Una perturbacin de una cuerda es de la forma
Una perturbacin de una cuerda es de la forma
con x e y medidos en centmetros y t en segundos. Demuestre que esta funcin verifica la ecuacin de ondas. Qu velocidad le corresponde?
2 Solucin
Hay que sealar que la forma de esta solucin no es una seal que viaje ni hacia la derecha ni hacia la izquierda. Es lo que se denomina una onda estacionaria.
Comenzamos escribiendo esta solucin en la forma ms general
Se trata de demostrar que esta solucin cumple una ecuacin de la forma
con v una constante que debemos calcular.
Hallamos las dos derivadas parciales segundas. Respecto al tiempo
Respecto a la posicin
Sustituyendo en la ecuacin de onda
Esta expresin se anula en todo instante y para todos los puntos si la velocidad de las ondas es
En nuestro caso
Otra forma de resolver este problema es descomponiendo esta onda estacionaria en suma de ondas viajeras. Tenemos en general que
as que la seal del enunciado puede escribirse como
y a su vez podemos escribir esta combinacin como
esto es, que la seal equivale a la suma de dos ondas viajeras, una de las cuales va hacia la derecha y la otra hacia la izquierda, ambas con la misma velocidad v = / k.
1 EnunciadoConsidere los casos de superposicin siguientes
1. 2. 3. 4. Para cada uno de los casos, determine la ecuacin de la seal resultante, es una onda viajera o una estacionaria?
2 Solucin2.1 Primer casoDebemos sumar las seales
Ambas representan seales viajando hacia la izquierda, con la misma frecuencia, por lo que su suma ser otra onda viajera, cuya amplitud depender del desfase.
Para sumarlas de forma sencilla las escribimos ambas como cosenos. Aplicando la relacin trigonomtrica
las seales quedan como
Aplicando ahora la relacin que transforma sumas en productos
la superposicin es
Archivo:Seno+coseno.gifResulta una onda viajera, de amplitud (aproximadamente vez y media de la amplitud de cada onda), y con un desfase inicial de /4.
2.2 Segundo casoEn el segundo caso
se trata de sumar dos ondas de la misma amplitud pero que se propagan en direcciones diferentes. Por ello, su suma va a consistir en una onda estacionaria.
Como en el apartado anterior, escribimos el seno como un coseno
y la transformacin de sumas en productos, lo que nos da
Archivo:Seno+coseno-2.gifEsta es la ecuacin de una onda estacionaria, con amplitud dependiente de la posicin
que alcanza el valor mximo de 2. Vemos que el efecto de introducir una fase simplemente traslada la posicin de los nodos y el desfase de la oscilacin de cada punto, pero produce el mismo efecto de onda estacionaria.
2.3 Tercer casoEn el tercer caso tenemos las seales
Estas seales son respectivamente una onda viajera hacia la derecha y una onda estacionaria, por lo que no es evidente qu va a resultar de superposicin.
Podemos hallarlo desarrollando el coseno de la onda viajera
que puede interpretarse como que una onda viajera es suma de dos estacionarias (del mismo modo que una estacionaria es suma de dos viajeras). Si ahora sumamos esta forma con la segunda seal
y este resultado puede volverse a combinar en una onda viajera
Nos ha resultado, por tanto, que la superposicin es una onda viajera hacia la izquierda, y de la misma amplitud que la onda viajera original.
No hay que pensar que este resultado es general y que la suma de una onda viajera y una estacionaria es siempre una nica onda viajera. En general resultarn dos ondas viajeras, de distinta amplitud, una en cada sentido (o, equivalentemente, una onda viajera ms una estacionaria, o dos estacionarias).
2.4 Cuarto casoPor ltimo tenemos la composicin de tres seales
Dos de estas seales (las que llevan el signo negativo) son ondas viajeras hacia la derecha, mientras que la tercera viaja hacia la izquierda.
Sumamos en primer lugar las dos viajeras hacia la derecha, que nos producirn una onda viajera en el mismo sentido.
se trata de hallar la amplitud A' y el desfase inicial . En lugar de emplear relaciones trigonomtricas lo haremos a partir de las condiciones iniciales. El estado de oscilacin en x = 0 ser
Igualando ahora la posicin y la velocidad inicial de este movimiento oscilatorio
Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas
obtenemos
Por tanto, la suma de las dos primeras seales es la onda viajera
Puesto que tiene la misma amplitud que la onda viajera hacia la izquierda, el resultado ser una onda estacionaria
Aplicando de nuevo las transformaciones de sumas en productos
Podemos simplificar un poco esta expresin observando que
por lo que nos queda finalmente la onda estacionaria
Lo primero es contar con los datos proporcionados y anotarlos.
V = 343 m/s = 20 Hz . . . . . . . .( Tanto como 20 y 2000 Son frecuencias iniciales y finales) = 20 000 Hz
Ahora el problema nos facilita al decir que la velocidad del sonido ha aumentado conforme aumenta la temperatura eso nos hace restringir el uso de la frmula de la razn por 331 m/s.
Ahora de la frmula de la velocidad de propagacin de una onda.
V = *
Donde " " = Longitud de Onda (Lo que nos pide el problema, ahora hay que despejarla)
. . . . . V = ------. . . . .
Sustituimos nuestros datos en la ecuacin
. . . . 343 m/s = ------------- = 17. 15 metros . . . . .20 1/s
Ahora con la otra frecuencia
. . . . . . .343 m/s = ------------------ = 1.71 centimetros. . . . . .20 000 1/s
Ahora podemos resolver el inciso (B) Dnde podemos afirmar que a menor frecuencia mayor longitud de onda y viceversa.
Lo mismo de siempre es considerar nuestros datos para no perder la serie del problema:
dimetro = 2.4 mml = 3 mm = 2 kgCu = 8 890 kg/m ---> " Cu = Cobre , p = Densidad "
oste problema tiene un grado de dificultad medio para un bachiller, lo que podemos hacer es calcular el rea apartir del dimetro, es decir que debemos saber que la mitad del dimetro es el radio. O sea:Primero coloquemos el dimetro pero en metros. . . . . . . .1 m2. 4 mm ( --------) = 0,0024 m. . . . . . .1000 mm
Ahora le saquemos la mitad para obtener el radio.
0, 0024------- = 0,0012 m. . .2
Saquemos el rea entonces.
A = * r
A = 3.1416 (0,0012m)A = 0,00000452 ---------> transformando a notacin cientfica 4.52 x 10
Entonces por la frmula de densidad igual a masa sobre volumen despejemos masa.
p = m/V
m = p * V -----> Hemos despejado " m"
Reemplazemos en la frmula de = m/l
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