GUÍA Nº 2(Integral Definida y Aplicaciones)
CÁLCULO II
INGENIERÍA CIVIL INDUSTRIAL
UNIVERSIDAD DEL DESARROLLO
1.- Mediante la definición calcule las siguientes integrales
a) 4
1
xdx b)
b
a
dxx )13( c) 2
1 x
dx d)
b
a
dxxCos )(
e) 4
1
2dxx f) 1
0
dxe x g) b
a
xdxe
Haga un grafico que explique cada caso
2.- Calcule el área de las regiones limitadas por las siguientes curvas
a) 0)1( yxxy
b) 312
2
xyx
y
c) 0,12,2 xxyxy
3.- Dada una función continua f estrictamente creciente, tal que 0)0( f .Si g es la
función inversa de f , muestre gráficamente que ba , se tiene que:
a b
abdxxgdxxf0 0
)()(
4.- Si f es una función integrable en ],[ ba entonces
n
k
a
n n
abkaf
n
abLimdxxf
10
])(
[)()( .Luego verifique mediante esta formula
que 4
1
2dxx = 21
5.- Demuestre que si f es una función integrable
a) b
a
dxxf )( =
cb
ca
dxcxf )(
b) b
a
dxxf )( = cb
ca
dxc
xf
c)(
1
6.- Demuestre que si f es una función integrable y
a) Par, entonces
a
a
dxxf )( = 2 a
dxxf0
)(
b) Impar, entonces
0
)(a
dxxf = a
dxxf0
)( y además
a
a
dxxf )( = 0
c) a
dxxf0
)( =
a
dxxaf0
)(
(Interprete Geométricamente)
7.- Demuestre que si f es una función integrable y periódica de periodo T entonces
a) T
dxxf0
)( = Ta
a
dxxf )(
b) nTa
a
dxxf )( = T
dxxfn0
)(
(Interprete Geométricamente)
8.- Demuestre que
a)
1
21a
x
dx =
a
x
dx
1
1
21 donde 0a
b)
1
0
)1( dxxx nm =
1
0
)1( dxxx mn con Nnym
9.- ¿Se puede afirmar que si existe b
a
dxxf )( entonces también existe b
a
dxxf )( ?
En caso afirmativo demuestre, si no proporcione un contraejemplo
10.- Sin calcular las integrales determine cual es mayor
a) 1
0
xdx o
1
0
21 dxx b) 1
0
dxx o 1
0
3dxx
c)
0
)( dxxSen o
0
2 )( dxxSen d) dxx
2
1
1 o dx
x2
1
2
1
11.- Sea )( fAb
a el valor medio de la función f en ],[ ba , dado por:
)( fAb
a =
b
a
dxxfab
)(1
.
Demuestre que si bca entonces existe un número t , 10 t tal que
)( fAb
a = )( ftAc
a + )()1( fAt b
c
Además demuestre que )( gfAb
a = )( fAb
a + )(gAb
a y que )(cfAb
a = )( fcAb
a
12.- Demuestre que las siguientes integrales están acotadas según se indica
a) 6.0)4)(1(
5.0
5.0
5.022
xx
dx
b) 21.0)(25
20.0
4
32
xCos
dx
c) 8
3
2
)(1
2
2
0
2
dxxSen
d) 1)1(
2
1
0
qp
q
x
dx con Nqyp
e) 2
3
32
3
2
3
142
xx
dx (Use que 23 2 x en ]
3
2,
3
1[ )
f) 042.1)1(
)1(010.1
1
02
4
x
dxx (Use que
411
422 x
xx y la desigualdad de
Schwarz que dice que si gyf son integrables en ],[ ba entonces
))()()((])()([ 222
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf ).Aplique esta desigualdad para
estimar el valor de 2
0
)(
dxxxSen
13.- Aplicando el teorema del valor medio para integrales acote las siguientes
a) dxx
x
5
1
2
2
1 b)
2
2
2
1
)1(dx
x
xSen
c) dxx
x
4
2
1 d)
1
0
41 dxx
14.- Calcule el límite de la sucesión a)
n
n
n dxxn
xSenu
3
)1(2
)2(
b)
n
n
n dxx
xCosnv
2
12
)(
15.- Demuestre que si f es una función continua en [ ba, ] y
b
a
dxxf 0)( .Entonces
Existe al menos un ],[ bac tal que 0)( cf
16.- Calcule las derivadas respecto de x para las siguientes funciones
a)
x
dtty1
221 b)
b
xtSent
dty
)(1 22 c)
b
a tCos
xdty
)(1 2
d) x
dttxSenxf1
2 )()( e)
3
)()( 2
x
x
dttLnxf f)
3
)(.)(
x
x
dtt
tTgArcxxf
g) x
x dttxLnxf1
)()(
17.- Demuestre que si h es una función continua y gf , son derivables, entonces para
la función
)(
)(
)(
xg
xf
dtthy se tiene que )('))(()('))(( xfxfhxgxghdx
dy
18.- Aplique el resultado del ejercicio anterior para calcular las derivadas de las
siguientes funciones
a)
2
1
4 )(
x
dttCosy b)
2
6
2
1
x
x
dtt
ty c)
)(
2
3
)()(
xSen
x
dttSentxy
19.- Demuestre que si x
dttfxSenxg0
)())(()( entonces
)()(')()(2)()('' xSenxfxCosxfxgxg
20.- Dada una función 5)1( g y
1
0
2)( dxxg
Conocida
x
dttgtxxf0
2 )()(2
1)( calcule )1(''')1('' ff
21.- La siguiente ecuación define implícitamente a y como función de x .Calcule dx
dy
1)(
)(
)(2
dtt
tSenxyxSen
ySenx
y
22.- Usando el teorema fundamental del cálculo, demuestre que si f es una función
continua de periodo T ,se tiene que a T
dttf0
)( = Ta
a
dttf )(
(Ilustre gráficamente esta igualdad)
Hint: Considere la función
Tx
x
dttfxg )()( derívela y……….)
23.- Demuestre que si yxxf ,0)('' se tiene
1
)()()(
x
x
dttftxxg
Entonces )('' xg no cambia de signo
24.- Determine las constantes bya de manera que 1)(
1
0
2
0
x
x ta
dtt
xSenbxLim
25.- Calcule los siguientes límites a) dttSenx
Lim
x
t
x
0
1
0))2(1(
1
b) dtt
tSent
xLim
x
x
2
0
2
20 1
))((1
26.- Demuestre que si
x
duufxuxF0
)(')()( entonces )()0()(' xffxF
27.- Si
2
1
4 )()(
x
x dttLntxf Calcule )1('')1(' ff
28.- Si dttSen
x
ySenArc
)(.
0
2
2
)(1 calcule )0(''y respuesta 0)0('' y
29.- Dada la función dtt
tSenxf
x
0
22
)(13)( Determine un polinomio
cbxaxxp 2)( tal que )0()0( fp ; )0(')0(' fp ; )0('')0('' fp
Respuesta 2
1 ba 3c
30.- Demuestre que si x
dtxSentfxg0
)()()(
entonces )()(')()(2)()('' xSenxfxCosxfxgxg
31.- Utilizando la integral definida y determinando directamente las primitivas que
necesite, calcule los siguientes límites
a) )1
.........21
(222 n
n
nnLimn
b) )2
.........21
(2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
nLimn
c) )))1(
(.........)2
()((1
n
nSen
nSen
nSen
nLimn
d) )......21
(1
p
ppp
n n
n
nLim
con 0p
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