INTRODUCCION A LOS VECTORES

Cantidades FsicasLlamamos magnitud fsica a aquella propiedad de un cuerpo que puede ser medida. La masa, la longitud, la velocidad o la temperatura son todas magnitudes fsicas. Las cantidades fsicas de acuerdo a sus propiedades se definen como:Escalares, vectores, fasores y tensoresEl aroma o la simpata, puesto que no pueden medirse, no son magnitudes fsicas.

EscalaresSon escalares las magnitudes que se describen con un valor y una unidad. Ejemplo: masa, tiempo, trabajo y energa, etc.

VectoresSon vectoriales las magnitudes que se describen usando un valor, una unidad y una direccin. Ejemplo: Velocidad, fuerza, aceleracin, etc.

FasoresSon cantidades que tienen tanto magnitud, direccin y rotacin, es decir son vectores rotatoriosEjemplo: Voltaje alterno, corriente alternaUn fasor es un constante numero complejo que representa la amplitud compleja (magnitud y fase) de una funcin de tiempo sinusoidal

TensoresMatriz de vectores que representan una cantidad fsica en un espacio vectorialEjemplo: Esfuerzos de un materialla nocin tensorial es absolutamente general, y se aplica a todos los ejemplos antedichos; los escalares y los vectores son clases especiales de tensores.

Porque usar vectores?Si nos dicen que un auto circula durante una hora a 60 km/h no podemos saber en qu lugar se encontrar al cabo de ese tiempo porque no sabemos la direccin en la que ha viajado.

VectoresHay muchas magnitudes fsicas, como por ejemplo la velocidad, en las que hay que especificar una direccin para describirlas completamente. Por ejemplo, si sabemos que el coche anterior se mova hacia el Norte, ya no tenemos el problema de antes. Por supuesto hay tambin muchas magnitudes, como la masa, que no dependen de la direccin. As, diciendo que la masa de un cuerpo es 24 kg describimos completamente esta magnitud.

Cantidad Vectorial:Est definida por la magnitud y direccinLa magnitud es cuanto mide el vector.La direccin es el ngulo que forma el vector con el eje positivo de las X y define su lnea de accin

A A X

PreguntaCul si y cuales no de los siguientes son vectores?Fuerza, temperatura, volumen, numero de espectadores en un programa de televisin, altura, velocidad, edad

Punto de aplicacin

Modulo

Direccin

Sentido

Representacin de un VectorVector A = A = Magnitud del vector A = = A

Vector Unitario: Aquel vector que tiene magnitud igual a 1Vector nulo : Aquel vector que no tiene magnitudVector negativo de otro vector: Aquel vector que tiene la misma magnitud del otro vector pero un ngulo con 180o de diferencia 180o A AVector Paralelo : Aquel vector que tiene la misma direccin de otro vector, aunque puede tener otro punto de aplicacin

Clases de vectores

Vectores colineales:Son aquellos vectores que tienen una misma lnea de accin, o que estn contenidos en una misma recta A B C

Vectores coplanares:Cuando estn contenidos en un mismo plano

Vector Resultante: Es el vector que reemplaza una serie de varios vectores. Es decir produce el mismo efecto por si solo que si estuvieran actuando todos los otros vectores a la vez. Algunas veces se trata del vector suma.

Componentes de un vector.Un vector puede ser representado por sus componentes, es decir las proyecciones del vector a los ejes Y y X en el plano ortogonal, o tambin en los ejes X, Y y Z en el espacio tridimensional. Y

V Vy Vx X

Componentes de un vector

Componentes OrtogonalesLas componentes ortogonales, es decir perpendiculares pueden ser hallados usando las funciones trigonomtricas Seno y Coseno.

V Vy Vx

PreguntaEn que circunstancias un vector diferente de cero que esta en el plano xy tendra componentes de igual magnitud

Respuesta: Si forma un ngulo de 45 grados con el eje x

Formas para representar un vectorComo coordenadas en un sistema de referenciaV = (Vx, Vy, Vz)

Como coordenadas en un sistema de referencia

Con magnitud y direccinP = 40 newtons, 20 gradosQ = 60 newtons, 45 noreste

En funcin de los vectores unitariosV = 2i - 5j + 9k

En funcin de sus cosenos directores o como vector unitarioV = V(cosi + cosj + cosk)

Operaciones con cantidades vectorialesAdicinSustraccinMultiplicacinMultiplicacin entre vectoresProducto PuntoProducto VectorialMultiplicacin de un vector con un escalar

Adicin entre vectoresMtodo GrficoMtodo del polgono cerradoMtodo del paralelogramoMtodo AnalticoLey del senoLey del cosenoMtodo de las componentes

La adicin entre vectores tiene las propiedades siguientes A + B = B + A(ley conmutativa)

A +(B + C) = (A + B) + C(ley asociativa)

(A + B) = A + B(ley distributiva) donde es una cantidad escalar

Sustraccin de vectoresLa sustraccin de vectores se convierte en una suma de vectores al emplear el concepto de vector negativo

La diferencia de vectores es anticonmutativaA B B A

Realizar las siguientes operaciones vectoriales

a) A + Bb) A - B

Mtodo del paralelogramoEs mas comn emplear este mtodo entre dos vectoresConsiste en trazar paralelas a cada vector hasta formar un polgono cerrado de cuatro carasEl vector resultante estar en la diagonal del paralelogramo

Mtodo del paralelogramoAB-BA + BA - B

Mtodo del paralelogramo

Encontrar la resultante entre P y Q

Mtodo del paralelogramo

Mtodo del polgono cerradoSe hace coincidir los extremos de cada vector con los orgenes de los otros y se cierra el polgono con el vector resultanteABCR

Encontrar la resultante entre P y Q

Mtodo del polgono cerrado

Considere los vectores mostrados en la figura

Cul de los siguientes vectores representa mejor al vector C B A

ABCa)b)c)d)e)

PreguntaSi B se suma a A: a)En que condiciones el vector resultante A + B tiene una magnitud igual a A + B?, b)Bajo que condiciones el vector resultante es igual a cero?Respuesta: a) Solo si los vectores son colineales y tienen el mismo sentido, b) Solo si los vectores son colineales, tienen sentido contrario e igual magnitud

Si una componente de un vector no es cero, su magnitud puede ser cero?, explique

Respuesta: La magnitud de un vector esta dada por , por lo que si una componente no es cero, su magnitud tampoco es ceroPregunta

PreguntaLa magnitud del desplazamiento de una partcula puede ser mayor que la distancia recorrida?No!

Ley del cosenoMtodo analtico del paralelogramoSe usa para encontrar la magnitud del vector resultantePero matemticamente puede usarse en cualquier triangulo para encontrar uno de sus lados

ABRAAcosAsenDemostracin

A que operacin corresponder la siguiente expresin?

AB-BA - BAAcosAsenDemostracin

En generalBCA

Ley del senoABRAAcosAsenL

Encontrar la resultante entre P y Q

Mtodo analtico

DETERMINE LAS TENSIONES DE LAS CUERDAS T1 Y T2 SI =450 Y LA FUERZA RESULTANTE ES 25 N HORIZONTAL HACIA LA DERECHA

T1 = 18.9 KN T2 = 12.95 KN

Suma de Vectores por el mtodo de las componentes

Podemos sumar vectores de dos maneras: matemticamente o grficamente. Supongamos que tenemos los vectores A = (4, 3) , B = (2, 5) . Para conocer el vector suma (A+B) slo tenemos que sumar, respectivamente, las componentes X y las componentes Y: A+B = (4+2, 3+5) = (6, 8)Si tenemos ms de dos vectores procedemos de la misma forma. Por ejemplo vamos a sumar los vectores A= (-1, 4) , B = (3, 6) , C = (-2, -3) y D = (5, 5): A+B+C+D = (-1+3-2+5, 4+6-3+5) = (5, 12)

Determine la Fuerza Resultante

Mtodo analtico de componentes

PreguntaLas magnitudes de dos vectores A y B son A = 5 unidades y B = 2 unidades. Encuentre los valores mas grandes y mas pequeo posibles para el vector resultante R = A + BRespuesta: R = 7u. y R = 3u.

PreguntaLa magnitud de un vector puede tener un valor negativo?, Explique

Respuesta: Nunca la magnitud de un vector es negativa

PreguntaDos vectores tienen magnitudes diferentes. Su suma puede ser cero?

Respuesta: Nunca

Encontrar la resultante entre P y Q por componentes

Vectores en el espacio coordenadas rectangulares

Vectores unitarios directores

Cosenos directores

Multiplicacin de un escalar por un vectorSea un escalar y A un vector entonces definimos el producto ASi multiplicamos A = BExisten varios casos dependiendo del valor y signo de 0< B=0.5A = 1; el vector resultante es el mismo vector Ejemplo: =1 => B=1A >1; el vector resultante mantiene la misma direccin pero aumenta veces Ejemplo: =2 => B=2A

= 0; el vector resultante se convierte en el vector nulo Ejemplo: =0 => B=0A=0-1< B=-0.5A = -1; el vector resultante se convierte en el negativo del vector Ejemplo: =-1 => B=-1A B=-2A

PreguntaExprese el vector u de la figura en trminos de los vectores a, b y cA) a + b + cB) a + b + cC) a b + cD) a b cE) a b + cabuc

En cual de los siguientes casos la longitud de a + b es menor que la longitud de a b?

A)B)

C)D)

bababbaa

Producto de vectoresProducto escalar o producto puntoProducto vectorial o producto cruz

Producto escalar o producto puntoRepresentacin

debe ser el menor ngulo entre los vectoresEjemplo fsico:

ABApBpAplicacin

Posibles casos del producto escalarSi < 90 => C es positivo; cos > 0Si = 90 => C es cero; cos = 0Si > 90 => C es negativo; cos < 0

Producto vectorial o producto cruz debe ser el menor ngulo entre los vectores

Propiedades del producto cruzEl resultado de la operacin es un tercer vectorEl modulo del vector resultante es ABsen donde es el menor ngulo entre los vectoresEl vector resultante quedar en una recta perpendicular al plano formado por los vectores A y B y cuya direccin estar dada por la regla de la mano derechaEl producto cruz no es conmutativo, es decir

Casos particulares del producto cruzSi = 0 => C = AB(0); sen = 0Si = 90 => C = AB(1); sen = 1Si = 180 => C = AB(0); sen = 0El producto vectorial de un vector por si mismo es cero

AplicacinSi los vectores A y B forman un paralelogramo, entonces el modulo del producto cruz representa el rea del paralelogramo

DemostracinAB

Vectores unitarios directores

Vectores unitarios directoresA cada eje coordenado x, y, z se le asigna correspondientemente un vector unitario i, j, kTodo vector unitario tiene por definicin modulo 1 y es adimensionalCada vector unitario tiene la direccin de su propio ejeCualquier cantidad real en un eje multiplicada por el correspondiente vector unitario, se convierte en una magnitud vectorial con la direccin de ese eje segn el signo de la cantidad

Vectores unitarios directoresai = abj = bck = c

Notacin: vector unitario i = i = =

Vectores unitarios y producto puntoii =

ij =

jj =

jk =

kk =

ik =

010011

Vectores unitarios y producto cruzixi =

ixj =

ixk =

jxj =

jxk =

jxi =

kxk =

kxi =

kxj =

k0ij00-j-k-i

El vector resultante de la operacin producto cruz se lo puede obtener como la determinante de la matriz que forman los vectores

Producto vectorial en R3

ProblemaSean los vectores D = 2i 3pj + 2k, E = i + 2j + 3k y F = -2i + 2j + 2k1) El valor de p para que D y E sean perpendiculares es:a) 3/4 c) -4/3e) 0b) 4/3 d) -3/4

2) El ngulo entre E y F es:a) 90c) 51.9e) 22.2b) 72.4d) 38.1

3) El ngulo que el vector F forma con el semieje x positivo es:a) 125.3c) 54.7e) -35.3b) 60d) 35.3

4) El vector 2E 3F es:a) -4i + 10j + 12k c) 8i 2je) 4i - jb) 4i 10j 12k d) -8i + 2j

5) un vector perpendicular a E y F es:A) 2i + 8j + 6kB) 2i 8j + 6kC) -2i +8j + 6kD) -2i + 8j 6kE) -2i 8j + 6k

ProblemaLos vectores A y B forman entre si un ngulo de 30. El modulo de A vale 3. Hallar cual debe ser el modulo de B para que A 2B sea perpendicular a A.a) 1.73b) 6.00c) 3.00d) 0.77e) 0.57

Sean A, B, C y D cantidades fsicas vectoriales diferentes. Cul de las siguientes no es posible realizar?A) A = B + C + DB) A = B x (C x D)C) B = A(C x D)D) D = (BC)A

La figura muestra una circunferencia de centro O. El vector X en funcin de los vectores A y B es: a) X = B/2 A/2b) X = A/2 B/2c) X = B Ad) X = B A/2

De acuerdo al grafico mostrado, si A + B = 3i entonces el vector B es:a) 8i + 4.6j b) 11i + 4.6jc) 5i 3jd) 5i 4.6je) -11i 4.6j

Se tienen tres vectores A, B y C de magnitudes 10, 15 y 20 unidades respectivamente, como se muestran en la figura. El valor de la operacin: (AC) + (BC) esA) -12.3B) 12.3C) 275,8D) -275,8

Los vectores indicados en la figura tienen la misma magnitud y se encuentran en el mismo plano. Cul de las siguientes operaciones dar como resultado un vector de mayor magnitud?a) (A x C)Bb) (A x B) x (B x C)c) (A - C) x Bd) (A + C) x B

ESO ES TODO POR HOY:::::: GRACIAS!

**EJERCICIO DE APLICACIN LEY DEL SENO