FORMULARIO DE CALCULO INTEGRAL Leoncio
FORMULARIO DE CALCULO INTEGRALPROPIEDADES DE LA INTEGRAL: ∫0 dx=c ∫ dx=x+c ∫ kdx=k∫dx
∫ kf (x )dx=¿¿K∫ f ( x )dx ∫ (u+v+w )dx=∫udx+¿∫ vdx+¿∫wdx ¿¿INTEGRALES INMEDIATASPotencia de la función identidad
∫ vndv= vn+1
n+1+c
Potencia de una Función Compuesta
∫ vmdv= vm+1
m+1+c
INTEGRALES DE UNA SUMA/RESTA
∫ (u±v )dx=¿∫udx+¿∫ vdx+c¿¿EXPONENCIAL
∫ av dv= av
lna+c
Exponencial simple
∫ evdv=ev+c
INTEGRALES TRIGONOMETRICAS
∫ sen ( v )dv=−cos ( v )+c ∫cos (v )dv=sen ( v )+c ∫ sec2 (v )dv=tag (v )+c ∫ sec (v ) tag ( v )dv=sec ( v )+c ∫ csc ( v ) ctg ( v )dv=−csc ( v )+c
∫ sen2 (v )dv= v2−sen (2v )4
+c
∫ tag (v )dv=ln (sec ( v ) )+c ∫ ctg ( v )dv=ln ( sen (v ) )+c ∫ tag2(v)dv=tg (v )−v+c
I
FORMULARIO DE CALCULO INTEGRAL Leoncio
∫ sec (v )dv=ln [sec (v )+tag (v ) ]+c=ln [ tg v2 ]+c ∫ ctg2 ( v )dv=−ctg (v )−v+c ∫ csc ( v )dv=ln [csc ( v )−ctg (v ) ]+c ∫ csc2 ( v )dv=−ctg (v )+c
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS INVERSA
∫ dv
√1−v2=arcsen (v )+c
∫ dv
√1−v2=−arccos ( v )+c
∫ dv
1+v2=arctg (v )+c
∫ dv
1+v2=−arc ctg (v )+c
∫ dv
v √v2−1={ arcsec (v )+c ;v>0
−arcsec (v )+c ; v<0} ∫ −dv
v √v2−1={−arccosc (v )+c ; v>0
arccosc (v )+c ;v<0 }INTRGRALES HIPERBOLICO
∫ senhvdv=coshv+c
∫ coshvdv=senhv+c
∫ tghvdv=ln ( coshv )+c
∫ ctghvdv=ln (senhv )+c
∫ sec h2 vdv=tghv+c
II
FORMULARIO DE CALCULO INTEGRAL Leoncio
∫ csc h2 vdv=−ctghv+c
∫ sechvtghvdv=−sechv+c
∫ cosechvctghvdv=−cosechv+c
FORMULARIO DE INTEGRALES:
∫ dvv
=ln ( v )+c
∫ dva+bv
=1bln (a+bv )+c
∫ dv
a2+v2=1aarctg
va+c
∫ dv
√a2−v2=arcsen v
a+c
∫ dv
a2−v2= 12aln|a+va−v|+c
∫ dv
√v2± a2=ln|v+√v2±a2|+c
∫ logvdv=v (logv−1)
∫ dv
v √a2±v2=−1
aln [ a+√a2±v2
v ]+c
III
FORMULARIO DE CALCULO INTEGRAL Leoncio
∫ dv
v √v2−a2=1aarcsec
va+c ; a>0
∫ dv
v2−a2= 12aln|v−av+a |+c
∫ dv
v2√a2+v2=−1a2
√a2−v2
v+c
∫ √v2−a2dvv
=√v2−a2−a(arcsen va )+c
∫ √v2±a2dv=12
[v √v2±a2±a2 ln (v+√v2±a2 ) ]+c
∫√a2−v2dv=12 [v √a2−v2+a2arcsen v
a ]+c ∫ √a2+v2dv
v2=−√a2+v2
v+ln (v+√a2−v2 )+c
∫ √a2−v2dvv2
=−√a2−v2v
−arcsen va+c
∫ √a2±v2dvv
=√a2±v2−aln [ a+√a2+v2v ]+c
∫ dv
v2+a2=1aarctg
va+c
MÉTODOS DE INTEGRACION
I. INTEGRACIO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
En esta parte, será considerada las integrales trigonométricas de la forma:
∫ senn ( x )dx ;∫cosn ( x )dx ;∫ tgn ( x )dx ;∫ ctgn ( x )dx
∫ senm ( x ) cosndx ;∫ tgm ( x ) secn ( x )dx ;∫ctgm ( x )cosec n ( x )dx
a) INTEGRALES DE QUE TIENE DE FORMA ∫ senm (u ) ;∫cosn (u )du
IV
FORMULARIO DE CALCULO INTEGRAL Leoncio
Primer caso
Cuando “n”es numero un entero positivo par:
sen2u=1−cos2u2
; ∫cos2u=1+cos2u2
Segundo casoCuando “n”es un numero entero positivo impar(n=z+¿¿impar)
∫ senn (u )du=¿¿ ∫ senn−1(¿u)sen (u )du¿
∫cosn (u )du=¿¿ ∫ cson−1 (u ) cos (u )du
Y luego se usa la identidad:
sen2 (u )+cos2=1
cos2u=1−sen2u;sen2u=1−c os2u
Tercer caso:
En forma práctica se puede calcular la siguiente expresión
∫ sen (nu )du= cos (nu)n
+c; ∫cos (nu )du= sen(nu)n
+c
Cuarto caso
∫ senn(¿ku)cos (ku )du= senn+1(ku)(n+1 )k
+c ¿
∫cosn (ku ) sen (ku )du= cosn+1 (ku )(ku)
+c
b) PARA EL CÁLCULO DE LAS SIGUIENTE DE LA FORMA
V
FORMULARIO DE CALCULO INTEGRAL Leoncio
∫ tgnudu ;∫ ctgnu du
Primer caso:
Si “n” es un número entero par positivo:
∫ tgnudu=¿ ∫ ctgn−2u tg2udu
∫ ctgnudu=¿¿ ∫ ctgn−2uctg2u du
Luego se usa las identidades
1+tg2u=sec 2u 1+ctg2u=csc2u
Segundo paso:
Si “n”es un numero entero positivo impar
∫ tgnudu=¿∫ tgn−1u tgudu¿ Ò ∫ [ tg2u ]n−1ntgu du
∫ ctgnudu=∫ ctgn−1u ctguduÒ ∫ [ ctg2u ]n−12ctgudu
Luego se usa las identidades
1+tg2u=sec 2u 1+ctg2u=csc2u
c) Para el cálculo de la integración de la forma ∫ senmucosnudu
Primer caso:
Si “m ò n”, es decir, cualquiera de los exponentes es un número entero positivo impar y el otro es cualquier número:
"m” es un número impar y “n” es cualquier numero:
VI
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∫ senmucosnudu=∫ senm−1 cosnusenu du
Luego se usa
sen2u+cos2u=1
Que “n”es un numero entero impar y “m” es cualquier numero:
∫ senmucosnudu=∫ senmucosn−1ucosudu
Luego se usa
sen2u+cos2u=1
Segundo caso:
Si “m y n” los dos exponentes son números enteros positivo pares:
sen2u=1−cos2u
2;cos2u=1+cos2 x
2
d) Para el cálculo de las integrales de forma:
∫ tgnusecmudu ;∫ctgnucscmudu
Primer caso:
Cuando “n” es un número positivo impar y “m”es cualquier número:
∫ tgn (u ) secm(u)du=∫ tgn−1(u) secm−1(u)tg (u)sec (u)du
∫ ctgn (u ) cscm (u )du=¿∫ ctgn−1 (u )cscm−1 (u ) ctg (u ) csc (u )du¿
Luego se usa las identidades
1+tg2 (u )=sec 2 (u ) 1+ctg2 (u )=sec2 (u )
Segundo caso:
Cuando “m” es un número entero positivo par y “n” es cualquier número:
VII
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∫ tgn (u ) secm (u )du=¿∫ tgn (u ) secm−2 (u ) sec2 (u )du¿
∫ ctgn (u ) cscm (u )du=¿∫ ctgn (u ) cscm−2 (u )csc 2 (u )du¿
Luego se usa las identidades
1+tg2 (u )=sec 2(u)
1+ctg2 (u )=sec2(u)
II. INTEGRACIÓN POR PARTES
Existen una variedad de integrales que se pueden desarrollar usando la relación:
∫udv=uv−¿∫ vdu¿
Es elegir “u dv”,por lo cual es útil la siguiente identificación:
I: función trigonometría inversa.
L: función logarítmica.
A: función algebraica.
T: función trigonométrica.
E: función exponencial
III. INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA:
De función que contienen:
∫R (u ,¿√a2−u2)du¿ ∫R (u ,¿√u2−a)du¿ ;∫R (u ,¿√u2+a2)du¿
Para estos casos, el método más corto para integrar tales funciones es efectuar un cambio variable del siguiente modo.
VIII
a u
√a2+u2
u
√u2−a2
a
√u2+a2
u
a
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Función Triangulo a construir Hacer sustitución
√a2−u2ua=senθ
θ=arcsen( ua)
u=asenθdu=acosθdθ
√u2−a2
ua=secθ
θ=arcsec ua
u=asec θdu=a secθtgθdθ
√u2+a2 ua=tgθ
θ=arctg (ua)
u=atgθ
du=a sec2θdθ
.-Donde R es una función racional.
IX
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IV. INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES
P ( x )<Q ( x )=propia
P ( x )>Q ( x )=inpropia
Función racional impropia:
p (x)Q(x)
=c ( x )+R ¿¿
Nuestra integración de la función racional propia:
∫ p(x )Q(x )
dx……propia
Primer caso:
∫ Ax+Ba x2+bx+c
…….. Donde a, b, c, son constantes:
Para calcular la presente integral se procede del siguiente modo:
a) Se completa cuadrados en el denominador. ax2+bx+c=a¿
b) Se hace la sustitución: z=x+ ba
,con la cual la integral se convierte en:
∫ Ax+Bax2+bx+c
dx=¿ ∫ mz+na (z2+n)
dz=ma ∫ zdz
z2+n+ na ∫ dz
z2+n
Se resuelve mediante las primeras formulas básicas de integración:
Segundo caso:
Cuando en la integral; ∫ p(x )Q(x )
dx la función polinómica Q(x), se descompone en factores
todas lineales y distintas:
Q ( x )=an (x−α1 ) (x−α 2 )….(x−α n)
∫ p(x )Q(x )
dx=¿ ∫( A1x−B1
+A2
x−B2+…+
An
x−Bn)dx
Donde;A1 , A2 ,……. An;son constantesque sevanadetermiar mediante laigualdad .
X
p−veces
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Tercer caso:
Cuando la integral, ∫ p(x )Q(x )
dx
Q(x) se descompone en factores lineales alguna repetidas suponiendo que,x−a , es el factor lineal que se repite p veces.
Q ( x )=an ( x−a ) ( x−a )… ( x−a ) (x−α p+1 )…(x−an)
A la función racional ∫ p(x )Q(x )
dx=∫( a1x−a
+A2
(x−a)2+…+
A p
(x−a )p+
Ap+1
x−α p+1
+…+An
x−αn )dxDónde:A1 ; A2… .. An ,son constantes quesevanadeterminar mediante laigualdad .
Cuarto caso:
Cuando Q(x )se descompone en factores lineales y cuadráticos irreducibles y ninguno se repite:
Q ( x )=an (x2+b1 x+c1 )( x2+b2 x+c2 ) (x2+b3 x+c3 ) (x−α 4 )… (x−α n)
∫ p(x )Q(x )
dx=∫( A1 x+b1x2+b1 x+c1
+A2 x+B2x2+b2 x+c2
+A3 x+B3
x2+b3 x+c3+
An
x−α n
+…+An
x−αn )dxDónde:A1, :A2 ,:A3…:An ; :B1 , :B2 ,:Bn , sonconstantes que se vanhadeterminar
Quito caso:
Cuando Q ( x ), se descompone en factores lineales y cuadráticas repetidos en donde los factores cuadráticos irreducibles se repiten:
Q ( x )=an¿
∫ p(x )Q(x )
dx=∫¿¿
Dónde:A1, :A2 , …:An ; :B1 , :B2; sonconstantes que se vanadeterminar :
XI
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V. MÉTODO DE HERMITE-OSTROGRADSKI.- De la forma:
∫ Ax+B¿¿ ¿
Donde x2+bx+c es una expresión cuadrática irreducible.
∫ Ax+B¿¿ ¿
Donde P(x )es un polinomio de grado <2(n-1)=grado de ¿y los coeficientes deP(x ) así como C y D se hallan derivando ambos miembros y luego de integra.Otros caso: Q(x )Se descompone en factores multiplicidad. Q ( x )=¿Se expresa de en la forma siguiente:
∫ p(x )Q(x )
dx=f (x )Q1(x)
+∫ g(x )Q2(x )
dx…………….. (1)
De dondeQ1(x)es máximo común divisor de los polinomios Q(x )y de su
derivada Q´ (x ).yQ2 ( x )= Q(x)Q1(x )
, además f (x)yg(x )son polinomios con
coeficiente inmediatos, cuyos grados son números en una unidad que los polinomios Q1(x)yQ2(x )respectivamente.Los coeficientes indeterminados de los polinomios,f (x)yg(x )se calculan derivándola ecuación (1).
XII
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