Ecuaciones en derivadas parciales.

Jose Salvador Cánovas Peña.Departamento de Matemática Aplicada y Estadística.

Índice general

1. Ecuaciones en derivadas parciales 21.1. Introducción a las EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Ecuaciones lineales de orden 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Ecuación del calor. Método de separación de variables. . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1. Funciones pares e impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.2. Aplicación a ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.3. Aplicación a la ecuación del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5. Ecuación de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6. Ecuación de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1

Capítulo 1

Ecuaciones en derivadas parciales

1.1. Introducción a las EDP

Por una ecuación en derivadas parciales entederemos una expresión de la forma

F (y1; :::yn; u; uy1 ; :::uyn ; :::uyi1 :::yik ) = 0;

donde y1; :::; yn son n variables independientes, u = u(y1; :::; yn) es una variable dependiente(incógnita de la ecuación) y uyi1 :::yij son las derivadas parciales de u de orden j, 1 � j � k,respecto de las variables yi1 :::yij. La derivada de mayor orden indica el orden de la ecuación.Por ejemplo

u+ ux + uy = 0

es una ecuación de orden uno, mientras que

y � ux + u � uxy = xu

es una ecuación de orden dos, que será el orden máximo que estdiaremos en este curso.Las ecuaciones en derivadas parciales (EDP) se utilizan para modelar procesos que además

de tener una variación temporal, tienen una variación de tipo espacial. Ejemplos conocidos sonla variación de calor con el tiempo en un sólido, la distribución de poblaciones en un ciertohabitat o la propagación del sonido de las cuerdas de una guitarra.En general, las EDP van a ser bastante difíciles de resolver. De hecho, no existe un teorema de

existencia y unicidad "sencilloçomo el que se estudiaba para problemas de condiciones inicialesde sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Por todo ello, las EDP son fuente de estudioen la actualidad para muchos matemáticos siendo una de las áreas de la matemáticas con mayorinvestigación en la actualidad.Como ocurre con las ecuaciones diferenciales, normalmente se suelen asociar varios tipos

de condiciones a una EDP. Según se trate, hablaremos de ellas como condiciones iniciales ocondiciones de contorno. Consideremos por ejemplo el problema siguiente8<:

ut = uyy; t > 0; y 2 (0; 1);ut(0; y) = f(y); y 2 [0; 1];u(t; 0) = u(t; 1) = 0; t � 0;

2

que, como veremos posteriormente modela la varición temperatura u de una varilla unidimen-sional de longitud 1 a lo largo del tiempo. La ecuación de segundo orden ut = u2yy se conocecomo ecuación del calor, que en este problema tiene asociados dos tipos de condiciones. Lacondición ut(0; y) = f(y) establece la temperatura inicial de la varilla para todo punto de éstay 2 [0; 1], por lo que hablamos de ella como una condición inicial. Sin embargo, la condiciónu(t; 0) = u(t; 1) = 0 nos indica que los valores de la temperatura en los extremos de la varillason �jos para cada instante de tiempo. Estas condiciones se llaman de frontera o contorno.

1.2. Ecuaciones lineales de orden 2

Una ecuación lineal de segundo orden es de la forma

a(t; y)utt + b(t; y)uty + c(t; y)uyy + d(t; y)ut + e(t; y)uy + f(t; y)u = g(t; y); (1.1)

donde a; b; c; d; e; f; g : � R2 ! R son funciones de regularidad su�ciente para cada problemaque vayamos a estudiar. Es fácil comprobar que si u1(t; y) y u2(t; y) son soluciones de (1.1),entonces una combinación lineal de ellas

�u1(t; y) + �u2(t; y);

�; � 2 R es también solución de la ecuación, por lo que ésta recibe el cali�cativo de lineal.Dicha ecuación se dirá de coe�cientes constantes si las funciones a; b; c; d; e; f son constantes.En este caso, se pueden introducir nuevas variables independientes s y x, y una nueva variabledependiente v de manera que la ecuación (1.1) se escribe de una de las siguientes formas:

vss + vxx + v = '(s; x); (1.2)

vss � vxx + v = '(s; x); (1.3)

vxx � vs = '(s; x); (1.4)

vss + v = '(s; x); (1.5)

donde es una constante que toma los valores �1, 0 y 1. Si la ecuación original veri�caque b2 � ac < 0 esta se dirá elíptica y se reducirá a una ecuación del tipo (1.2). Si veri�ca queb2� ac > 0 se dirá hiperbólica y puede reducirse a una ecuación de la forma (1.3). Finalmente,si b2 � ac = 0 la ecuación puede reducirse a la forma (1.3) y se dirá parabólica o a la forma(1.5) que se conoce con el nombre de degenerada.Veamos por ejemplo cómo transformar la ecuación

3utt � 2uty + 6uyy � 12ut � 9uy � 5u = 0

en una de las formas anteriores. En primer lugar, démonos cuenta que

b2 � ac = �14 < 0

por lo que se trata de una ecuación elíptica. La transformación se hace en tres etapas.

3

Cambio en las variables independientes para eliminar el término uty. Para ello consider-amos una rotación en el plano de ángulo � que tendrá la forma�

s = t cos�+ y sin�;x = �t sin�+ y cos�;

y cuya transformación inversa es�t = s cos�� x sin�;y = s sin�+ x cos�:

Por la regla de la cadena, tenemos que

@

@t=@

@s

@s

@t+@

@x

@x

@t=@

@scos�� @

@xsin�;

@

@y=@

@s

@s

@y+@

@x

@x

@y=@

@ssin�+

@

@xcos�:

De este modo

@2

@t2=

@

@t

@

@t=

�@

@scos�� @

@xsin�

��@

@scos�� @

@xsin�

�=

@2

@s2cos2 �+

@2

@x2sin2 �� 2 @2

@t@xcos� sin�;

@2

@y2=

@

@y

@

@y=

�@

@ssin�+

@

@xcos�

��@

@ssin�+

@

@xcos�

�=

@2

@s2sin2 �+

@2

@x2cos2 �+ 2

@2

@t@xcos� sin�;

@2

@t@y=

@

@t

@

@y=

�@

@scos�� @

@xsin�

��@

@ssin�+

@

@xcos�

�=

@2

@s2cos� sin�� @2

@x2cos� sin�+ 2

@2

@t@x(cos2 �� sin2 �);

y sustituyendo en la ecuación original tenemos

0 = 3utt � 2uty + 6uyy � 12ut � 9uy � 5u= 3

�uss cos

2 �+ uxx sin2 �� 2utx cos� sin�

��2�uss cos� sin�� uxx cos� sin�+ 2uts(cos2 �� sin2 �)

�+6�uss sin

2 �+ uxx cos2 �+ 2uts cos� sin�

��12 (us cos�� ux sin�)� 9 (us sin�+ ux cos�)� 5u

=�3 cos2 �� 2 cos� sin�+ 6 sin2 �

�uss

+�3 sin2 �+ 2 cos� sin�+ 6 cos2 �

�uxx

+�6 cos� sin�� 4(cos2 �� sin2 �)

�usx

� (12 cos�+ 9 sin�)us + (12 sin�� 9 cos�)ux � 5u:

4

Si buscamos que el coe�ciente que multiplica a usx sea 0, debe veri�carse que

6 cos� sin�� 4(cos2 �� sin2 �) = 0;

o equivalentemente4 tan2 �+ 6 tan�� 4 = 0;

de donde obtenemos que, considerando � en el primer cuadrante,

tan� =1

2;

con lo que

cos� =2p5

5; sin� =

p5

5;

quedando la ecuación original como

14

5uss +

31

5uxx �

33p5

5us �

6p5

5ux � 5u = 0;

o equivalentemente

14uss + 31uxx � 33p5us � 6

p5ux � 25u = 0: (1.6)

La siguiente etapa consiste en la eliminación de los términos de us y ux, en dos pasos. Enprimer lugar eliminaremos el término de us introduciendo la variable dependiente

w = e�su;

y calculamos � para que el término que acompaña a ws sea cero. Para ello tenemos encuenta que u = e��sw y derivamos

us = ��e��sw + e��sws;ux = e��swx;

uss = �2e��sw � 2�e��sws + e��swss;uxx = e��swxx;

y sustituimos en la ecuación (1.6) teniéndose

0 = 14uss + 31uxx � 33p5us � 6

p5ux � 25u = 0

= 14(�2e��sw � 2�e��sws + e��swss) + 31e��swxx�33

p5(��e��sw + e��sws)� 6

p5e��swx � 25e��sw

= e��s�14wss + 31wxx � [28� + 33

p5]ws � 6

p5wx + [14�

2 + 33p5� � 25]w

�;

de donde obtenemos la condición

28� + 33p5 = 0;

5

de donde

� = �33p5

28;

y teniendo en cuenta que e��s 6= 0, la ecuación se simpli�ca a

14wss + 31wxx � 6p5wx �

6854

56w = 0: (1.7)

Procediendo del mismo modo con la variable x, introduciendo la variable dependiente

q = e xw;

la ecuación (1.7) se reduce a

14qss + 31qxx �95737

868q = 0: (1.8)

Finalmente, introducimos la variables dependiente e independientes para reescalar laecuación (1.8) de la siguiente forma. En primer lugar introducimos la variable depen-diente

v =95737

868q;

y como

qss =868

95737vss;

qxx =868

95737vxx;

la ecuación (1.8) se reduce a

12152

95737vss +

26908

95737vxx � v = 0:

Finalemente, los cambios de variables independientes8<: � = s=q

1215295737

;

� = x=q

2690895737

;

hacen que teniendo en cuenta que

vss =95737

12152v�� ;

vxx =95737

26908v��;

nos quede la ecuación reducida

v�� + v�� � v = 0:

6

1.3. Ecuación del calor. Método de separación de vari-ables.

Partamos del problema 8<:ut = �

2uyy; t > 0; y 2 (0; L);u(0; y) = f(y); 0 < y < L;u(t; 0) = u(t; L) = 0; t > 0;

que es la ecuación del calor en una varilla unidimensional de longitud L con temperatura inicialf(y). La incógnita u(t; y) mide la temperatura en cada instante de tiempo y en cada punto dela barra.Una manera de resolver el problema anterior es intentar reducirlo a un problema de ecua-

ciones diferenciales ordinarias. Para ello suponemos que la solución puede expresarse de laforma

u(t; y) = T (t)Y (y);

es decir, como el producto de dos funciones reales de variable real T (t) e Y (y). Derivandoobtenemos

ut(t; y) = T 0(t)Y (y);

uyy(t; y) = T (t)Y 00(y):

Sustituyendo en la ecuación original tenemos

T 0(t)Y (y) = �2T (t)Y 00(y);

y suponiendo que las fuciones no se anulan rescribimos la ecuación como

T 0(t)

T (t)�2=Y 00(y)

Y (y):

Un lado de la igualdad solo depende de t , mientras que el contrario lo hace solo respecto de y,por lo que necesariamente ambos deben ser constantes, es decir

T 0(t)

T (t)�2=Y 00(y)

Y (y)= ��;

de donde obtenemos las ecuaciones diferenciales

T 0 + ��2T = 0;

Y 00 + �Y = 0:

Por otra parte, las condiciones de contorno se escriben como

T (t)Y (0) = u(0; y) = 0;

T (t)Y (L) = u(L; y) = 0;

7

por lo que debe veri�carse que Y (0) = Y (L) = 0. Si escribimos el problema para la función Ytenemos lo que se conoce como un problema de contorno�

Y 00 + �Y = 0;Y (0) = Y (L) = 0:

Como sabemos, las solución general de la ecuación Y 00 + �Y = 0 es de una de las siguientesformas

Si � = 0, entonces Y (y) = c1 + c2y, donde c1 y c2 son dos constantes arbitrarias.

Si � < 0, la solución es Y (y) = c1ep�y + c2e

�p�y, donde c1 y c2 son dos constantes

arbitrarias.

Si � > 0, la solución es Y (y) = c1 cos(p�y)+c2 sin(

p�y), donde c1 y c2 son dos constantes

arbitrarias.

El problema se presenta a lo hora de calcular las constantes anteriores. En el primer casotendríamos que

Y (0) = c1 = 0;

eY (L) = c1 + c2L = 0;

de donde c1 = c2 = 0 y la solución sería nula. En el segundo caso, las condiciones de contornose escriben como

Y (0) = c1 + c2 = 0;

eY (L) = c1e

p�L + c2e

�p�L = 0;

que da lugar al sistema lineal �c1 + c2 = 0;

c1ep�L + c2e

�p�L = 0;

y dado que el determinante de la matriz asociada���� 1 1

ep�L e�

p�L

���� = e�p�L � ep�L 6= 0;tenemos que la única solución posible es c1 = c2 = 0 y la solución sería nuevamente nula.Finalmente, en el tercer caso

Y (0) = c1 = 0;

eY (L) = c1 cos(

p�L) + c2 sin(

p�L) = 0;

de dondec2 sin(

p�L) = 0:

8

Como las soluciones de la ecuación sin(p�L) = 0 son

� =n2�2

L2, n 2 N: (1.9)

Si de�nimos

�n =n2�2

L2;

tenemos que el problema de condiciones de contorno tiene soluciones no nulas de la forma

Yn(y) = c sin(p�ny) = c sin

�n�Ly�

para los valores de �n dados en (1.9).Para estos valores, la ecuación para la función T queda de la forma

T 0 +n2�2

L2�2T = 0;

que para cada valor de n proporciona la solución

Tn(t) = Ce��2n2�2

L2t;

lo que da lugar a la solución

un(t; y) = cn sin�n�Ly�e�

�2n2�2

L2t:

La linealidad de la ecuación nos lleva a plantear como posible solución

u(t; y) =1Xn=1

cn sin�n�Ly�e�

�2n2�2

L2t;

y utilizando la condición inicial

u(0; y) =1Xn=1

cn sin�n�Ly�= f(y); (1.10)

lo que nos lleva a plantearnos si cualquier función f(y) puede desarrollarse como en (1.10). Lasolución a esta cuestión será el desarrollo en serie de Fourier.

1.4. Series de Fourier

Consideremos una función real de variable real f(y) que sea 2L periódica, es decir, paratodo y se veri�ca la expresión

f(y) = f(y + 2L):

9

Por ejemplo, las funciones seno y coseno son 2� periódicas. De�nimos los coe�cientes de Fourier

an =1

L

Z L

�Lf(y) cos

�n�Ly�dy; n = 0; 1; 2; :::

y

bn =1

L

Z L

�Lf(y) sin

�n�Ly�dy; n = 1; 2; :::

La seriea02+

1Xn=1

�an cos

�n�Ly�+ bn sin

�n�Ly��

se conoce como serie de Fourier asociado a f(y). Por ejemplo, consideremos la función f(y) talque

f(y) =

�0 si x 2 [�1; 0);1 si x 2 [0; 1);

y es 2 periódica. Para dicha función tenemos que los coe�cientes de Fourier son

a0 =1

1

Z 1

�1f(y)dy =

Z 1

0

1dy = 1;

y para n � 1

an =1

1

Z 1

�1f(y) cos (n�y) dy =

Z 1

0

cos (n�y) dy

=

�1

n�sin (n�y)

�10

=1

n�(sin (n�)� sin (0)) = 0;

bn =1

1

Z 1

�1f(y) sin (n�y) dy =

Z 1

0

sin (n�y) dy

=

��1n�cos (n�y)

�10

=�1n�(cos (n�)� cos (0))

=

�0 si n es par;2n�

si n es impar;

por lo que la serie de Fourier asociada a f(y) será

1

2+

1Xn=1

2

(2n� 1)� sin ((2n� 1)�y) :

La cuestión radica en saber si la igualdad

f(y) =1

2+

1Xn=1

2

(2n� 1)� sin ((2n� 1)�y) (1.11)

10

se veri�ca, es decir, si f(y) puede aproximarse en forma de la serie anteriormente calculada.La respuesta a esta pregunta es a�rmativa para una familia notable de funciones, que precisa

de unas de�niciones previas para su compresión. Recordemos que una función es continua eny0 si

l��my!y0

f(y) = f(y0)

y f(y) es continua si es continua en todos sus puntos. Si f(y) no es continua en y0 puedenexistir sus límites laterales

f(y�0 ) = l��my!y0y<y0

f(y)

yf(y+0 ) = l��m

y!y0y>y0

f(y)

y la discontinuidad se tipo salto �nito si

f(y�0 )� f(y+0 )

es �nito. Finalmente, f(y) se dice continua a trozos en [�L;L] si es continua salvo en unacantidad �nita de puntos y las discontinuidades son de tipo salto �nito. Se veri�ca entonces elsiguiente resultado.

Theorem 1 Sea f : R ! R una función 2L periódica de manera que f y su derivada f 0 sonde continuas a trozos. Entonces la serie de Fourier de f dada por

a02+

1Xn=1

�an cos

�n�Ly�+ bn sin

�n�Ly��

converge a f(y) en los puntos de continuidad de f , a 12[f(y�0 )� f(y+0 )] en los puntos de discon-

tinuidad y a 12[f(L�)� f(�L+)] cuando y = �L.

El teorema anterior garantiza que la igualdad a la que hacíamos alusión en (1.11) se veri�capara y 2 (�1; 1) n f0g es igual a 1=2 para �1 y 0.

1.4.1. Funciones pares e impares

La series de Fourier tienen expresiones particulares cuando las funciones son pares o impares.Recordemos que f es par si se cumple que

f(y) = f(�y)

para todo y 2 R. Se dice que la función es impar si por el contrario la relación que se cumple es

f(y) = �f(�y):

Veamos cómo se obtiene la serie de Fourier para cada una de estas funciones.

11

Si f es par, se veri�ca que

a0 =1

L

Z L

�Lf(y)dy

= fx=�yg1

L

Z L

0

f(x)dx+1

L

Z L

0

f(y)dy

=2

L

Z L

0

f(y)dy;

an =1

L

Z L

�Lf(y) cos

�n�Ly�dy

=1

L

Z 0

�Lf(y) cos

�n�Ly�dy +

1

L

Z L

0

f(y) cos�n�Ly�dy

= fx=�yg1

L

Z L

0

f(x) cos�n�Lx�dx+

1

L

Z L

0

f(y) cos�n�Ly�dy

=2

L

Z L

0

f(y) cos�n�Ly�dy;

mientras que

bn =1

L

Z L

�Lf(y) sin

�n�Ly�dy

=1

L

Z 0

�Lf(y) sin

�n�Ly�dy +

1

L

Z L

0

f(y) sin�n�Ly�dy

= fx=�yg �1

L

Z L

0

f(x) sin�n�Lx�dx+

1

L

Z L

0

f(y) sin�n�Ly�dy

= 0;

por lo que para una función par tendremos que

f(y) =a02+

1Xn=1

an cos�n�Ly�:

Si f es impar

a0 =1

L

Z L

�Lf(y)dy

= fx=�yg �1

L

Z L

0

f(x)dx+1

L

Z L

0

f(y)dy

= 0;

12

an =1

L

Z L

�Lf(y) cos

�n�Ly�dy

=1

L

Z 0

�Lf(y) cos

�n�Ly�dy +

1

L

Z L

0

f(y) cos�n�Ly�dy

= fx=�yg �1

L

Z L

0

f(x) cos�n�Lx�dx+

1

L

Z L

0

f(y) cos�n�Ly�dy

= 0;

mientras que

bn =1

L

Z L

�Lf(y) sin

�n�Ly�dy

=1

L

Z 0

�Lf(y) sin

�n�Ly�dy +

1

L

Z L

0

f(y) sin�n�Ly�dy

= fx=�yg �1

L

Z L

0

f(x) sin�n�Lx�dx+

1

L

Z L

0

f(y) sin�n�Ly�dy

=2

L

Z L

0

f(y) sin�n�Ly�dy;

por lo que para una función par tendremos que

f(y) =1Xn=1

bn sin�n�Ly�:

1.4.2. Aplicación a ecuaciones diferenciales

Supongamos una ecuación diferencial lineal con coe�cientes constantes con función de trans-ferencia T (z). Supongamos que el sistema es asintóticamente estable, de tal manera que sif(t) = A sin(!t + �) es la entrada del sistema, se veri�ca que su salida para tiempos su�cien-temente grandes viene dada por

x(t) = AjT (i!)j sin(!t+ �+ arg T (i!)):

Supongamos ahora que la señal es periódica de periodo 2L. Dicha función puede expresarse ensu serie de Fourier

f(t) =a02+

1Xn=1

�an cos

�n�Lt�+ bn sin

�n�Lt��

=a02+

1Xn=1

(an cos (n!t) + bn sin (n!t)) ;

donde ! = �=L. Por otra parte, si escribimos (bn; an) en coordenadas polares mediante laexpresión �

bn = An cos�n;an = An sin�n;

13

podemos reescribir la expresión anterior como

f(t) =a02+

1Xn=1

(an cos (n!t) + bn sin (n!t))

=a02+

1Xn=1

(An sin�n cos (n!t) + An cos�n sin (n!t))

=a02+

1Xn=1

An sin(n!t+ �n):

Si ahora f(t) es la entrada al sistema anterior, entonces su salida para tiempos su�cientementegrandes vendrá dada por

x(t) =a02T (0) +

1Xn=1

AnjT (in!)j sin(n!t+ �n + arg T (in!)):

Dado que para casos prácticos l��mx!1 jT (ix)j = 0, por lo que l��mn!1 jT (in!)j = 0, comoconsecuencia la series de Fourier de x(t) converge a cero más rápidamente que la serie de Fourierde la señal inicial f(t).

1.4.3. Aplicación a la ecuación del calor

Si retomamos la ecuación del calor8<:ut = �

2uyy; t > 0; y 2 (0; L);u(0; y) = f(y); 0 < y < L;u(t; 0) = u(t; L) = 0; t > 0;

la teoría de Fourier nos dice que su solución formal es

u(t; y) =1Xn=1

cn sin�n�Ly�e�

�2n2�2

L2t;

donde

u(0; y) =1Xn=1

cn sin�n�Ly�= f(y):

Ahora bien, si pensamos en f(y) como una función impar 2L periódica tendremos que

cn =2

L

Z L

0

f(y) sin�n�Ly�dy;

y por tanto dicha solución formal será

u(t; y) =1Xn=1

�2

L

Z L

0

f(x) sin�n�Lx�dx

�sin�n�Ly�e�

�2n2�2

L2t: (1.12)

14

Hablamos de solución formal ya que no podemos asegurar que la expresión dada en (1.12)sea una solución. Por una parte, aunque la linealidad garantiza que una combinación lineal�nita de soluciones sea solución, nuestra combinación lineal es in�nita, por lo que tendríamosque comprobar que efectivamente es solución, es decir que es dos veces derivable y cumplela ecuación del calor. En general comprobar que las soluciones formales son soluciones es unproblema bastante dí�cil, que en el caso de la ecuación del calor se garantiza por el término

e��2n2�2

L2t. Cualitativamente hablamos de un proceso de difusión, en el que la barra va disipando

calor convergiendo muy rápidamente a 0 y suavizando cualquier irregularidad que la funciónf(y) pudiera presentar.Por ejemplo, si nuestra barra es de aluminio (con un coe�ciente �2 = 0;86) y mide 10 cm.,

y la tempreartura inicial en la barra es de 100 oC, la evolución de la tempreatura con el tiempovendrá determinada por la expresión

u(t; y) =

1Xn=1

�2

10

Z 10

0

100 sin�n�10x�dx

�sin�n�10y�e�

0;86n2�2

100t;

y como Z 10

0

100 sin�n�10x�dx = �100

hn�10cos�n�10x�i10

0

= �10n� (cos(n�)� cos 0)

=

�0 si n es par;

20n� si n es impar;

tenemos

u(t; y) =1Xn=1

4(2n� 1)� sin�(2n� 1)�

10y

�e�

0;86(2n�1)2�2100

t:

Hemos de destacar que en el desarrollo anterior tienen una gran importancia que las condi-ciones de contorno sean nulas. En general esto no tiene porqué ser así, es decir la ecuación delcalor sería 8<:

ut = �2uyy; t > 0; y 2 (0; L);

u(0; y) = f(y); 0 < y < L;u(t; 0) = g1(t); u(t; L) = g2(t); t > 0;

donde g1(t) y g2(t) son las funciones que miden la temperatura de la varilla. Un cambio de vari-able en la variable dependiente permite llevar condiciones de contorno no nulas a un problemaque sí las tenga mediante la nueva función

v(t; y) = u(t; y)� g1(t)�y

L(g2(t)� g1(t)):

Es fácil ver que ahora

v(t; 0) = u(t; 0)� g1(t) = g1(t)� g1(t) = 0;

mientras que

v(t; L) = u(t; L)� g1(t)� (g2(t)� g1(t))= g2(t)� g1(t)� (g2(t)� g1(t)) = 0;

15

por lo que tendremos condiciones de contorno nulas. La ecuación original se reescribe

0 = ut � �2uyy = vt + g01(t) +y

L(g02(t)� g01(t))� �2vyy;

por lo que tendríamos el problema8<:vt � �2vyy = �g01(t)� y

L(g02(t)� g01(t)); t > 0; y 2 (0; L);

v(0; y) = f(y)� g1(0)� yL(g2(0)� g1(0)); 0 < y < L;

v(t; 0) = v(t; L) = 0; t > 0:

Si la temperatura en los extremos de la varilla permanece constante, esto es, g1(t) = T1 yg2(t) = T2, el problema anterior se reduce a8<:

vt = �2vyy; t > 0; y 2 (0; L);

v(0; y) = f(y)� T1 � yL(T2 � T1); 0 < y < L;

v(t; 0) = v(t; L) = 0; t > 0:

1.5. Ecuación de ondas

Consideremos el problema hiperbólico8>><>>:utt = c

2uyy; t > 0; y 2 (0; L);u(0; y) = f(y); 0 < y < L;ut(0; y) = g(y); 0 < y < L;u(t; 0) = u(t; L) = 0; t > 0;

que modela la vibración mecánica de una cuerda, donde u(t; y) mide el desplazamiento respectode la horizontal en cada instante de tiempo y en cada posición de la cuerda.Con el método de separación de variable planteamos soluciones de la forma u(t; y) =

T (t)Y (y), que nos da lugar a los problemas de ecuaciones diferencales

T 00 + �c2T = 0;

y el problema de contorno �Y 00 + �Y = 0;Y (0) = Y (L) = 0;

que como sabemos tiene una familia de soluciones no nulas para los valores �n =�n�L

�2, n 2 N,

dadas porYn(y) = sin

�n�Ly�:

Para dichos valores �n tenemos las ecuaciones

T 00 + �nc2T = 0;

que tendrá por solución general

Tn(t) = an cos�n�cLt�+ bn sin

�n�cLt�;

16

pudiendo entonces plantear la solución formal

u(t; y) =

1Xn=1

Tn(t)Yn(y)

=1Xn=1

han cos

�n�cLt�+ bn sin

�n�cLt�isin�n�Ly�:

De la condición inicial

u(0; y) = f(y) =1Xn=1

an sin�n�Ly�:

Derivando formalmente u(t; y) respecto a t obtenemos

ut(t; y) =1Xn=1

h�an

n�c

Lsin�n�cLt�+ bn

n�c

Lcos�n�cLt�isin�n�Ly�;

que aplicada a la otra condición inicial

ut(0; y) = g(y) =1Xn=1

bnn�c

Lsin�n�Ly�:

Considerando de nuevo f y g como funciones impares 2L periódicas, concluimos que

an =2

L

Z L

0

f(x) sin�n�Lx�dx

y

bn =2

n�c

Z L

0

g(x) sin�n�Lx�dx

para todo n � 1.

1.6. Ecuación de Laplace

Al contrario que las ecuaciones del calor y ondas, la ecuación de Laplace es estática yrepresenta una condición de equilibrio en, por ejemplo, la temperatura de una sección plana.La ecuación del calor en dos dimensiones espaciales tiene la forma

ut = �2(uxx + uyy)

y si suponemos un equilibrio de esta función invariante respecto al tiempo, obtendríamos

uxx + uyy = 0; (1.13)

que es la ecuación de Laplace. Estas ecuaciones se plantean sólo con condiciones de contornosobre la frontera del recinto, que para los calculos prácticos tiene que tener alguna regularidad.

17

Estas condiciones de contorno son en general de dos tipos. Si R es el recinto donde se veri�cala ecuación (1.13), podemos suponer conocido u(x; y) para todo (x; y) en la frontera de R encuyo caso estaríamos hablando de una condición tipo Dirichlet. Si por el contrario suponemosque el vector normal a R en la frontera @u

@nes conocido, se trata de una condición de Neumann.

En cualquiera de los casos, la geometría del conjunto R es muy importante y sólo podemoscalcular soluciones cuando ésta cumple adecuadas condiciones de regularidad.Supongamos por ejemplo que R es el rectángulo [0; a]� [0; b] y tenemos el problema8>><>>:

uxx + uyy = 0; (x; y) 2 (0; a)� (0; b);u(x; 0) = u(x; b) = 0; 0 � x � a;u(0; y) = 0; 0 � y � b;u(a; y) = f(y); 0 � y � b;

que es de tipo Dirichlet.Si planteamos una solución de la forma u(x; y) = X(x)Y (y), construimos las ecuaciones

diferenciales

X 00 � �X = 0;

Y 00 + �Y = 0:

La segunda ecuaición da lugar al problema de contorno�Y 00 + �Y = 0;Y (0) = Y (b) = 0;

que como sabemos tiene por soluciones no nulas las funciones

Yn(y) = sin�n�by�

para los valores �n =�n�b

�2, n 2 N. La primera ecuación se reescribe entonces

X 00 � �nX = 0;

que tiene por solución general

Xn(x) = C1e�n�

bx + C2e

n�bx:

De la condición u(0; y) = 0 obtenemos que X(0) = 0, por lo que

X(0) = 0 = C1 + C2;

por lo que C2 = �C1 = cn=2, por lo que para todo natural n obtenemos la solución

un(x; y) = cnen�bx � e�n�

bx

2sin�n�by�

= cn sinh�n�bx�sin�n�by�:

18

Planteamos entonces la solución formal

u(x; y) =

1Xn=1

cn sinh�n�bx�sin�n�by�:

Utilizando la condición de contorno que nos queda

u(a; y) = f(y)

tenemos que

f(y) =1Xn=1

cn sinh�n�ab

�sin�n�by�

y considerando f como 2b periódica e impar, tenemos que

cn sinh�n�ab

�=2

b

Z b

0

f(y) sin�n�by�dy:

1.7. Ejercicios

1. Encontrar las soluciones de los siguientes problemas de contorno:

a) y00 + �y = 0; y(0) = 0; y0(L) = 0:

b) y00 + �y = 0; y0(0) = 0; y0(L) = 0:

c) y00 + �y = 0; y0(0) = 0; y(L) = 0:

d) y00 + �y = 0; y(0) = 0; y(�)� y0(�) = 0:e) y00 + �y = 0; y(0)� y0(0) = 0; y(1) = 0:f ) y00 + �y = 0; y(0)� y0(0) = 0; y(�)� y0(�) = 0:

2. Para qué valores de � tienen soluciones no triviales los siguientes problemas de contorno:

a) y00 � 2y0 + (1 + �)y = 0; y(0) = 0; y(1) = 0:b) y00 + �y = 0; y(0) = y(2�); y0(0) = y0(2�):

3. Clasi�car las siguientes EDP y encontrar su forma canónica:

a) 3uxx + 4uyy � u = 0:b) 4uxx + uxy + 4uyy + u = 0:

c) uxx + uyy + 3ux � 4uy + 25u = 0:d) uxx � 3uyy + 2ux � uy + u = 0:e) uxx � 2uxy + uyy + 3u = 0:

19

4. Encontrar los desarrollos en serie de Fourier de las siguientes funciones periódicas (se dasu valor en el intervalo [�l; l] con 2l el periodo).

a) f(x) =��1 x 2 [�1; 0);1 x 2 [0; 1]:

b) f(x) =�x x 2 [�2; 0);0 x 2 [0; 2]:

c) f(x) = x; x 2 [�1; 1]:

d) f(x) =��x x 2 [�1; 0);x x 2 [0; 1]:

e) f(x) =

8<:1 x 2 [�2; 0);0 x 2 [0; 1);1 x 2 [1; 2]:

f ) f(x) =�0 x 2 [�2; 1);1 x 2 [1; 2]:

g) f(x) =�0 x 2 [�L; 0);ex x 2 [0; L]:

h) f(x) =�e�x x 2 [�L; 0);ex x 2 [0; L]:

5. Los extremos de una barra de aluminio (�2 = 0;86) de longitud 10 metros se mantienena temperatura de 0oC. Encontrar la expresión de la temperatura de la barra para lassiguientes condiciones iniciales

a) u(0; y) = 70, 0 � y � 10.b) u(0; y) = 70 cos y, 0 � y � 10.

c) u(0; y) =�

10y y 2 [0; 5);10(10� y) y 2 [5; 10]:

d) u(0; y) =�0 y 2 [0; 3);65 y 2 [3; 10]:

6. Los extremos de una barra de cobre (�2 = 1;14) de longitud 2 metros se mantienena temperatura de 0oC. Encontrar la expresión de la temperatura de la barra para lassiguientes condiciones iniciales

a) u(0; y) = 65 cos2(�y), 0 � y � 2.b) u(0; y) = 70 sin y, 0 � y � 2.

c) u(0; y) =�

60x x 2 [0; 1);60(2� x) x 2 [1; 2]:

d) u(0; y) =�0 x 2 [0; 1);75 x 2 [1; 2]:

20

7. Un estado de equilibrio para la ecuación del calor ut = �2uxx es aquella que no varía conel tiempo. Demostrar

a) Todos los equilibrios de la ecuación del calor son de la forma u(y) = A+By:

b) Encontrar los estados de equilibrio de la ecuación del calor que cumplen u(t; 0) = T1y u(t; L) = T2.

c) Resolver el problema 8<:ut = �

2uyy; t > 0; y 2 (0; 1);u(0; y) = 75; 0 < y < 1;u(t; 0) = 20; u(t; L) = 60; t > 0:

Ayuda: Calcularla como u(t; y) = v(y)+w(t; y) donde v(y) es el estado de equilibrioasociado a las condiciones de contorno u(t; 0) = 20; u(t; L) = 60, y w(t; y) es lasolución del problema con condiciones de contorno nulas.

8. Los extremos de una barra de cobre (�2 = 1;14) de longitud 10 centímetros se mantienena temperatura de 0oC mientras que el centro de la barra es mantenido a 100oC medianteuna fuente de calor externa. Encontrar la temperatura de la barra con el tiempo para lacondición inicial

u(0; y) =

�50 x 2 [0; 5);100 x 2 [5; 10]:

Ayuda: Descomponer el problema en dos problemas de contorno con uno de los estremosen la mitad de la barra.

9. Resolver el problema 8<:ut = uyy + u; t > 0; y 2 (0; 1);u(0; y) = cos y; 0 < y < 1;u(t; 0) = 0; u(t; L) = 0; t > 0:

10. Resolver los siguientes problemas

a)

8>><>>:utt = c

2uyy; t > 0; y 2 (0; 2�);u(0; y) = cos y � 1; 0 < y < 2�;ut(0; y) = 0; 0 < y < 2�;u(t; 0) = 0; u(t; 2�) = 0; t > 0:

b)

8>><>>:utt = c

2uyy; t > 0; y 2 (0; 1);u(0; y) = 0; 0 < y < 1;ut(0; y) = 1; 0 < y < 1;u(t; 0) = 0; u(t; 1) = 0; t > 0:

c)

8>><>>:utt = c

2uyy; t > 0; y 2 (0; 3);u(0; y) = f(y); 0 < y < 3;ut(0; y) = 0; 0 < y < 3;u(t; 0) = 0; u(t; 3) = 0; t > 0:

donde f(y) =

8<:x x 2 [0; 1);1 x 2 [1; 2);

2� x x 2 [2; 3]:

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11. Una cuerda de 10 metros �jada en sus extremos se levanta por el medio hasta la distanciade un metro y se suelta. Describe su movimiento suponiendo que c2 = 1.

12. Demuestra que el cambio de coordenadas�� = y + ct;� = y � ct;

transforma la ecuación de ondas utt = c2uyy en la ecuación u�� = 0. Concluir que lasolución general de la ecuación será de la forma

u(t; y) = F (y � ct) +G(y + ct)

para funciones apropiadas F y G.

13. Demostrar que la solución del problema8>><>>:utt = c

2uyy; t > 0; y 2 (0; L);u(0; y) = f(y); 0 < y < L;ut(0; y) = g(y); 0 < y < L;u(t; 0) = 0; u(t; 3) = 0; t > 0;

es de la forma

u(t; y) =1

2(F (y � ct) + F (y + ct)) + 1

2c

Z y+ct

y�ctg(x)dx;

donde F es la extensión 2l periódica e impar de f .

14. Resolver el problema 8>><>>:utt = c

2uyy + u; t > 0; y 2 (0; L);u(0; y) = f(y); 0 < y < L;ut(0; y) = 0; 0 < y < L;u(t; 0) = 0; u(t; 3) = 0; t > 0;

15. Resolver los problemas

a)

8>><>>:ux + uyy = 0; (x; y) 2 (0; a)� (0; b);u(x; 0) = 0; 0 < x < a;u(x; b) = g(x); 0 < x < a;u(0; y) = u(a; y) = 0; 0 < y < b:

b)

8>><>>:ux + uyy = 0; (x; y) 2 (0; a)� (0; b);u(x; 0) = u(x; b) = 0; 0 < x < a;u(0; y) = g(y); 0 < y < b;u(a; y) = 0; 0 < y < b:

22

c)

8>>>><>>>>:ux + uyy = 0; (x; y) 2 (0; a)� (0; b);u(x; 0) = f(x); 0 < x < a;u(x; b) = 0; 0 < x < a;u(0; y) = g(y); 0 < y < b;u(a; y) = 0; 0 < y < b:

16. Resolver los problemas de Neuman

a)

8>><>>:ux + uyy = 0; (x; y) 2 (0; a)� (0; b);uy(x; 0) = uy(x; b) = 0; 0 < x < a;ux(0; y) = f(y); 0 < y < b;ux(a; y) = 0; 0 < y < b:

b)

8>><>>:ux + uyy = 0; (x; y) 2 (0; a)� (0; b);ux(0; y) = ux(b; y) = 0; 0 < y < b;ux(x; 0) = f(x); 0 < x < a;ux(x; b) = 0; 0 < x < a:

c)

8>>>><>>>>:ux + uyy = 0; (x; y) 2 (0; a)� (0; b);ux(0; y) = 1; 0 < y < b;ux(b; y) = 0; 0 < y < b;ux(x; 0) = 1; 0 < x < a;ux(x; b) = 0; 0 < x < a:

17. Resolver el problema 8>><>>:ux + uyy = u; (x; y) 2 (0; 1)2;u(x; 0) = u(x; 1) = 0; 0 < x < 1;u(0; y) = f(y); 0 < y < 1;u(1; y) = 0; 0 < y < 1:

23