Post on 28-Jan-2016
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Computacion InteligenteComputacion Inteligente
Sistemas fuzzy en entornos crisp
2
ContenidoContenido
Sistemas fuzzy linguisticos: Funcionamiento
Interfaces con el mundo crisp.
Fuzzificacion y defuzzificacion
Sistemas fuzzy tipo Mamdani
Sistemas Takagi-Sugeno
3
Sistemas fuzzy linguisticos:
Funcionamiento
4
Input
Sistemas fuzzy linguisticos: funcionamientoSistemas fuzzy linguisticos: funcionamiento
Fuzzy Knowledge base
InferenceEngine
OutputEntrada
lingüística
Salidalingüística
5
El mecanismo de InferenciaEl mecanismo de Inferencia
Usando las reglas fuzzy del tipo If-Then convierte la entrada fuzy en una salida fuzy
razonamiento fuzzy
6
El mecanismo de inferencia El mecanismo de inferencia
El mecanismo de inferencia se compone de algun metodo de razonamiento fuzzy:
Inferencia Relacional,
Mamdani,
. . .
y la agregacion
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La base de conocimientosLa base de conocimientos
La base de conocimientos se compone de
La base de reglas
La base de datos
La base de conocimientos se puede obtener a partir de
• Conocimiento “experto”• A partir de datos
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La base de conocimientosLa base de conocimientos
La base de reglas
1 1 1: IF is THEN is
. . .
: IF is THEN is
...
: IF THEN
i i i
K K K
R x A y B
R x A y B
R x A y B
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La base de conocimientosLa base de conocimientos
La base de datos
• Limites de los dominios X y Y
• Definicion matematica de los terminos linguisticos en los conjuntos fuzzy correspondientes:
La “base de conocimientos” esta constituida por:
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Interfaces con el mundo crisp
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Fuzificación y defuzificaciónFuzificación y defuzificación
En general, las entradas y salidas de un Sistema de inferencia fuzzy son terminos fuzzy μA’(x) y μB’(y)
Sin embargo, en un sistema fisico real usualmente se desea tener valores crisp.
Son necesarios entonces los bloques Fuzificador y defuzificador
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FuzificaciónFuzificación
La interfaz de fuzificacion
Transforma los valores crisp de entrada a un conjunto fuzzy
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FuzificaciónFuzificación
La salida del fuzificador no es un valor de pertenencia sino una funcion de pertenencia
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Seleccion de la funcion de fuzificacionSeleccion de la funcion de fuzificacion
Un conjunto singleton asume que los datos observados no contienen vaguedad
Cuando hay incertidumbre, la fuzificacion convierte los datos probabilisticos en numeros fuzzy
1
x0
F(x)
x
Singleton
1
x0
F(x)
xbase
Numero fuzzy
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DefuzificaciónDefuzificación
La interfaz de defuzificacion
Convierte un conjunto difuso a un valor crisp.
Es la extraccion del valor crisp que mejor represente al conjunto fuzzy
En muchas aplicaciones practicas es necesario tener a la salida un valor crisp
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Seleccion de la funcion defuzificacionSeleccion de la funcion defuzificacion
No existe un procedimiento sistematico para seleccionar una buena estrategia de defuzificacion
La seleccion toma en consideracion las propiedades de la aplicacion en cada caso
Existen diferentes metodos
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Defuzz.: Centro de gravedadDefuzz.: Centro de gravedad
• Metodo del Centro de gravedad
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Defuzz.: Bisector de areaDefuzz.: Bisector de area
Areas iguales
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Defuzzyficación: Media de los centrosDefuzzyficación: Media de los centros
• Metodo de la Media de los centros:
'1
'1
i
i
K
i B iiK
B ii
y yy
y
20
Varios esquemas de defuzzificacionVarios esquemas de defuzzificacion
21
Varios esquemas de defuzzificacionVarios esquemas de defuzzificacion
( )
,( )
A
ZCOA
A
Z
z zdz
zz dz
( )
,( )
A
ZCOA
A
Z
z zdz
zz dz
( ) ( ) ,BOA
BOA
z
A A
z
z dz z dz
( ) ( ) ,BOA
BOA
z
A A
z
z dz z dz
*
,
{ ; ( ) }
ZMOM
Z
A
zdz
zdz
where Z z z
*
,
{ ; ( ) }
ZMOM
Z
A
zdz
zdz
where Z z z
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Sistemas fuzzy linguisticos en entornos crispSistemas fuzzy linguisticos en entornos crisp
Fuzzy Knowledge base
Input FuzzifierInference
EngineDefuzzifier Output
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Ejemplo: modelado del nivel de liquidoEjemplo: modelado del nivel de liquido
Entrada: singleton salida: metodo del centroide
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Estructura de los sistemas fuzzyEstructura de los sistemas fuzzy
Un sistema fuzzy puede verse desde dos puntos de vista
• Vista externa
- Relacion de entrada-salida no lineal
• Vista interna
- La base de reglas: Interfaz con el usuario
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Vista externa de un sistema fuzzyVista externa de un sistema fuzzy
Un sistema fuzzy es un mapeo no lineal
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Vista externa de un sistema fuzzyVista externa de un sistema fuzzy
Superficie total de entrada-salida
Fuzzy Knowledge base
Fuzzy Knowledge base
I nput Fuzzifi erI nference
EngineDefuzzifier OutputI nput Fuzzifi er
I nferenceEngine
Defuzzifier Output
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Vista interna de un sistema fuzzyVista interna de un sistema fuzzy
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Tipos de sistemas FuzzyTipos de sistemas Fuzzy
Sistemas fuzzy Mamdani
• Usados en muchas aplicaciones
Sistemas Sugeno
• Usados en aplicaciones donde es necesaria una aproximacion sistematica (analisis)
• Modelado fuzzy basado en datos
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Sistemas fuzzy tipo Mamdani
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Modelo Mamdani en entornos crispModelo Mamdani en entornos crisp
El consecuente de las reglas son conjuntos fuzzy
Las etapas de fuzificacion y defuzificacion realizan la interfaz con el entorno crisp
Fuzzy Knowledge base
Fuzzy Knowledge base
I nput Fuzzifi erI nference
EngineDefuzzifier OutputI nput Fuzzifi er
I nferenceEngine
Defuzzifier Output
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Ejemplo Ejemplo
R1 : IF X is small THEN Y is small
R2 : IF X is medium THEN Y is medium
R3 : IF X is large THEN Y is large
Composicion: Max-min Defuzificacion: centroide
mam1.m
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EjemploEjemplo
R1: IF X is small AND Y is small THEN Z is negative large
R2: IF X is small AND Y is large THEN Z is negative small
R3: IF X is large AND Y is small THEN Z is positive small
R4: IF X is large AND Y is large THEN Z is positive large
Composicion: Max-min Defuzificacion: centroide
Salidamam2.m
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Modelo Mamdani singletonModelo Mamdani singleton
Los conjuntos fuzzy del consecuente son singleton
bi son numeros reales
cada regla tiene su propio bi
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Modelo Mamdani singletonModelo Mamdani singleton
Los conjuntos fuzzy del consecuente son singleton
DefuzificacionCOG
bi son numeros reales
cada regla tiene su propio bi
35
El modelo MamdaniEl modelo Mamdani
Definidos todos los parametros
El algoritmo fuzzy debe implementar la siguiente funcion crisp
El consecuente es un conjunto singleton
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El modelo MamdaniEl modelo Mamdani
El algoritmo fuzzy debe implementar la siguiente funcion crisp
con funciones de pertenencia
Gaussianas en el antecedente
37
El modelo MamdaniEl modelo Mamdani
Definidos todos los parametros, con funciones de pertenencia Gaussianas en el antecedente
El algoritmo fuzzy debe implementar la siguiente funcion crisp
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Computacion InteligenteComputacion Inteligente
Sistemas Takagi-Sugeno
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ContenidoContenido
El modelo Takagi-Sugeno
Un caso especial: El modelo Singleton
Un caso especial: Salida lineal
Sistemas fuzzy Takagi-Sugeno dinamicos
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El modelo Takagi-Sugeno
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Modelos Fuzzy SugenoModelos Fuzzy Sugeno
Tambien conocidos como modelos fuzy TSK
• Takagi, Sugeno & Kang, 1985
Objetivo: generacion de reglas fuzy a partir de un conjunto de datos de entrada/salida
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Modelos fuzzy Tipo SugenoModelos fuzzy Tipo Sugeno
Combina conjuntos fuzzy en el antecedente con una funcion crisp en la salida
Reglas de la forma:
donde
• es un vector de parametros.
• Las funciones tienen la misma estructura
1 1IF is AND AND is THEN ,i i i i in nx A x A y f x
La salida x es crisp
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Consecuente en sistemas fuzzy TSConsecuente en sistemas fuzzy TS
En general
0 1 1, ,i i i i i i in ny x f x g x g x
El consecuente es affine respecto los parametros (lineal en los parametros)
44
Consecuente en sistemas fuzzy TSConsecuente en sistemas fuzzy TS
Sistema fuzzy propuesto por Takagi-Sugeno (1985)
1 1 0,i i i i in ny x x x
El consecuente es affine respecto los parametros (lineal en los parametros)
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Sistemas fuzzy Takagi-Sugeno (1985)Sistemas fuzzy Takagi-Sugeno (1985)
Cada regla puede ser considerada como un modelo affine local.
Los modelos locales son combinados en el proceso de agregacion para obtener la salida
0,i i T iiy x x
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Inferencia en sistemas fuzzy TSInferencia en sistemas fuzzy TS
Para la interseccion y la implicacion se utiliza el operador producto.
La salida es
47
Inferencia en sistemas fuzzy TSInferencia en sistemas fuzzy TS
indica el peso relativo con que
contribuye la regla i en la salida.
1
, ,K
i ii
i
y x x y x
1
ii K
ii
xx
x
Grado de cumplimiento normalizado
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Inferencia en sistemas fuzzy TSInferencia en sistemas fuzzy TS
Definidos todos los parametros
El algoritmo fuzzy debe implementar la siguiente funcion crisp
49
Un caso especial:
El modelo Singleton
50
El modelo singleton: caso especialEl modelo singleton: caso especial
La funcion de salida es un valor constante
bi son numeros reales
cada regla tiene su propio bi
51
El modelo singleton SugenoEl modelo singleton Sugeno
Definidos todos los parametros
El algoritmo fuzzy debe implementar la siguiente funcion crisp
Se puede interpretar como un modelo Mamdani
52
El modelo singleton es un caso especial de las expansiones en funciones base
Expansiones en funciones baseExpansiones en funciones base
53
Interpolacion multilinear ocurre si:
• Funciones de pertenencia de entrada:
trapezoidales o triangulares
• Formando una particion fuzzy
• El conectivo AND es representado por el operador producto
El modelo singleton: interpolacionEl modelo singleton: interpolacion
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Un ejemplo de interpolacionUn ejemplo de interpolacion
Mapeo de entrada-salida lineal a trozos resultante
55
El modelo singletonEl modelo singleton
Definidos todos los parametros, con funciones de pertenencia Gaussianas en el antecedente
El algoritmo fuzzy debe implementar la siguiente funcion crisp
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Un caso especial:
Salida lineal
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modelos Sugeno : salida linealmodelos Sugeno : salida lineal
Reglas de la forma
La salida es
IF is THEN i ii ix A y a x b
1
K
i i ii
y x x a x b
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modelos Sugeno : salida linealmodelos Sugeno : salida lineal
La salida es
IF is THEN i ii ix A y a x b
Lineal en los parametros, cuasi-lineal en x
1
K
i i ii
y x x a x b
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Ejemplo 1: Una sola entrada
60
modelos Sugeno: ejemplo 1modelos Sugeno: ejemplo 1
IF x is small THEN Y = 0.1x + 6.4
IF X is medium THEN Y = - 0.5X + 4
IF X is large THEN Y = X - 2
Si “small”, “medium” y “large” son conjuntos crisp entonces la curva total de entrada-salida es lineal a trozos
sug1.m
61
modelos Sugeno: ejemplo 1modelos Sugeno: ejemplo 1
IF x is small THEN Y = 0.1x + 6.4
IF X is medium THEN Y = - 0.5X + 4
IF X is large THEN Y = X - 2
62
modelos Sugeno: ejemplo 1modelos Sugeno: ejemplo 1
IF x is small THEN Y=4
IF X is medium THEN Y=-0.5X+4
IF X is large THEN Y=X-1
Sin embargo, si tenemos funciones de pertenencia suaves (reglas fuzzy) la curva total de entrada-salida es suave
63
modelos Sugeno: ejemplo 1modelos Sugeno: ejemplo 1
IF x is small THEN Y=4
IF X is medium THEN Y=-0.5X+4
IF X is large THEN Y=X-1
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Ejemplo 2: Dos entradas
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modelos Sugeno: ejemplo 2modelos Sugeno: ejemplo 2
Dos entradas una salida con 4 reglas
IF X is small AND Y is small THEN z=-x+y+1
IF X is small AND Y is large THEN z=-y+3
IF X is large AND Y is small THEN z=-x+3
IF X is large AND Y is large THEN z=x+y+2
sug2.m
66
modelos Sugeno: ejemplo 2modelos Sugeno: ejemplo 2
MFs de los antecedentes
67
modelos Sugeno: ejemplo 2modelos Sugeno: ejemplo 2
Superficie total de entrada-salida
68
Construya un modelo Sugeno para el ejemplo 1 usando el GUI del Toolbox Fuzzy de Matlab
Ejercicio 1Ejercicio 1
69
Construya un modelo Sugeno para el ejemplo 2 usando el GUI del Toolbox Fuzzy de Matlab
Ejercicio 2Ejercicio 2
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Sistemas fuzzy Takagi-Sugeno dinamicos
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Sistemas fuzzy TS dinamicosSistemas fuzzy TS dinamicos
Modelado de sistemas dinamicos no lineales
Cada regla representa una aproximacion lineal del sistema no lineal en un punto de operación determinado
IF is THEN i i ii
i
x A x Bux Ay C x
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Sistemas fuzzy TS dinamicosSistemas fuzzy TS dinamicos
Un sistema TS dinamico es un “scheduling” fuzzy
1 1
K K
i i i ii i
x x A x x B u
1 1
K K
i i i ii i
y x C x x D u
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FuentesFuentes
J.-S. Roger Jang, Slides for Fuzzy Sets, Ch. 2 of Neuro-Fuzzy and Soft Computing. CS Dept., Tsing Hua Univ., Taiwan.
J.-S. Roger Jang and C-T Sung, Neuro-Fuzzy Modeling and Control. Proceedings of the IEEE, March 1995.
Robert Babuska. Fuzzy and neural control. DISC Course Lecture Notes (October 2001)
Robert Babuska. Course Fuzzy and Neural Control, 2001/2002.
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René Jager, Fuzzy Logic in Control. PHD thesis, 1995.
Javier Echauz, Sistemas y Controles Inteligentes, Universidad de Puerto Rico, 2000
L.X. Wang, “Adaptive Fuzzy Systems and Control: Design and Stability Analysis”, Prentice-Hall, 1.994
75
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J. Galindo Gómez, Conjuntos y Sistemas Difusos (Lógica Difusa y Aplicaciones). Departamento de Lenguajes y Ciencias de la Computación, Universidad de Málaga, 2002?
Vojislav Kecman, Fuzzy logic basics. Slides accompanying the MIT Press book: Learning and Soft Computing. 2001
76
FuentesFuentes
Djamel Bouchaffra, Soft Computing (Lecture Notes). Oakland University. Fall 2005
K. Ahmad, B. Vrusias, M. Casey, Artificial Intelligence (Lecture Notes). Center for Knowledge Management. Department of Computing. University of Surrey. September 2004