1.1

Gráficas de Ecuaciones en dos

variables

MATE 3002

Presentación 1

Slide 1.1 - 2

Sistema de coordenadas cartesianas

• Se basa en dos líneas

perpendiculares

llamadas eje de x y eje

de y.

• Dividen el plano en

cuatro cuadrantes

• La intersección de

los dos ejes se

llama el origen.

• Cada punto P en el

plano corresponde a un

par ordenado (x, y) de

coordenadas.

• Observemos los signos

de la coordenadas.

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Al localizar un punto en el plano cartesiano, la primera

coordenada, x, indica las unidades a moverse a la izquierda o la

derecha, partiendo del origen. La segunda coordenada, y, nos

indica las unidades a moverse hacia arriba o hacia abajo.

Ejemplo:

Localizar (3, 5).

Mover 3 unidades hacia

la izquierda.

Luego, mover 5 unidades

hacia arriba.

Localiza el punto.

(–3, 5)

Localización de puntos en el plano

Slide 1.1 - 4

Identificar las coordenadas de los puntos

¿Cuáles son las

coordenadas de:

A? B? C? D? E? F? G?

Slide 1.1 - 5

Soluciones de ecuaciones

Ecuaciones en dos variables tienen soluciones que se

expresan como el par ordenado (x, y).

Ejemplos: 2x + 3y = 18

2x2 – 3y + x – 3 = 0

y =3

4𝑥−1

Una solución de una ecuación en dos variables es un par

ordenado, (a, b), para el cual la sustitución del primer

valor en x y el segundo en y produce un enunciado

cierto.

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Ejemplos

a.

Determina si el par

ordenado (5, 7) es una

solución de 2x + 3y = 18.

b.

Determina si el par

ordenado (3, 4) es una

solución de 2x + 3y = 18.

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¿Es solución de la ecuación?

(-2, -1); 2x2 – 3y + x – 3 = 0

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Gráfica de una Ecuación

La gráfica de una ecuación es un dibujo o boceto del

conjunto de todas las soluciones de una ecuación.

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Intercepto en x

El punto donde la gráfica cruza o toca el eje de x se conoce como el intercepto en x, (abreviaremos int-x).

Ejemplo:

Se presenta la gráfica de x + 2y = 7.

El intercepto en x es

(7,0).

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Intercepto en x (cont.)

El int-x es un punto con forma (a, 0).

Para hallar el valor de a, asignamos el valor de 0 a y. Luego, resolvemos para x.

Ejemplo: Deteminar el int-x de 2x + 3y = 18.

2x + 3(0) = 18

2x = 18

x = 9

El int-x es (9, 0).

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Intercept - y

Es el punto donde la gráfica cruza o toca el eje de y (abreviaremos int-y).

Ejemplo:

Se presenta la gráfica de x + 2y = 7.

El intercepto en y es

(0,3.5).

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Intercept - y

El int-y es un punto con forma (0, b).

Para hallar el valor de b, asignamos x = 0. Luego, resolvemos para y.

Ejemplo: Deteminar el int-y de 2x + 3y = 18.

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Esbozar o trazar una gráfica

Una forma de esbozar o trazar (“sketch”) la gráfica de

una ecuación es determinar suficientes soluciones

de la ecuación (puntos en la gráfica).

Ejemplo: Trazar la gráfica 2x + 3y = 18.

Debemos conseguir soluciones de la ecuación.

Ya sabemos que el int – x es: (9, 0)

Ya sabemos que el int – y es: (0, 6)

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Ejemplo: Trazar la gráfica 2x + 3y = 18

(cont.)

Determinamos una tercera solución reemplazando x con el valor de 5, y resolviendo para hallar el valor de y.

2 5 3y 18

10 3y 18

3y 8

y 8

3

Por lo tanto, es una solución. 5,8

3

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Ejemplo (cont.)

Trazar la gráfica:

2x + 3y = 18.

int-x:

(9, 0)

int-y :

(0, 6)

Tercer punto:

Ahora unimos los

puntos con una recta.

5,8

3

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Ejemplo: Trazar la gráfica y – 2x + 1= 0

Para facilitar la determinación de soluciones

reescribimos la ecuación como: y = 2x – 1 .

Luego, elegimos algunos valores para asignar a la x:

x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

Y determinamos los valores correspondientes de y

para cada valor.

Finalmente, organizamos los pares ordenados en una

tabla conocida como una tabla de valores.

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Ejemplo: Trazar la gráfica y = 2x − 1 (cont.)

Completa la tabla:

Localiza los puntos en un plano.

Una gráfica con esta forma se conoce como una recta. Es la forma

típica de una ecuación lineal.

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Otro ejemplo

Esboce la gráfica de y = x2 – 3 .

Elegir unos valores para x, luego completar la tabla de

valores:

Localizamos los puntos en un plano cartesiano:

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Ejemplo (cont.)

El punto (0, -3) parece dividir la gráfica en dos partes iguales.

A la izquierda del (0, -3), notamos que a medida que x se hace más grande, y se hace más pequeño.

La gráfica es decreciente en el lado izquierdo del (0, -3).

A la derecha del (0, -3), notamos que a medida que x se hace más grande, y también se hace más grande.

La gráfica es creciente en el lado derecho del (0, -3).

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Ejemplo (cont.)

Unimos los puntos en esta ocasión con una curva suave, (sin picos ni brincos) siguiendo el patrón que observamos.

Una gráfica con esta forma se conoce como una parábola. Es la

forma típica de una ecuación cuadrática.

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Trazar la gráfica con calculadora

gráfica: y = 9 – x2

Hallar los interceptos

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Trazar la gráfica con calculadora

gráfica: y = 9 – x2

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Trazar la gráfica con calculadora gráfica:

y = 9 – x2 (cont)

Hallar los interceptos.

En la gráfica, la escala aumenta

de uno en uno, por lo que

podemos estimar visualmente

los interceptos y luego

confirmar con la calculadora.

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Trazar la gráfica con calculadora gráfica:

y = 9 – x2 (cont)

Hallar los interceptos en x.

.

Aún en TRACE mode podemos escribir

el valor de x que queremos evaluar y

oprimir ENTER.

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Para copiar la gráfica de la pantalla de la calculadora al

papel, debes llenar la tabla para otros valores de y.

Llenamos la tabla y luego localizamos los puntos:

Trazar la gráfica con calculadora gráfica: y = 9 – x2 (cont)

x -4 -2 2 4

y

Oprimimos 2ND WINDOW, para

configurar la tabla que va a producir la

calculadora.

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Localiza los puntos en un plano cartesiano:

• El punto (0, 9) parece

dividir la gráfica en dos

partes iguales.

• A la izquierda del (0, 9):

a medida que x se

hace más grande, y se

hace más grande. (La

gráfica es creciente.)

• A la derecha de este

punto: a medida que x

se hace más grande, y

se hace más pequeño.

(La gráfica es

decreciente.)

Esboce la gráfica: y = 9 – x2

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Esboce la gráfica: y = 9 – x2

• Unir los puntos

con una curva

suave, (sin

picos ni brincos)

siguiendo el

patrón que se

describió.