1 Computacion Inteligente Sistemas fuzzy en entornos crisp.

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Computacion InteligenteComputacion Inteligente

Sistemas fuzzy en entornos crisp

2

ContenidoContenido

Sistemas fuzzy linguisticos: Funcionamiento

Interfaces con el mundo crisp.

Fuzzificacion y defuzzificacion

Sistemas fuzzy tipo Mamdani

Sistemas Takagi-Sugeno

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Sistemas fuzzy linguisticos:

Funcionamiento

4

Input

Sistemas fuzzy linguisticos: funcionamientoSistemas fuzzy linguisticos: funcionamiento

Fuzzy Knowledge base

InferenceEngine

OutputEntrada

lingüística

Salidalingüística

5

El mecanismo de InferenciaEl mecanismo de Inferencia

Usando las reglas fuzzy del tipo If-Then convierte la entrada fuzy en una salida fuzy

razonamiento fuzzy

6

El mecanismo de inferencia El mecanismo de inferencia

El mecanismo de inferencia se compone de algun metodo de razonamiento fuzzy:

Inferencia Relacional,

Mamdani,

. . .

y la agregacion

7

La base de conocimientosLa base de conocimientos

La base de conocimientos se compone de

La base de reglas

La base de datos

La base de conocimientos se puede obtener a partir de

• Conocimiento “experto”• A partir de datos

8


La base de reglas

1 1 1: IF is THEN is

. . .

: IF is THEN is

...

: IF THEN

i i i

K K K

R x A y B

R x A y B

R x A y B

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La base de datos

• Limites de los dominios X y Y

• Definicion matematica de los terminos linguisticos en los conjuntos fuzzy correspondientes:

La “base de conocimientos” esta constituida por:

10

Interfaces con el mundo crisp

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Fuzificación y defuzificaciónFuzificación y defuzificación

En general, las entradas y salidas de un Sistema de inferencia fuzzy son terminos fuzzy μA’(x) y μB’(y)

Sin embargo, en un sistema fisico real usualmente se desea tener valores crisp.

Son necesarios entonces los bloques Fuzificador y defuzificador

12

FuzificaciónFuzificación

La interfaz de fuzificacion

Transforma los valores crisp de entrada a un conjunto fuzzy

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FuzificaciónFuzificación

La salida del fuzificador no es un valor de pertenencia sino una funcion de pertenencia

14

Seleccion de la funcion de fuzificacionSeleccion de la funcion de fuzificacion

Un conjunto singleton asume que los datos observados no contienen vaguedad

Cuando hay incertidumbre, la fuzificacion convierte los datos probabilisticos en numeros fuzzy

1

x0

F(x)

x

Singleton

1

x0

F(x)

xbase

Numero fuzzy

15

DefuzificaciónDefuzificación

La interfaz de defuzificacion

Convierte un conjunto difuso a un valor crisp.

Es la extraccion del valor crisp que mejor represente al conjunto fuzzy

En muchas aplicaciones practicas es necesario tener a la salida un valor crisp

16

Seleccion de la funcion defuzificacionSeleccion de la funcion defuzificacion

No existe un procedimiento sistematico para seleccionar una buena estrategia de defuzificacion

La seleccion toma en consideracion las propiedades de la aplicacion en cada caso

Existen diferentes metodos

17

Defuzz.: Centro de gravedadDefuzz.: Centro de gravedad

• Metodo del Centro de gravedad

18

Defuzz.: Bisector de areaDefuzz.: Bisector de area

Areas iguales

19

Defuzzyficación: Media de los centrosDefuzzyficación: Media de los centros

• Metodo de la Media de los centros:

'1

'1

i

i

K

i B iiK

B ii

y yy

y

20

Varios esquemas de defuzzificacionVarios esquemas de defuzzificacion

21

Varios esquemas de defuzzificacionVarios esquemas de defuzzificacion

( )

,( )

A

ZCOA

A

Z

z zdz

zz dz

( )

,( )

A

ZCOA

A

Z

z zdz

zz dz

( ) ( ) ,BOA

BOA

z

A A

z

z dz z dz

( ) ( ) ,BOA

BOA

z

A A

z

z dz z dz

*

,

{ ; ( ) }

ZMOM

Z

A

zdz

zdz

where Z z z

*

,

{ ; ( ) }

ZMOM

Z

A

zdz

zdz

where Z z z

22

Sistemas fuzzy linguisticos en entornos crispSistemas fuzzy linguisticos en entornos crisp


Input FuzzifierInference

EngineDefuzzifier Output

23

Ejemplo: modelado del nivel de liquidoEjemplo: modelado del nivel de liquido

Entrada: singleton salida: metodo del centroide

24

Estructura de los sistemas fuzzyEstructura de los sistemas fuzzy

Un sistema fuzzy puede verse desde dos puntos de vista

• Vista externa

- Relacion de entrada-salida no lineal

• Vista interna

- La base de reglas: Interfaz con el usuario

25

Vista externa de un sistema fuzzyVista externa de un sistema fuzzy

Un sistema fuzzy es un mapeo no lineal

26

Vista externa de un sistema fuzzyVista externa de un sistema fuzzy

Superficie total de entrada-salida



I nput Fuzzifi erI nference

EngineDefuzzifier OutputI nput Fuzzifi er

I nferenceEngine

Defuzzifier Output

27

Vista interna de un sistema fuzzyVista interna de un sistema fuzzy

28

Tipos de sistemas FuzzyTipos de sistemas Fuzzy

Sistemas fuzzy Mamdani

• Usados en muchas aplicaciones

Sistemas Sugeno

• Usados en aplicaciones donde es necesaria una aproximacion sistematica (analisis)

• Modelado fuzzy basado en datos

29

Sistemas fuzzy tipo Mamdani

30

Modelo Mamdani en entornos crispModelo Mamdani en entornos crisp

El consecuente de las reglas son conjuntos fuzzy

Las etapas de fuzificacion y defuzificacion realizan la interfaz con el entorno crisp



I nput Fuzzifi erI nference

EngineDefuzzifier OutputI nput Fuzzifi er

I nferenceEngine

Defuzzifier Output

31

Ejemplo Ejemplo

R1 : IF X is small THEN Y is small

R2 : IF X is medium THEN Y is medium

R3 : IF X is large THEN Y is large

Composicion: Max-min Defuzificacion: centroide

mam1.m

32

EjemploEjemplo

R1: IF X is small AND Y is small THEN Z is negative large

R2: IF X is small AND Y is large THEN Z is negative small

R3: IF X is large AND Y is small THEN Z is positive small

R4: IF X is large AND Y is large THEN Z is positive large

Composicion: Max-min Defuzificacion: centroide

Salidamam2.m

33

Modelo Mamdani singletonModelo Mamdani singleton

Los conjuntos fuzzy del consecuente son singleton

bi son numeros reales

cada regla tiene su propio bi

34

Modelo Mamdani singletonModelo Mamdani singleton

Los conjuntos fuzzy del consecuente son singleton

DefuzificacionCOG



35

El modelo MamdaniEl modelo Mamdani

Definidos todos los parametros

El algoritmo fuzzy debe implementar la siguiente funcion crisp

El consecuente es un conjunto singleton

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con funciones de pertenencia

Gaussianas en el antecedente

37


Definidos todos los parametros, con funciones de pertenencia Gaussianas en el antecedente


38

Computacion InteligenteComputacion Inteligente

Sistemas Takagi-Sugeno

39

ContenidoContenido

El modelo Takagi-Sugeno

Un caso especial: El modelo Singleton

Un caso especial: Salida lineal

Sistemas fuzzy Takagi-Sugeno dinamicos

40

El modelo Takagi-Sugeno

41

Modelos Fuzzy SugenoModelos Fuzzy Sugeno

Tambien conocidos como modelos fuzy TSK

• Takagi, Sugeno & Kang, 1985

Objetivo: generacion de reglas fuzy a partir de un conjunto de datos de entrada/salida

42

Modelos fuzzy Tipo SugenoModelos fuzzy Tipo Sugeno

Combina conjuntos fuzzy en el antecedente con una funcion crisp en la salida

Reglas de la forma:

donde

• es un vector de parametros.

• Las funciones tienen la misma estructura

1 1IF is AND AND is THEN ,i i i i in nx A x A y f x

La salida x es crisp

43

Consecuente en sistemas fuzzy TSConsecuente en sistemas fuzzy TS

En general

0 1 1, ,i i i i i i in ny x f x g x g x

El consecuente es affine respecto los parametros (lineal en los parametros)

44

Consecuente en sistemas fuzzy TSConsecuente en sistemas fuzzy TS

Sistema fuzzy propuesto por Takagi-Sugeno (1985)

1 1 0,i i i i in ny x x x

El consecuente es affine respecto los parametros (lineal en los parametros)

45

Sistemas fuzzy Takagi-Sugeno (1985)Sistemas fuzzy Takagi-Sugeno (1985)

Cada regla puede ser considerada como un modelo affine local.

Los modelos locales son combinados en el proceso de agregacion para obtener la salida

0,i i T iiy x x

46

Inferencia en sistemas fuzzy TSInferencia en sistemas fuzzy TS

Para la interseccion y la implicacion se utiliza el operador producto.

La salida es

47


indica el peso relativo con que

contribuye la regla i en la salida.

1

, ,K

i ii

i

y x x y x

1

ii K

ii

xx

x

Grado de cumplimiento normalizado

48




49

Un caso especial:

El modelo Singleton

50

El modelo singleton: caso especialEl modelo singleton: caso especial

La funcion de salida es un valor constante



51

El modelo singleton SugenoEl modelo singleton Sugeno



Se puede interpretar como un modelo Mamdani

52

El modelo singleton es un caso especial de las expansiones en funciones base

Expansiones en funciones baseExpansiones en funciones base

53

Interpolacion multilinear ocurre si:

• Funciones de pertenencia de entrada:

trapezoidales o triangulares

• Formando una particion fuzzy

• El conectivo AND es representado por el operador producto

El modelo singleton: interpolacionEl modelo singleton: interpolacion

54

Un ejemplo de interpolacionUn ejemplo de interpolacion

Mapeo de entrada-salida lineal a trozos resultante

55

El modelo singletonEl modelo singleton

Definidos todos los parametros, con funciones de pertenencia Gaussianas en el antecedente


56

Un caso especial:

Salida lineal

57

modelos Sugeno : salida linealmodelos Sugeno : salida lineal

Reglas de la forma

La salida es

IF is THEN i ii ix A y a x b

1

K

i i ii

y x x a x b

58

modelos Sugeno : salida linealmodelos Sugeno : salida lineal

La salida es

IF is THEN i ii ix A y a x b

Lineal en los parametros, cuasi-lineal en x

1

K

i i ii

y x x a x b

59

Ejemplo 1: Una sola entrada

60

modelos Sugeno: ejemplo 1modelos Sugeno: ejemplo 1

IF x is small THEN Y = 0.1x + 6.4

IF X is medium THEN Y = - 0.5X + 4

IF X is large THEN Y = X - 2

Si “small”, “medium” y “large” son conjuntos crisp entonces la curva total de entrada-salida es lineal a trozos

sug1.m

61


IF x is small THEN Y = 0.1x + 6.4

IF X is medium THEN Y = - 0.5X + 4

IF X is large THEN Y = X - 2

62


IF x is small THEN Y=4

IF X is medium THEN Y=-0.5X+4

IF X is large THEN Y=X-1

Sin embargo, si tenemos funciones de pertenencia suaves (reglas fuzzy) la curva total de entrada-salida es suave

63


IF x is small THEN Y=4

IF X is medium THEN Y=-0.5X+4

IF X is large THEN Y=X-1

64

Ejemplo 2: Dos entradas

65


Dos entradas una salida con 4 reglas

IF X is small AND Y is small THEN z=-x+y+1

IF X is small AND Y is large THEN z=-y+3

IF X is large AND Y is small THEN z=-x+3

IF X is large AND Y is large THEN z=x+y+2

sug2.m

66


MFs de los antecedentes

67


Superficie total de entrada-salida

68

Construya un modelo Sugeno para el ejemplo 1 usando el GUI del Toolbox Fuzzy de Matlab

Ejercicio 1Ejercicio 1

69

Construya un modelo Sugeno para el ejemplo 2 usando el GUI del Toolbox Fuzzy de Matlab

Ejercicio 2Ejercicio 2

70

Sistemas fuzzy Takagi-Sugeno dinamicos

71

Sistemas fuzzy TS dinamicosSistemas fuzzy TS dinamicos

Modelado de sistemas dinamicos no lineales

Cada regla representa una aproximacion lineal del sistema no lineal en un punto de operación determinado

IF is THEN i i ii

i

x A x Bux Ay C x

72

Sistemas fuzzy TS dinamicosSistemas fuzzy TS dinamicos

Un sistema TS dinamico es un “scheduling” fuzzy

1 1

K K

i i i ii i

x x A x x B u

1 1

K K

i i i ii i

y x C x x D u

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FuentesFuentes

J.-S. Roger Jang, Slides for Fuzzy Sets, Ch. 2 of Neuro-Fuzzy and Soft Computing. CS Dept., Tsing Hua Univ., Taiwan.

J.-S. Roger Jang and C-T Sung, Neuro-Fuzzy Modeling and Control. Proceedings of the IEEE, March 1995.

Robert Babuska. Fuzzy and neural control. DISC Course Lecture Notes (October 2001)

Robert Babuska. Course Fuzzy and Neural Control, 2001/2002.

74

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René Jager, Fuzzy Logic in Control. PHD thesis, 1995.

Javier Echauz, Sistemas y Controles Inteligentes, Universidad de Puerto Rico, 2000

L.X. Wang, “Adaptive Fuzzy Systems and Control: Design and Stability Analysis”, Prentice-Hall, 1.994

75

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J. Galindo Gómez, Conjuntos y Sistemas Difusos (Lógica Difusa y Aplicaciones). Departamento de Lenguajes y Ciencias de la Computación, Universidad de Málaga, 2002?

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FuentesFuentes

Djamel Bouchaffra, Soft Computing (Lecture Notes). Oakland University. Fall 2005

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