Curvas Planas

Los tres problemas clásicos

Duplicación del cubo

Trisección del ángulo

Cuadratura del círculo

¿Son resolubles o no?Los tres problemas anteriores admiten solucióncuando se permite el uso de otras herramientasaparte de la regla y el compás.

Salvo la trisección del ángulo, que en casosparticulares se puede resolver utilizando sola-mente regla y compás, estos dos útiles dedibujo resultan insuficientes para resolver lostres problemas mencionados.

La duplicación del cubo

La duplicación del cubo de arista a equivale a intercalar

dos medias proporcionales entre a y 2a, es decir, hallar

x e y tales que

pues entonces

y x es la arista del cubo doble.

ay

yx

xa

2==

3322

22 222, axaxaxyaxayx =⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒==

Una solución al problema

La intersección de las parábolas

2

2

2 yaxxay

=

=

resuelve el problema.

Cisoide de Diocles

Como señala Gino Loria en su obra “Curve Piane Speziali Algebriche e trascendenti” al referirse a la cisoide, tal curva fue ideada por Diocles, un geómetra poco conocido pero cierta-mente posterior a Arquímedes, y cu-ya vida puede situarse aproximada-mente en el período comprendido entre 250 y 100 años antes de la era cristiana.

Generación de la cisoide de Diocles

Circunferencia C, punto O sobre la

misma, recta L tangente en el punto

diametralmente opuesto a O. Se traza

por O una secante que corta a C en P1 y

a L en P2 . Tómese Q sobre la secante

de forma que OQ=P1P2 .

El punto Q describe la cisoide al

recorrer P1 la circunferencia.

Otra manera de generarla

Se toman dos rectas paralelas y un punto O sobre una de ellas. Una recta variable OP corta en P a la otra paralela, punto que se proyecta ortogonalmente en Q sobre la primera. Desde Q se traza la perpendicular a OP. El pie de dicha perpendicular, M, describe una cisoide

Cisoide3.fig

Trazado continuo de la cisoide

Un triángulo rectángulo ABC se mueve de forma que su vértice A permanece sobre una recta dada r, mientras su lado BC pasa por un punto dado P, cuya distancia a r es igual al lado AB.

Entonces el punto medio Q de AB describe un arco de cisoide.

Cisoide2.fig

Ecuación de la cisoide

Coordenadas polares de poloO y eje polar OA. Sea Se tiene:de donde

es decir:

a2AO =

θθ

cos2,cos

212 aOPaOP ==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−=== θ

θρ cos

cos121221 aOPOPPPOQ

θθρ

cossen2

2

a=

Ecuación de la cisoide (2)

Poniendo la ecuación anterior en la forma:

y pasando a coordenadas cartesianas se obtiene la ecuación:

lo que prueba que es una cúbica.

θθρ tgsen2a=

222 2)( ayyxx =+

Uso de la cisoide para duplicar el cubo

Tómese OB=2OA. La recta ABcorta a la cisoide en P, y la recta OP corta a la perpendicular a OApor A en el punto X.

Entonces se tiene que

OAAX 3 2=

Uso de la cisoide para duplicar el cubo

Se construye el cuadrado OABC sobre el diámetro OA de la circunferencia usada para definir la cisoide. MN divide al cuadrado en dos rectángulos iguales. Se une M con A, y el punto R de corte de dicho segmento con la cisoide se une con O, cortando a MN en P. Entonces ON2OP 3=

La concoide de Nicomedes

Se toma una recta r y un punto O exterior a lamisma. Dado k>0, se traza una recta s que pasepor O y no sea paralela a r. Con centro en elpunto de corte P de r y s se traza una circunfe-rencia de radio k, que corta a s en los puntos A yB. El lugar geométrico de A y B es la concoide deNicomedes de polo O , directriz r y constante k.

La concoide de Nicomedes (2)

Según sea k respectode la distancia d del poloa la directriz obtenemostres tipos de concoide:En rojo: k>dEn verde: k=dEn azul: k<d

Concoide.fig

Ecuación de la concoide

Tomando O como polo y la perpendicular por O a r como eje polar, la ecuación es

Si se pasa a coordenadas cartesianas con origen en O, el eje polar como eje OX, re-sulta:

kd+=

θρ

cos

0)()( 22222 =−+− xkyxdx

Trisección del ángulo con la concoide de Nicomedes

El ángulo que sequiere trisecar esel AOB. La curvaroja es la concoidecon directriz la recta AB, perpendicu-lar al lado OA delángulo,y constantek=2OB. ( )

Trisección del ángulo con la concoide de Nicomedes (2)

Por B se traza la perpendicular a la directriz, que corta a la concoide en Q. El ángulo AOQ es la tercera parte del AOB.

Razonamiento: NQ=k=2OB. M es el centro del rectángulo NPQB, por lo que MB=MN=1/2 NQ=OB. Esto prueba que el triángulo MBO es isósceles. El ángulo BOM es doble de cualquiera de los ángulos marcados en azul con vértices en O, N o P, y de aquí se deduce el resultado.

Generalizaciones de la concoide

Si en lugar de tomar una recta como di-rectriz se toma una circunferencia y unpunto de la misma como polo, y se apli-ca la misma construcción que en el casode la concoide de Nicomedes, se obtienela curva denominada “caracol de Pascal”

La cardioide y afines

Ecuación del caracol de Pascal

θ

θ

Sea O el polo, la recta OA el eje polar, y OA=2a. Tomamos como constante k=2a, con lo que la curva obtenida será la cardioide, caso particular de caracol de Pascal. El radio vector del punto B es 2acos(θ), por lo que el radio vector del punto P de la cardioide es

)1)(cos(2)cos(2 +=+= θθρ aka

Trazado de tangentes

La concoide, y los caracoles de Pascal,obedecen a la misma ecuación polar: si

es la ecuación de la curva directriz, enton-ces la ecuación de la nueva curva es

Si se sabe trazar la normal en un punto gené-rico de la directriz, se sabe trazar la normal, ypor tanto, la tangente, a la nueva curva.

)(θρ f=

kf += )(θρ

A modo de recordatorio

Si P(ρ,θ) es un punto de una curva dada por una ecuación de la forma ρ=f(θ), entonces, si la recta TN es perpendicular al radio vector OP por el polo O, y si TP es la tangente en P y NP la normal, los segmentos OT y ON se llaman

subtangente y subnormal polar, y se tiene:

ρρρ ′=

′= ONOT ,

2

Trazado de tangentes

Nótese que en el caso de una concoide cualquiera, la subnormal polar de la curva es igual a la de su directriz en puntos “homólogos” – los de igual valor del ángulo polar – ya que f(θ) y f(θ)+k tienen igual derivada respecto de θ. Por tanto, si se puede hallar fácilmente la normal en un punto de la directriz, se podrá trazar la normal a la concoide, y por tanto la tangente.

Trazado de tangentes

El punto P sobre la concoide tiene como homólogo el A sobre la directriz. Trazando la normal a la directriz en A, la subnormal polar es OB, de forma que la recta PB es normal a la concoide en P.

También lo es la recta P’B en el punto P’.

La cuadratriz de Dinostrato, o trisectriz de Hipias.

En un cuadrado OABC el lado OA gira con movimiento uni-forme en torno a O, mientras que el lado AB se desplaza paralelamente a sí mismo hasta alcanzar la posición OC, también con velocidad cons-tante, de modo que ambos llegan a confundirse con OC al mismo tiempo.

El punto de intersección de ambos segmentos en su movimiento describe la cuadratriz de Dinostrato.

Cuadrando el círculo

La cuadratriz de Dinostrato permite resolver el problema de la cuadratura del círculo, ya que

OCODπ2

=

Un segmento de longitud πAplicando el teorema de Thales, siendo OP=OC y las rectas DP y CQ paralelas, se tiene que

OCOQ2π

=

Por tanto, tomando OC=2, OQ vale π. A partir de aquí, se puede cuadrar el círculo.

Uso como trisectriz

Para trisecar el ángulo POC se traza por M, punto de corte de OP con la cuadratriz, la paralela a AB, que corta a BC en E. Se divide el segmento CEen tres partes iguales. La paralela a AB por el punto G corta a la cuadratriz en N. El ángulo NOC es la tercera parte del POC.

De lo anterior se deduce que la curva considerada no es solamente trisectriz, sino n-sectriz para cual-quier valor de n.

Las espiralesLa espiral de ArquímedesLa espiral logarítmica

http://www.dim.uchile.cl/~simetria/matematico/nodo221.html

Radioides

Como una aplicación bien práctica de la teoría de curvas planas, citemos las “radioides”.El problema que resuelven es el siguiente: Dado un tramo recto de vía de ferrocarril, hay que unirlo con un tramo curvo –arco circular – de radio conocido.

Radioides

Si se une el tramo recto al circular, los trenes pasan sin transición de no ejer-cer fuerza lateral sobre el rail exterior a una súbita fuerza que también es perci-bida por los pasajeros. La solución pasa por construir un tramo de curva en el que la curvatura vaya creciendo gra-dualmente desde cero hasta la del arco circular con la que enlaza.

Evolutas y evolventes

Todas las normales a una curva son tangentes a una segunda curva, que es el lugar geomé-trico de los centros de curvatura de la primera.

El primero en tomar en consideración esta cur-va fue Huygens, en su obra “Horologium oscillatorium” del año 1665, y la llamó evoluta. La curva de la que proviene la evoluta se llama evolvente. Cada curva posee una determinada evoluta, pero una infinidad de evolventes.

Curvas podarias

Dado un punto fijo O y una curva Γ, el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por O a las tangentes a Γ es una curva que se llama podaria de O respecto de Γ .

El primero en considerar esta curva fue MacLaurin. Si en lugar de trazar perpendicu-lares a las tangentes se trazan a las normales se obtiene la podaria de O respecto de la evoluta de Γ.

Curvas patológicas

Al final del siglo XIX y principios del XX se revisaron una serie de conceptos matemáticos, entre ellos el de dimensión. Intuitivamente parece que una curva debe tener dimensión 1, al igual que una superficie debe tener dimensión 2, ya que corresponde al número de coordenadas para determinar un punto sobre ella.

Curvas patológicas

Aproximaciones a las curvas de Hilbert (izq.) y Peano (der.)

Cúbicas elípticas

Una cúbica elíptica sobre un cuerpo K es ladefinida por una ecuación de la forma

con a, b elementos de K y la condiciónadicional

baxxy ++= 32

0)274(16 23 ≠+− ba

Cúbicas elípticas

Supondremos en lo que sigue que los coeficientes a y b son números enteros. Si buscamos soluciones enteras de la ecuación que define la cúbica elíptica, estamos buscando puntos sobre la curva con coordena-das enteras. Un teorema de Siegeldice que el número de tales puntos es finito.

Gráficas de cúbicas elípticas

4332 +−= xxy 1332 +−= xxyxxy += 32

Casos excluidos

2332 +−= xxy 2332 −−= xxy

El grupo de puntos de una cúbica elíptica

Se puede definir una operación de “suma”entre los puntos de una cúbica elíptica quedota al conjunto de puntos de estructurade grupo abeliano.

Para ello añadimos un punto del infinito alos puntos de la cúbica, que será el puntodel infinito de OY. Lo llamaremos .Ω

Definición de la suma (1)Dados P y Q, se traza la rectaPQ, que corta a la curva en P’.El punto R simétrico de P’ res-pecto del eje de abscisas es elpunto suma de P y Q.

Si P y Q están sobre la mismarecta vertical, entonces

P+Q = Ω

Definición de la suma (2)

Si P=Q se toma la rectatangente en P y se pro-cede como en el primercaso.Finalmente, si Q =entonces P+Q=PEl punto es el “cero”del grupo.

Ω

Ω

Ω

Algoritmo para sumar puntos

Supongamos que ninguno de los puntos P y Q coincide con .

Pongamos P(x1 , y1), Q(x2 , y2).

Sea R=P+Q. Entonces:

1) Si x1=x2 e y1=- y2, R=

2) Defínase

Ω

Ω

⎩⎨⎧

−−=+

=caso. otroen )/()(yQP si)2/()3(

2121

121

xxyyax

m

Algoritmo para sumar puntos

3) Entonces

Nótese que, al calcular m cuando P=Q, estáexcluido el que sea y1=0, pues ese caso ya lohemos contemplado en 1)

),(),( 113212

33 ymxmxxxmyxR −+−−−==

Los teoremas de Mordell y Mazur

Dada una cúbica elíptica sobre el cuerpo Q delos racionales, denotemos por E(Q) el grupo de todos sus puntos (incluido ). 1) El grupo E(Q) está finitamente generado2) El grupo de torsión de E(Q), E(Q)t verifica

Ω

41con ,2/2/)(bien o

12 o,101con ,/)(

≤≤⊕≅

=≤≤≅

nnZZZZQE

nnnZZQE

t

t

El teorema de Nagell-Lutz

Todos los puntos del grupo de torsión de E(Q) tienen coordenadas enteras.

Teorema de Hasse

Si p es un número primo, p>2, y se considera el cuerpo finito Z/(p), entonces para cualquier curva elíptica definida sobre dicho cuerpo se verifica que el orden del grupo de sus puntos, Np , cumple la siguiente desigualdad:

pNp p 21 ≤−+

Curvas elípticas sobre un cuerpo finito

Tomaremos, como ejemplo, el cuerpo Z/(11),cuyos elementos son las clases de restosmódulo 11.

Como ecuación de una cúbica elíptica sobre estecuerpo tomaremos

3232 ++= xxy

Curvas elípticas sobre un cuerpo finito (2)

Los elementos del cuerpo que son cuadra-dos en él son 0,1,3,4,5 y 9. Los puntos dela cúbica, en este ejemplo, son- aparte delpunto del infinito- estos:(1,4),(1,7),(2,5),(2,6),(5,4),(5,7),(9,1) y(9,10). Se comprueba que (1,4)+(5,4)=(5,7)

Criptografía con curva elíptica

Una persona A quiere recibir correo encriptado. Entonces procede así:

1.- Elige un número primo p grande.

2.- Elige una curva elíptica E sobre Z/(p)

3.- Elige un punto B sobre la curva.

4.- Elige un entero n, que mantiene secreto, y calcula nB.

Finalmente publica p, E, B y nB.

Criptografía con curva elíptica

Si una persona desea mandar un mensaje encriptadoa A, comienza por codificarlo como un elemento P, es decir, un punto, de E. A continuación elige un entero r al azar y calcula rB y P+r(nB). Entonces manda el par (rB , P+r(nB)).

Cuando A lo recibe, multiplica rB por n, que solo conoce él, y obtiene n(rB). Pero el grupo de puntos de la curva elíptica es abeliano, así que n(rB)=r(nB), y al restar este punto de la segunda componente del par remitido, recupera el mensaje P.

Factorización

En 1985, H.Lenstra publicó un método de factorización que hacía uso de curvas elíp-ticas.

Se basaba en un método conocido como “método p-1”, cuyo fundamento es el siguiente:

Sea N un entero positivo que deseamos factorizar.

Factorización

Elegimos un número B, a lo sumo de seis cifras. Si existe un factor primo p de N tal que p-1 es “B power-smooth”, es decir, cada uno de sus factores primos elevados al correspondiente exponente es menor que B, intentaremos hallar p de esta forma:

Si a>1 es un entero no divisible por p, entonces 1p− )(mod1 pa ≡

FactorizaciónSi m es el mínimo común múltiplo de 1,2,..,B, y si p-1 es “B power-smooth”,entonces p-1 divide a m, y por tanto:

)(mod1 pam ≡

De aquí se deduce que

),1(mcd Nap m −Si el mcd es menor que N, obtenemos un factor no trivial de N.

El método de Lenstra

Fijado B, sea N=pq, con p y q primos y tales que p-1 y q-1 no son “B power-smooth”. Entonces es más que probable que el método p-1 no funcione. El método de Lenstra se ba-sa en sustituir el grupo multiplicativo de Z/(p), que tiene orden p-1, por el grupo de puntos de una curva elíptica sobre Z/(p), que de acuerdo con el teorema de Hasse puede ser menor, y dicho orden puede que si sea “B power-smooth”.

Si el método falla, siempre es posible cambiar a otra curva elíptica, lo que nos da una flexibilidad de la que carece el método p-1.