programa computacional.

Al realizar el estudio de una función mediante los puntos señalados podemos construir la grafica

de una función f y determinar su comportamiento.


89

Sin embargo en algunas funciones no es necesario detallar todos y cada uno de dichos pasos y

basta analizar solamente alguno de ellos.

Resolver

Grupo1 a) 86

34)( 2

2

+−

+−=

xx

xxxf b) xexxf −= 2)( c) 1

12)( 2

2

−−+

=x

xxxf

Grupo 2 a) 211)(x

xf+

= b) 2

)( xexf −= c) 12)( 2

2

−−

−=xxxf

Grupo 3 a) 211)(x

xf−

= b) )cosh()( xxf = c) 4

4)( 2 +=

xxxf

Grupo 4 a) 1

10)( 2 +=

xxxf b) xexxf −= 2)( c)

5312)(

2

−+

=xxxf

Grupo 5 a) 22 1)(

xxxf += b) )()( xsenhxf = c)

4 4 1)(

+=

x

xxf

Grupo 6 a) 211)(x

xf−

= b) )cosh()( xxf = c) 1

1)( 2 −=

xxf

Grupo 7 a) x

xxxf−

=4

)( b) xexf 5.01

8)( −+= c) 2

2 1)(x

xxf +=

Grupo 8 a) 4

8)( 2 +=

xxf b)

11)( 2

2

+−

=xxxf c)

4 4 1)(

+=

x

xxf


90

Trabajo de curso Derivadas e integrales

Instrucciones: Cada grupo constará de dos alumnos, los cuales deberán desarrollar una parte teórica, una serie de ejercicios. El grupo deberá presentar un informe impreso. El grupo deberá exponer el trabajo en no más de 15 minutos, y luego defenderlo frente a preguntas de la comisión. Se evaluará

- El trabajo impreso (40%): Se considerará la presentación, la ortografía, la pertinencia de los gráficos, etc. También se considerará la creatividad.

- La presentación (30%): Se considerará la preparación de la exposición, el cumplimiento del tiempo a disposición, el correcto uso del lenguaje, etc.

- La defensa (30%): Ídem punto anterior

Fecha de entrega: Junto con la presentación de la tercera parcial.

FORMULA DE TAYLOR

I. Desarrolle una pequeña reseña histórica (redactada por ustedes de una pagina) II. Relaciónelo con su carrera.

III. Responda las siguientes interrogantes respecto de las funciones polinomio de grado n a. ¿Su dominio es? b. ¿El polinomio es una función continua? , en caso de serlo, pruebe por que. c. ¿El polinomio tiene derivadas de orden superior? d. La derivada de un polinomio es otro polinomio de un orden menor, ¿cual es? e. ¿Las derivadas de orden mayor al grado del polinomio son? f. Todo polinomio puede ser centrado en un punto cualquiera centre el polinomio en el

punto IV. Formule el teorema de Taylor.

a. Determine los coeficientes de la serie b. Determine el resto c. Determine la serie de Maclaurin.

V. Resuelva los siguientes ejercicios

a. Desarrolle la serie de Taylor de grado 1, 2, 3, 4, 5, 6, compare la graficas respecto de la

grafica original en el punto respectivo.

Grupo 1 cos en Grupo 2 en

Grupo 3 en Grupo 4 en 1

Grupo 5 1 en 1 Grupo 6 en 2

Grupo 7 en 2 Grupo 8 en 1


91

Grupo 9 en 1 Grupo 10 en 1

b. Determine un valor aproximado por medio de la serie de Taylor de grado 2 y su error

Grupo 1 √ Grupo 2 √30 Grupo 3 √250

Grupo 4 0,45 Grupo 5 0,8 Grupo 6 0,45

Grupo 7 1.2 Grupo 8 . Grupo 9 1,1 ,

Grupo 10

REGLA DE L’HÔPITAL

I. Desarrolle una pequeña reseña Histórica (redactada por ustedes de una pagina)

II. Desarrolle la reglas de L’hôpital para: a. ∞ ∞⁄ b. c. ∞ d. ∞ ∞ e. · ∞

III. Resuelva los siguientes ejercicios

Grupo 1 lim ; lim

Grupo 2 1 lim ; lim

Grupo 3 lim ; lim

Grupo 4 lim ; lim

Grupo 5 lim ; lim

Grupo 6 lim ; lim

Grupo 7 lim ∞ ; lim

Grupo 8 lim ∞ ; lim

Grupo 9 lim ; lim ∞√

Grupo 10 lim ; lim 1

Literatura complementaria para el trabajo de curso Cálculo transcendente temprano, James Stewart


92

Bibliografía [1] Michael Spivak, “Calculus”, W. A. Benjamín, Inc. Nueva York, 1967 [2] James Stewart, “Cálculo. Trascendentes temprana”, 4ª Edición, Thomson Learning, México, 2002. [3] George B. Thomas, Ross L, Finney, “Cálculo, una variable”, Addison Wesley Longman,

México, 1998,


93

Soluciones a los ejercicios Ejercicios 1.1 1. a) y = -2 b) y = 9x + 16 c) y = -0.5x + 1 d) y = -2x - 2 e) y = 0.5x + 2 2. yt = x+1; yn = -x - 1 3. En el punto (-5, 45), y = -20x - 55; y = -13x - 20. En el punto (2, 3), y = 8x - 13; y = x + 1 4. 5. x = 3, x = -1 6. a) y = -2x + 9; y = 2x + 1 b) y = 6x - 9; y = -2x - 1 7. a) no, porque hay punta b) m = 0 c) no, llegan al punto con distintas pendientes d) no, discontinuidad

de salto e) m = -2 Ejercicios 1.2 1. a) v = -32; v = -64 b) v = 0.125 c) v = 0.249 2. a) 0 b) -3 c) 0.5

3. a)1 0

( )1 0

si xf x

si x− <⎧′ = ⎨ >⎩

b)2 0

( )1 0x si x

f xsi x

<⎧′ = ⎨ >⎩ c) Diferenciable en ; ( ) 0f x′ =

Ejercicios 1.3

1. a) x6 b) 2

1x− c) 3

2x−

d) m

Ejercicios 1. 4

3. a) 1 2y x′ = − b) 22 −+=′ xxy c) )cos(2)sin(3 xxy +−=′ d) 5

20x

y −=′

e) 93

23

+=′x

y f) 32

12

1

xxy −=′ g) )sin(3 xey x +=′ h) ( ))cos()sin( xxey x +=′

i) ( )( )22

4

1

xf xx

′ =+

4. a) b) c) 2 d) e) 5. x =4; x = 1 6. x = ½

7. 1=x ; 31−

=x

Ejercicios 1.5

1. Calcular las derivadas de las siguientes funciones con respecto a la variable x.

a) 2 1 b) c) √

√

d)√ e) 6 f) 2 2 3

g)2

2x

xe−

− h)


94

2. Ejercicios un poco más exigentes (Uno de los objetivos de este curso es, también, que se familiarice con diferentes softwares matemáticos. Los demás ejercicios debe, por lo tanto revisarlas con algún software matemático como Matlab. En Internet existen páginas que calculan derivadas online. Por ejermplo: http://calc101.com/webMathematica/derivatives.jsp En esa página se da el resultado simplificado y además se resuelve el ejercicio paso por paso)

3. a > 3 4. ] [4,1− 5. exy = 6. x = 0 ; x = -7/3

7. a) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

43

6πxy b)

2413,

8ππ

== xx

8. -45º 9. πnx = 10. 11. a = -1 , b = 1 Ejercicios 1.6 demostrar Ejercicios 2.1

1. a) ( ) 52,42

dydx

= b) dy pdx y

= c) 2

2

dy b xdx a y

= − d) dy ydx x

= −

e) 2

2

22

dy y xydx x xy

+= −

+ f)

24xy ydy

dx x xy−

=+

g) dy x ydx x y

+=

− h)

2

22

1 2 x y

x y y

dy xyedx x e e

−=

−

i) sin 2

2 sindy y xy xdx y x xy

− −=

+j)

3 cos3sin

y

y

dy y x edx xe x

−=

− k) 0dy

dx= l)

2

1dy ydx xy

−=

+

m) lnln

dy y x y ydx x y x x

−=

− n)

( )212ydy

dx+

= − ñ) 16 11 2

x x ydydx x y

+ −=

− +o) 4

24 1y

dy ydx ye

=−

2. a) 2; 2 32t nxy y x= − + = − b)

7 2 9 2 2 2 3 2;4 2 7 7t ny x y x= − + = +

c) 1; 0ty x= = d) 2; 2x y= − = e) 2; 2 32t nxy y x= − + = −

f)193 3;

3 3t nxy x y= + = − + g) 1; 0ty x= = h)

176 9;6 6t nxy x y= − − = −

3. a) en x = 0 horizontal; en y = ± 1 vertical b) no existe tangente horizontal; en x = -1/2 , tangente vertical

4. Demostrar 5. Comprobar 6. Comprobar 7.

Ejercicios 2.2

1. a)2

2 3

4d ydx y

= − b) c) d)

2. 3. a) ! b) 1 cos c) 1 !


95

d) 2 e) 1 !

4.

5. 6. 6 o 1 Ejercicios 2.3

1. dtdy = 4

2. a) 2

min24 cmdAdt

π= b) 96

3. Aprox 62,6 millas/hora 4. a) 750 millas por hora b) 20 minutos. (No se requiere derivadas) 5. Aprox -0,46 m/s 6. Aprox. 0,03 rad/min 7. Aprox. 241 millas por hora. 8. Está creciendo a razón de 35 pulgadas2/minuto. 9. Aprox. 0,006 pies/minuto 10. Aprox. 0,2 pies/minuto. 11. 0,6 Ω/s. 12. demostrar 13. demostrar 14. demostrar 15. 1/6 pie/min. 16. a) Aprox 21,5% b) Aprox. 0,028 pies por minuto. 17. (a) el nivel está bajando a 1/9 pies por minuto

(b) está subiendo a 1/18 pies por minuto Ejercicios 2.4 1. a) máximo en x = 2; valor máximo: y = 3; mínimo en x = 1; valor mínimo y = -1

b) máximo en x = -3; valor máximo: y = 11; mínimo en x = -1; valor mínimo y = 130 c) máximo en x = -4; valor máximo: y = 3 16 ; mínimo en x = -2; valor mínimo y = 3 4 d) máximo en x = 2

π ; valor máximo: y = 1; mínimo en x = π; valor mínimo y = -1 e) máximo en x = 2; valor máximo: y = 11,39; mínimo en x = -2; valor mínimo y = 4,14 f) máximo en x = 5; valor máximo: y = 32; mínimo en x = -1; valor mínimo y = 0,5 g) máximo en x = 10; valor máximo: y = 66; mínimo en x = 2; valor mínimo y = 2 h) máximo en x = 0,01 y en 100; valor máximo: y = 100,01; mínimo en x = 1; valor mínimo y = 2 j) máximo en x = 0; valor máximo: y = 1; mínimo en x = 3; valor mínimo y = 0,1 l) máximo en x = 2; valor máximo: y = 3 4 ; mínimo en x = 0; valor mínimo y = 1 m) máximo en x = 1,5; valor máximo: y = 649,78; ; mínimo en x = 0; valor mínimo y = 600

2. Porque en el segundo intervalo falla la continuidad. De hecho, hay una asíntota en x = 0. 3. máximo en x = -1,575; valor máximo: y = 17,5; mínimo en x = 1,575; valor mínimo y = 2,49. La

máxima pendiente se encuentra en los extremos del intervalo. 4. construir Ejercicio 2.5 1. comprobar


96

2. demostrar 3. demostrar.

Ejercicio 2.6

Comprobar con algún software que grafique funciones. Ejercicio 2.7 Resolver


97

Referencias

A Aceleración, 38 Algebra de derivadas, 76

C Cóncava, 58 Convexa, 58 Criterio de la segunda derivada, 59

D Derivable, 9 Derivada de f en a, 9 Derivada de f(x), 10 Derivadas basicas, 11 Derivadas laterales, 76 Diferencial, 73 Diferenciable 74

E Ecuación de la recta normal, 6 Ecuación de la recta tangente, 5

F Función Explicita, 30 Función Implicita, 30

M Máximo, 47 Máximo o mínimo global, 79 Máximo o mínimo local, 80

Mínimo, 47

N Notación de Leibniz, 32

P Pendiente de la recta tangente, 5 Propiedad de linealidad 78 Punto critico, 50 Puntos de inflexión, 58

R Razón de cambio, 8 Recta normal, 6 Relación entre continuidad y derivada 13 Relación geométrica entre diferencial y derivada 75

S Segunda derivada de f, 37

T Teorema de Cauchy, 53 Teorema de Fermat, 48 Teorema de La Granlle, 54 Teorema de rolle, 52 Teorema de valores extremos, 50

V Valor máximo (o mínimo), 79 Velocidad instantánea, 8

Apuntes de Cálculo II Primera parte Derivadas y sus Aplicaciones 2010

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