17’

(a) D: Domini definit per les superfıcies,x2 = z, y2 = x, z2 = y,x2 = az, y2 = ax, z2 = ay.

(b) D′ : 1 ≤ u ≤ a, 1 ≤ v ≤ a, 1 ≤ w ≤ a.

Figura 1. Transformacio del domini D en D′ pel canvi (1).

Nota

Alternativament, es comprova d’immediat que el canvi

u =y2

x, v =

z2

y, w =

x2

z, (1)

transforma el domini original D, en D′ = [1, a]× [1, a]× [1, a]. Es a dir, en un cub d’aresta a−1 (veureFigura 1). Aleshores el Jacobia corresponent surt mes senzill. En efecte:

det∂(u, v, w)

∂(x, y, z)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−y2

x22y

x0

0 −z2

y22z

y

2x

z0 −x2

z2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −7,

d’on: ∣∣∣∣det∂(x, y, z)

∂(u, v, w)

∣∣∣∣ =1∣∣∣∣det

∂(u, v, w)

∂(x, y, z)

∣∣∣∣ =1

7.

Llavors el calcul del volum es simplifica encara mes:

V =

∫∫∫D

dx dy dz =

∫∫∫D′

∣∣∣∣det∂(x, y, z)

∂(u, v, w)

∣∣∣∣du dv dw

=1

7

∫ a

1du

∫ a

1dv

∫ a

1dw =

1

7

(∫ a

1du

)3

=(a− 1)3

7.