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1.1
Gráficas de Ecuaciones en dos
variables
MATE 3002
Presentación 1
Slide 1.1 - 2
Sistema de coordenadas cartesianas
• Se basa en dos líneas
perpendiculares
llamadas eje de x y eje
de y.
• Dividen el plano en
cuatro cuadrantes
• La intersección de
los dos ejes se
llama el origen.
• Cada punto P en el
plano corresponde a un
par ordenado (x, y) de
coordenadas.
• Observemos los signos
de la coordenadas.
Slide 1.1 - 3
Al localizar un punto en el plano cartesiano, la primera
coordenada, x, indica las unidades a moverse a la izquierda o la
derecha, partiendo del origen. La segunda coordenada, y, nos
indica las unidades a moverse hacia arriba o hacia abajo.
Ejemplo:
Localizar (3, 5).
Mover 3 unidades hacia
la izquierda.
Luego, mover 5 unidades
hacia arriba.
Localiza el punto.
(–3, 5)
Localización de puntos en el plano
Slide 1.1 - 4
Identificar las coordenadas de los puntos
¿Cuáles son las
coordenadas de:
A? B? C? D? E? F? G?
Slide 1.1 - 5
Soluciones de ecuaciones
Ecuaciones en dos variables tienen soluciones que se
expresan como el par ordenado (x, y).
Ejemplos: 2x + 3y = 18
2x2 – 3y + x – 3 = 0
y =3
4𝑥−1
Una solución de una ecuación en dos variables es un par
ordenado, (a, b), para el cual la sustitución del primer
valor en x y el segundo en y produce un enunciado
cierto.
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Ejemplos
a.
Determina si el par
ordenado (5, 7) es una
solución de 2x + 3y = 18.
b.
Determina si el par
ordenado (3, 4) es una
solución de 2x + 3y = 18.
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¿Es solución de la ecuación?
(-2, -1); 2x2 – 3y + x – 3 = 0
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Gráfica de una Ecuación
La gráfica de una ecuación es un dibujo o boceto del
conjunto de todas las soluciones de una ecuación.
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Intercepto en x
El punto donde la gráfica cruza o toca el eje de x se conoce como el intercepto en x, (abreviaremos int-x).
Ejemplo:
Se presenta la gráfica de x + 2y = 7.
El intercepto en x es
(7,0).
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Intercepto en x (cont.)
El int-x es un punto con forma (a, 0).
Para hallar el valor de a, asignamos el valor de 0 a y. Luego, resolvemos para x.
Ejemplo: Deteminar el int-x de 2x + 3y = 18.
2x + 3(0) = 18
2x = 18
x = 9
El int-x es (9, 0).
Slide 1.1 - 11
Intercept - y
Es el punto donde la gráfica cruza o toca el eje de y (abreviaremos int-y).
Ejemplo:
Se presenta la gráfica de x + 2y = 7.
El intercepto en y es
(0,3.5).
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Intercept - y
El int-y es un punto con forma (0, b).
Para hallar el valor de b, asignamos x = 0. Luego, resolvemos para y.
Ejemplo: Deteminar el int-y de 2x + 3y = 18.
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Esbozar o trazar una gráfica
Una forma de esbozar o trazar (“sketch”) la gráfica de
una ecuación es determinar suficientes soluciones
de la ecuación (puntos en la gráfica).
Ejemplo: Trazar la gráfica 2x + 3y = 18.
Debemos conseguir soluciones de la ecuación.
Ya sabemos que el int – x es: (9, 0)
Ya sabemos que el int – y es: (0, 6)
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Ejemplo: Trazar la gráfica 2x + 3y = 18
(cont.)
Determinamos una tercera solución reemplazando x con el valor de 5, y resolviendo para hallar el valor de y.
2 5 3y 18
10 3y 18
3y 8
y 8
3
Por lo tanto, es una solución. 5,8
3
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Ejemplo (cont.)
Trazar la gráfica:
2x + 3y = 18.
int-x:
(9, 0)
int-y :
(0, 6)
Tercer punto:
Ahora unimos los
puntos con una recta.
5,8
3
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Ejemplo: Trazar la gráfica y – 2x + 1= 0
Para facilitar la determinación de soluciones
reescribimos la ecuación como: y = 2x – 1 .
Luego, elegimos algunos valores para asignar a la x:
x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
Y determinamos los valores correspondientes de y
para cada valor.
Finalmente, organizamos los pares ordenados en una
tabla conocida como una tabla de valores.
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Ejemplo: Trazar la gráfica y = 2x − 1 (cont.)
Completa la tabla:
Localiza los puntos en un plano.
Una gráfica con esta forma se conoce como una recta. Es la forma
típica de una ecuación lineal.
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Otro ejemplo
Esboce la gráfica de y = x2 – 3 .
Elegir unos valores para x, luego completar la tabla de
valores:
Localizamos los puntos en un plano cartesiano:
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Ejemplo (cont.)
El punto (0, -3) parece dividir la gráfica en dos partes iguales.
A la izquierda del (0, -3), notamos que a medida que x se hace más grande, y se hace más pequeño.
La gráfica es decreciente en el lado izquierdo del (0, -3).
A la derecha del (0, -3), notamos que a medida que x se hace más grande, y también se hace más grande.
La gráfica es creciente en el lado derecho del (0, -3).
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Ejemplo (cont.)
Unimos los puntos en esta ocasión con una curva suave, (sin picos ni brincos) siguiendo el patrón que observamos.
Una gráfica con esta forma se conoce como una parábola. Es la
forma típica de una ecuación cuadrática.
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Trazar la gráfica con calculadora
gráfica: y = 9 – x2
Hallar los interceptos
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Trazar la gráfica con calculadora
gráfica: y = 9 – x2
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Trazar la gráfica con calculadora gráfica:
y = 9 – x2 (cont)
Hallar los interceptos.
En la gráfica, la escala aumenta
de uno en uno, por lo que
podemos estimar visualmente
los interceptos y luego
confirmar con la calculadora.
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Trazar la gráfica con calculadora gráfica:
y = 9 – x2 (cont)
Hallar los interceptos en x.
.
Aún en TRACE mode podemos escribir
el valor de x que queremos evaluar y
oprimir ENTER.
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Para copiar la gráfica de la pantalla de la calculadora al
papel, debes llenar la tabla para otros valores de y.
Llenamos la tabla y luego localizamos los puntos:
Trazar la gráfica con calculadora gráfica: y = 9 – x2 (cont)
x -4 -2 2 4
y
Oprimimos 2ND WINDOW, para
configurar la tabla que va a producir la
calculadora.
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Localiza los puntos en un plano cartesiano:
• El punto (0, 9) parece
dividir la gráfica en dos
partes iguales.
• A la izquierda del (0, 9):
a medida que x se
hace más grande, y se
hace más grande. (La
gráfica es creciente.)
• A la derecha de este
punto: a medida que x
se hace más grande, y
se hace más pequeño.
(La gráfica es
decreciente.)
Esboce la gráfica: y = 9 – x2
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Esboce la gráfica: y = 9 – x2
• Unir los puntos
con una curva
suave, (sin
picos ni brincos)
siguiendo el
patrón que se
describió.