Universidad de San Carlos de Guatemala Departamento de Matemáticas
Facultad de Ingeniería Matemática Intermedia 1 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CLAVE-107-1-M-1-00-2018
CURSO: Matemática Intermedia 1
SEMESTRE: Primer Semestre 2018
CÓDIGO DEL CURSO: 107
TIPO DE EXAMEN: Primer Parcial
FECHA DE EXAMEN: Febrero de 2018
RESOLVIÓ EL EXAMEN: B’alam Luis Gregorio Lol
Alvarez
DIGITALIZÓ EL EXAMEN: B’alam Luis Gregorio Lol
Alvarez
REVISÓ EL EXAMEN: Ing. Arturo Samayoa
UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA DEPARTAMENTO MATEMÁTICA
FACULTAD DE INGENIERÍA MATEMATICA INTERMEDIA 1
ESCUELA DE CIENCIAS PRIMER EXAMEN PARCIAL
TEMARIO “A”
Tema No. 1 ( 10 Puntos)
Utilizando el método de eliminación de Gauss, encuentre la solución del siguiente problema:
El alimento H tiene 16 calorías por libra y 9 unidades de vitaminas por libra, el alimento G tiene 48 calorías por
libra y 25 unidades de vitaminas por libra, y el alimento P tiene 80 calorías por libra y 41 unidades de vitaminas
por libra. Se desea preparar una mezcla de 20 libras de los alimentos H, G y P que contenga un total de 960
calorías y 500 unidades de vitaminas. Encuentre las libras de H, G y P que cumplen con estos requerimientos si
es posible o muestre que la información es insuficiente o incorrecta ya que es inconsistente. Razone su respuesta.
Tema No. 2 (11 Puntos)
a) Determine todos los valores de x , para que la matriz NO TENGA INVERSA.
2 3
0 1 4
0 0 2
x
x
x( 4pts)
b) Encuentre el determinante utilizando cofactores ( indicando todos los pasos seguidos):
1 4 1 3
2 0 0 1
2 2 2 3
2 4 6 5 ( 7 pts.)
Tema No. 3 (13 Puntos)
Dado: 8
2 4
x y
x y
a) Encuentre la matriz inversa de la matriz de coeficientes de dos formas por:
i) 1A I I A ii) Por la Adjunta de (por cofactores). ( 5 pts. c/u)
b) Encuentre la solución del sistema utilizando la matriz inversa encontrada. ( 3 pts.)
Tema No. 4 (12Puntos)
Cada una de las siguientes matrices, son matrices aumentadas. Encuentre la solución del sistema que representan
si tiene solución única o infinitas (exprese en forma matricial), nombre las incógnitas como lo desee.
𝑎) (1 −1 0 −1 ⋮ 10 0 1 0 ⋮ 3
) 𝑏) (1 2 ⋮ 30 1 ⋮ 10 0 ⋮ 0
) 𝑐) (1 0 ⋮ 40 1 ⋮ 20 0 ⋮ −1
)
Tema No. 5 (9 Puntos)
Determine los valores de K tal que el sistema de YX & tenga: i) Sol. única ii) Ninguna iii) Infinitas
soluciones. Razone su respuesta. 1 8 0
( 1) 0
K X Y
X K Y
Tema No. 6 (45 Puntos) Calcule: (9 pts c/u)
i) 2
3245 xx
dx ii) 1sen xdx
iii)
4sec
tan
xdx
x iv)
2
2
( 4)
( 1)( 3)
x dx
x x
v)
3
2 4
x dx
x
UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA DEPARTAMENTO MATEMÁTICA
FACULTAD DE INGENIERÍA MATEMATICA INTERMEDIA 1
ESCUELA DE CIENCIAS PRIMER EXAMEN PARCIAL
SOLUCIÓN
Tema No. 1 ( 10 Puntos)
Utilizando el método de eliminación de Gauss, encuentre la solución del siguiente problema:
El alimento H tiene 16 calorías por libra y 9 unidades de vitaminas por libra, el alimento G tiene 48 calorías por
libra y 25 unidades de vitaminas por libra, y el alimento P tiene 80 calorías por libra y 41 unidades de vitaminas
por libra. Se desea preparar una mezcla de 20 libras de los alimentos H, G y P que contenga un total de 960
calorías y 500 unidades de vitaminas. Encuentre las libras de H, G y P que cumplen con estos requerimientos si
es posible o muestre que la información es insuficiente o incorrecta ya que es inconsistente. Razone su respuesta
No. Explicación Operatoria
1 Para plantear la primera ecuación del
sistema se utiliza la información sobre la
cantidad total de libras que se quieren
obtener dadas tres cantidades distintas
𝑥 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐻
𝑦 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐺
𝑧 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑃
𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 20 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 20
2 Para la segunda ecuación se analiza la
cantidad de calorías por libra que aportará
cada alimento a la mezcla total, para esto
se multiplica la cantidad que se toma de
cada alimento y por su aporte de calorías
por libra, esto debe ser igual al numero total
de calorías que se requiere en la mezcla de
alimentos
16𝑥 + 48𝑦 + 80𝑧 = 960
3 Para la tercera ecuación se analiza la
cantidad de vitaminas por libra que aportará
cada alimento a la mezcla total, para esto
se multiplica la cantidad que se toma de
cada alimento y por su aporte de vitaminas
por libra, esto debe ser igual al numero total
de vitaminas que se requiere en la mezcla
de alimentos
9𝑥 + 25𝑦 + 41𝑧 = 500
4 El sistema queda de las siguiente forma {16
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 20𝑥 + 48𝑦 + 80𝑧 = 9609𝑥 + 25𝑦 + 41𝑧 = 500
5 El primer paso para aplicar el método de
reducción Gaussiana es escribir la matriz
aumentada del sistema
⌊1 1 1 20
16 48 80 9609 25 41 500
⌋
UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA DEPARTAMENTO MATEMÁTICA
FACULTAD DE INGENIERÍA MATEMATICA INTERMEDIA 1
ESCUELA DE CIENCIAS PRIMER EXAMEN PARCIAL
6 Se comienza reduciendo el segundo y
tercer elemento de la primera columna a
cero, para hacerlo de forma correcta
siempre se utilizará una operación entre la
fila que queremos afectar y la fila en la
que esta el elemento pivote de esa
columna.
En este caso la fila donde esta el pivote es
a fila uno.
*Elemento pivote: Elemento que se
encuentra en a diagonal principal de una
matriz
𝐹2 = 16𝐹1 − 𝐹2
𝐹3 = 9𝐹1 − 𝐹3
𝐸𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒:
⌊1 1 1 200 −32 −64 −6400 −16 −32 −320
⌋
7
Se procede a reducir el elemento 3 de la
columna 2, utilizando operaciones entre la
fila que se quiere simplificar y la fila que
contiene el elemento pivote que en este
caso es la fila 2
Debe notarse que una fila completa se
elimina por lo tanto se tendrán infinitas
soluciones para este sistema
𝐹3 = 𝐹2 − 2𝐹3
𝐸𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒:
⌊1 1 1 200 −32 −64 −6400 0 0 0
⌋
8 El método de eliminación Gaussina
requiere llevar la matriz aumentada a una
forma escalonada para luego usar
sustituciones y encontrar los valores de las
variables que cumplen con el sistema.
Dado que en este sistema se elimina
completamente una fila ya no es posible
terminar de resolver por este método, se
procede entonces a utilizar el método de
Gauss-Jordan, que consiste en llevar el
sistema una matriz escalonada reducida,
esto permitirá determinar las infinitas
soluciones del sistema
𝐹1 = 32𝐹1 + 𝐹2
𝐸𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒:
⌊32 0 −32 00 −32 −64 −6400 0 0 0
⌋
9 Se procede a reducir los elementos pivotes
para que sean iguales a 1
𝐹1 = 𝐹1/32
𝐹2 = −𝐹2/32
𝐸𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒:
⌊1 0 −1 00 1 2 200 0 0 0
⌋
UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA DEPARTAMENTO MATEMÁTICA
FACULTAD DE INGENIERÍA MATEMATICA INTERMEDIA 1
ESCUELA DE CIENCIAS PRIMER EXAMEN PARCIAL
Tema No. 2 (11 Puntos)
a) Determine todos los valores de x , para que la matriz NO TENGA INVERSA.
2 3
0 1 4
0 0 2
x
x
x( 4pts)
b) Encuentre el determinante utilizando cofactores ( indicando todos los pasos seguidos):
1 4 1 3
2 0 0 1
2 2 2 3
2 4 6 5 ( 7 pts.)
No. Explicación Operatoria
1 Para el inciso “a” se debe recordar que si
el determinante de una matriz es igual a
cero entonces la matriz no será invertible
es decir que no tiene inversa
𝑆𝑖 det(𝐴) = 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎
2 Para hallar el determinante de una matriz
triangular superior se deben multiplicar los
elementos de la diagonal principal
𝐴 = (𝑥 2 30 𝑥 − 1 40 0 𝑥 + 2
)
𝐷𝑒𝑡(𝐴) = (𝑥)(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
3 Para que la matriz no tenga inversa se
iguala el determinante a cero y se resuelve
para “x”
𝐷𝑒𝑡(𝐴) = 0
(𝑥)(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) = 0
𝑥 = 0
𝑥 = 1
𝑥 = −2
4 Para determinar el determinante de la
matriz A se usará el método de cofactores
y la fila 2, ya que es la que tiene el mayor
numero de elementos cero
𝐴 = [
1 4 1 32 0 0 12
−224
2−6
35
]
10
Dado que las cantidades “y” y “x” solo
dependen de la cantidad “z” y no entre sí, el
sistema puede tener Infinitas soluciones
Siendo la ecuaciones para las infinitas
solución la siguientes:
𝑥 = 𝑧
𝑦 = 20 − 2𝑧
𝐿𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA DEPARTAMENTO MATEMÁTICA
FACULTAD DE INGENIERÍA MATEMATICA INTERMEDIA 1
ESCUELA DE CIENCIAS PRIMER EXAMEN PARCIAL
𝑈𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 2
𝐷𝑒𝑡(𝐴) = 𝐶21𝑎21 + 𝐶22𝑎22 + 𝐶23𝑎23 + C24a24
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒:
𝑎21 = 2
𝑎22 = 0
𝑎23 = 0
𝑎24 = 1
𝐷𝑒𝑡(𝐴) = 𝐶21𝑎21 + 𝐶24𝑎24
5 Para obtener los cofactores se necesita
obtener el determinante de la matriz menor
que se obtiene al anular la fila y columna
del cofactor que se esta trabajando
Para estos determinantes también se
usará el método de cofactores, utilizando la
fila 1 en cada uno de ellos
𝑐21 = (−1)2+1 |4 1 32 2 34 −6 5
| =
|4 1 32 2 34 −6 5
| =
(4)(−1)1+1 |2 3
−6 5| + (1)(−1)1+2 |
2 34 5
| +
(3)(−1)1+3 |2 24 −6
|
= 4(10 + 18) − 1(10 − 12) + 3(−12 − 8) = 54
𝑐21 = (−1)2+1 ∗ 54 = −54
𝑐24 = (−1)2+4 |1 4 12 2 2
−2 4 −6|
|1 4 12 2 2
−2 4 −6| =
(1)(−1)1+1 |2 24 −6
| + (4)(−1)1+2 |2 2
−2 −6|
+ (1)(−1)1+3 |2 2
−2 4|
= (−12 − 8) − 4(−12 + 4) + (8 + 4) = 24
𝑐24 = (−1)2+4 ∗ 24 = 24
6 Regresando al planteamiento original
𝐷𝑒𝑡(𝐴) = (2)(−54) + (1)(24)
𝐷𝑒𝑡(𝐴) = −84
UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA DEPARTAMENTO MATEMÁTICA
FACULTAD DE INGENIERÍA MATEMATICA INTERMEDIA 1
ESCUELA DE CIENCIAS PRIMER EXAMEN PARCIAL
Tema No. 3 (13 Puntos)
Dado: 8
2 4
x y
x y
a) Encuentre la matriz inversa de la matriz de coeficientes de dos formas por:
i) 1A I I A ii) Por la Adjunta de (por cofactores). ( 5 pts. c/u)
b) Encuentre la solución del sistema utilizando la matriz inversa encontrada. ( 3 pts.)
No Explicación Operatoria
1 Primero se obtiene la matriz de
coeficientes del sistema 𝐴 = [
1 11 2
]
2 Ahora se adjunta la matriz identidad y se
empieza a aplicar operaciones entre filas
para convertir la matriz A en la matriz
identidad
(1 11 2
|1 00 1
)
𝐹2 = 𝐹2 − 𝐹1
(1 10 1
|1 0
−1 1)
𝐹1 = 𝐹1 − 𝐹2
(1 00 1
|2 −1
−1 1)
3 Al llevar la matriz A a una forma
escalonada reducida en el lado derecho se
obtiene la matriz Inversa de A
𝐴−1 = [2 −1
−1 1]
4 Se usará el método de cofactores para
hallar la matriz inversa
𝐴−1 = 1
𝐷𝑒𝑡(𝐴)𝐶𝑇
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒:
𝐶𝑇 , 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑎𝑑𝑗𝑢𝑛𝑡𝑎
5 Se escribe el sistema en forma de producto
matricial
Se calcula el determinante
[1 11 2
] [𝑥𝑦] = [
8−4
]
Donde:
𝐴 = [1 11 2
]
𝐷𝑒𝑡(𝐴) = (1 ∗ 2) − (1 ∗ 1) = 1
6 Se calculan los cofactores, anulando a fila
y la columna del elemento que se está
trabajando
𝑐11 = (−1)1+1(2) = 2
𝑐12 = (−1)1+2(1) = −1
𝑐21 = (−1)2+1(1) = −1
𝑐22 = (−1)2+2(1) = 1
UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA DEPARTAMENTO MATEMÁTICA
FACULTAD DE INGENIERÍA MATEMATICA INTERMEDIA 1
ESCUELA DE CIENCIAS PRIMER EXAMEN PARCIAL
7 La matriz de cofactores que se obtiene es:
𝐶 = [2 −1
−1 1]
8 Se determina la matriz Inversa de la
siguiente forma
*Para este particular caso la matriz de
cofactores y su traspuesta son iguales
𝐴−1 = 1
𝐷𝑒𝑡(𝐴)𝐶𝑇
𝐴−1 = 1
1[
2 −1
−1 1]
𝑇
𝐴−1 = [2 −1
−1 1]
9 Se determina la solución del sistema de
ecuaciones de la siguiente forma 𝑋 = 𝐴−1. 𝐵
𝑋 = [2 −1
−1 1] . [
8−4
]
𝑋 = [(2)(8) + (−1)(−4)(−1)(8) + (1)(−4)
]
𝑋 = [20
−12]
10 La solución del sistema es 𝑥 = 20, 𝑦 = −12
Tema No. 4 (12Puntos)
Cada una de las siguientes matrices, son matrices aumentadas. Encuentre la solución del sistema que representan
si tiene solución única o infinitas (exprese en forma matricial), nombre las incógnitas como lo desee.
𝑎) (1 −1 0 −1 ⋮ 10 0 1 0 ⋮ 3
) 𝑏) (1 2 ⋮ 30 1 ⋮ 10 0 ⋮ 0
) 𝑐) (1 0 ⋮ 40 1 ⋮ 20 0 ⋮ −1
)
No. Explicación Operatoria
1 El sistema representado en la inciso “a”
ya se encuentra en forma de matriz
escalonada reducida.
*Matriz Escalonada reducida: matriz en forma
escalonada en la cual los elementos arriba y
debajo de los pivotes son cero
Se escribe la matriz aumentada como
un sistema de ecuaciones, para
determinar de forma directa el valor de
una de las variables
(1 −1 0 −1 ⋮ 10 0 1 0 ⋮ 3
)
𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎:
𝑥 − 𝑦 + (0)𝑧 − 𝑤 = 1
𝑧 = 3
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 "𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤" 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
2 Dado que se observa que el sistema
tiene más variables que ecuaciones, se
concluye que tiene infinitas soluciones
UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA DEPARTAMENTO MATEMÁTICA
FACULTAD DE INGENIERÍA MATEMATICA INTERMEDIA 1
ESCUELA DE CIENCIAS PRIMER EXAMEN PARCIAL
Se procede a escribir las soluciones en
forma matricial
Para escribir en forma vectorial se
asigna los siguientes parámetros a las
variables
𝑦 = 𝑠
𝑤 = 𝑡
3 Para escribir el sistema en forma
vectorial se despeja la variable “x” de
las ecuaciones, en realidad se puede
despejar cualquiera de las variables
pero se recomienda hacer un despeje
de tal forma que una variable incluya al
mayor numero posible de las otras
variables
𝑥 = 𝑦 + 𝑤 + 1
𝑧 = 3
𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒:
𝑦 = 𝑠
𝑤 = 𝑡
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝑥 = 𝑠 + 𝑡 + 1
𝑧 = +3
4 Ahora se escriben todas las variables
en términos de los parámetros “s” y “t”,
para ordenarlos en 3 vectores
columnas, uno por cada parámetro y
otro para los valores constantes
Se debe observar que el contenido de
cada vector es el coeficiente del
parámetro presente en la variable
trabajada, si la variable esta despejada
en términos de un solo parámetro, en
todos los demás vectores tiene un
coeficiente cero asignado
𝑋 = [
𝑥𝑦𝑧𝑤
] = [
1100
] 𝑠 + [
1001
] 𝑡 + [
1030
]
5 Para el sistema representado en el
inciso “b” se debe notar que ya se
encuentra en forma de matriz
escalonada, por lo tanto se procede
resolver con el método de eliminación
Gaussiana
Se usarán las variables “x,y” para
escribir las ecuaciones de este
sistema”
(1 2 ⋮ 30 1 ⋮ 10 0 ⋮ 0
)
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠:
𝑥 + 2𝑦 = 3
𝑦 = 1
0 = 0
6 Se despeja “x” de la primera ecuación
y se sustituye el valor de “y” encontrado
𝑥 = 3 − 2𝑦
𝑥 = 3 − 2(1) = 1
7 Las soluciones de este sistema son: 𝑥 = 1, 𝑦 = 1
UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA DEPARTAMENTO MATEMÁTICA
FACULTAD DE INGENIERÍA MATEMATICA INTERMEDIA 1
ESCUELA DE CIENCIAS PRIMER EXAMEN PARCIAL
8 Para el sistema representado en el
inciso “c” se debe notar que ya se
encuentra en forma de matriz
escalonada reducida
Se usarán las variables “x,y” para
escribir las ecuaciones de este sistema
En la ultima fila se observa una
contradicción
(1 0 ⋮ 40 1 ⋮ 20 0 ⋮ −1
)
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠:
𝑥 + (0)𝑦 = 4
(0)𝑥 + 𝑦 = 2
0 = −1
9 Dado que en la ultima ecuación se
obtiene una expresión falsa se
concluye que el sistema no tiene
soluciones
𝐷𝑒 𝑙𝑎 𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎
0 ≠ −1
𝐸𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
Tema No. 5 (9 Puntos)
Determine los valores de K tal que el sistema de YX & tenga: i) Sol. única ii) Ninguna iii) Infinitas
soluciones. Razone su respuesta. 1 8 0
( 1) 0
K X Y
X K Y
No. Explicación Operatoria
1 Para que el sistema no tenga soluciones
o infinitas soluciones el determinante de
la matriz de coeficiente debe ser cero
𝐴 = [𝑘 − 1 8
1 𝑘 + 1]
𝐷𝑒𝑡(𝐴) = (𝑘 − 1)(𝑘 + 1) − 8 = 0
2 Se resuelve la ecuación y se obtienen
los valores de “k” para que el sistema no
tenga soluciones o infinitas soluciones
𝑘2 − 1 − 8 = 0
𝑘2 = 9
𝑘 = 3 𝑘 = −3
3 Dado que el sistema es homogéneo siempre tendrá solución trivial, por lo tanto NO hay valores
de 𝑘 que provoquen ninguna solución, a continuación se verifica esto:
4 Ahora se prueba los valores de “k”
encontrados
Se observa que la segunda ecuación es
un múltiplo de la primera
Por lo tanto el sistema tiene infinitas
soluciones
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 3
4𝑥 + 8𝑦 = 0
𝑥 + 2𝑦 = 0
𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝐹1 = 4𝐹2
𝐸𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝐼𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA DEPARTAMENTO MATEMÁTICA
FACULTAD DE INGENIERÍA MATEMATICA INTERMEDIA 1
ESCUELA DE CIENCIAS PRIMER EXAMEN PARCIAL
5 Se resuelve por Gauss-Jordan
(4 8 01 2 0
)
𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐹2 = 4𝐹2 − 𝐹1
(4 8 00 0 0
)
4𝑥 + 8𝑦 = 0
𝑥 = −2𝑦
6 Se prueba el siguiente valor de “k” 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑘 = −3
−2𝑥 + 8𝑦 = 0
𝑥 − 4𝑦 = 0
𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝐹1 = −2𝐹2
𝐸𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝐼𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
7 Se resuelve por Gauss-Jordan
(−2 8 01 −4 0
)
𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐹2 = 2𝐹2 + 𝐹1
(−2 8 00 0 0
)
−2𝑥 + 8𝑦 = 0
𝑥 = 4𝑦
8 Ahora que se verificó que tipo de
soluciones provocan los valores de “k”
que hacen cero el determinante se
concluye que:
𝑖) 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 ≠ ±3
𝑖𝑖)𝑁𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑘, (𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑜)
𝑖𝑖) 𝐼𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = ±3
Tema No. 6 (45 Puntos) Calcule: (9 pts c/u)
i) 2
3245 xx
dx ii) 1sen xdx
iii)
4sec
tan
xdx
x iv)
2
2
( 4)
( 1)( 3)
x dx
x x
v)
3
2 4
x dx
x
No. Explicación Operatoria
1 i) Primero se completa el cuadrado del
polinomio del denominador
5 − 4𝑥 − 𝑥2
−(𝑥2 + 4𝑥) + 5
−(𝑥2 + 4𝑥 + 4) + 5 + 4
9 − (𝑥 + 2)2
UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA DEPARTAMENTO MATEMÁTICA
FACULTAD DE INGENIERÍA MATEMATICA INTERMEDIA 1
ESCUELA DE CIENCIAS PRIMER EXAMEN PARCIAL
2 i)Se resolverá por sustitución
trigonométrica utilizando las siguientes
sustituciones
∫1
(9 − (𝑥 + 2)2)32
𝑑𝑥
∫1
(√9 − (𝑥 + 2)2)3 𝑑𝑥
𝑆𝑒𝑛(𝜃) =𝑥 + 2
3
𝑥 = 3𝑆𝑒𝑛(𝜃) − 2
𝑑𝑥 = 3𝐶𝑜𝑠(𝜃)𝑑𝜃
𝐶𝑜𝑠(𝜃) = √9 − (𝑥 + 2)2
3
𝑇𝑎𝑛(𝜃) = 𝑥 + 2
√9 − (𝑥 + 2)2
3 Se sutituye en la integral original y se
simplifica
∫1
(√9 − (𝑥 + 2)2)3 𝑑𝑥 = ∫
3𝐶𝑜𝑠(𝜃)
(3𝐶𝑜𝑠(𝜃))3 𝑑𝜃
∫1
9𝐶𝑜𝑠2(𝜃)𝑑𝜃 =
1
9∫ 𝑆𝑒𝑐2(𝜃)𝑑𝜃
4 Se resuelve la integral de secante al
cuadrado de forma directa como la
tangente del ángulo
1
9∫ 𝑆𝑒𝑐2(𝜃)𝑑𝜃 =
1
9 𝑇𝑎𝑛(𝜃)
5 Se utiliza una de las sustituciones
iniciales para volver a la variable “x”
1
9 𝑇𝑎𝑛(𝜃) =
1
9
𝑥 + 2
√9 − (𝑥 + 2)2
UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA DEPARTAMENTO MATEMÁTICA
FACULTAD DE INGENIERÍA MATEMATICA INTERMEDIA 1
ESCUELA DE CIENCIAS PRIMER EXAMEN PARCIAL
6 Simplificando…
∫1
(9 − (𝑥 + 2)2)32
𝑑𝑥 =𝑥 + 2
9√5 − 4𝑥 − 𝑥2+ 𝐶
7 ii) Se inicia haciendo la sustitución que
se muestra a continuación para resolver
por integración por partes
∫ 𝑆𝑒𝑛−1(𝑥)𝑑𝑥
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛−1(𝑥) 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥
𝑑𝑢 =1
√1 − 𝑥2𝑑𝑥 𝑣 = 𝑥
𝑥 𝑠𝑒𝑛−1𝑥 − ∫𝑥
√1 − 𝑥2𝑑𝑥
8 Ahora se resuelve la integral que quedo
haciendo la siguiente sustitución 𝑚 = 1 − 𝑥2
𝑑𝑚 = −2𝑥 𝑑𝑥
∫𝑥
√1 − 𝑥2𝑑𝑥 =
−1
2∫
𝑑𝑚
√𝑚
−1
2∫
𝑑𝑚
√𝑚= −𝑚
1
2 = −√1 − 𝑥2 + 𝐶
9 Ahora se unen las dos partes de la
integración por partes ∫ 𝑆𝑒𝑛−1(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛−1𝑥 + √1 − 𝑥2 + 𝐶
10 iii) Primer se separa la función secante
a la cuarta potencia ∫
sec4 𝑥
√tan 𝑥𝑑𝑥 = ∫
sec2 𝑥 sec2 𝑥
√tan 𝑥𝑑𝑥
11
Se usa una identidad trigonométrica
para escribir el integrando en forma
más conveniente
1 + tan2 𝑥 = sec2 𝑥
∫sec2 𝑥 sec2 𝑥
√tan 𝑥𝑑𝑥 = ∫
(1 + tan2 𝑥) sec2 𝑥
√tan 𝑥𝑑𝑢
12 Se realiza una sustitución para la
función tangente
𝑢 = tan 𝑥
𝑑𝑢 = sec2 𝑥 𝑑𝑥
∫1 + 𝑢2
√𝑢𝑑𝑢
UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA DEPARTAMENTO MATEMÁTICA
FACULTAD DE INGENIERÍA MATEMATICA INTERMEDIA 1
ESCUELA DE CIENCIAS PRIMER EXAMEN PARCIAL
13 Se simplifica y luego se integra respecto
a la variable “u” ∫ 𝑢−
12 + 𝑢
32 𝑑𝑢
2 𝑢1/2 +2
5𝑢5/2
14 Se vuelve a sustituir para encontrar para
dejar todo en términos de la variable “x” 𝑢 = tan 𝑥
2 (tan 𝑥)1/2 +2
5(tan 𝑥)5/2 + 𝐶
15 iv) Dado que en esta integral el
denominador esta completamente
factorizado se procede a expresar el
integrando con fracciones parciales
∫𝑥2 + 4
(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)2𝑑𝑥
𝑥2 + 4
(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)2=
𝐴
𝑥 − 1+
𝐵
𝑥 + 3+
𝐶
(𝑥 + 3)2
16 Se multiplica el planteamiento de
fracciones parciales por el denominador
del integrando
𝑥2 + 4 = 𝐴(𝑥 + 3)2 + 𝐵(𝑥 − 1)(𝑥 + 3) + 𝐶(𝑥 − 1)
17 Para encontrar los valores de las
constantes se asignan valores a la
variable “x” que hagan cero alguno de
los factores en el lado derecho
𝑆𝑖 𝑥 = −3
(−3)2 + 4 = 𝐴(0)2 + 𝐵(0) + 𝐶(−3 − 1)
13 = −4𝐶
𝐶 =− 13
4
18 Para encontrar el valor de la constante
“A” se le asigna el valor de 1 a la variable
“x”
𝑆𝑖 𝑥 = 1
12 + 4 = 𝐴(1 + 3)2 + 𝐵(0) + 𝐶(0)
5 = 16𝐴
𝐴 =5
16
19 Ya que se conocen los valores de todas
las variables excepto una, se le asigna
cualquier valor a “x” que no elimine la
constante B y se sustituyen los valores
de A y C que ya se conocen
𝑆𝑖 𝑥 = 0
4 =5
16(3)2 + 𝐵(−1)(3) −
13
4(−1)
−33
16= −3𝐵
𝐵 =11
16
UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA DEPARTAMENTO MATEMÁTICA
FACULTAD DE INGENIERÍA MATEMATICA INTERMEDIA 1
ESCUELA DE CIENCIAS PRIMER EXAMEN PARCIAL
20 Se sustituye el integrando por las
fracciones parciales que se encontraron
𝑥2 + 4
(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)2=
5/16
𝑥 − 1+
11/16
𝑥 + 3+
−13/4
(𝑥 + 3)2
∫ (
516
𝑥 − 1+
1116
𝑥 + 3+
−134
(𝑥 + 3)2) 𝑑𝑥
21 Se separa en 3 integrales distindas y se
resuelva cada una
5
16∫
𝑑𝑥
𝑥 − 1+
11
16∫
𝑑𝑥
𝑥 + 3−
13
4∫
𝑑𝑥
(𝑥 + 3)2
𝑢 = 𝑥 − 1 → 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑣 = 𝑥 + 3 → 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥
5
16∫
𝑑𝑢
𝑢+
11
16∫
𝑑𝑣
𝑣−
13
4∫
𝑑𝑣
𝑣2
5
16𝐿𝑛|𝑢| +
11
16𝐿𝑛|𝑣| +
13
4𝑣
22 Se vuelve a la variable “x” 𝑆𝑖 𝑢 = 𝑥 − 1 𝑦 𝑣 = 𝑥 + 3 5
16𝐿𝑛|𝑥 − 1| +
11
16𝐿𝑛|𝑥 + 3| +
13
4(𝑥 + 3)+ 𝐶
23 v) Dado que el grado del polinomio en el
numerador es mayor que el grado del
polinomio del denominador se realiza
división larga para encontrar una
expresión simplificada
∫𝑥3
𝑥2 + 4𝑑𝑥
𝑥3
𝑥2 + 4= 𝑥 −
4𝑥
𝑥2 + 4
24 Se reescribe el integrado, se separa en
dos integrales y se resuelve cada una
∫𝑥3
𝑥2 + 4𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 −
4𝑥
𝑥2 + 4 𝑑𝑥
∫ 𝑥 𝑑𝑥 =𝑥2
2
∫ −4𝑥
𝑥2 + 4𝑑𝑥
𝑢 = 𝑥2 + 4 → 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥
−4
2∫
1
𝑢𝑑𝑢 = −2 𝐿𝑛 |𝑢| = − 2𝐿𝑛|𝑥2 + 4|
25 El resultado es: ∫
𝑥3
𝑥2 + 4𝑑𝑥 =
𝑥2
2− 2 𝐿𝑛|𝑥2 + 4| + 𝐶
Dudas o correcciones al correo: [email protected]
Top Related