TEMA: “ ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA ”

ALUMNOS: ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

CURSO : Física II

ENCARGADO : Lic. Mauro Quiroga

CICLO : Tercero

FACULTAD : Ingeniería Naval y Ciencias del Mar

CENTRO DE ESTUDIOS : Universidad Tecnológica del Perú

FECHA DE ENTREGA : 10 de octubre de 2012

Laboratorio:Ondas Estacionarias en una

cuerda

ONDAS ESTACIONARIAS DE UNA CUERDA

Introducción: En esta práctica se experimentó y estudio la creación de ondas estacionaria utilizando un frecuencímetro como pulsador, unas masas para crear tensión y una cuerda como medio de propagación. Este tipo de ondas están presentes en el diario vivir, sólo que algunas personas no las identifican, estas ondas son llamadas ondas estacionarias. Su aplicación es muy común, ya sea en la música o en transportar conjunto de ondas.

1. Objetivos: Estudiar y analizar las características de las ondas estacionarias producidas en una cuerda.Relacionar la velocidad de la onda, la densidad lineal de la cuerda, la frecuencia de oscilación (o longitud de onda) y la tensión de la cuerda. Determinar experimentalmente la frecuencia de vibración de los armónicos de diferentes órdenes.

2. Equipos y Materiales:

UN (01) GENERADOR DE FUNCIONES.12V.AC.MAR

CA LEYBOLD DIDACTICGMBH

UN (01) MEDIDOR DE FRECUENCIA(MULTÍMETR

O MARCA PEAKTECH 3340DMM).

UN (01) MOTOR DE 3V. MARCA

LEYBOLDDIDACTIC GMBH. Y UNA (01)

CUERDAINEXTENSIBLE DE 2M APROXIMADAMENTE.

UNA (01) MASA DE 50G Y DIEZ (10)

MASAS(ARANDELAS) DE 7.5G

APROXIMADAMENTE

UN (01) ADAPTADOR AC/AC 4123

UNA (01) WINCHA DE 5M DE LONGITUD

UN (01) CLAMP CON POLEA INCORPORADA

3. Fundamento Teórico:

Si una cuerda sometida a cierta tensión F se somete a una vibración Transversal, perpendicular a la misma, la perturbación producida viaja a lo largo de la cuerda con una velocidad equivalente a:

V=√ Fρ

Donde:ρ: Es la densidad lineal de la cuerda

Cuando el desplazamiento es periódico, es decir se repite con cierta frecuencia f, se produce una onda transversal que viaja a lo largo de la cuerda Figura Nº 1:

Figura N°1: Elementos De Una Onda

Donde: v: Es la velocidad de la ondaf: Es la frecuencia de la ondaL: Es la longitud de la ondaa: Es la amplitud de la ondax=x(t): La posicion x en funcion del tiempo

La relación entre la longitud de la onda λ, la velocidad V y la frecuencia es:

V= λf

Figura N 2: Cambio de fase de una onda reflejada sobre una cuerda con un extremo fijo.

Cuando las ondas están confinadas en el espacio, como en la figura N° 2 se producen reflexiones en ambos extremos y, por consiguiente, existen ondas moviéndose en los sentidos que se combinan de acuerdo al principio se superposición. Para una cuerda determinada, existen ciertas frecuencias para las cuales la superposición de un esquema vibratorio estacionario denominado ONDA ESTACIONARIA. Si ajustamos la tensión en la cuerda podemos conseguir que ambas ondas interfieran de tal manera que se cancelen una con la otra, en ciertos puntos (N1, N2, N3,...) conocidos como Nodos, donde hay vibración.

Figura Nº 3: Nodos de una Onda

Ahora bien, en los puntos intermedios las dos ondas se refuerzan haciendo que la recta vibre con una amplitud máxima. Estos puntos intermedios son los Antinodos o Vientres. Para ciertas condiciones dadas, los Nodos y los Antinodos son puntos fijos en la cuerda, llamándose onda estacionaria. La cuerda podrá vibrar como mínimo con un número distinto de antinodos siempre y cuando se ajuste la tensión a un valor adecuado. Es fácil ver que la distancia entre dos nodos sucesivos es λ/2. Si el número de antinodos es n y L es el largo de la cuerda, es evidente que:

λ2= L

n=λ=2 L

n

Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2) nos da como resultado la velocidad de la onda.

V=2 Ln

f

Reemplazando (4) en (1) se tendrá:

( 2Ln ) f =√ F

ρ=( n

2 L )√ Fρ

Donde:n = 1, 2, 3,…Si un extremo de la cuerda es mantenido fijo y el otro extremo atado a un vibrador, tal que su dirección de vibración es perpendicular a la dirección de la cuerda, se producirán ondas elásticas que viajaran a lo largo de la cuerda con la velocidad V de la ecuación (1), en los extremos fijos las ondas serán reflejadas. Si la tensión y la longitud son ajustadas tal que exista un número entero de semi-longitudes de onda en la cuerda, se formarán ondas Estacionarias. ρ es la densidad lineal de la cuerda.

4. Procedimiento:

A. Manteniendo La Masa Constante (Tensión Constante)

1. Mida la longitud de la cuerda (LT) y la masa total (mT) de la cuerda y calcule la densidad lineal (p) de la cuerda:

LT : Longitud total de la cuerda = 2.53 mmT : Masa total de la cuerda = 0.0013 kg

ρ=mT

LT

ρ=0.0013 kg2.53 m

ρ=5.138× 10−4 kgm

2. Instalar el equipo experimental como se muestra en la fig. Nº4. Para ello conectar el motor sobre el generador de funciones y atar la cuerda en la lengüeta del motor (ver fig. Nº6), del otro extremo pasando por la polea colocar la masa m. no encienda el vibrador (generador de funciones) hasta que sea revisado por el profesor.

3. Colocar la masa m (masa del porta pesa y masas adicionales) aprox. De 100g en total u otra indicada por su docente.

4. Conecte el multímetro (en la opción medidor de frecuencia) a las salidas del motor eléctrico y enciéndalo (ver fig. Nº6)

Tabla Nº1: Registro De Datos Experimentales

Masa (m) = 0.06528 kg

Nº de Nodos (n)

λ (m) V (1/s) V= λ.v (m/s) λ2 (m2)

1 3.321 11 36.52 11.02242 1.661 21 34.86 2.75563 1.106 31 34.28 1.22324 0.831 43 35.69 0.68895 0.664 52 34.528 0.44086 0.553 66 36.498 0.30587 0.474 82 38.88 0.22488 0.415 91 37.76 0.17229 0.368 99 36.43 0.1354

10 0.332 110 36.52 0.1102

5. Obsérvese la fig. Nº 5. Seleccione la onda sinodal (perilla 4). Encienda el generador de funciones y coloque en 4 voltios el selector de voltaje (perilla 1) hasta obtener una onda estacionaria con nodos y antinodos nítidos sobre la cuerda consecutivamente, según se indica en la tabla Nº1

6. Cuente el número de antinodos y nodos, mida la longitud entre don nodos (o entre dos vientres) consecutivos y luego calcule la longitud de onda (ver fig. Nº3)

7. Registre en la tabla Nº 1 la lectura del medidor de frecuencia (multímetro).

Observación: cuidado con recalentar el generador de ondas.

B. Manteniendo La Masa Variable (Tensión Variable)

8. Repita los pasos anteriores para diferentes tensiones (esto es, colocando masas en el porta pesa de tal manera que m se incremente. Use arandelas), manteniendo el numero de antinodos y nodos constante sobre la cuerda (ejemplo para4 nodos). Luego mida la frecuencia. Registre sus datos en la Tabla Nº2.

Observación: cada vez que cambie o incremente masas disminuya a cero el voltaje (perilla 3 de la fig. Nº5), esto evitara que el generador de funciones se recaliente.

Tabla Nº2: Registro De Datos Experimentales

Numero de nodos (n)= 4

Tensión (N) λ (m) f (1/s) V= λv (m/s) F2 (m2)0.64039 0,83 43 35,69 18490.69533 0,83 45 37,35 20250.75026 0,83 47 39,01 22090.80520 0,83 48 39,84 23040.86014 0,83 50 41,51 25001.02494 0,83 55 45,65 3025

9. Repita el paso 8 para otra cantidad de nodos constante (ejemplo 5, 6, 7, 8 y 9 nodos). Registre sus datos en una tabla similar a la tabla Nº2. (paso opcional).

10. Devuelva todos los materiales limpios y ordenadamente, la mesa de trabajo debe quedar libre de materiales.

CUESTIONARIO

1. ¿Usando la ecuación (1) calcule la velocidad de la onda para los datos de ambas tablas. Cuales son los errores porcentuales?

Podemos saber la velocidad teórica de las perturbaciones ya que tenemos un sistema conocido que es una cuerda sometida a una tensión. Entonces la velocidad teórica esta dada por la ecuación:

V=√ Fμ

Donde:F: es la tensión en la cuerda μ: es la densidad lineal de la cuerda

Por datos de la cuerda tomada:

Masa de la cuerda = 0.0013 kg Longitud de la cuerda= 2.53 m

Masa de las pesas= 0.06528 kg

Remplazando en la ecuación de la velocidad:

V=√ Fμ

V=√ mgmL

V=√(0.06528 kg ) ¿¿¿

V=35.2850ms

De nuestras tablas podemos hallar la velocidad experimental:

Longitud de Onda (m) Frecuencia (1/s) Velocidad (m/s)3.32 11 36.5211.66 21 34.861

1.106 31 34.2860.83 43 35.6910.66 52 34.5280.55 66 36.4980.47 82 38.8840.41 91 37.765

0.368 99 36.4320.33 110 36.521

Hallando los errores relativos porcentuales

Error Absoluto Error relativo Error relativo porcentual1.2168 0.03446713 3.44 %0.4432 0.01271371 1.27 %1.0172 0.02881325 2.88 %

0.3868 0.01095651 1.09 %0.7752 0.02195834 2.19 %1.1948 0.03384295 3.38 %3.5812 0.10144122 10.14 %2.4618 0.06973305 6.97 %1.1288 0.03197443 3.19 %1.2168 0.03446713 3.44 %

Para la segunda tabla:

Tensión (N) Longitud de onda (m) Frecuencia (1/s) Velocidad (m/s)0,64039 0,83 43 35,690,69533 0,83 45 37,350,75026 0,83 47 39,010,80520 0,83 48 39,840,86014 0,83 50 41,511,02494 0,83 55 45,65

Para el error relativo:

Error Absoluto Error Relativo Error porcentual0,387855 0,01098673 1,098672620,563838 0,01532745 1,532744840,798428 0,02089494 2,089493750,253949 0,00641511 0,641511320,585846 0,01431891 1,431890780,987819 0,02211759 2,21175893

Observación: El error relativo en la velocidad principalmente se debe en la medición de la frecuencia, en la medida del peso de la cuerda para hallar su densidad y también al hallar la tensión con las masas de las pesas.

2. En papel milimetrado para la tabla N°2, graficar F = F (f). ¿Qué tipo de ecuación empírica es? Explique.

Según la grafica parece salir una pequeña parábola como una ecuación de segundo grado. Esto lo podemos confirmar analizando matemáticamente la ecuación que relaciona la tensión y la frecuencia:

f n=1λ

×√ Fμ

Despejando F: F=f n2 . λ2 . μ

Como la longitud de onda y la densidad no varían, además nuestra variable dependiente es f, colocamos a f como la variable X y la longitud de onda y densidad como una constante K

F=x2. kEntonces vemos que nuestra grafica se comprueba matemáticamente ya que tenemos una ecuación de segundo grado.

3. En papel milimetrado para la tabla N°2, graficar f = f (f²). Usar el método de los mínimos cuadrados y determinar la frecuencia del vibrador.

Utilizando el método de los mínimos cuadrados determinamos la frecuencia del vibrador.

F1=42.5 Hz F2=44.3 Hz F3=46 Hz F4=47.7 Hz F5=49.3 Hz F6=53.8 Hz

4. Determine el error relativo para la frecuencia.

Hallando la frecuencia teóricamente:

Sabemos que en general: V= λ x f

En el caso de una cuerda tensada: V=√ Tρ

Igualando ambas expresiones y despejamos f: f n=1λ

×√ Fμ

Para la tabla 1:

Longitud de Onda (m)

Frecuencia (1/s)

Frecuencia Teórica

Error Relativo Error Relativo porcentual

3.321 11 10.633 0.0345 3.451 %1.661 21 21.266 0.0125 1.2505 %1.106 31 31.919 0.0287 2.87 %0.831 43 42.533 0.0109 1.097 %0.664 52 53.167 0.0219 2.19 %0.553 66 63.839 0.0338 3.385 %0.474 82 74.447 0.1014 10.145 %0.415 91 85.067 0.0697 6.97 %0.368 99 95.932 0.0319 3.198 %0.332 110 106.33 0.0344 3.446 %

Para la tabla 2

Tensión(N)

Longitud de onda (m)

Frecuencia(1/s)

Frecuencia Teórica

Error Relativo

Error porcentual

0,64039 0,83 43 42,5327048 0,01098673 1,098672620,69533 0,83 45 44,3206771 0,01532745 1,532744840,75026 0,83 47 46,0380381 0,02089494 2,08949375

0,8052048 0,83 48 47,6940373 0,00641511 0,64151132

0,86014 0,83 50 49,2941614 0,01431891 1,431890781,024948 0,83 55 53,8098557 0,02211759 2,21175893

Observación: El error en la frecuencia se da debido a varios factores el de mayor influencia en nuestro caso fue la lectura de la frecuencia en el aparato. El aparato marcaba la frecuencia como un reloj de pared, la decisión de la frecuencia es muy relativo dependiendo de aquel que toma la decisión, con aparatos digitales se reduciría este error en la frecuencia.

5. ¿Que es un tren de ondas?, ¿cual es el sistema de referencia para describir el tren de ondas?

Según lo prolongada que sea la perturbación transportada las ondas se clasifican en pulsos y trenes de onda: Un pulso es una onda que transporta una perturbación que dura un corto intervalo de tiempo. Una sacudida brusca aplicada en el extremo de una cuerda es un ejemplo de pulso: cada trozo de cuerda, al principio en reposo, oscila brevemente cuando lo alcanza el pulso para retornar rápidamente al reposo. Un sonido breve y seco, como el producido por un golpe brusco o por la explosión de un petardo también es un pulso. Un tren de ondas es una onda en la que la perturbación transportada es de larga duración. Por ejemplo: Una serie continua e ininterrumpida de sacudidas que se propagan a lo largo de una cuerda o de un resorte, un sonido monótono y permanente, etcétera. De nuevo hay que tener clara la diferencia entre la perturbación y el movimiento de la onda. En el mismo instante en que vemos el relámpago se genera el trueno. Cuando el trueno llega hasta nosotros el ruido dura poco tiempo: es un pulso que continúa viajando y que puede tardar un tiempo apreciable en extinguirse. Espero sea lo que buscabas.

El sistema de referencia para describir el tren de ondas es donde la perturbación comienza donde se generan los pulsos continuos se ubica el origen de coordenadas.

6. Investigue sobre las frecuencias características de vibración para algunos materiales.

Frecuencia de resonancia del agua.

2000 MHz es una frecuencia muy próxima a la frecuencia de resonancia del agua. A esta frecuencia, las moléculas de agua vibran y por consiguiente, se calientan. La frecuencia de resonancia del agua la usan, por ejemplo, los hornos microondas para cocer alimentos, haciendo vibrar las moléculas de agua que éstos contienen.

Aquí tenemos una pequeña lista de las frecuencias de vibración de las notas musicales en el aire:

Do 1: 65,406 Do# 1: 69,296 Re 1: 73,416 Re# 1: 77,782 Mi 1: 82,407 Fa 1: 87,307 Sol 1: 97,999 La 1: 110 Si 1: 123,471

7. Demuestre que la velocidad de propagación de las ondas en las cuerda esta dada por la ecuación (1).

La tensión de la cuerda se puede suponer que tiene dos componentes uno vertical y otro horizontal. Las componentes horizontales se anulan al estar dirigidos en sentidos opuestos y neutralizados por la sujeción de la cuerda. La componente vertical de la tensión acelera la masa de un pequeño trozo de la cuerda por donde se propagó la onda en un tiempo "t", muy pequeño (la parte inclinada de la figura). La densidad lineal, m, es la masa total de la cuerda dividida por su longitud. Suponiendo una densidad lineal m, de la cuerda representa una masa de cuerda a la que se propagó de m=mvt La onda se propaga con velocidad "v" y en el tiempo "t" recorre una distancia "vt"

La velocidad de vibración vertical es variable como corresponde a un M.A.S. y es: μ=Aω sin ωt

La fuerza vertical comunica en ese tiempo un impulso hacia arriba al elemento de cuerda, trozo de masa mvt. , va a incrementar su cantidad de movimiento:

F y t=mμ

F (sin a ) t=mvtμ

Tal como vemos en la figura podemos deducir de lo que avanza la onda mientras transcurre el tiempo "t" y la distancia que bajo que:

sin a=tan a= vtμt

Por lo tanto:

F ×μv=mvμ

Fv=mv

Despejando:

V=√ Fμ

8. ¿Por qué factor se deberá aumentar la tensión en una cuerda tensa, Siempre se invertirá con una reflexión? Explique.

Analizando la relación de velocidad tensión y densidad:

V=√ Tρ

Duplicando la velocidad:

2 V=2√ Tρ

2 V=√ 4Tρ

De la ecuación arriba vemos que si queremos duplicar la velocidad de la onda debemos cuadriplicar la tensión de la cuerda.

Observación: en forma general si queremos un múltiplo de la velocidad de onda “n” la tensión debería ser un múltiplo “n2 “

9. Cuando un pulso ondulatorio viaja por una cuerda tensa, ¿Siempre se invertirá con una reflexión? Explique.

Supongamos que la cuerda tensa tiene 2 puntos fijos, entonces tiene un límite de propagación. Cuando una onda choca contra las fronteras de su medio en este caso cada uno de los puntos fijos, se refleja parcial o totalmente. Entonces la onda incidente ejerce una fuerza sobre el punto fijo y como este no se mueve el punto fijo genera una fuerza de reacción ejercida por el punto fijo hacia la cuerda con dirección opuesta, esta fuerza crea una nueva pulsación u onda reflejada que viaja en dirección opuesta. El pulso reflejado se mueve en la dirección opuesta a la del pulso inicial.

Siempre que exista un punto fijo o soporte rígido unido donde no le generara movimiento una fuerza de reacción aparecerá esta hará que siempre se invierta con una reflexión.

10. Cuando todas las cuerdas de una guitarra se escriban a la misma tensión. ¿La velocidad de una onda que viaja sobre la cuerda más gruesa será mayor o menor que la de una onda que viaja sobre una cuerda más ligera?

Sabemos que la velocidad de una onda en una cuerda depende de los factores tensión y densidad. Por dato nos indican que la tensión es igual en ambas cuerdas entonces lo único que varia es la densidad lineal porque la mas gruesa tendrá mayor masa por unidad de longitud y hará que su densidad lineal sea mayor a la de una mas ligera. Entonces como la densidad lineal de la cuerda mas gruesa es mayor hará que su velocidad disminuya porque son indirectamente proporcionales.

Comentario: Estamos consideramos densidad lineal, ya que si se considera la densidad común para ambas cuerdas son iguales ya que la densidad es independiente de las dimensiones y solo depende del material.

11. ¿Qué pasa con la longitud de onda de una onda sobre una cuerda cuando se duplica

la frecuencia? Suponga que la tensión en la cuerda permanece constante.

Analizando la ecuación que relaciona la frecuencia y longitud de onda.

f n=1λ

×√ Fμ

Duplicamos la frecuencia manteniendo T constante y obviamente la densidad en la cuerda no va a variar.

Vemos que si mantenemos constante la tensión la velocidad se hará constante entonces tendríamos:

V= λ f n

Vemos que la frecuencia y la longitud de onda son inversamente proporcional entonces si duplicamos la frecuencia la longitud se reduciría a la mitad para mantener la velocidad constante.

12. Demostrar que las funciones de onda estacionaria, esta dada por:

yn(x , t)=An cos ωn .t Sen Kn X

Donde Kn es el número de onda, ωnes la frecuencia angular y An es la amplitud de n numero de nodos.

Considerando la onda resultante formada por la suma de varias ondas que se mueven hacia la derecha y varias ondas que se mueven hacia la izquierda en una cuerda de longitud “L” fija en ambos extremos.

Las sumas de las n/2 ondas hacia las derechas serán:

y=0.5n A sin ( kx−ωt )

La sumas de las n/2 ondas que van hacia la izquierda

y=0.5n A sin ( kx+ωt )

Sumando ambas ondas resultantes para tener la onda total resultante.

yn ( x , t )=0.5n sin (kx−ωy )+0.5n A sin (kx+ωt )

Utilizando nuestro artificio trigonométrico:

yn ( x , t )=An cos ( (kx−ωt−kx−ωt ) 0.5 ) sin ( (kx−ωt+kx+ωt ) 0.5 )

Entonces nos queda:

yn(x , t)=An cos ωn .t Sen Kn X

13. ¿Cuál cree que ha sido las posibles fuentes de error de su experimento?

Existen muchas fuentes de error en este experimento si lo analizamos minuciosamente. Por ejemplo, el sistema debe estar instalado correctamente, el medidor de frecuencia en un sistema muy subjetivo y se obtiene diferentes respuesta según sea el observador, con un aparato electrónico digital nos daría una frecuencia mas real y próxima al ideal. Otro de los posible errores seria el la medición de las pesas una balanza común no nos proporciona la masa exacta de las pesas menos aun cuando estas son de poca masa una balanza electrónica fina nos daría la masa exacta de pequeños pesos.

Otro de los posibles errores podría ser al momento de usar pocas cifras significas en los cálculos hechos esto aumenta el error posible en nuestro experimento.

14. ¿Cómo aplicaría este tema en su carrera profesional?

La física en general es un tema que se aplica en la vida diaria y profesional de un ingeniero, en particular el tema de movimiento ondulatorio ondas estacionarias, etc. tiene muchas aplicaciones en la ingeniería naval. Nosotros sabemos que las ondas llevan energías de una posición a otras estas pueden provocar vibraciones en maquinarias, sistemas mecánicos, estructuras navales, como los cascos, etc. Conociendo de este tipo de vibraciones, podemos encontrar puntos críticos según los materiales que utilizamos para evitar la resonancia entre otras fallas que podrían causar el deterioro del barco.

Modelo de ensayo de vibraciones en un buque.

Conclusiones:

Las ondas estacionarias se producen al tener bien definidas la tensión, la longitud del factor causante con el extremo reflector.

El 𝜆teórico es solo una ayuda para encontrar el adecuado para producir ondas estacionarias, ya que el medio y el vibrador no son perfectos y cuentan con variaciones en sus acciones.

La longitud de onda puede variar en un mismo sistema siempre y cuando encuentre otro punto de resonancia.

En una onda estacionaria el patrón de la onda no se mueve, pero si lo hacen los elementos de la cuerda.

Si las frecuencias asociadas son muy altas las velocidades también lo serán.

Recomendaciones:

Al momento del montaje del sistema del experimento debemos tener cuidado de colear bien cada pieza y la cuerda en forma recta.

Desenchufar el generador de ondas cada ves que lo estamos usando o después de haber anotado los dato necesarios.

Tratar los materiales con cuidado y sacar los datos de forma exacta y correcta.