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ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
31SISTEMA HELICOIDAL
MOTIVACIÓN
Los Árabes fueron los verdaderos sistematizadores del Álgebra.
A fines del siglo VIII floreció la escuela de Bagdad a la que pertenecían al Juarismi, al Batani y Omar K.hayyan.Al Juarismi, persa del siglo IX, escribió el primer libro de Algebra y le dio nombre a esta ciencia.
Al Batani, sirio (858 - 929), aplicó el Algebra a problemas astronómicos. Y Omar Khayyan persa del siglo XII,conocido por sus poemas escritos en «Rubayat», escribió un tratado de Algebra. «Querer es poder, tú quieres, luegopuedes».
Concepto :Es la operación que consiste en multiplicar un nú-
mero llamado base tantas veces como factor, como loindica otro llamado exponente, para obtener un resul-tado llamado potencia.
Así tenemos:
EXPONENTE
Notación:
b = Pn
donde: b basen exponenteP potencia
Luego:
)factores”n(“veces”n“
bbbbbn =
Ejemplos:
•32222222
veces5
5
3225
Es base : 2Es exponente : 5Es potencia : 32
•4
4 factores
(–3) (–3)(–3)(–3)(–3) 81
81)3(– 4
Es base : –3Es exponente : 4Es potencia : 81
•25
25 f ac tor esx x x x x
•30
x x x x30 veces
•52
52 f a c tor e s
x x x x2 2 2 2
•42 2 2 2 2 16
3 3 3 3 3 81
42 16
3 81
POTENCIACIÓN
CAPÍTULO
01OBJETIVOS
Las leyes de exponentes tiene por objeto estudiar todas las clases de exponentes que existen y las relaciones que se danentre ellos; y la operación que da origen al exponente es la potenciación.
ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
32 PASCUAL SACO OLIVEROS
Donde:
Es base : 23
Es exponente : 4
Es potencia : 1681
•25 2 2 22
25 f a c tor e sx x x x( )
• x 1
(x 1) f a c tor e sx x x x x
• (a + b)3 = (a + b) (a + b) (a + b)
Recíprocamente de acuerdo a la definición depotenciación se verifica:
•25
25 veces2 2 2 2 2
• 30x x x x x
30 f ac tor e sx x x x x
•80
80 f a c tor e s
(–3) (–3) (–3) (–3) (–3)
•
m n3 3 3 3 3
(m n) f a c tor e s
p p p p pq q q q q
Ejemplos Diversos:• –34 = –3 × 3 × 3 × 3 = –81• (–3)4 = (–3) (–3) (–3) (–3) = +81• (3x)4 = (3x) (3x) (3x) (3x)• 3x4 = 3x x x x• (– 3x)4 = (–3x) (–3x) (–3x) (–3x)• – 3x4 = – 3 x x x x
•43 3 3 3 3 81
x x x
•43 3 3 3 3
x x x x x
(*) –bn (–b)n
(**)
n na ab b
Identificación de una base y su exponente:
• En: 35 Exp. = 5Base = 3
• En: 23 x+5 Exp. = 3
Base = 2
x+5
* En : Xxx 2 Exp. = x
Base = xx2
En el Exponente anterior: X X2, se tiene:
Exp. = x2
Base = x
LEY DE LOS SIGNOS EN LA POTENCIACIÓN
(BASE POSITIVA) = +PAR
Ejemplos:• (+2)4 = + 24
(2
4) = 16
• (+x)32 = x32
(x)32 = x32
(BASE POSITIVA) = +IMPAR
Ejemplos:• (+2)5 = + 25
(2)5 = 32
• (+x)17 = + x17
(x)17 = x17
(BASE NEGATIVA) = +PAR
Ejemplo:• (–2)6 = + 26
(–2)6 = 64
• (–x)18 = + x18
(–x)18 = x18
(BASE NEGATIVA) =IMPAR
Ejemplo:• (–2)5 = – 25
(–2)5 = – 32
• (–x)21 = – x21
(1º) Es conveniente indicar la diferencia entre:–34 y (–3)4
(*) En: – 34; el exponente no afecta al signo.
–3 = 4 –81
(*) En: (–3)4; el exponente si afecta al signo.(–3)4 = + 34
(–3) = 814
Por ello: –34 (–3)4
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33SISTEMA HELICOIDAL
(2º) Debes tener presente lo siguiente:
(i) n1 1 con n
Ejemplos:• 123 = 1• 1128 = 1• 1–25 = 1
(ii) P A R(–1) 1
Ejemplos:• (–1)16 = 1• (–1)328 = 1
(iii) I M P A R(–1) –1
Ejemplos:• (–1)17 = –1• (–1)5 = –1
(iv) n0 0 con n
Ejemplos:• 017 = 0• 0120 = 0• 01256 = 0
Para realizar diversas operaciones a través de lapotenciación es necesario recordar las potencias másusuales:
POTENCIAS MÁS USUALES :
21 = 2 31 = 3 41 =4 51 = 5 71 = 7
22 = 4 32 = 9 42 =16 52 = 25 72 = 49
23 = 8 33 = 27 43 =64 53 =125 73 = 343
24 = 16 34 = 81 44 =256 54 = 625 74 =2401
25 = 32 35 = 243 45 =1024 55 = 3125
26 = 64 36 =729
27 = 128
28 = 256
29 = 512
210
EN BASE
2: 3: 4: 5: 7:
EN BASE EN BASE EN BASE EN BASE
LEYES DE EXPONENTESLos exponentes se rigen a través de leyes, normas que
estudiaremos a continuación:
Objetivos:• El objetivo es capacitar al alumno a poder identifi-
car los diferentes tipos de exponentes y las relacio-nes que se dan entre ellos, luego dar paso a la solu-ción de ejercicios mediante reglas prácticas de ex-ponentes.Para un mayor entendimiento en este capítulo, lasleyes de exponentes lo dividimos en 3 partes:(1º) Leyes de Los Exponentes I(2º) Leyes de los Exponentes II(3º) Leyes de los Exponentes IIIA continuación pasaremos a desarrollar las respec-tivas leyes contenidas en cada grupo.
LEYES DE EXPONENTES IAqui mencionaremos las leyes que son usuales dada su
forma en que se presentan:
1. Ley del exponente Cero
b = 1 ; 0
siempre y cuando : b 0Ejemplos:• (3)0 = 1 • 30 = 1
• (–3)0 = 1 • –30 = –1
• 3x0 = 3(1) = 3 • (3x)0 = 1
•01
– 12
• 3(a + b)0 = 3(1) = 3
• – 3x0y = –3(1)y = –3y
0º es indeterminado
2. Ley del exponente Uno
b = b ;1
El exponente uno ya no se escribe, se sobreentiendeEjemplos:
• 51 = 5 •11 1
3 3
• 13 3 • (a + b)1 = (a + b)
• 3x1 = 3x • 1a b a b
3. Ley del exponente de Exponentes: (cadena deexponentes)
1abcde
Para desarrollar esta expresión se toma los 2 últimostérminos (base y exponente), luego se va transfor-
ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
34 PASCUAL SACO OLIVEROS
mando de arriba hacia abajo, tomando de 2 en 2 lostérminos.Ejemplos:(*) Desarrollar:
223
Luego: 3 = 3 = 8122 4
(*) Desarrollar:01523
2Luego:
2 = 2 = 2 = 2 = 51232150321 32 9
4. Ley del exponente Negativo
b = ;_n 1
bn con b 0
*Caso Particularnn–
ab
ba
; con: a; b 0
Ejemplos:
•–2
21 1
393
•–2
21 1
– 3 – –93
•x
x1
xx
•5
5 51 1
(– 32)(– 32) 32
Tambien:
• –3 3
31 22 8
2 1
•–7 73 4
4 3
•–2 2x y
y x
Recíprocamente:
•–11
22 •
–xx
13
3
•x –x3 5
5 3
• x–11–xy x
x y
•2
2 –1 – 3
3
xx y z
yz
Si la forma del exponente es negativo:–n
n1
bb
Entonces transformamos a una expresiónfraccionaria
I. Problema desarrollado
1. Indicar de las proposiciones que afirmaciones soncorrectas:
A) 22 4 (F)
B) 2 33 3 3 (F)
C)1 11 1 5
3 2
(V)
RESOLUCION
A) 22 4 La proposiciónes falsa
B) 3 +3 = 32 3
9 + 3 = 27
12 = 27
Es falso la proposición
C)
13
12
+-1 -1
= 5
3 2+ = 5
5 = 5 La proposición es verdadera
II. Problema por desarrollar2. Indicar cuales de las afirmaciones son verdaderas
(V) o falsas (F):
A) 23 9 ................... ( )
B)1 11 1 1
4 5
............ ( )
A) 204 1 ........................... ( )
RESOLUCION
ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
35SISTEMA HELICOIDAL
1. Hallar el resultado de:
A) 3 22 2
B) 2 23 4
2. Efectuar:
A) 2 45 6
B) 2 38 2
Rpta.: .......................................................
3. Efectuar:
A) 2 22 ( 3)
B)3 45 ( 2)
Rpta.: .......................................................
4. Efectuar:
A) 5 22 ( 3)
B) 2 24 5
Rpta.: .......................................................
5. Efectuar:
K 2º ( 3)º 4º
Rpta.: .......................................................
6. Efectuar:1 2P ( 3) 2 ( 5)º
Rpta.: .......................................................
7. Efectuar:15xº (2x)º 3M
3mº
Rpta.: .......................................................
8. Efectuar:19mº 5 (m m)ºQ13
Rpta.: .......................................................
9. Efectuar:
2bº y 3yzº4ymº 3y
Rpta.: .......................................................
10. Efectuar:
23mº n 5n nyº
(3) n
Rpta.: .......................................................
11. Calcular:2 5º 1
22 3
2
Rpta.: .......................................................
12. Efectuar:
2 º 43 4 ( 2)13mº
Rpta.: .......................................................
13. Calcular:15 18 20
2( 1) 2( 1) 3( 1)
2
Rpta.: .......................................................
14. Calcular:mmº zº 1
12 4 3
3
Rpta.: .......................................................
15. Efectuar:2120 2 120K ( 2) ( 2) 2
Rpta.: .......................................................
16. Efectuar:17 20 40 1 2
40
2 5 1
m
Rpta.: .......................................................
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36 PASCUAL SACO OLIVEROS
1. Calcular:2 2 3
( 3) 3 3
A) –9 B) 27 C) –27D) 3 E) 6
2. Calcular:
3 21 12 3
A) 12 B) 17 C) –15D) 19 E) –20
3. Calcular:4
0 32 2
3 12 3
A) 13 B) 15 C) 16D) 11 E) 5
4. Efectuar:
1 21 1 12 2 3
A) 10 B) 9 C) 7D) 6 E) 5
5. Calcular:
111 1
2º 32
A) 5 B) 6 C) 1/6D) –6 E) 1/5
17. Efectuar:º 22 2 3P ( 3) 2 ( 3)
Rpta.: .......................................................
18. Efectuar:2 25 20 0 22 3 2Q 3 2 1
Rpta.: .......................................................
19. Calcular:23 5
2 3( 2) ( 3)P
3 (-2)
Rpta.: .......................................................
20. Calcular:
22
1
2 33Q
910
Rpta.: .......................................................
ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
37SISTEMA HELICOIDAL
LEYES DE EXPONENTES IIAquí mencionamos las Leyes que rigen a los expo-
nentes de acuerdo a las operaciones usuales que presen-tan las diversas expresiones.1. Multiplicación de Bases Iguales
m n m nb .b b ;
En forma extensiva:
x y z w x y z wb b b b b
Ejemplos:• 2 1+ 2 3x x = x = x• 2 4 6 2+4+6 1210 10 10 = 10 = 10• 0.2 0.7 0.1 1a a a = a = a• 2 3 4 10m m m m = m• x 3 x+32 2 = 2• x y x+y+1x x x = x
Recíprocamente:
• x+5 x 52 = 2 2
• x+1 x 1x = x x
• a+b+2 a b 210 = 10 10 10
2. División de Bases Iguales
= ;bm-nbnbm
con b 0
Ejemplos:
•x
x–55
22
2
•5
5 1 4xx x
x
•
121
21 21100
–m–m –m
–m
Si se tiene:m–n
m–n–(p–q) m–n–p qp–q
bb b
b
Luego obtendremos:
m–nm–n–p q
p–qb
bb
Regla Práctica :“La base resultante lleva como exponente una for-ma particular; donde el exponente del numeradormantiene su exponente, mientras el exponente de-nominador va a pasar con signos opuestos”Ejemplos:
•x 1
x 1–x 1 2x–1
22 2 4
2
•7
7 7 147
xx x
x
•2x–7
2x–7–2x 9 22x–9
33 3 9
3
Ejemplos Diversos:
•7 4 7 4
6 22 1 2
x y x yx y
y x x y
•5 2
5–3 23
x 1 1 xx x
2 2 22x
•15 8 15 8 15 6
10 9 9 10 9 10 2
8
a b a b a 1 a
b a a b a b b
b
Se observa:
2
6
910
815
ba
abba
OBJETIVOS
MOTIVACIÓN
«Cada uno de nosotros en cierta medida ha nacido bueno, mediocre o malo, pero al igual que la inteligencia. Elsentido moral puede ser desarrollado por la educación, la disciplina y la fuerza de voluntad».
Buscar que el alumno logre dominar las diversas operaciones que se da con los exponentes establecidos como leyes.
El camino a recorrer con estas leyes nos permitirá desarrollar a través de los ejercicios su capacidad de razonamiento.
CAPÍTULO
02
ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
38 PASCUAL SACO OLIVEROS
•7 4 5
7 5 2 4 3x yz x
z y x y z
3. Potencia de Potencia
n m.nmb b ;
qpnm m n p q
b b
Ejemplos:
• –5 3 –53 –15x x x
• 2 2 22 4x x x
• 3a 3aa a
• –1a –1 1–1 0a a a a ax x x x x
• 16(2)2222 xxx (2)(2)(2)
• 122 0(–2)(–1)(0) 2
2–1012
Recíprocamente:
• m3m 3x x
• x2x 2 x3 3 9
• 515 3x x
Si se tiene:
nm m nb b
nm n mb b
n mm nb b
m•n = n•m
Luego se cumple:
mnnm bb
Ejemplos:
• 3 xx 3 x2 2 8
• m nn mm m
•2 xx 2 x
3 3 3
no confundir:
n nm mb c on b
Pues:
n nm mb b
4. Potencia de un Producto
• p p pa b a b
• pm n q m p n p q pa b c a b c
Ejemplos:
• 5 3 5 2 53 2 15 10x y x y x y
• 2 1 2 5 25 2 10 102x 2 x 2 x 4x
• 42 3 5 8 12 20m n p m n p
• 52 3 10 15 52 3 5 2 3 5
Recíprocamente:
(*) x x x2 a = (2a)
(*) x x x x x2 3 5 = (2 3 5) = 30
(*) 2x 3x 4x 2 3 4 xx y z =(x y z )
Nota: n n3x (3x)
5. Potencia de un Cociente
pn
pmp
nm
ba
ba
; con b 0
p p
pa ab b
Ejemplos:
•52 10
3 15x x
y y
ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
39SISTEMA HELICOIDAL
1. Efectuar:
a) 2 32 2 2 =
b) 2 33 3 3 =
2. Efectuar:
a) m 2mx x =
b) 2b 3b ba a a =
Rpta.: .......................................................
•3x 3x
y 3y2 2
3 3
•2 22
2x x x2 42
•55
51 1 12 322
I. Problema desarrollado
1. Indicar de las proposiciones que afirmamos soncorrectas:
a) 3 2 62 .2 2 (F)
b) 2
2 3 7x .x x (V)
c) 32m m (F)
RESOLUCIONA) 3 2 62 .2 2
3 2 62 2
5 62 2 La proposiciónes falsa
B) 22 3 7x x = x
4 3 7x x x4 3 7x x
7 7x x La proposiciónes verdadera
3. Efectuar:
a)2 2 3 3
a b a b =
b)4 6 2 3
m n m n =
Rpta.: .......................................................
C) 32m = m
2(3)m m
6m m La proposiciónes falsa
II. Problema por desarrollar
2. Indicar cuales de las proposiciones son verdaderas(V) o falsas (F):
a) m 2 2 m 4(a ) a .......................... ( )
b) 2 3 5(x ) x .......................... ( )
c) 2 2 5 12a (a ) a .......................... ( )
RESOLUCION
Recíprocamente:
•55
5x x
yy
•x x
xx
6 62
33
•4 4
4 41 1 1
33 3
ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
40 PASCUAL SACO OLIVEROS
4. Efectuar:
a)3 6 4 2
x y x y
=
b)4 6 3 5
z y z y
=
Rpta.: .......................................................
5. Efectuar:
2 a
a3
3
=
Rpta.: .......................................................
6. Efectuar:
3m m p
n p 3m2
2
=
Rpta.: .......................................................
7. Efectuar:
23 32 2 2
P m m m m =
Rpta.: .......................................................
8. Efectuar:
2 2 24 3 3 2
M m m m m =
Rpta.: .......................................................
9. Efectuar:
3 2
3 1 22 5 3
K2 5 3
=
Rpta.: .......................................................
10. Efectuar:
1 1 1
3 3 32 3 5
M2 3 5
=
Rpta.: .......................................................
11. Efectuar:
m 2 4 2 m
2m
x x xP
x
=
Rpta.: .......................................................
12. Efectuar:
2b 3 2 b
ba a
Qa
=
Rpta.: .......................................................
13. Efectuar:
64 45M
9 320 =
Rpta.: .......................................................
14. Efectuar:
4 4
4 49 + 45
N3 15
=
Rpta.: .......................................................
15. Efectuar:
6 3 3
4 9 221 35 80
K15 14 30
=
Rpta.: .......................................................
16. Efectuar:
3 3
3 324 + 8
P12 + 4
=
Rpta.: .......................................................
17. Efectuar:
3222
P x(x )
=
Rpta.: .......................................................
ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
41SISTEMA HELICOIDAL
1. Simplificar:
x 1 x 3
x 12 2
P2
A) 3 B) 5 C) 7D) 4 E) 6
2. Efectuar:
2 2
2 22 2 2M x x x.x
A) 20x B) 23x C) 28x
D) 12x E) 18x
3. Reducir:
2 2 5 5
42 2
ax a x a x P
a x
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
4. Calcular el exponente final de x en:
2m 1 2 m
3m 2 4
(a ) a a
(a ) a
A) 9 B) –9 C) 18
D) –27 E) 27
18. Efectuar:
2 67 3
282
x xM
x
=
Rpta.: .......................................................
19. Efectuar:
3 x 2 x5 2 2M
2 5 5
=
Rpta.: .......................................................
20. Efectuar:Si aa 3Calcular :
aa aa 3a a =
Rpta.: .......................................................
ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
42 PASCUAL SACO OLIVEROS
LEYES DE LOS EXPONENTES IIILas siguientes leyes están dadas para la transforma-
ción de expresiones afectadas por el símbolo de una raíz.
1. Exponente Fraccionario
b = b ;mn n m con n 2
Ejemplos:
•
23 23x x •
x yx y x yx y2 2
•
13 1 333 3 3
Importante
Si se tiene 2 m2m
bbb m
m
m2b b (se sobreentiende el índice 2)
Ejemplos:
•
332x x •
x 1x 122 2
2. Potencia de una Raíz
n mn (m)(1)mn bbb ; con n 2
Ejemplos:
• 5 33 352 2 32
• x xx x
•23 3n 2n
x x
• 3 xx x2y 32y 6yx x x
Importante
Si se tiene mnb
mmn nmnb b b
Luego: Para fines prácticos:
(1º) Si m = 1:
mn mnb b
(2º) Si m 1: m
mnnb b
Ejemplos:
•1
2 124 4 4 2
•1
3 31327 27 27 3
•1
x x1xx x x
• 551 5 1–32 –32 –32 –2
•3
34 3416 16 2 8
•3
34 3481 81 3 27
• 33 5 35–32 –32 –2 –8
• 55 3 53–27 –27 –3 –243
La 4 2 porque: 2 2 = 4La 3 27 3 porque: 33 = 27
La 4 16 2 porque: S 42 = 16
La 4 81 3 porque: 43 = 81
La 5 –32 –2 porque: 5( 2) 32
La 3 –27 –3 porque: 3( 3) 27
OBJETIVOS
MOTIVACIÓN
«El tiempo que gastas en averiguar vidas ajenas, debes emplearlo en reconocer tus defectos, tus aspiraciones y losactos de tu propia vida».
Lograr que el alumno domine las leyes relacionadas a exponentes fraccionarias y los radicales, los cuales son muy importan-tes dado sus diversas aplicaciones en otras materias. Esto será posible a través de la práctica que efectuemos con los diversosejercicios.
CAPÍTULO
03
ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
43SISTEMA HELICOIDAL
Sabemos que: m
n m nb bSi hacemos: m = n, se tendrá:
nn n 1nb b b b
Luego:
n nb b
En forma similar:
nn
b b
Ejemplos:
• 3 32 2
• x x3 3
•nn nn2 2
• 23 3
• 77 x xx x
• 22 2
• 33 327 3 3
ImportanteSe cumple; dadas las siguientes formas:1ra. forma :
mk m
nk nmk mnk nb b b b
2da. forma :k 1
nk nk nk nb b b b
3ra. forma :
nk
k nk nkb b b
Ejemplos:
• 3x 3 35x 52 2 32
• 2n 2n3 3 3
• 6 3(2) 34 2(2) 2x x x
• 2(5)10 2532 2 2 2
• 3(2)6 324 2 2
•x3x x 3xx x
• 15 35n nx x
• 3 315 3(5) 5x x x
• n 1 3(n 1) 32 2 8
• 7 728 4(7) 4x x x
•2n 2n n2n 2n n
•x3xxx 3
2 2 8
3. Raíz de una Multiplicación
n n nx y x ya b a b
• n n na b a b
• n n n n nx y z w x y z wa b c d a b c d
Ejemplos:
• xx x xx y x y yx y x y x y
• 5 5 5 5 510 5 2 10 5 2 2 2a b c a b c a b c
• 2 2x yz x y z x y x
• 18 9 2 9 2 3 2
Recíprocamente:
• 3 33 2 2x y x y
• 2 5 (2)(5) 10
• 5 5 5 5 52 7 6 2 7 6 15 3x x x x x x x x
•3 3 33 3 32 2 22 a b 8 a b 8 a b
4. Raíz de una Divisiónnx x
ny n y
a a
b b
•n
nn
a ab b
Ejemplos:
•37 7
33
x xy y
•xx x
xx x
x x x2 2 2
•3
33
8 8 227 327
•1 1 14 24
ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
44 PASCUAL SACO OLIVEROS
Recíprocamente:
•x
xx
3 344
•5 7 7
5 5525 2
x xx x
xx
• 3
333500 500
125 544
•3
33 31 1 1
22 2
5. Raíz de Raíz
n m n mk kb b
•a b c d a b c d ee N N
• n m nm kk bb
Ejemplos:
• 3(x) 3xx 3 2 22 x xx
• 5 (5)(4)(3) 60 604 3 120 120 2(60) 2120 2 2 2 2 42
• (2)(2)(2)(2) 162 2 2
• 2 xx 2 xx16 16 416
• x yy x yx x xx x
PROPIEDADES AUXILIARES
• –nn
1b
b ....................................................... (I)
• –n na bb a ..................................................... (II)
•bn
a b n ab b
.................................................. (III)
• n np m p n ma b a b ................................. (IV)
• n np m p n mb b b .................................. (V)
• a b c a bcm m bc n c pn px x y zy z ..... (VI)
Propiedad de Raíz de Raíz
1ra. forma :
qpnm wqzpyxnm n p q wzyx bbbbb
× + × + × +
2da. forma :
× – × + × –
qpnm w–qzpy–xnm n p q wzyx bbbbb
Ejemplos Diversos:
•–2
21 1 1
4244
•–x x
x x
1 1x
xx
• 3–3 31 xx
x 1
•4
–4 416 x xx 16 2
•5 6323 2 5 5x x x
•1 242 4 81x x x
• 5 5 52 7 (2)(5) 7 10 7x y x y x y
• 2 5 2(2) 5 4 5a b a b a b
• 5 5 53 2 (3)(5) 2 17x x x x
•1(2) 1 3
x x x x
• 3 (2)(3)(5)55 2 5(3)(5) 2(5)x y z x y z
30 75 10x y z
• (2)(2)(2) (1)(2)(2) 1(2)x y z x y z
8 4 2x y z
Ejemplos de las formas de Raíz de Raíz:Efectuar:
• 60 59)5)(4)(3)(2( 453)4(23 4 5 432 xxxxx
× + × +
•( )( ) 16 37)2)(2)(2)(2( 72523)2(1753 222222
× + × + × +
•12 13)4(3 5)4(23 4 52 nnnn
× +
Desarrollar:
•360 520)6)(5)(4)(3( 22–6)25)3–)4(5((3 4 5 6 22235 xxxxxx
× – × + × –
40 9 40 13x
9 13x
•3333 2–3)23)2–32((3 3 3 3 2222 xxxxx
× – × + × – 81 40x
ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
45SISTEMA HELICOIDAL
1. Efectuar:
a) 24x
b) 63 27a
2. Efectuar:
a) 105 32b
b)8
41
b8 1
Rpta.: .......................................................
3. Efectuar:
a) 20 30 605 a b c
b)10 25
51
b c32
Rpta.: .......................................................
4. Efectuar:
4 73 2 3
3 2
Rpta.: .......................................................
I. Problema desarrollado
1. Indicar de las proposiciones que afirmaciones soncorrectas:
A) 4 8 2x x (V)
B)3
39 54 9
2 (F)
C) 40 5a a (V)
RESOLUCION
A) 4 8 2x x8
24x x2 2x x La proposición es verdadera
B)3
39 54 9
2
3 549 92
39 27 99 . 3 = 927 = 9 La proposición es falsa
C) 40 5a a
2.2.2 40 5a a
8 40 5a a
4058a a
5 5a a La proposición es verdadera
II. Problema por desarrollar2. Indicar cuales de las proposiciones es verdadera
(V) o falsa (F):
A) 22a 4a ax x ....................... ( )
B)16 27 48
3 ....................... ( )
C) 3 4 48 4a a ....................... ( )
RESOLUCION
ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
46 PASCUAL SACO OLIVEROS
5. Simplificar:
5M x . x ...(60fact)
Rpta.: .......................................................
6. Simplificar:
322
Rpta.: .......................................................
7. Simplificar:
3 2 3 242b
Rpta.: .......................................................
8. Simplificar:
5 2052
Rpta.: .......................................................
9. Simplificar:
4 6 10a a ax
Rpta.: .......................................................
10. Simplificar:
5 3 7 17b b b b bb
Rpta.: .......................................................
11. Simplificar:
2a 5
5 2a2
K2
Rpta.: .......................................................
12. Simplificar:
2m 4
6 2m3
P3
Rpta.: .......................................................
13. Simplificar:
3b 2
b2 b
m
m
Rpta.: .......................................................
14. Simplificar:
1 1 11
3 5 2 152
Rpta.: .......................................................
15. Simplificar:
42m 3
m3 m
a
a
Rpta.: .......................................................
16. Simplificar:
5b 2a
b 32b 2a
x
x
Rpta.: .......................................................
17. Simplificar:
16
3 3 3
a
a a a
Rpta.: .......................................................
ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A
47SISTEMA HELICOIDAL
1. Hallar la expresión equivalente:
A) 1681x
B) 8 164 x y
2. Reducir:
42x 8
7 2x3
3
A) 1 B) 3 C) 9
D) 27 E) 30
3. Reducir:
3 723 2
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 8
4. Calcular:
3 4x x x
A) 24 7x B) 24 17x C) 12 5x
D) 4 x E) x
5. Calcular:
3
3
54 20 28
2 5 7
A) 1 B) 2 C) 3D) 5 E) 7
18. Simplificar:
2 33 4x. x . x
Rpta.: .......................................................
19. Simplificar:
x x x x
Rpta.: .......................................................
20. Simplificar:
x x x x
Rpta.: .......................................................