17’
(a) D: Domini definit per les superfıcies,x2 = z, y2 = x, z2 = y,x2 = az, y2 = ax, z2 = ay.
(b) D′ : 1 ≤ u ≤ a, 1 ≤ v ≤ a, 1 ≤ w ≤ a.
Figura 1. Transformacio del domini D en D′ pel canvi (1).
Nota
Alternativament, es comprova d’immediat que el canvi
u =y2
x, v =
z2
y, w =
x2
z, (1)
transforma el domini original D, en D′ = [1, a]× [1, a]× [1, a]. Es a dir, en un cub d’aresta a−1 (veureFigura 1). Aleshores el Jacobia corresponent surt mes senzill. En efecte:
det∂(u, v, w)
∂(x, y, z)=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−y2
x22y
x0
0 −z2
y22z
y
2x
z0 −x2
z2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −7,
d’on: ∣∣∣∣det∂(x, y, z)
∂(u, v, w)
∣∣∣∣ =1∣∣∣∣det
∂(u, v, w)
∂(x, y, z)
∣∣∣∣ =1
7.
Llavors el calcul del volum es simplifica encara mes:
V =
∫∫∫D
dx dy dz =
∫∫∫D′
∣∣∣∣det∂(x, y, z)
∂(u, v, w)
∣∣∣∣du dv dw
=1
7
∫ a
1du
∫ a
1dv
∫ a
1dw =
1
7
(∫ a
1du
)3
=(a− 1)3
7.
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