“Año de la Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de la Educación”

MATEMATICA BASICAS

CICLO:

1

ALUMNO:

2015214443: HUAYNASO CHIPANA OMAR ANGEL

DOCENTE:

MIGUEL MELGAREJO QUIJANDRIA

TACNA-PERU

2015

PREGUNTAS:

OPERACIONES CON CONJUNTOS

A) Dados lo siguientes conjuntos, represente mediante un Diagrama de Venn – Euler la solución a cada operación de conjuntos e indique qué elementos forman la solución.

U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 15 }

A = { 4, 8, 10, 12 } B = { 3, 6, 9, 12, 15 }

C = { 1, 2, 3, 11, 12, 13 } D = { 1, 5, 6, 10, 11 }

E = {12, 13, 14, 15}

a) A B b) (A B)´ c) (D E) – A

d) B C e) A´ f) B´

g) E´ D h) B E i) B E

j) A C k) ( B C)´ l) ( C D )´

m) ( A D )´ n) ( E C )´

SOLUCION:

a) AUB = [3, 4, 6, 8, 9, 10, 12,15] b) (A∩B)’ = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15]

c) (D∩E) – A = [ ] d) B U C = [1, 2, 3, 6, 9, 11, 12, 13, 15]

e) A’ = [1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15] f) B’ = [1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14]

g)E’∩D = [1, 5, 6, 10, 11] h) B∩E = [12, 15]

i) BUE = [3, 6, 9, 12, 13, 14, 15] j) AUC = [1, 2, 3, 4, 8, 10, 11, 12, 13]

k) (BUC)’ = [4, 5, 7, 8, 10, 14] l) (C∩D)’ = [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15]

m) (A∩D)’= [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15]

n) (EUC)’ = [4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]

B) Clasifique en verdadero o falsa las siguiente sentencias (utilizando diagramas):

1) ( A−B )∪(B−A )=( A∪B )−( A∩B )

2) A−B⊂Bc

3) A−B⊂ Ac

SOLUCION:

1) ( A−B )∪(B−A )=( A∪B )−( A∩B )

A-B = [a] A U B = [a, b, c]

B-A = [c] A ∩ B = [c]

(A-B) U (B-A) = [a, c] (A U B) - (A ∩ B) = [a, c]

2) A−B⊂Bc

B’ = [a, d]

A-B = [a]

A−B⊂Bc : es (V) porque

El subconjunto [a] está incluido en

B’ = [a, d]

3) A−B⊂ Ac

A-B = [a]

A’ = [c, d]

A−B⊂ Ac: es (F) porque

El subconjunto [a] no esta

Incluido en A’ = [c, d]

C) Si de un conjunto se pueden obtener 16 subconjuntos, entonces por cuántos elementos está formado el conjunto

SOLUCION:

La cantidad de subconjuntos, incluido el conjunto vacío y el propio conjunto (subconjuntos triviales) 

es igual a 2n donde n es la cantidad de elementos. 

Como  24=16

deducimos que el conjunto tiene 4 elementos. 

D) Dados los conjuntos A y B tales qué # A = 4, # B = 5 y # A∩B=3 , determine el número de subconjuntos de A∪B

SOLUCION:

#P (AUB) = 2¿( AUB)

# (AUB) = #A + #B - # (A∩B) = 4 + 5 - 3 = 6

Luego #P (AUB) = 26=64

E) Dado el conjunto A = {t, a, d}, represente al conjunto potencia de A?

SOLUCION:

 P(A) = {(t), (a), (d), (a, t), (a, d), (t, d), (a, t, d), (O)}

* {O} = Conjunto vacío.*P(A) = Conjunto potencia de A

Por lo tanto del conjunto obtenido se puede decir: que el conjunto P(A) tiene

23=8 Subconjuntos

F) Determine cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) falsas :

I. Φ ' = U

II. A ∩ A' = U

III. A U A' = U

SOLUCION:

A’ = [X/X ϵ U Ʌ X Ɇ A]

I. Φ ' = U (V)

II. A ∩ A' = U (F)

III. A U A' = U (V)

G) Las proposiciones siguientes son verdaderas x ∈ A, x ∉ B, y ∈ A, y ∈ B, y ∉ C, z ∉ A, z ∉ B, z ∈ C .Determinar el valor de verdad de:

a) y ∉ B v z ∈ A

b) x ∉ C v y ∈ B

c) x ∈ A ⇔ y∈ C

d) (x ∈ A ⇒ z ∈ C) ⇒ (y ∉ A ⇒ z ∈ B)

e) (z ∈ A ⇒ x ∈ B) ⇒ y ∈ B

SOLUCION:

Reemplazar el valor de verdad en cada ejercicio q te piden : 

a) y ∉ B v z ∈ A => (Dice que: y ∉ B por lo tanto es falso) (Dice que: z ∈ A por lo tanto es falso) Reemplazo valor de verdad: F v F = F 

b) x ∉ C v y ∈ B => (V o F) v V = V 

c) x ∈ A ⇔ y∈ C => V ⇔ F = F 

d) (x ∈ A ⇒ z ∈ C) ⇒ (y ∉ A ⇒ z ∈ B) => (V ⇒V) ⇒ (F ⇒F) V ⇒V = V 

e) (z ∈ A ⇒ x ∈ B) ⇒ y ∈ B => (F⇒F) ⇒V V⇒V = V 

H) Mostrar que los siguientes conjuntos son vacíos:

a) (A U B)' ∩ (C U B')'

b) A ∩ [B' U (C ∩ A')']'

SOLUCION:

Diagrama de Venn – Euler

A = [a, d, e, g]

B = [b, d, f, g]

C = [c, d, e, f]

U = [a, b, c, d, e, f, g, h]

a) (A U B)' ∩ (C U B')' = [O] [O] : Conjunto vacío

(A U B) = [a, b, d, e, f, g](A U B)' = [c, h]

B' = [a, c, e, h](C U B') = [a, c, d, e, f](C U B')' = [b, g, h]

b) A ∩ [B' U (C ∩ A')']' = [O] [O] : Conjunto vacío

B' = [a, c, e .h]A' = [b, c, f, h]

(C ∩ A') = [c, f](C ∩ A')' = [a, b, d, e, g, h]

[B' U (C ∩ A')'] = [a, b, c, d, e, g, h][B' U (C ∩ A')']' = [f]

ECUACIONES (1 ER GRADO)

a)2(3x+2)=4[2x-5(x-2)]

SOLUCION:

2(3x+2)=4[2x-5(x-2)]

6x + 4 = 8x -20(x-2)

6x +4 = 8x – 20x + 40

6x + 4 = -12x +40

18x = 36

X = 2

C.S. = [2]

b)15x=2(1+9x)-3

SOLUCION:15x=2(1+9x)-315x = 2+ 18x -3-13x = -113x = 1

X = 1

13

C.S. = [1

13]

c) 3(12-x)-4x=2(11-x)+9x

SOLUCION:

3(12-x)-4x=2(11-x)+9x36x – 3x - 4x = 22 – 2x +9x29x = 22 +7x22x = 22X= 1

C.S. = [1]

d)58. x+3=3(2x-4)

SOLUCION:

58. x+3=3(2x-4)58x +3 = 6x – 1252x = -15

X=−1552

C.S. = [−1552 ]

e)3x2

+ 2 = x + 4

SOLUCION:3x2

+ 2 = x + 4

3 x2

- x = 23 x−2x

2 = 2

X= 4C.S. = [4]

f)x - 8 =

x2

- x-63

SOLUCION:

(Multiplando por 3)… x - 8 =

x2

- x-63

3x – 24 = 3 x2 - 3(x−6)

3

(Multiplando por 2)… 3x – 24 = 3 x2 - 3(x−6)

3

6x – 48 = 2(3 x)

2 – 2(x - 6)

6x – 48 = 3x – 2x + 12

5x = 60

X = 12 C.S. = [12]

g)x -

3x4

= x7

+ 3

SOLUCION:

(Multiplando por 4)… x -

3x4

= x7

+ 3

4X – 3X = 4 x7 + 12

(Multiplando por 7)… 4X – 3X = 4 x7 + 12

28X – 21X = 4X + 84

3X= 84

X= 28

C.S. = [28]

ECUACIONES (2DO GRADO)

a) x2-7x+12=0 x=−b±√b2−4 ac2a

SOLUCION:

x2-7x+12=0

x=−(−7 )±√(−7)2−4(1)(12)

2(1)

a = 1

b= -7

c = 12

X1= 4

x2= 3

(x-4)(x-3) = x2-7x+12=0

C.S. = [3, 4]

b)x2-9x+18=0

SOLUCION: x=−(−9)±√(−9)2−4(1)(18)2(1)

x2-9x+18=0

a = 1

b= -9

c = 18

X1= 6

x2= 3

(x-6)(x-3) = x2-9x+18=0

C.S. = [3, 6]

c)x2-5x+6=0

SOLUCION:

x=−(−5)±√(−5)2−4 (1)(6)2 (1)

x2-5x+6=0

a = 1

b= -5

c = 6

X1= 2

x2= 3

(x-2)(x-3) = x2-5x+6 = 0

C.S. = [2, 3]

d) x2+8x+15=0

SOLUCION:

x=−(8)±√(8)2−4(1)(15)2 (1)

x2+8x+15=0

a = 1

b= 8

c = 15

X1= -5

x2= -3

(X+5)(X+3) = x2+8x+15=0

C.S. = [-5, -3]

e) x2-6x-27=0

SOLUCION:

x=−(−6)±√(−6)2−4 (1)(−27)2(1)

x2-6x-27=0

a = 1

b= -6

c = -27

X1= 9

x2= -3

(X-9)(X+3) = x2-6x-27=0

C.S. = [9, -3]

f) x2-6x+9=0

SOLUCION:

x=−(−6)±√(−6)2−4 (1)(9)2(1)

x2-6x+9=0

a = 1

b= -6

c = 9

X1= 3

x2= 3

(X-3)(X-3) = x2-6x+9=0

C.S. = [3, 3]

g) 1− x2

3−3 x+2

3=1

SOLUCION:

(Multiplicando por 3 a la ecuación)

1− x2

3−3 x+2

3=1

Y obtenemos la nueva ecuación

3 −¿ x2 - 3 x−2 = 3

(Despejando los 3 y multiplicando por -1) x2+3 x+2=0

x=−(3)±√(3)2−4 (1)(2)

2(1)

a = 1

b= 3

c = 2

X1= -2

x2= -1

(X+2)(X+1) = x2+3 x+2=0

C.S. = [-2, -1]

INECUACIONES LINEALES

a) 3 x – 2 < 1

SOLUCION:

3 x – 2 < 1 C.S. = < -∞, 1>

3X < 3

X < 1

b)

x+12

>4

SOLUCION:

x+12

>4

X+1 > 8 C.S. = < 7,+ ∞ >

X > 7

c) x + y 24

SOLUCION:

PASO 1: Reemplazando el de desigualdad por el signo =, obtenemos la siguiente ecuación x + y 24

Para graficar una recta, es suficiente hallar los puntos, Una forma sencilla de graficar la recta es hallar los interceptos con los ejes:

Para hallar el intercepto con el eje X, hacemos Y = 0

x + y = 24 

 x + (0) = 24 

x = 24

Para hallar el intercepto con el eje Y, hacemos X= 0

 x + y = 24

(0) + y = 24

Y= 24

Entonces se empieza a graficar

La recta con los valores dados:

X Y

24 0

0 24

Se puede observar que la recta graficada divide al plano cartesiano en 2 figuras

Y en la que la cual una de ellas es la verdadera grafica de la inecuación lineal

x + y 24

Para identificar la gráfica es necesario sacar valores de cada grafica

PRIMERO con la gráfica pintada de color verde sacamos cualquier valor de la figura pintada de verde para los variables “X” “Y” entonces agarramos los valores de [0, 0] y reemplazamos.

x + y 24

0 +0 24

0 24 (Es FALSO)

Entonces se sabe que la figura pintada de verde no cumple con la inecuación lineal entonces significa que la figura pintada de celeste es la figura correcta de la inecuación lineal

d) -2 x + 1 x – 3

SOLUCION:

-2 x + 1 x – 3

1+3 x + 2x

4 3x43

x

C.S. = [43 , + ∞ ]