UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

ALGEBRA, TRIGONOMETRIA, Y GEOMETRIA ANALITICA

TRABAJO COLABORATIVO MOMENTO 6

BOGOTA, 03 DE MAYO DE 2015

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

1. De la siguiente elipse 4 x2+ y2−8x+4 y−8=0. Determine:

a. Centro.b. Focosc. Vértices

4 x2+ y2−8x+4 y−8=0

Se agrupan los términos por factor común:

4 x2−8 x+ y2+4 y=8

Se factoriza por factor común

4 (x2−2x )+( y2+4 y )=8

4 (x2−2x+12 )+1 ( y2+4 y+22 )=8+4 (1 )+1(4 )

4 ¿

Todo se divide entre 16:

4 ¿¿

¿¿

¿¿

a= 4

b=2

a. El centro es: (1,-2)

b. Vértices

Vértices mayores: V= ¿) ósea, (1, -6) y (1, 2)

Vértices menores: u= (1±2 ,−2) ósea (3,-2) y (-1, -2)

c. Foco: c=√a2−b2 = √16−4 = √12 = 2√3

Focos: ¿) ósea (1, -5.46) y (1, 1.46)

Grafica GeoGebra

2. Deduzca una ecuación canónica de la elipse que satisfaga las condiciones indicadas: Vértices en (3,1) y (3,9) y eje menor de longitud = 6.

Ecuación de la eclipse con centro en h,k y eje mayor vertical .Ecuación canónica:

¿¿

El centro de la elipse será el punto medio de los vértices.

C = (3,1) (3,9) = 3+32 =3, 9+12 =5

C = (3, 5)

El centro está en (3,5) 

Eje menor = 2b = 6

b=62=3

b = 3

Eje mayor = d (3,1) (3,9)

√(3−3)2+(9−1)2

¿√64 = 8

2a = 8

a = 82=4

a = 4

Ahora remplazamos en la ecuación:

(x−3)2

9+ ( y−5)2

16=1

Gráfica GeoGebra

3. De la siguiente hipérbola 4 x2−9 y2−16 x−18 y−29=0. Determine:a. Centro.

b. Focosc. Vértices

4 x2−9 y2−16 x−18 y−29=0

4 x2−16 x−9 y2−18 y=29

(4 x¿¿2−16 x)−(9 y2+18 y)=29¿

4 (x2−4 x )−9 ( y2+2 y )=29

4 (x2−4 x+22 )−9 ( y2+2 y+12 )=29+4 (4 )−9 (1 )

4 ¿

Todo se divide entre 36:

4 ¿¿

¿¿

¿¿

Centro = (2, -1)

a= 3

b= 2

c = √a2+b2

c = √9+4

c = √13=3.61

Vértices

V1= (2 – 3, -1)→V1= (-1, -1)

V2 = (2 + 3, -1) →V2= (5, -1)

Focos:

F1 = (2 – 3.61, -1) →F1= (-1.61, -1)

F2 = (2 + 3.61, -1) → F2 = (5.61, -1)

Gráfica GeoGebra

4. Deduzca una ecuación de la hipérbola que satisfaga las condiciones indicadas: V1 (1, 11) y V2 (1, -15), F1 (1,12) y F2 (1, -16).

Ecuación canónica:

¿¿

El centro de la hipérbola será el punto medio de los vértices.

C = (1, 11) (1, -15) = 1+12 =1, −15+112=−2

C = (1, -2)

El centro está en (1, -2)

Eje mayor = a = (1, 11) (1, -15)

La distancia (2a) es de 26 unidades (11-(-15).

a=262

=13

Así que a = 13

Focos: (1, 12) (1,-16)

c=√1−28=|−27|=27=272

=13.5=14

C = 14

Ahora el valor de b:

b2=c2−a2

b2=196−169=27

b=√27=5.19

Así que b = 5.19

Como ya tenemos los datos que se debe colocar en la ecuación, entonces reemplazamos:

¿¿

Gráfica GeoGebra

5. Demostrar que la ecuación x2+ y2−8 x−6 y=0. es una circunferencia. Determinar:

a. Centrob. Radio

x2+ y2−8 x−6 y=0x2−8 x+16−16+ y2−6 y+9−9=0

( x−4 )2−16 ( y−3 )2−9=0( x−4 )2+( y−3 )2=0+16+9

( x−4 )2

1+

( y−3 )2

1=25

( x−4 )2

1+

( y−3 )2

1=52

Circunferencia = Es una circunferencia porque esta elevado al cuadrado, y tanto X como Y tiene el mismo divisor.

Radio = (5)

Centro = (4,3)

Gráfica GeoGebra

6. De la siguiente parábola− y2+12x+10 y−61=0. Determine:

a. Vérticeb. Foco

c. Directriz

Como la variable que esta al cuadrado es Y, la directriz de la parábola es horizontal.

− y2+12x+10 y−61=0

y2−10 y=12 x−61

y2−10 y+25=12x−61+25

¿

( y−5)2=12 (x−3)

( y−k )2=4 p (x−h)

k = 5

h = 3

p=124

=3

El vértice es:

V (h, k) = V (3, 5)

La distancia del vértice al foco es P=124

=3

La parábola se abre hacia la derecha, así que el foco es:

F (6, 5)

La ecuación de la directriz es:

X = 3

X – 3 = 0

Gráfica GeoGebra

7. Determine la ecuación de la recta que cumple las condiciones dadas: pasa por (1, 7); paralela a la recta que pasa por (2, 5) y (-2, 1).

- Recta por (2, 5) y (-2, 1)

y=2+(−2)2

=0 , 5+12

=3

y=x+3

m= 1−5−2−2

=−4−4

=1

m=1

- Paralela por (1, 7)

y−7=1(x−1)

y−7=x−1

y=x−1+7

y=x+6→Ecuaciónde la recta

Gráfica GeoGebra

8. Calcular las siguientes sumatorias:

a .∑i=1

300

2 i

Se puede resolver aplicando la propiedad 1:

∑i=1

n

ci=c∑i=1

n

i

¿∑i=1

300

2 i=2∑i=1

300

i

¿2 300(300+1)2

¿300(300+1)

¿90.300

Y también por la propiedad 2:

∑i=1

n

2 i=n (n+1)

¿∑i=1

300

2 i=300(300+1)

¿90.300

GeoGebra

b .∑i=1

3

¿¿

¿¿

¿¿

¿9+25+49

¿83

Por consiguiente

∑i=1

3

¿¿

GeoGebra

9. Calcular las siguientes productorias:

a .∏i=−1

4

3 i+7

¿3 (−1 )+7∗3 (0 )+7∗3 (1 )+7∗3 (2 )+7∗3 (3 )+7∗3 (4 )+7

¿4∗7∗10∗13∗16∗19

= 1106560

GeoGebra

b .∏i=2

4 i( i−1)

+3

¿ 2(2−1)

+ 3∗3(3−1 )

+ 3∗4(4−1 )

+3

¿ 21+

31∗3

2+

31∗4

3+ 31

¿

51∗9

2∗13

3=5856

=1952

GeoGebra

CONCLUSIONES

Por medio de este trabajo se pusieron en práctica los conceptos adquiridosde la unidad 3 del curso algebra, trigonometría y geometría analítica, como como secciones cónicas, sumatorias y productorias, mediante la solución de problemas, verificación en Geogebra para el desarrollo de esta guía, los cuales serán muy importantes en el desempeño profesional de cada una de nosotras, evidenciando los aprendizajes obtenidos hasta el momento.

REFERENCIAS

Dada una ecuación de la hipérbola, hallar centro, vértices y focos [EJERCICIO]Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=VRrvA49bu1I

Ecuación general de la hipérbola Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=Pg4yVwZLTgw

Ecuación de recta que pasa por un punto y es paralela a una recta dada (PARTE 1/2)Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=8gEyd4oekz0

Ecuación de recta que pasa por un punto y es paralela a una recta dada (PARTE 2)Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=gPkF2g0D8FU

Encontrar, Centro, Vértices y Focos de una Elipse [EJERCICIO] – 1

Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=eF5DVyV0XEM

Introducción a las sumatorias en videosdematematicas.com Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=Z54C8Ivz7Yw

Obtener centro y radio de una ecuación general de circunferencia (Parte 1/2) Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=WJYdPmbMpPY

Obtener centro y radio de una ecuación general de circunferencia (PARTE 2)Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=IlLJLUstsrY

Obtener la ecuación de la elipse, con 2 vértices y sus focos (origen) - HD Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=mMc2QPdjnW4

ProductorioRecuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=nbyWtItRo5o

Verificación en Geogebra Momento 3Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=jf-DBlnw0NY&feature=youtu.be

Vértice, foco y directriz de una ParábolaRecuperado de:https://www.youtube.com/watch?v=P2f-65wqAN0

Rondón, J. (2011). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 636 – 646.

Recuperado de:

http://datateca.unad.edu.co/contenidos/301301/Modulo_Algebra_Trigonometria_y_Geometria_Analitica_2011.pdf