Trabajo de Formulario de Integral

FORMULARIO DE CALCULO INTEGRAL Leoncio

FORMULARIO DE CALCULO INTEGRALPROPIEDADES DE LA INTEGRAL: ∫0 dx=c ∫ dx=x+c ∫ kdx=k∫dx

∫ kf (x )dx=¿¿K∫ f ( x )dx ∫ (u+v+w )dx=∫udx+¿∫ vdx+¿∫wdx ¿¿INTEGRALES INMEDIATASPotencia de la función identidad

∫ vndv= vn+1

n+1+c

Potencia de una Función Compuesta

∫ vmdv= vm+1

m+1+c

INTEGRALES DE UNA SUMA/RESTA

∫ (u±v )dx=¿∫udx+¿∫ vdx+c¿¿EXPONENCIAL

∫ av dv= av

lna+c

Exponencial simple

∫ evdv=ev+c

INTEGRALES TRIGONOMETRICAS

∫ sen ( v )dv=−cos ( v )+c ∫cos (v )dv=sen ( v )+c ∫ sec2 (v )dv=tag (v )+c ∫ sec (v ) tag ( v )dv=sec ( v )+c ∫ csc ( v ) ctg ( v )dv=−csc ( v )+c

∫ sen2 (v )dv= v2−sen (2v )4

+c

∫ tag (v )dv=ln (sec ( v ) )+c ∫ ctg ( v )dv=ln ( sen (v ) )+c ∫ tag2(v)dv=tg (v )−v+c

I


∫ sec (v )dv=ln [sec (v )+tag (v ) ]+c=ln [ tg v2 ]+c ∫ ctg2 ( v )dv=−ctg (v )−v+c ∫ csc ( v )dv=ln [csc ( v )−ctg (v ) ]+c ∫ csc2 ( v )dv=−ctg (v )+c

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS INVERSA

∫ dv

√1−v2=arcsen (v )+c

∫ dv

√1−v2=−arccos ( v )+c

∫ dv

1+v2=arctg (v )+c

∫ dv

1+v2=−arc ctg (v )+c

∫ dv

v √v2−1={ arcsec (v )+c ;v>0

−arcsec (v )+c ; v<0} ∫ −dv

v √v2−1={−arccosc (v )+c ; v>0

arccosc (v )+c ;v<0 }INTRGRALES HIPERBOLICO

∫ senhvdv=coshv+c

∫ coshvdv=senhv+c

∫ tghvdv=ln ( coshv )+c

∫ ctghvdv=ln (senhv )+c

∫ sec h2 vdv=tghv+c

II


∫ csc h2 vdv=−ctghv+c

∫ sechvtghvdv=−sechv+c

∫ cosechvctghvdv=−cosechv+c

FORMULARIO DE INTEGRALES:

∫ dvv

=ln ( v )+c

∫ dva+bv

=1bln (a+bv )+c

∫ dv

a2+v2=1aarctg

va+c

∫ dv

√a2−v2=arcsen v

a+c

∫ dv

a2−v2= 12aln|a+va−v|+c

∫ dv

√v2± a2=ln|v+√v2±a2|+c

∫ logvdv=v (logv−1)

∫ dv

v √a2±v2=−1

aln [ a+√a2±v2

v ]+c

III


∫ dv

v √v2−a2=1aarcsec

va+c ; a>0

∫ dv

v2−a2= 12aln|v−av+a |+c

∫ dv

v2√a2+v2=−1a2

√a2−v2

v+c

∫ √v2−a2dvv

=√v2−a2−a(arcsen va )+c

∫ √v2±a2dv=12

[v √v2±a2±a2 ln (v+√v2±a2 ) ]+c

∫√a2−v2dv=12 [v √a2−v2+a2arcsen v

a ]+c ∫ √a2+v2dv

v2=−√a2+v2

v+ln (v+√a2−v2 )+c

∫ √a2−v2dvv2

=−√a2−v2v

−arcsen va+c

∫ √a2±v2dvv

=√a2±v2−aln [ a+√a2+v2v ]+c

∫ dv

v2+a2=1aarctg

va+c

MÉTODOS DE INTEGRACION

I. INTEGRACIO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

En esta parte, será considerada las integrales trigonométricas de la forma:

∫ senn ( x )dx ;∫cosn ( x )dx ;∫ tgn ( x )dx ;∫ ctgn ( x )dx

∫ senm ( x ) cosndx ;∫ tgm ( x ) secn ( x )dx ;∫ctgm ( x )cosec n ( x )dx

a) INTEGRALES DE QUE TIENE DE FORMA ∫ senm (u ) ;∫cosn (u )du

IV


Primer caso

Cuando “n”es numero un entero positivo par:

sen2u=1−cos2u2

; ∫cos2u=1+cos2u2

Segundo casoCuando “n”es un numero entero positivo impar(n=z+¿¿impar)

∫ senn (u )du=¿¿ ∫ senn−1(¿u)sen (u )du¿

∫cosn (u )du=¿¿ ∫ cson−1 (u ) cos (u )du

Y luego se usa la identidad:

sen2 (u )+cos2=1

cos2u=1−sen2u;sen2u=1−c os2u

Tercer caso:

En forma práctica se puede calcular la siguiente expresión

∫ sen (nu )du= cos (nu)n

+c; ∫cos (nu )du= sen(nu)n

+c

Cuarto caso

∫ senn(¿ku)cos (ku )du= senn+1(ku)(n+1 )k

+c ¿

∫cosn (ku ) sen (ku )du= cosn+1 (ku )(ku)

+c

b) PARA EL CÁLCULO DE LAS SIGUIENTE DE LA FORMA

V


∫ tgnudu ;∫ ctgnu du

Primer caso:

Si “n” es un número entero par positivo:

∫ tgnudu=¿ ∫ ctgn−2u tg2udu

∫ ctgnudu=¿¿ ∫ ctgn−2uctg2u du

Luego se usa las identidades

1+tg2u=sec 2u 1+ctg2u=csc2u

Segundo paso:

Si “n”es un numero entero positivo impar

∫ tgnudu=¿∫ tgn−1u tgudu¿ Ò ∫ [ tg2u ]n−1ntgu du

∫ ctgnudu=∫ ctgn−1u ctguduÒ ∫ [ ctg2u ]n−12ctgudu


1+tg2u=sec 2u 1+ctg2u=csc2u

c) Para el cálculo de la integración de la forma ∫ senmucosnudu

Primer caso:

Si “m ò n”, es decir, cualquiera de los exponentes es un número entero positivo impar y el otro es cualquier número:

"m” es un número impar y “n” es cualquier numero:

VI


∫ senmucosnudu=∫ senm−1 cosnusenu du

Luego se usa

sen2u+cos2u=1

Que “n”es un numero entero impar y “m” es cualquier numero:

∫ senmucosnudu=∫ senmucosn−1ucosudu

Luego se usa

sen2u+cos2u=1

Segundo caso:

Si “m y n” los dos exponentes son números enteros positivo pares:

sen2u=1−cos2u

2;cos2u=1+cos2 x

2

d) Para el cálculo de las integrales de forma:

∫ tgnusecmudu ;∫ctgnucscmudu

Primer caso:

Cuando “n” es un número positivo impar y “m”es cualquier número:

∫ tgn (u ) secm(u)du=∫ tgn−1(u) secm−1(u)tg (u)sec (u)du

∫ ctgn (u ) cscm (u )du=¿∫ ctgn−1 (u )cscm−1 (u ) ctg (u ) csc (u )du¿


1+tg2 (u )=sec 2 (u ) 1+ctg2 (u )=sec2 (u )

Segundo caso:

Cuando “m” es un número entero positivo par y “n” es cualquier número:

VII


∫ tgn (u ) secm (u )du=¿∫ tgn (u ) secm−2 (u ) sec2 (u )du¿

∫ ctgn (u ) cscm (u )du=¿∫ ctgn (u ) cscm−2 (u )csc 2 (u )du¿


1+tg2 (u )=sec 2(u)

1+ctg2 (u )=sec2(u)

II. INTEGRACIÓN POR PARTES

Existen una variedad de integrales que se pueden desarrollar usando la relación:

∫udv=uv−¿∫ vdu¿

Es elegir “u dv”,por lo cual es útil la siguiente identificación:

I: función trigonometría inversa.

L: función logarítmica.

A: función algebraica.

T: función trigonométrica.

E: función exponencial

III. INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA:

De función que contienen:

∫R (u ,¿√a2−u2)du¿ ∫R (u ,¿√u2−a)du¿ ;∫R (u ,¿√u2+a2)du¿

Para estos casos, el método más corto para integrar tales funciones es efectuar un cambio variable del siguiente modo.

VIII

a u

√a2+u2

u

√u2−a2

a

√u2+a2

u

a


Función Triangulo a construir Hacer sustitución

√a2−u2ua=senθ

θ=arcsen( ua)

u=asenθdu=acosθdθ

√u2−a2

ua=secθ

θ=arcsec ua

u=asec θdu=a secθtgθdθ

√u2+a2 ua=tgθ

θ=arctg (ua)

u=atgθ

du=a sec2θdθ

.-Donde R es una función racional.

IX


IV. INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES

P ( x )<Q ( x )=propia

P ( x )>Q ( x )=inpropia

Función racional impropia:

p (x)Q(x)

=c ( x )+R ¿¿

Nuestra integración de la función racional propia:

∫ p(x )Q(x )

dx……propia

Primer caso:

∫ Ax+Ba x2+bx+c

…….. Donde a, b, c, son constantes:

Para calcular la presente integral se procede del siguiente modo:

a) Se completa cuadrados en el denominador. ax2+bx+c=a¿

b) Se hace la sustitución: z=x+ ba

,con la cual la integral se convierte en:

∫ Ax+Bax2+bx+c

dx=¿ ∫ mz+na (z2+n)

dz=ma ∫ zdz

z2+n+ na ∫ dz

z2+n

Se resuelve mediante las primeras formulas básicas de integración:

Segundo caso:

Cuando en la integral; ∫ p(x )Q(x )

dx la función polinómica Q(x), se descompone en factores

todas lineales y distintas:

Q ( x )=an (x−α1 ) (x−α 2 )….(x−α n)

∫ p(x )Q(x )

dx=¿ ∫( A1x−B1

+A2

x−B2+…+

An

x−Bn)dx

Donde;A1 , A2 ,……. An;son constantesque sevanadetermiar mediante laigualdad .

X

p−veces


Tercer caso:

Cuando la integral, ∫ p(x )Q(x )

dx

Q(x) se descompone en factores lineales alguna repetidas suponiendo que,x−a , es el factor lineal que se repite p veces.

Q ( x )=an ( x−a ) ( x−a )… ( x−a ) (x−α p+1 )…(x−an)

A la función racional ∫ p(x )Q(x )

dx=∫( a1x−a

+A2

(x−a)2+…+

A p

(x−a )p+

Ap+1

x−α p+1

+…+An

x−αn )dxDónde:A1 ; A2… .. An ,son constantes quesevanadeterminar mediante laigualdad .

Cuarto caso:

Cuando Q(x )se descompone en factores lineales y cuadráticos irreducibles y ninguno se repite:

Q ( x )=an (x2+b1 x+c1 )( x2+b2 x+c2 ) (x2+b3 x+c3 ) (x−α 4 )… (x−α n)

∫ p(x )Q(x )

dx=∫( A1 x+b1x2+b1 x+c1

+A2 x+B2x2+b2 x+c2

+A3 x+B3

x2+b3 x+c3+

An

x−α n

+…+An

x−αn )dxDónde:A1, :A2 ,:A3…:An ; :B1 , :B2 ,:Bn , sonconstantes que se vanhadeterminar

Quito caso:

Cuando Q ( x ), se descompone en factores lineales y cuadráticas repetidos en donde los factores cuadráticos irreducibles se repiten:

Q ( x )=an¿

∫ p(x )Q(x )

dx=∫¿¿

Dónde:A1, :A2 , …:An ; :B1 , :B2; sonconstantes que se vanadeterminar :

XI


V. MÉTODO DE HERMITE-OSTROGRADSKI.- De la forma:

∫ Ax+B¿¿ ¿

Donde x2+bx+c es una expresión cuadrática irreducible.

∫ Ax+B¿¿ ¿

Donde P(x )es un polinomio de grado <2(n-1)=grado de ¿y los coeficientes deP(x ) así como C y D se hallan derivando ambos miembros y luego de integra.Otros caso: Q(x )Se descompone en factores multiplicidad. Q ( x )=¿Se expresa de en la forma siguiente:

∫ p(x )Q(x )

dx=f (x )Q1(x)

+∫ g(x )Q2(x )

dx…………….. (1)

De dondeQ1(x)es máximo común divisor de los polinomios Q(x )y de su

derivada Q´ (x ).yQ2 ( x )= Q(x)Q1(x )

, además f (x)yg(x )son polinomios con

coeficiente inmediatos, cuyos grados son números en una unidad que los polinomios Q1(x)yQ2(x )respectivamente.Los coeficientes indeterminados de los polinomios,f (x)yg(x )se calculan derivándola ecuación (1).

XII

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