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UNIDAD IV
EESSFFUUEERRZZOO
1. ESFUERZO
Sabemos que la fuerza y el momento que actúan en un punto específico sobre el
área seccionada de un cuerpo, figura 1, representan los efectos resultantes de la
distribución de fuerza verdadera que actúa sobre el área seccionada. La
obtención de esta distribución de carga interna es de importancia primordial en la
mecánica de materiales. Para resolver este problema es necesario establecer el
concepto de esfuerzo.
Consideremos el área seccionada como subdividida en pequeñas áreas, tal como
el área sombreada de ΔA mostrada en la figura 2a. Al reducir ΔA a un tamaño
cada vez más pequeño, debemos hacer dos hipótesis respecto a las propiedades
del material. Consideraremos que el material es continuo, esto es, que consiste
en una distribución uniforme de materia que no contiene huecos, en vez de estar
compuesto de un número finito de moléculas o átomos distintos. Además, el
material debe ser cohesivo, es decir, que todas sus partes están unidas entre sí,
en vez de tener fracturas, grietas o separaciones. Una fuerza típica finita pero
muy pequeña ΔF, actuando sobre su área asociada ΔA, se muestra en la figura
2a. Esta fuerza como todas las otras, tendrá una dirección única, pero para el
análisis que sigue la reemplazaremos por sus tres componentes, ΔFx, ΔFy y ΔFz
que se toman tangentes y normales al área, respectivamente. Cuando el área ΔA
tiende a cero, igualmente tienden a cero la fuerza ΔF y sus componentes; sin
embargo, el cociente de la fuerza y el área tenderán en general a un límite finito.
Este cociente se llama esfuerzo y describe la intensidad de la fuerza interna
sobre un plan específico (área) que pasa por un punto.
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Figura 1
Figura 2
1.1. ESFUERZO NORMAL
La intensidad de fuerza, o fuerza por área unitaria, actuando
normalmente a ΔA se define como el esfuerzo normal ζ (sigma). Como,
ΔFz es normal al área, entonces,
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Si la fuerza o esfuerzo normal "jala" al elemento de área, ΔA como se
muestra en la figura 2a, se le llama esfuerzo de tensión, mientras que si
se “empuja" a ΔA se le llama esfuerzo de compresión.
1.2. ESFUERZO CORTANTE
La intensidad de fuerza, o fuerza por área unitaria, actuando tangente a
ΔA se llama esfuerzo cortante, η (tau). Aquí tenemos las componentes de
esfuerzo cortante,
El subíndice z en ζz, se usa para indicar la dirección de la línea normal
hacia fuera, que especifica la orientación del área, ΔA, figura 3. Para las
componentes del esfuerzo cortante, Tzx y Tzy, se usan dos subíndices. El
eje z especifica la orientación del área, y x y y se refieren a los ejes coor-
denados en cuya dirección actúan los esfuerzos cortantes.
Figura 3
1.3. ESTADO GENERAL DE ESFUERZO
Si el cuerpo es adicionalmente seccionado por planos paralelos al plano x-
z, figura 2b, y al plano y-z, figura 2c, podemos entonces "separar" un
elemento cúbico de volumen de material que representa el estado de
esfuerzo que actúa alrededor del punto escogido en el cuerpo, figura 3-4.
Este estado de esfuerzo es caracterizado por tres componentes que
actúan sobre cada cara del elemento. Esas componentes de esfuerzo
describen el estado de esfuerzo en el punto sólo para el elemento
orientado a lo largo de los ejes x, y, z. Si el cuerpo fuese seccionado en
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un cubo con otra orientación, el estado de esfuerzo se definiría usando un
conjunto diferente de componentes de esfuerzo.
Figura 4
1.4. UNIDADES
En el sistema SI, las magnitudes de los esfuerzos normal y cortante se
especifican en las unidades básicas de newtons por metro cuadrado
(N/m2). Esta unidad, llamada pascal (1 Pa = 1 N/m2) es algo pequeña y
en trabajos de ingeniería se usan prefijos como kilo- (103), simbolizado
por k, mega- (106), simbolizado por M o giga- (109), simbolizado por G,
para representar valores mayores del esfuerzo.
*De la misma manera en el sistema inglés de unidades, los ingenieros por
lo regular expresan el esfuerzo en libras por pulgada cuadrada (psi) o en
kilo libras por pulgada cuadrada (ksi), donde 1 kilo libra (kip) = 1000 lb.
*A veces el esfuerzo se expresa en unidades de N/mm2, donde 1 mm=10-
3 m. Sin embargo, en el sistema SI no se permiten prefijos en el
denominador de una fracción y por tanto es mejor usar el equivalente 1
N/mm2=1 MN/m2 = 1 MPa.
2. ESFUERZO NORMAL PROMEDIO EN UNA BARRA CARGADA AXIALMENTE
Con frecuencia, los miembros estructurales o mecánicos se fabrican largos y
delgados. Asimismo, son sometidos a cargas axiales que normalmente se aplican
a los extremos del miembro. Miembros de armaduras, barras colgantes y pernos
son ejemplos típicos. En esta sección determinaremos la distribución del esfuerzo
promedio que actúa sobre la sección transversal de una barra cargada
axialmente como la mostrada en la figura 5a, que tiene una forma general. Esta
sección define el área de la sección transversal de la barra y como todas esas
secciones transversales son iguales, a la barra se le llama barra prismática. Si
despreciamos el peso de la barra y la seccionamos como se indica en la figura
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4.5b, entonces, por equilibrio del segmento inferior, la fuerza interna resultante
que actúa sobre la sección transversal debe ser igual en magnitud, opuesta en
sentido y colineal con la fuerza externa que actúa en el fondo de la barra.
Figura 5
2.1. SUPOSICIONES
Antes de determinar la distribución de esfuerzo promedio que actúa sobre
el área transversal de la barra, es necesario hacer dos hipótesis
simplificatorias relativas a la descripción del material y a la aplicación
específica de la carga.
1. Es necesario que la barra permanezca recta antes y después de que
se aplica la carga, y también, la sección transversal debe permanecer
plana durante la deformación, esto es, durante el tiempo que la barra
cambia de volumen y forma. Si esto ocurre, entonces las líneas
horizontales y verticales de una retícula inscrita sobre la barra se
deformarán uniformemente cuando la barra esté sometida a la carga,
figura 6. No consideraremos aquí regiones cercanas a los extremos
de la barra, donde la aplicación de las cargas externas puede
ocasionar distorsiones localizadas. En cambio, nos fijaremos sólo en
la distribución del esfuerzo dentro de la porción media de la barra.
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Figura 6
2. Para que la barra experimente una deformación uniforme, es
necesario que P se aplique a lo largo del eje centroidal de la sección
transversal y que el material sea homogéneo e isotrópico. Un
material homogéneo tiene las mismas propiedades físicas y
mecánicas en todo su volumen, y un material isotrópico tiene esas
mismas propiedades en todas direcciones. Muchos materiales de la
ingeniería pueden considerarse homogéneos e isotrópicos. Por
ejemplo, el acero contiene miles de cristales orientados al azar en
cada milímetro cúbico de su volumen, y como en la mayoría de las
aplicaciones este material tiene un tamaño físico que es mucho
mayor que un solo cristal, la suposición anterior relativa a la
composición del material es bastante realista. Sin embargo, debe
mencionarse que el acero puede volverse anisotrópico por medio del
laminado en frío, esto es, laminado o forjado a temperaturas
subcríticas. Los materiales anisotrópicos tienen propiedades
diferentes en direcciones diferentes, y aunque éste sea el caso, si la
anisotropía se orienta a lo largo del eje de la barra, entonces la barra
se deformará uniformemente cuando sea sometida a una carga axial.
Por ejemplo, la madera, debido a sus granos o fibras, es un material
que es homogéneo y anisotrópico, por lo que NO es adecuado para el
siguiente análisis.
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2.2. DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO NORMAL PROMEDIO
Suponiendo que la barra está sometida a una deformación uniforme
constante, entonces esta deformación es causada por un esfuerzo normal
ζ constante, figura 7d. En consecuencia, cada área ΔA sobre la sección
transversal está sometida a una fuerza ΔF = ζ ΔA, Y la suma de esas
fuerzas actuando sobre toda el área transversal debe ser equivalente a la
fuerza interna resultante P en la sección. Si hacemos que ΔA→dA y por
tanto ΔF→dF, entonces como ζ es constante, tenemos:
Figura 7
Donde,
ζ = esfuerzo normal promedio en cualquier punto sobre el área de la
sección transversal.
P = fuerza normal interna resultante, aplicada en el centroide del área de
la sección transversal. P se determina usando el método de las secciones
y las ecuaciones de equilibrio.
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A = área de la sección transversal de la barra.
La carga interna P debe pasar por el centroide de la sección transversal
ya que la distribución del esfuerzo uniforme generará momentos nulos
respecto a cualquier eje x o y que pase por este punto, figura 5d.
Cuando esto ocurre,
Estas ecuaciones se satisfacen, ya que por definición del centroide,
2.3. EQUILIBRIO
Debería ser aparente que sólo existe un esfuerzo normal en cualquier
elemento de volumen de material localizado en cada punto sobre la
sección transversal de una barra cargada axialmente. Si consideraos el
equilibrio vertical del elemento, figura 8, entonces al aplicar la ecuación
de equilibrio de fuerzas,
Figura 8
En otras palabras, las dos componentes de esfuerzo normal sobre el ele-
mento deben ser iguales en magnitud pero opuestas en dirección. A éste
se le llama esfuerzo uniaxial.
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El análisis previo se aplica a miembros sometidos a tensión o a
compresión, como se muestra en la figura 9. Como interpretación gráfica,
la magnitud de la fuerza interna resultante P es equivalente al volumen
bajo el diagrama de esfuerzo; es decir, P = ζ A (volumen = altura X
base). Además, como consecuencia del equilibrio de momentos, esta
resultante pasa por el centroide de este volumen.
Aunque hemos desarrollado este análisis para barras prismáticas, esta
suposición puede ampliarse para incluir barras que tengan un pequeño
ahusamiento. Por ejemplo, puede demostrarse, usando un análisis más
exacto de la teoría de la elasticidad, que para una barra ahusada de
sección transversal rectangular, en la cual el ángulo entre dos lados
adyacentes es de 15°, el esfuerzo normal promedio, calculado según ζ =
P/A, es sólo 2.2% menor que el valor calculado con la teoría de la
elasticidad.
Figura 9
2.4. ESFUERZO NORMAL PROMEDIO MÁXIMO
En el análisis anterior, tanto la fuerza interna P como el área de la sección
transversal se consideraron constantes a lo largo del eje longitudinal de la
barra y por tanto se obtuvo un esfuerzo normal ζ = P/A también
constante. Sin embargo, en ocasiones la barra puede estar sometida a
varias cargas externas a lo largo de su eje o puede presentarse un
cambio en su área de sección transversal. En consecuencia, el esfuerzo
normal dentro de la barra puede ser diferente de sección a sección, y si
debe calcularse el esfuerzo normal promedio máximo, tendrá que
determinarse la posición en que la razón P/A sea máxima. Para esto es
necesario determinar la fuerza interna P en varias secciones a lo largo de
la barra, lo que se consigue dibujando un diagrama de fuerza normal
o axial. Específicamente, este diagrama es una gráfica de la fuerza
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normal P contra su posición x a lo largo de la longitud de la barra. P se
considerará positiva si causa tensión en el miembro y negativa si causa
compresión. Una vez conocida la carga interna en toda la barra podrá
identificarse la razón máxima de P/A.
Esta barra de acero se usa para suspender una porción de una escalera, y por ello
está sometida a un esfuerzo de tensión.
Figura 10
EJEMPLO
La barra en la figura 11 tiene un ancho constante de 35 mm y un espesor
de 10 mm. Determine el esfuerzo normal promedio máximo en la barra
cuando ella está sometida a las cargas mostradas.
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Figura 11
Solución
Carga interna:
Por inspección, las fuerzas axiales internas en las regiones AB, BC y CD
son todas constantes pero tienen diferentes magnitudes. Usando el
método de las secciones, esas cargas son determinadas en la figura 11b;
y el diagrama de fuerza normal que representa esos resultados
gráficamente se muestra en la figura 11c. Por inspección, la carga
máxima está en la región BC, donde PBC = 30 kN. Como el área
transversal de la barra es constante, el esfuerzo normal máximo promedio
también ocurre dentro de esta región de la barra.
Esfuerzo normal promedio:
Rpta.
La distribución de los esfuerzos que actúan sobre una sección transversal
arbitraria de la barra dentro de la región BC se muestra en la figura 10d.
Gráficamente el volumen (o "bloque") representado por esta distribución
de esfuerzos es equivalente a la carga de 30 kN; o sea, 30 kN = (85.7
MPa) (35 mm) (10 mm).
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EJEMPLO
La lámpara de 80 kg está soportada por dos barras AB y BC como se
muestra en la figura 12a. Si AB tiene un diámetro de 10 mm y BC tiene
un diámetro de 8 mm, determine el esfuerzo normal promedio en cada
barra.
Figura 12
Solución
Carga interna:
Debemos primero determinar la fuerza axial en cada barra. En la figura se
muestra un diagrama de cuerpo libre de la lámpara. Aplicando las
ecuaciones de equilibrio de fuerzas, obtenemos:
Por la tercera ley de Newton, la acción es igual pero opuesta a la
reacción, estas fuerzas someten a las barras a tensión en toda su
longitud.
Esfuerzo normal promedio:
Rpta.
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Figura 13
Rpta.
La distribución del esfuerzo normal promedio que actúa sobre una sección
transversal de la barra AB se muestra en la figura 13c, y en punto sobre
esta sección transversal, un elemento de material está esforzado como se
muestra en la figura 13d.
EJEMPLO
La pieza fundida mostrada en la figura 14a está hecha de acero con peso
específico de γac = 490 lb/pie3. Determine el esfuerzo de compresión
promedio que actúa en los puntos A y B.
Figura 14
Solución
Carga interna:
En la figura 14b se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento
superior de la pieza fundida donde la sección pasa por los puntos A y B.
El peso de este segmento es Wac = γac Vac. La fuerza axial interna P en la
sección es entonces:
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Esfuerzo de compresión promedio:
El área transversal en la sección es A = π (0.75 pie)2, y el esfuerzo de
compresión promedio es entonces:
Rpta.
El esfuerzo mostrado en el elemento de volumen de material en la figura
14c es representativo de las condiciones en A o B. Note que este esfuerzo
actúa hacia arriba sobre el fondo o cara sombreada del elemento ya que
esta cara forma parte del área de la superficie del fondo de la sección
cortada, y sobre esta superficie, la fuerza interna resultante P empuja
hacia arriba.
3. ESFUERZO CORTANTE PROMEDIO
El esfuerzo cortante se definió como la componente del esfuerzo que actúa en el
plano del área seccionada. Para mostrar cómo se desarrolla este esfuerzo,
consideraremos el efecto de aplicar una fuerza F a la barra mostrada en la figura
15a. Si los soportes se consideran rígidos y F es suficientemente grande, ésta
ocasionará que el material de la barra se deforme y falle a lo largo de los planos
AB y CD. Un diagrama de cuerpo libre del segmento central no soportado de la
barra, figura 15b, indica que una fuerza cortante V = F/2 debe aplicarse a cada
sección para mantener el segmento en equilibrio. El esfuerzo cortante promedio
distribuido sobre cada área seccionada que desarrolla esta fuerza se define por:
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Figura 15
Donde,
τprom = esfuerzo cortante promedio en la sección; se supone que es el mismo en
todo punto localizado sobre la sección.
V = fuerza cortante interna resultante en la sección; se determina con las
ecuaciones de equilibrio.
A = área en la sección.
La distribución del esfuerzo cortante promedio se muestra
actuando sobre la sección derecha en la figura 15c. Observe que ηprom tiene la
misma dirección que V, ya que el esfuerzo cortante debe crear fuerzas asociadas
que contribuyen en conjunto a generar la fuerza interna resultante V en la
sección.
Figura 15c
El caso de carga analizado en la figura 11 es un ejemplo de cortante simple o
cortante directo, ya que el cortante es causado por la acción directa de la
carga aplicada F. Este tipo de cortante suele ocurrir en varios tipos de
conexiones simples que usan pernos, pasadores, soldadura, etc. Una
investigación más precisa de la distribución del esfuerzo cortante sobre la sección
crítica revela que esfuerzos cortantes mucho mayores ocurren en el material que
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los predichos por esta ecuación. Por ejemplo, los manuales de ingeniería
permiten su uso al considerar tamaños de diseño para sujetadores como pernos
o para obtener la resistencia por adherencia de juntas sometidas a cargas
cortantes. Con respecto a esto, ocurren en la práctica dos tipos de cortante, que
merecen tratamientos separados.
3.1. CORTANTE SIMPLE
Las juntas de acero y madera mostradas en las figuras 16a y 16c,
respectivamente, son ejemplos de conexiones en cortante simple y se
conocen como juntas traslapadas. Supondremos aquí que los miembros
son delgados y que la tuerca en la figura 16a no está demasiado apretada
de modo que la fricción entre los miembros puede despreciarse. Pasando
una sección entre los miembros se obtienen los diagramas de cuerpo libre
mostrados en las figuras 16b y 16d. Como los miembros son delgados,
podemos despreciar el momento generado por la fuerza F. Entonces, por
equilibrio, el área de la sección transversal del perno en la figura 16b y la
superficie de contacto entre los miembros en la figura 16d están
sometidos sólo a una fuerza cortante V=F.
Fig. 16
3.2. CORTANTE DOBLE
Cuando la junta se construye como se muestra en la figura 17a ó 17c,
deben considerarse dos superficies cortantes. Ese tipo de conexiones se
llaman juntas traslapadas dobles. Si pasamos una sección entre cada uno
de los miembros, los diagramas de cuerpo libre del miembro central son
como se muestra en las figuras 17b y 17d. Tenemos aquí una condición
de cortante doble. En consecuencia, una fuerza cortante V = F/2 actúa
sobre cada área seccionada y esta fuerza cortante debe considerarse al
aplicar ηperm = V/A.
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Figura 17
3.3. EQUILIBRIO
Consideremos un elemento de volumen de material tomado en un punto
localizado sobre la superficie de cualquier área seccionada sobre la que
actúa el esfuerzo cortante promedio, figura 18a. Si consideramos el
equilibrio de fuerzas en la dirección y, entonces
Figura 18a
De manera similar, el equilibrio de fuerzas en la dirección z nos da yz =
´yz. Finalmente, tomando momentos respecto al eje x,
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Figura 18b
En otras palabras, el equilibrio de fuerzas y momentos requiere que el
esfuerzo cortante que actúa sobre la cara superior del elemento, esté
acompañado por esfuerzos cortantes actuando sobre las otras tres caras,
figura 18b. Aquí, todos los cuatro esfuerzos cortantes deben tener
igual magnitud y estar dirigidos hacia o alejándose uno de otro
en caras con un borde común. A esto se le llama propiedad
complementaria del cortante, y bajo las condiciones mostradas en la
figura 18, el material está sometido a cortante puro.
Aunque hemos considerado aquí un caso de cortante simple causado por
la acción directa de una carga, en capítulos posteriores veremos que el
esfuerzo cortante puede también generarse indirectamente por la acción
de otros tipos de cargas.
EJEMPLO
La barra mostrada en la figura 19a tiene una sección transversal cuadrada
de 40 mm. Si se aplica una fuerza axial de 800 N a lo largo del eje
centroidal del área transversal de la barra, determine el esfuerzo normal
promedio y el esfuerzo cortante promedio que actúan sobre el material a
lo largo (a) del plano a-a y (b) del plano b-b.
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Figura 4.17
Figura 19
Solución
Parte (a)
Carga interna
La barra es seccionada, figura 19b, y la carga interna resultante consiste
sólo en una fuerza axial P = 800 N.
Esfuerzo promedio
El esfuerzo normal promedio se determina con la ecuación:
Rpta.
No existe esfuerzo cortante sobre la sección, ya que la fuerza cortante en
la sección es cero.
Rpta.
La distribución del esfuerzo normal promedio sobre la sección transversal
se muestra en la figura 19c.
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Figura 19d
Parte (b)
Carga interna
Si la barra es seccionada a lo largo de b-b, el diagrama de cuerpo libre del
segmento izquierdo es como se muestra en la figura 19d. Aquí actúan
una fuerza normal (N) y una fuerza cortante (V) sobre el área seccionada.
Usando ejes x, y, se requiere
O más directamente, usando ejes x´, y´,
Resolviendo cualquier conjunto de ecuaciones,
Y el esfuerzo cortante promedio es
La distribución de esfuerzo se muestra en la figura 19e.
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Figura 19c
EJEMPLO
El puntal de madera mostrado en la figura 20a está suspendido de una
barra de acero de diámetro de 10 mm, que está empotrada a la pared. Si
el puntal soporta una carga vertical de 5 kN, calcule el esfuerzo cortante
promedio en la barra en la pared y a lo largo de los dos planos
sombreados del puntal, uno de los cuales está indicado como abcd
Figura 20a
Solución
Cortante interno
Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre en la figura 20b, la barra
resiste una fuerza cortante de 5 kN donde ella está empotrada a la pared.
En la figura 20c se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento
seccionado del puntal que está en contacto con la barra. Aquí la fuerza
cortante que actúa a lo largo de cada plano sombreado es de 2.5 kN.
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Figura 20b Figura 20c
Esfuerzo cortante promedio.
Para la barra,
Rpta.
Para el puntal,
Rpta.
La distribución del esfuerzo cortante promedio sobre la barra seccionada y
el segmento de puntal se muestran en las figuras 20d y 20e,
respectivamente. Se muestra también con esas figuras un elemento de
volumen típico del material en un punto localizado sobre la superficie de
cada sección. Observe cuidadosamente cómo el esfuerzo cortante debe
actuar sobre cada cara sombreada de esos elementos y sobre las caras
adyacentes de los mismos.
Figura 20d Figura 20e
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EJEMPLO
El miembro inclinado en la figura 21a está sometido a una fuerza de
compresión de 600 lb. Determine el esfuerzo de compresión promedio a
lo largo de las áreas lisas de contacto definidas por AB y BC, y el esfuerzo
cortante promedio a lo largo del plano horizontal definido por EDB.
Figura 21a
Solución
Cargas internas:
El diagrama de cuerpo libre del miembro inclinado se muestra en la figura
21b. Las fuerzas de compresión que actúan obre las áreas de contacto
son
Figura 21b
También, del diagrama de cuerpo libre del segmento superior del
miembro del fondo, figura 21c, la fuerza cortante que actúa sobre el
plano horizontal seccionado EDB es
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
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Figura 21c
Esfuerzo promedio
Los esfuerzos de compresión promedio a lo largo de los planos horizontal
y vertical del miembro inclinado son:
Rpta.
Rpta.
Figura 21d
Estas distribuciones de esfuerzo se muestran en la figura 21d.
El esfuerzo cortante promedio que actúa sobre el plano horizontal
definido por EDB es:
Rpta.
TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
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Figura 21e
Este esfuerzo se muestra distribuido sobre el área seccionada en la figura
21e.
4. ESFUERZO PERMISIBLE
Un ingeniero a cargo del diseño de un miembro estructural o elemento mecánico
debe restringir el esfuerzo en el material a un nivel que sea seguro. Además, una
estructura o máquina corrientemente en uso puede en ocasiones tener que ser
analizada para ver qué carga adicional pueden soportar sus miembros o partes.
Así que nuevamente es necesario efectuar cálculos usando un esfuerzo
permisible o seguro.
Para garantizar la seguridad es necesario escoger un esfuerzo permisible que
limite la carga aplicada a un valor que sea menor al que el miembro pueda
soportar plenamente. Hay varias razones para esto. Por ejemplo la carga para la
cual el miembro se diseña puede ser diferente de la carga real aplicada sobre él.
Las medidas previstas para una estructura o maquina pueden no ser exactas
debido a errores en la fabricación o en el montaje de las partes componentes.
Pueden ocurrir vibraciones desconocidas, impacto o cargas accidentales que no
se hayan tomado en cuenta durante el diseño. La corrosión atmosférica, el
decaimiento o las condiciones ambientales tienden a que los materiales se
deterioren durante el servicio. Finalmente, algunos materiales, como la madera,
el concreto o compuestos reforzados con fibras, pueden mostrar alta variabilidad
en sus propiedades mecánicas.
Una manera de especificar la carga permisible para el diseño o análisis de un
miembro es usar un número llamado factor de seguridad. El factor de seguridad
(FS) es la razón de la carga de falla, Ffalla, dividida entre la carga permisible, Fperm.
La Ffalla se determina por medio de ensayos experimentales del material y el
factor de seguridad se selecciona con base en la experiencia, de manera que las
incertidumbres mencionadas antes sean tomadas en cuenta cuando el miembro
se use en condiciones similares de carga y simetría. Expresado
matemáticamente,
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
78
Si la carga aplicada al miembro está linealmente relacionada al esfuerzo
desarrollado dentro del miembro, como en el caso de usar ζ = P/A y ηprom = V/A,
entonces podemos expresar el factor de seguridad como razón del esfuerzo de
falla ζfalla (o ηfalla) al esfuerzo permisible ζperm (o ηperm); esto es,
Ó
En cualquiera de esas ecuaciones, el factor de seguridad se escoge mayor que 1
para evitar una posible falla. Los valores específicos dependen de los tipos de
materiales por usarse y de la finalidad prevista para la estructura o máquina. Por
ejemplo, el FS usado en el diseño de componentes de aeronaves o vehículos
espaciales puede ser cercano a 1 para reducir el peso del vehículo. Por otra
parte, en el caso de una planta nuclear, el factor de seguridad para algunos de
sus componentes puede ser tan alto como 3, ya que puede haber incertidumbre
en el comportamiento de la carga o del material. Sin embargo, en general, los
factores de seguridad, y por tanto las cargas o esfuerzos permisibles para
elementos estructurales y mecánicos, han sido muy estandarizados, ya que sus
indeterminaciones de diseño han podido ser evaluadas razonablemente bien. Sus
valores, que pueden encontrarse en los códigos de diseño y manuales de
ingeniería, pretenden reflejar un balance de seguridad ambiental y para el
público junto con una solución económica razonable para el diseño.
4.1. DISEÑO DE CONEXIONES SIMPLES
Haciendo suposiciones simplificatorias relativas al comportamiento del
material, las ecuaciones ζ = P/A y ηprom = V/A pueden usarse para
analizar o diseñar una conexión simple o un elemento mecánico. En
particular, si un miembro está sometido a una fuerza normal en una
sección, su área requerida en la sección se determina con:
TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
79
Por otra parte, si la sección está sometida a una fuerza cortante, entonces
el área requerida en la sección es:
Como vimos en la sección anterior, el esfuerzo permisible usado en cada
una de esas ecuaciones se determina aplicando un factor de seguridad a
un esfuerzo normal o cortante especificado o encontrando esos esfuerzos
directamente en un código apropiado de diseño.
Ahora discutiremos cuatro tipos comunes de problemas para las cuales las
ecuaciones pueden usarse en el diseño.
Área de la sección transversal de un miembro a tensión. El área de la
sección transversal de un miembro prismático sometido a una fuerza de
tensión puede determinarse si la fuerza tiene una línea de acción que
pasa por el centroide de la sección transversal.
Por ejemplo, considere la barra con perforación en sus extremos
mostrada en la figura 22a. En la sección intermedia a-a, la distribución de
esfuerzos es uniforme sobre toda la sección y se determina el área
sombreada A, como se muestra la figura 22b.
Figura 22
4.2. ÁREA DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL DE UN CONECTOR SOMETIDO A CORTANTE
A menudo los pernos o pasadores se usan para conectar placas, tablones
o varios miembros entre sí. Por ejemplo, considere la junta traslapada
mostrada en la figura 23a. Si el perno está suelto o la fuerza de agarre
del perno es desconocida, es seguro suponer que cualquier fuerza de
fricción entre las placas es despreciable. El diagrama de cuerpo libre de
una sección que pasa entre las placas y a través del perno se muestra en
la figura 23b. El perno está sometido a una fuerza cortante interna
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
80
resultante de V = P en esta sección transversal. Suponiendo que el
esfuerzo cortante que causa esta fuerza está distribuido uniformemente
sobre la sección transversal, el área A de la sección transversal del perno
se determinada como se muestra en la figura 23c.
Figura 23
4.3. ÁREA REQUERIDA PARA RESISTIR APLASTAMIENTO
Un esfuerzo normal producido por la compresión de una superficie contra
otra se denomina Esfuerzo de aplastamiento. Si este esfuerzo es
demasiado grande, puede aplastar o deformar localmente una o ambas
superficies. Por tanto, para impedir una falla es necesario determinar el
área apropiada de apoyo para el material, usando un esfuerzo de
aplastamiento permisible. Por ejemplo, el área A de la placa B de base de
la columna mostrada en la figura 24 se determina a partir del esfuerzo
permisible de aplastamiento del concreto, usando la ecuación
A=P/(ζb)perm. Esto supone, desde luego, que el esfuerzo permisible de
aplastamiento para el concreto es menor que del material de la placa de
base y además que el esfuerzo está uniformemente distribuido entre la
placa y el concreto, como se muestra en la figura.
Figura 24
TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
81
4.4. ÁREA REQUERIDA PARA RESISTIR EL CORTANTE CAUSADO POR CARGA AXIAL
Ocasionalmente las barras u otros miembros son soportados en forma tal
que puede desarrollarse un esfuerzo cortante en el miembro aun cuando
éste esté sometido a carga axial. Un ejemplo de esta situación sería una
barra de acero cuyo extremo esté empotrado en concreto y se encuentre
cargado como se muestra en la figura 25a. Un diagrama de cuerpo libre
de la barra, figura 25b, muestra que un esfuerzo cortante actúa sobre el
área de contacto de la barra con el concreto. Esta área es (πd)l, donde d
es el diámetro de la barra y l es la longitud del empotramiento. Si bien la
distribución real del esfuerzo cortante a lo largo de la barra sería difícil de
determinar, si suponemos que es uniforme, podemos usar A = V /ηperm
para calcular l, siempre que conozcamos d y ηperm, figura 25b.
Figura 25
PUNTOS IMPORTANTES
1. El diseño de un miembro por resistencia se basa en la selección de un
esfuerzo admisible que permita soportar con seguridad su carga
propuesta. Hay muchos factores desconocidos que pueden influir en
el esfuerzo real en un miembro y entonces, dependiendo de los usos
propuestos para el miembro, se aplica un factor de seguridad para
obtener la carga admisible que el miembro puede soportar.
2. Los cuatro casos ilustrados en esta sección representan sólo unas
pocas de las muchas aplicaciones de las fórmulas para los esfuerzos
normales y cortante promedio usadas en el diseño y análisis en
ingeniería. Sin embargo, siempre que esas ecuaciones son aplicadas,
debe ser claro que la distribución del esfuerzo se supone
uniformemente distribuida o "promediada" sobre la sección.
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
82
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
Al resolver problemas usando las ecuaciones del esfuerzo normal
promedio y del esfuerzo cortante promedio, debe primero considerarse
cuidadosamente sobre qué sección está actuando el esfuerzo crítico. Una
vez identificada esta sección, el miembro debe entonces diseñarse con
suficiente área en la sección para resistir el esfuerzo que actúe sobre ella.
Para determinar esta área, se requieren los siguientes pasos.
Carga interna
Seccione el miembro por el área y dibuje un diagrama de cuerpo libre
de un segmento del miembro. La fuerza interna resultante en la
sección se determina entonces usando las ecuaciones de equilibrio.
Área requerida
Si se conoce o puede determinarse el esfuerzo permisible (admisible),
el área requerida para soportar la carga en la sección se calcula
entonces con A = P/ζperm o A = V /ηperm
EJEMPLO
La barra colgante está soportada en su extremo por un disco circular
empotrado a ella, como se muestra en la figura 26a. Si la barra pasa por
un agujero con diámetro de 40 mm, determine el diámetro mínimo
requerido de la barra y el espesor mínimo del disco necesario para
soportar la carga de 20 kN. El esfuerzo normal permisible para la barra es
ζperm = 60 MPa y el esfuerzo cortante permisible para el disco es ηperm =
35 MPa.
Figura 26
TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
83
Solución
Diámetro de la barra. Por inspección, la fuerza axial en la barra es de 20
kN. El área transversal requerida para la barra es entonces:
De manera que:
Rpta.
Espesor del disco
Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre de la sección del núcleo
del disco, figura 26b, el material en el área seccionada debe resistir
esfuerzos cortantes para impedir el movimiento del disco a través del
agujero. Si se supone que este esfuerzo cortante está uniformemente
distribuido sobre el área seccionada, entonces, como V = 20 kN,
tenemos:
Como el área seccionada A = 2π (0.02 m)(t), el espesor requerido del
disco es:
Rpta.
EJEMPLO
Una carga axial sobre la flecha mostrada en la figura 25a es resistida por
el collarín en C que está unido a la flecha y localizado a la derecha del
cojinete en B. Determine el máximo valor de P para las dos fuerzas
axiales en E y F, de manera que el esfuerzo en el collarín no exceda un
esfuerzo de aplastamiento permisible en C de (ζb)perm = 75 MPa y que el
esfuerzo normal promedio en la flecha no exceda un esfuerzo de tensión
permisible de (ζt)perm = 55 MPa.
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
84
Figura 27
Solución
Para resolver el problema determinaremos P para cada condición posible
de falla. Luego escogeremos el valor más pequeño. ¿Por qué?
Esfuerzo normal
Usando el método de las secciones, vemos que la carga axial dentro de
la región FE de la flecha es 2P, mientras que la carga axial máxima, 3P,
ocurre dentro de la región EC, figura 27b. La variación de la carga interna
se ve claramente en el diagrama de fuerza normal, figura 27c. Como el
área transversal de toda la flecha es constante, la región EC estará
sometida al esfuerzo normal promedio máximo. Por lo tanto, tenemos:
Esfuerzo de aplastamiento
Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre en la figura 27d, el
collarín en C debe resistir la carga de 3P, que actúa sobre un área de
apoyo de Ab = [π(0,.04 m)2 - π(0,.03 m)2] = 2,199(10-3) m2, entonces:
TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
85
En comparación, la carga máxima que puede aplicarse a la flecha es P =
51,8 kN, ya que cualquier carga mayor que ésta ocasionará que el
esfuerzo normal permisible en la flecha se exceda.
EJEMPLO
La barra rígida AB mostrada en la figura 28a está soportada por una barra
de acero AC que tiene un diámetro de 20 mm y por un bloque de
aluminio que tiene un área transversal de 1800 mm2. Los pasadores de
diámetro de 18 mm en A y C están sometidos a cortante simple. Si el
esfuerzo de falla para el acero y el aluminio son (ζac)falla = 680 MPa y
(ζal)falla = 70 MPa, respectivamente, y el esfuerzo cortante de falla para
cada pasador es ηfalla = 900 MPa, determine la carga máxima P que puede
aplicarse a la barra. Aplique un factor de seguridad FS de 2.
Solución
Calculemos los esfuerzos permisibles:
Figura 28a
Figura 28b
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
86
El diagrama de cuerpo libre para la barra se muestra en la figura 28b. Se
tienen tres incógnitas.
Aplicaremos aquí las ecuaciones de equilibrio para expresar FAC Y FB en
términos de la carga P aplicada.
Tenemos:
Determinaremos ahora cada valor de P que genera el esfuerzo permisible
en la barra, bloque y pasadores, respectivamente.
Barra AC
Usando la ecuación 1,
Bloque B.
Usando la ecuación 2,
Pasador A o C.
De la ecuación 1,
TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
87
Por comparación, cuando P alcanza su valor más pequeño (168 kN), se
genera el esfuerzo normal permisible en el bloque de aluminio. Por
consiguiente,
Rpta.
5. PROBLEMAS PROPUESTOS
Problema 1
El miembro B está sometido a una fuerza de compresión de 800 lb. Si A y B
están hechos de madera y tienen 3/8 pulg. De espesor, determine con una
aproximación de ¼ pulg. La dimensión h más pequeña del soporte para que el
esfuerzo cortante promedio no sea mayor que rperm= 300 lb/pulg2.
Figura 29
Problema 2
El poste de roble de 60 x 60 mm está soportado por el bloque de pino. Si los
esfuerzos permisibles por aplastamiento en esos materiales son roble = 43 MPa
y pino 25 MPa. Determine la carga máxima P que puede ser soportada. Si se
usa placa rígida de apoyo entre los dos materiales, determine su área requerida
de manera que la carga máxima P pueda ser soportada. ¿Qué valor tiene esta
carga?
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
88
Figura 30
Problema 3
La junta está conectada por medio de dos pernos. Determine el diámetro
requerido de los pernos si el esfuerzo cortante permisible en los pernos es Tperm
= 110 MPa. Suponga que cada perno soporta una porción igual de la carga.
Figura 31
Problema 4
La palanca está unida a la flecha A por medio de una chaveta de ancho d y
longitud de 25 mm. Si la flecha está empotrada y se aplica una fuerza vertical de
200 N perpendicular al mango, determine la dimensión d si el esfuerzo cortante
permisible en la chaveta es Tperm = MPa.
TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
89
Figura 32
Problema 5
El tamaño a del filete se determina calculando el esfuerzo cortante promedio a lo
largo del plano sombreado que tenga la menor sección transversal. Determine el
tamaño a más pequeño de los dos cordones si la fuerza aplicada a la placa es P
= 20 klb. El esfuerzo cortante permisible para el material de la soldadura es Tperm
= 14 klb/pulg2.
Figura 33
Problema 6
El tamaño del cordón de soldadura es a = 0.25 pulg. Si se supone que la junta
falla por cortante en ambos lados del bloque a lo largo el plano sombreado, el
cual tiene la sección transversal más pequeña, determine la fuerza máxima P que
puede aplicarse a la placa. El esfuerzo cortante permisible para el material de la
soldadura es Tperm = 14 klb/pulg2.
Figura 34
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
90
Problema 7
El miembro a tensión está ensamblado por medio de dos pernos, uno a cada lado
del miembro como se muestra. Cada perno tiene un diámetro de 0.3 pulg.
Determine la carga máxima P que puede aplicarse al miembro si el esfuerzo
cortante permisible para los pernos es Tperm = 12 klb/pulg2 y el esfuerzo normal
promedio permisible es perm = 20 klb/pulg2.
Figura 35
Problema 8
El manguito de un eslabón giratorio en el control elevador de un avión se
mantiene en posición usando una tuerca y una arandela como se muestra en la
figura (a). La falla de la arandela A puede ocasionar que la barra de empuje se
separe como se muestra en la figura (b). Si es el esfuerzo normal promedio
máximo para la arandela es máx = 60 klb/pulg2 y el esfuerzo cortante promedio
máximo es máx = 21 klb/pulg2, determine la fuerza F que debe aplicarse al
manguito para que ocurra la falla. La arandela tiene 1/15 pulg de espesor.
Figura 36
Problema 9
Los dos alambres de acero AB y AC se usan para soportar la carga. Si ambos
alambres tiene un esfuerzo de tensión permisible de perm = 200 MPa, determine
el diámetro requerido de cada alambre si la carga aplicada es P = 5kN.
TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
91
Problema 10
Los dos cables de acero AB y AC se usan para soportar la carga. Si ambos
alambres tienen un esfuerzo de tensión permisible de perm = 2180 MPa, y el
alambre A B tiene un diámetro de 6 mm y AC tiene un diámetro de 4 mm.,
determine la mayor fuerza P que puede aplicarse a la cadena antes de que falle
uno de los alambres.
Figura 37 y 38
Problema 11
La columna tiene un área transversal de 12 (103) mm2. Está sometida a una
fuerza axial de 50kN. Si la placa de base a la cual la columna está unidad tiene
una longitud de 250 mm, determine su ancho d de manera que el esfuerzo de
aplastamiento promedio en el suelo bajo la placa sea la tercera parte del
esfuerzo de compresión promedio en la columna. Esboce la distribución de
esfuerzos que actúan sobre la sección transversal de la columna y en el fondo de
la placa de base.
Figura 39
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
92
Problema 12
La viga AB está soportada por un pasador en A y por un cable JBC. Otro cable
CG se usa para sostener la estructura. Si AB pesa 120 lb/pie y la columna FC
pesa 180 lb/pie, determine las cargas internas resultantes que actúan sobre las
secciones transversales por los puntos D y E. Desprecie los anchos de la viga y
de la columna en el cálculo.
Figura 40
Problema 13
La polea se mantiene fija a la flecha de 20 mm de diámetro por medio de una
chavetera que se inserta en una ranura de la polea y de la flecha. Si la carga
suspendida tiene una masa de 50 kg., determine el esfuerzo cortante promedio
en la chavetera a lo largo de la sección a-a. La chaveta tiene una sección
transversal cuadrada de 5 mm por 5 mm y 12 mm de longitud.
TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
93
Figura 41
Problema 14
La conexión de barra y grillete está sometida a una fuerza de tensión de 5 kN.
Determine el esfuerzo normal promedio en cada barra y el esfuerzo cortante
promedio en el pasador A entre los miembros.
Figura 42
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
94
PROBLEMA
La barra esbelta mostrada en la figura 43 está sometida a un incremento de
temperatura a lo largo de su eje, que genera una deformación unitaria normal en
la barra de εz=40(10-3)zl/2, donde z está dada en metros. Determine (a) el
desplazamiento del extremo B de la barra debido al incremento de temperatura,
y (b) la deformación unitaria normal promedio en la barra.
Figura 43
Solución
Parte (a).- Como la deformación unitaria normal está dada en cada punto a lo
largo de la barra, un segmento diferencial dz, localizado en la posición z, figura
43, tiene una longitud deformada que puede determinarse con la siguiente
ecuación; o sea:
La suma total de esos segmentos a lo largo del eje da la longitud deformada de
la barra, esto es:
Por tanto, el desplazamiento del extremo de la barra es:
TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
95
Parte (b).- La deformación unitaria normal promedio en la barra se determina
con la siguiente ecuación, que supone que la barra o "segmento de línea" tiene
una longitud original de 200 mm y un cambio de longitud de 2.39 mm. Por
consiguiente:
Rpta.
6. PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES
Una vez estudiados los conceptos básicos de esfuerzo y de deformación unitaria,
en este capítulo mostraremos cómo los esfuerzos pueden relacionarse con las
deformaciones unitarias usando métodos experimentales para determinar el
diagrama esfuerzo-deformación unitaria de un material específico. Se estudiará el
comportamiento descrito por este diagrama, para los materiales usados
comúnmente en ingeniería. Se examinarán también las propiedades mecánicas y
otras pruebas relacionadas con el desarrollo de la mecánica de materiales.
7. PRUEBAS DE TENSIÓN Y COMPRESIÓN
La resistencia de un material depende de su capacidad para soportar una carga
sin deformación excesiva o falla. Esta propiedad es inherente al material mismo y
debe determinarse por experimentación. Entre las pruebas más importantes
están las pruebas de tensión o compresión. Aunque con estas pruebas pueden
determinarse muchas propiedades mecánicas importantes de un material, se
utilizan principalmente para determinar la relación entre el esfuerzo normal
promedio y la deformación normal unitaria en muchos materiales utilizados en
ingeniería, sean de metal, cerámica, polímeros o compuestos.
Para llevar a cabo esta prueba se prepara un espécimen o probeta de forma y
tamaño "estándar". Antes de la prueba, se imprimen con un punzón a la probeta
dos marcas pequeñas a lo largo de ésta. Estas marcas se colocan lejos de los
extremos del espécimen porque la distribución del esfuerzo en los extremos es
un tanto compleja debido al agarre de las conexiones cuando se aplica una
carga. Se toman mediciones tanto del área de la sección transversal inicial del
espécimen, Ao, como de la distancia Lo de la longitud calibrada entre las marcas
del punzón. Por ejemplo, cuando se usa un espécimen de metal en una prueba
de tensión, generalmente éste tiene un diámetro inicial de do = 0.5 pulg. (13
mm) y una longitud calibrada de Lo = 2 pulg. (50 mm), figura 44a. Con objeto de
aplicar una carga axial, sin que tenga lugar la flexión en el espécimen, por lo
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
96
regular los extremos se asientan sobre juntas de rótula. Luego se usa una
máquina de prueba similar a la mostrada en la figura 44b para estirar el
espécimen a un régimen constante muy lento, hasta alcanzar el punto de
ruptura. La máquina se diseña para que se pueda leer la carga requerida para
mantener este alargamiento uniforme.
Durante la prueba, y a intervalos frecuentes, se registran los datos de la carga
aplicada P, a medida que se leen en la carátula de la máquina o en un dispositivo
digital. También puede medirse el alargamiento δ = L - Lo entre las marcas que
se hicieron en el espécimen con el punzón., usando ya sea una galga o un
dispositivo óptico o mecánico llamado extensómetro. Este valor de δ se usa luego
para determinar la deformación unitaria normal promedio en el espécimen o
muestra. Sin embargo, a veces no se toma esta medición, puesto que también es
posible leer la deformación unitaria directamente usando una galga extenso
métrica de resistencia eléctrica, que se parece al mostrado en la figura 44c. La
operación de esta galga está basada en el cambio en la resistencia eléctrica de
un alambre muy delgado o una pieza de hoja de metal sometida a deformación.
En esencia, la galga está cementada o pegada al espécimen en una dirección
específica. Si el pegamento es muy fuerte en comparación con la galga, entonces
ésta es, en efecto, una parte integral de espécimen, de modo que cuando éste se
alargue en la dirección de la galga, el alambre y el espécimen experimentarán la
misma deformación unitaria. Midiendo la resistencia eléctrica del alambre, la
galga puede graduarse para leer los valores de la deformación unitaria normal
directamente.
Figura 44
44 a
44 b 44 c
TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
97
Figura 45
8. EL DIAGRAMA DE ESFUERZO-DEFORMACIÓN UNITARIA
A partir de los datos de un ensayo de tensión o de compresión, es posible
calcular varios valores del esfuerzo y la correspondiente deformación unitaria en
el espécimen y luego graficar los resultados. La curva resultante se llama
diagrama de esfuerzo-deformación unitaria y hay 2 maneras de describirlo.
Diagrama convencional de esfuerzo-deformación unitaria. Usando los datos
registrados, podemos determinar el esfuerzo nominal o de ingeniería dividiendo
la carga P aplicada entre el área Ao de la sección transversal original del
espécimen. Este cálculo supone que el esfuerzo es constante en la sección
transversal y en toda la región entre los puntos calibrados. Tenemos:
De la misma manera, la deformación nominal o de ingeniería se determina
directamente leyendo el calibrador o dividiendo el cambio en la longitud calibrada
δ, entre la longitud calibrada original del espécimen Lo. Aquí se supone que la
deformación unitaria es constante en la región entre los puntos calibrados.
Entonces:
Si se grafican los valores correspondientes de ζ y ε, con los esfuerzos como
ordenadas y las deformaciones unitarias como abscisas, la curva resultante se
llama diagrama convencional de esfuerzo-deformación unitaria. Este diagrama es
muy importante en la ingeniería ya que proporciona los medios para obtener
datos sobre la resistencia a tensión (o a compresión) de un material sin
considerar el tamaño o forma geométrica del material. Sin embargo, debe ser
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
98
claro que nunca serán exactamente iguales dos diagramas de esfuerzo-
deformación unitaria para un material particular, ya que los resultados dependen
entre otras variables de la composición del material, de imperfecciones
microscópicas, de la manera en que esté fabricado, de la velocidad de carga y de
la temperatura durante la prueba.
Veremos ahora las características de la curva convencional esfuerzo deformación
unitaria del acero, material comúnmente usado para la fabricación de miembros
estructurales y elementos mecánicos. En la figura 46 se muestra el diagrama
característico de esfuerzo-deformación unitaria de una probeta de acero, usando
el método antes descrito. En esta curva podemos identificar cuatro maneras
diferentes en que el material se comporta, dependiendo de la cantidad de
deformación unitaria inducida en el material.
8.1. COMPORTAMIENTO ELÁSTICO
Este comportamiento elástico ocurre cuando las deformaciones unitarias
en el modelo están dentro de la región ligeramente sombreada. Puede
verse que la curva es en realidad una línea recta a través de toda esta
región, así que el esfuerzo es proporcional a la deformación unitaria. En
otras palabras, se dice que el material es linealmente elástico. El límite
superior del esfuerzo en esta relación lineal se llama límite de
Figura 46
TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
99
proporcionalidad, ζlp. Si el esfuerzo excede un poco el límite de
proporcionalidad, el material puede todavía responder elásticamente; sin
embargo, la curva tiende a aplanarse causando un incremento mayor de
la deformación unitaria con el correspondiente incremento del esfuerzo.
Esto continúa hasta que el esfuerzo llega al límite elástico. Para
determinar este punto en cualquier espécimen, debemos aplicar, y luego
retirar, una carga creciente hasta que se detecte una deformación
permanente en el mismo. Sin embargo, en el acero rara vez se determina
el límite elástico, puesto que está muy cerca del límite de
proporcionalidad y, por tanto, su detección es bastante difícil.
8.2. FLUENCIA
Un ligero aumento en el esfuerzo más allá del límite elástico provocará un
colapso del material y causará que se deforme permanentemente. Este
comportamiento se llama fluencia, y está indicado por la región más
oscura de la curva, figura 46. El esfuerzo que origina la fluencia se llama
esfuerzo de fluencia o punto de fluencia, ζY, y la deformación que ocurre
se llama deformación plástica. Aunque no se muestra en la figura 46, en
los aceros con bajo contenido de carbono o en aquellos que sean
laminados o rolados en caliente, se distinguen dos valores para el punto
de fluencia. El punto superior de fluencia ocurre primero, seguido por una
disminución súbita en la capacidad de soportar carga hasta un punto
inferior de fluencia. Sin embargo, una vez que se ha alcanzado el punto
inferior de fluencia, como se muestra en la figura 46, entonces la muestra
continuará alargándose sin ningún incremento de carga. Observe que la
figura 46 no está trazada a escala. Si lo estuviera, las deformaciones
unitarias inducidas debido a la fluencia serían de 10 a 40 veces más
grandes que las producidas hasta el límite elástico. Cuando el material
está en este estado, suele decirse que es perfectamente plástico.
Endurecimiento por deformación. Cuando la fluencia ha terminado, puede
aplicarse más carga a la probeta, resultando una curva que se eleva
continuamente pero se va aplanando hasta llegar a un esfuerzo máximo,
llamado esfuerzo último, ζu. La elevación en la curva de esta manera se
llama endurecimiento por deformación, y se identifica en la figura 46
como la región ligeramente sombreada. A lo largo de la prueba, y
mientras el espécimen se está alargando, el área de su sección
transversal disminuirá. Esta disminución de área es bastante uniforme en
toda la longitud calibrada del espécimen, incluso hasta la deformación
unitaria que corresponde al esfuerzo último.
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
100
Formación del cuello o estricción. En el esfuerzo último, el área de la
sección transversal comienza a disminuir en una zona localizada de la
probeta, en lugar de hacerlo en toda su longitud. Este fenómeno es
causado por planos de deslizamiento que se forman dentro del material y
las deformaciones producidas son causadas por esfuerzos cortantes.
Como resultado, tiende a desarrollarse un "cuello" en esta zona a medida
que el espécimen se alarga cada vez más, figura 47a. Puesto que el área
de la sección transversal en esta zona está decreciendo continuamente, el
área más pequeña puede soportar sólo una carga siempre decreciente.
De aquí que el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria tienda a
curvarse hacia abajo hasta que la probeta se rompe en el punto del
esfuerzo de fractura, ζf, figura 47b. Esta región de la curva debida a la
formación del cuello está representada con color oscuro en la figura 46.
8.3. DIAGRAMA REAL DE ESFUERZO-DEFORMACIÓN UNITARIA
En lugar de usar siempre el área de la sección transversal y la longitud
original de la muestra para calcular el esfuerzo y la deformación unitaria
(de ingeniería), podríamos haber usado el área de la sección transversal y
la longitud reales del espécimen en el instante en que la carga se está
midiendo. Los valores del esfuerzo y de la deformación unitaria calculados
a partir de esas mediciones se llaman esfuerzo real y deformación unitaria
real, y un trazo de sus valores se llama diagrama real de esfuerzo-
deformación unitaria. Cuando se traza este diagrama, vemos que tiene la
forma mostrada por la línea que forma la curva en la figura 46. Advierta
que ambos diagramas (el convencional y el real) prácticamente coinciden
cuando la deformación unitaria es pequeña. Las diferencias entre los
diagramas comienzan a aparecer en la zona de endurecimiento por
deformación, donde la magnitud de la deformación unitaria es más
Figura 47
TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
101
significativa. En particular, note la gran divergencia dentro de la zona de
formación del cuello. Aquí podemos ver que, según el diagrama ζ - e
convencional, la probeta de ensayo en realidad soporta una carga
decreciente, puesto que Ao es constante cuando se calcula el esfuerzo
nominal, ζ = P/Ao. Sin embargo, según el diagrama ζ - ε real, el área real
A dentro de la región de formación del cuello está siempre decreciendo
hasta que ocurre la falla ζf, y así el material realmente soporta un
esfuerzo creciente, puesto que ζ = P /A.
Aunque los diagramas de esfuerzo-deformación real y convencional son
diferentes, la mayor parte del diseño en ingeniería se lleva a cabo dentro
de la zona elástica, ya que la distorsión del material en general no es
severa dentro de este intervalo. Siempre que el material sea "rígido",
como son la mayoría de los metales, la deformación unitaria hasta el
límite de elasticidad permanecerá pequeña y el error en el uso de los
valores nominales de ζ y de ε será muy pequeño (alrededor de 0.1 %)
comparado con sus valores verdaderos. Ésta es una de las razones
primordiales para usar diagramas de esfuerzo-deformación
convencionales.
Los conceptos anteriores pueden resumirse haciendo referencia a la
figura 48, la cual muestra un diagrama de esfuerzo-deformación
convencional de una probeta de un acero dulce. Con objeto de resaltar
los detalles, la zona elástica de la curva se presenta en una escala de
deformación exagerada. Siguiendo el comportamiento, el límite de
proporcionalidad se alcanza en ζlp = 35 klb/pulg2 (241 MPa), cuando εlp =
0.0012 pulg/pulg. Éste es seguido por un punto superior de fluencia de
(ζY)u = 38 klb/pulg2 (262 MPa), luego súbitamente por un punto inferior
de fluencia de (ζY)l = 36 klb/pulg2 (248 MPa). El final de la fluencia
ocurre con una deformación unitaria de εY = 0.030 pulg/pulg, la cual es
25 veces más grande que la deformación unitaria en el límite de
proporcionalidad. Continuando, la probeta de ensayo se endurece hasta
que alcanza un esfuerzo último de ζu = 63 klb/pulg2 (435 MPa), y luego
comienza la estricción hasta que ocurre la falla, ζf = 47 klb/pulg2 (324
MPa). En comparación, la deformación unitaria en el punto de falla, εf =
0.380 pulg/pulg, es 317 veces mayor que εlp.
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
102
9. RELACIÓN DE POISSON
Cuando un cuerpo deformable está sometido a una fuerza axial de tensión, no
sólo se alarga sino que también se contrae lateralmente. Por ejemplo, si una tira
de hule se alarga, puede notarse que el espesor y el ancho de la tira disminuyen.
Igualmente, una fuerza de compresión que actúa sobre un cuerpo ocasiona que
éste se contraiga en la dirección de la fuerza y que se expanda lateralmente.
Estos dos casos se ilustran en la figura 49 para una barra con radio r y longitud L
iniciales.
Cuando la carga P se aplica a la barra, la longitud de la barra cambia una
cantidad δ y su radio una cantidad δ'. Las deformaciones unitarias en la dirección
axial o longitudinal y en la dirección lateral o radial son, respectivamente:
Figura 48
Figura 49
TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
103
A principios del siglo XIX, el científico francés S.D. Poisson descubrió que dentro
del rango elástico, la razón de esas dos deformaciones unitarias es constante, ya
que las deformaciones δ y δ' son proporcionales.
A esta constante se le llama razón de Poisson, v (nu), y tiene un valor numérico
que es único para un material particular que sea homogéneo e isotrópico.
Expresado matemáticamente:
El signo negativo se usa aquí ya que un alargamiento longitudinal (deformación
unitaria positiva) ocasiona una contracción lateral (deformación unitaria
negativa), y viceversa. Advierta que esta deformación unitaria lateral es la misma
en todas las direcciones laterales (o radiales). Además esta deformación unitaria
es causada sólo por la fuerza axial o longitudinal; ninguna fuerza o esfuerzo
actúa en una dirección lateral que deforme el material en esa dirección.
La razón de Poisson es adimensional y para la mayoría de los sólidos no porosos
tiene un valor generalmente entre ¼ y 1/3. En particular, un material ideal sin
movimiento lateral cuando se alargue o contraiga, tendrá υ = 0. El valor máximo
posible para la razón de Poisson es 0.5.
Por tanto, 0 ≤ υ ≤0.5.
Figura 50
Cuando el bloque de hule es comprimido (deformación unitaria negativa) sus
lados se expanden (deformación unitaria positiva). La relación de esas
deformaciones unitarias es constante.
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
104
EJEMPLO
Una barra de acero A-36 tiene las dimensiones mostradas en la figura 51. Si se
aplica una fuerza axial P = 80 kN a la barra, determine cambio en su longitud y
el cambio en las dimensiones de su sección transversal después de aplicada la
carga. El material se comporta elásticamente.
Solución
El esfuerzo normal en la barra es:
De la tabla en la cubierta posterior para el acero A-36, Eac = 200 GPa, por lo que
la deformación unitaria en la dirección z es:
El alargamiento axial de la barra es entonces:
Rpta.
Usando la ecuación:
donde υac = 0.32 según la tabla en e1forro posterior, las contracciones en las
direcciones x y y son:
Figura 51
TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
105
Así, los cambios en las dimensiones de la sección transversal son:
Rpta.
Rpta.
9.1. EL DIAGRAMA DE ESFUERZO-DEFORMACIÓN UNITARIA EN CORTANTE
Cuando un elemento de material está sometido a cortante puro, el
equilibrio requiere que se desarrollen esfuerzos cortantes iguales en las
cuatro caras del elemento. Estos esfuerzos deben estar dirigidos hacia o
desde las esquinas diagonalmente opuestas del elemento, figura 52a.
Además, si el material es homogéneo e isotrópico, entonces el esfuerzo
cortante distorsionará al elemento de manera uniforme, figura 52b. La
deformación unitaria cortante γxy mide la distorsión angular del elemento
con relación a los lados orientados inicialmente a lo largo de los ejes x y
y.
El comportamiento de un material sometido a cortante puro puede ser
estudiado en un laboratorio usando muestras en forma de tubos delgados
y sometiéndolos a una carga de torsión. Si se hacen mediciones del par
aplicado y del ángulo de torsión resultante, entonces, los datos pueden
usarse para determinar el esfuerzo cortante y la deformación unitaria
cortante, y puede trazarse un diagrama de esfuerzo cortante-deformación
cortante unitaria. En la figura 53 se muestra un ejemplo de este diagrama
para un material dúctil. Al igual que en la prueba de tensión, este material
exhibirá un comportamiento elástico lineal cuando se le somete a corte y
tendrá un límite de proporcionalidad ηlp definido. También ocurrirá un
endurecimiento por deformación hasta que se llegue al esfuerzo cortante
último ηu. Finalmente, el material comenzará a perder su resistencia al
cortante hasta que se alcance un punto en que se fracture, ηf.
En la mayoría de los materiales de ingeniería, como el que acabamos de
describir, el comportamiento elástico es lineal, de modo que la ley de
Hooke para el cortante puede escribirse como:
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
106
Aquí G se llama módulo de elasticidad por cortante o módulo de
rigidez. Su valor puede medirse por la pendiente de la línea en el
diagrama η-γ, esto es, G = ηlp/γlp. En el forro interior de la cubierta de
este libro se dan algunos valores típicos para materiales comunes de
ingeniería. Advierta que las unidades de G son las mismas que para E (Pa
o lb/pulg2), puesto que g se mide en radianes, una cantidad
adimensional. Las tres constantes del material, E, y G están
relacionadas por la ecuación:
Siempre que E y G se conozcan, el valor de podrá determinarse por
medio de esta ecuación en vez de tener que recurrir a mediciones expe-
rimentales. Por ejemplo, en el caso del acero A-36, Eac = 29(103)
klb/pulg2 Gac = 11.0 (103) klb/pulg2, de modo que, ac = 0.32
Figura 52
Figura 53
TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
107
EJEMPLO
El espécimen de aluminio mostrado en la figura 54 tiene un diámetro
do=25 mm y una longitud calibrada Lo = 250 mm. Si una fuerza de 165
kN alarga la longitud calibrada 1.20 mm, determine el módulo de
elasticidad. Determine también cuánto se reduce el diámetro debido a
esta fuerza. Considere Gal = 26 GPa y ζy = 440 MPa.
Figura 54
Solución
Módulo de elasticidad. El esfuerzo normal promedio en el espécimen es:
Y la deformación unitaria normal promedio es:
Como ζ < ζy = 440 MPa, el material se comporta elásticamente. El
módulo de elasticidad es:
Rpta.
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
108
Contracción del diámetro.- Primero determinamos la relación de Poisson
para el material:
Como εlong = 0.00480 mm/mm, entonces:
La Contracción del diámetro es por lo tanto:
Rpta.
EJEMPLO
Un espécimen de una aleación de titanio se prueba en torsión y el
diagrama de esfuerzo de cortante-deformación angular unitaria que
resulta se muestra en la figura 55. Determine el módulo cortante G, el
límite de proporcionalidad y el esfuerzo cortante último. Determine
también la distancia d máxima que la parte superior de un bloque de este
material, mostrado en la figura 56, podría desplazarse horizontalmente si
el material se comporta elásticamente al actuar sobre él la fuerza cortante
V. ¿Cuál es la magnitud de V para causar este desplazamiento?
TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
109
Figura 56 Figura 56
Solución
Módulo cortante: Este valor representa la pendiente de la porción recta
OA del diagrama η - γ. Las coordenadas del punto A son (0.008 rad, 52
klb/pulg2). Entonces:
Rpta.
La ecuación de la línea OA es por lo tanto η = 6500γ, que es la ley de
Hooke para cortante.
Límite de proporcionalidad: Por inspección, la gráfica deja de ser
lineal en el punto A. Así:
Rpta.
Esfuerzo último: Este valor representa el esfuerzo cortante máximo,
punto B. De la gráfica:
Rpta.
Desplazamiento elástico máximo y fuerza cortante.- Como la
deformación unitaria cortante elástica máxima es de 0.008 rad, un ángulo
muy pequeño, la parte superior del bloque se desplazará horizontalmente:
Rpta.
El esfuerzo cortante promedio correspondiente en el bloque es ηlp =
52 klb/pulg2. Así, la fuerza cortante V necesaria para causar el des-
plazamiento es:
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
110
Rpta
10. DEFORMACIÓN ELÁSTICA DE UN MIEMBRO CARGADO AXIALMENTE
10.1. CARGA Y ÁREA TRANSVERSAL CONSTANTES
En muchos casos la barra tendrá un área transversal A constante y el
material será homogéneo, por lo que E será constante. Además, si una
fuerza externa constante se aplica a cada extremo, figura 57, entonces la
fuerza interna P a lo largo de la barra será también constante. En
consecuencia, se obtiene:
Figura 57
Donde:
δ = desplazamiento de un punto de la barra relativo a otro punto.
L = distancia entre los puntos.
P = fuerza axial interna en la sección.
A = área de la sección transversal de la barra.
E = módulo de elasticidad del material.
Si la barra está sometida a varias fuerzas axiales diferentes, o si la
sección transversal o el módulo de elasticidad cambian abruptamente de
una región de la barra a la siguiente, la ecuación anterior puede aplicarse
a cada segmento de la barra donde esas cantidades sean todas
constantes. El desplazamiento de un extremo de la barra respecto al otro
se encuentra entonces por medio de la adición vectorial de los
desplazamientos de los extremos de cada segmento. Para este caso
general:
TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
111
10.2. CONVENCIÓN DE SIGNOS
Debemos desarrollar una convención de signos para la fuerza axial
interna y el desplazamiento de un extremo de la barra con respecto al
otro extremo de la misma. Para hacerlo, consideraremos que la fuerza y
el desplazamiento son positivos si causan tensión y alargamiento,
respectivamente, figura 58, mientras que una fuerza y un
desplazamiento negativo causarán compresión y contracción,
respectivamente.
Convención de signo positivo para P y
Figura 58
Por ejemplo, consideremos la barra mostrada en la figura 58a. Las fuer-
zas axiales internas "P", calculadas por el método de las secciones en
cada segmento, son PAB = + 5 kN, PBC = - 3 kN Y PCD = -7 kN, figura 58b.
Esta variación se muestra en el diagrama de fuerza axial (o normal) para
la barra, figura 58c. Aplicando la ecuación de carga y área transversal
constantes para obtener el desplazamiento del extremo A respecto del
extremo D, tenemos:
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
112
Figura 59 a,b y c
Si se sustituyen los otros datos y se obtiene una respuesta positiva, ello
significará que el extremo A se alejará del extremo D (la barra se alarga)
mientras que un resultado negativo indicará que el extremo A se acerca
hacia D (la barra se acorta). La notación de doble subíndice se usa para
indicar este desplazamiento relativo (δA/D); sin embargo, si el
desplazamiento va a determinarse respecto a un punto fijo, entonces, se
usará sólo un subíndice. Por ejemplo, si D se localiza en un soporte fijo
entonces el desplazamiento calculado se denotará simplemente como δA.
EJEMPLO
La barra compuesta de acero A-36 (Módulo de Elasticidad = 29(103)
klb/pulg2) mostrada en la figura 59a está hecha de dos segmentos AB y
BD que tienen áreas transversales de AAB = 1 pulg2 y ABD = 2 pulg2.
Determine el desplazamiento vertical del extremo A y el de B respecto a
C.
TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
113
Figura 60
Solución
Fuerza interna.- Debido a la aplicación de las cargas externas, las
fuerzas axiales internas en las regiones AB, BC y CD serán todas
diferentes. Esas fuerzas se obtienen aplicando el método de las secciones
y la ecuación de equilibrio por fuerza vertical, como se muestra en la
figura 60b y se encuentran graficadas en la figura 60c.
Desplazamiento.- Usando la convención de signos, esto es, fuerzas
internas de tensión son positivas y fuerzas internas de compresión son
negativas, el desplazamiento vertical de A respecto al soporte fijo D es:
Rpta.
Como el resultado es positivo, la barra se alarga y el desplazamiento de A
es hacia arriba.
Rpta.
Aquí B se aleja de C, ya que el segmento se alarga.
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
114
EJEMPLO
El conjunto mostrado en la figura 61a consiste en un tubo AB de aluminio
con área transversal de 400 mm2. Una barra de acero con diámetro de 10
mm está unida a un collarín rígido y pasa a través del tubo. Si se aplica
una carga de tensión de 80 kN a la barra, determine el desplazamiento
del extremo C de la barra. Considere Eac = 200 GPa y Eal = 70 GPa.
Figura 61
Solución:
Fuerza interna.- El diagrama de cuerpo libre del tubo y de la barra, figura
43b, muestra que la barra está sometida a una tensión de 80 kN y el tubo
a una compresión de 80 kN.
Desplazamiento.- Determinaremos primero el desplazamiento del extremo
C con respecto al extremo B. Trabajando en unidades de newtons y
metros, tenemos:
El signo positivo indica que el extremo C se mueve hacia la derecha con
respecto al extremo B, ya que la barra se alarga.
El desplazamiento del extremo B con respecto al extremo fijo A es:
El signo menos indica aquí que el tubo se acorta, por lo que B se mueve
hacia la derecha respecto a A.
TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
115
Puesto que ambos desplazamientos son hacia la derecha, el
desplazamiento resultante de C respecto a A es entonces:
Rpta.
EJEMPLO
Una viga rígida AB descansa sobre los dos postes cortos mostrados en la
figura 62a. AC está hecho de acero y tiene un diámetro de 20 mm; BD
está hecho de aluminio y tiene un diámetro de 40 mm. Determine el
desplazamiento del punto F situado en AB cuando se aplica una carga
vertical de 90 kN sobre este punto. Considere Eac = 200 GPa y Eal = 70
GPa.
Figura 62
Solución
Fuerza interna.- Las fuerzas de compresión que actúan en la parte
superior de cada poste se determinan a partir del equilibrio del miembro
AB, figura 62b. Esas fuerzas son iguales a las fuerzas internas en cada
poste, figura 62c.
Desplazamiento.- El desplazamiento de la parte superior de cada poste
es:
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
116
Poste AC:
Poste BD:
En la figura 62d se muestra un diagrama de los desplazamientos de los
puntos A, B y F situados en el eje de la viga. Por proporciones en el
triángulo sombreado, el desplazamiento del punto F es entonces:
Rpta.
EJEMPLO
Un miembro está hecho de un material que tiene un peso específico γ y
un módulo de elasticidad E. El miembro tiene la forma de un cono con las
dimensiones mostradas en la figura 63a. Determine el desplazamiento de
su extremo inferior bajo el efecto de su propio peso.
Figura 63
TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
117
Solución
Fuerza interna. La fuerza axial interna varía a lo largo del miembro que
depende del peso W (y) de un segmento del miembro situado debajo de
cualquier sección, figura 63b. Por tanto, para calcular el desplazamiento,
debemos usar la ecuación:
En la sección localizada a una distancia y del fondo, el radio x del cono
como función de y se determina por proporción; esto es:
El volumen de un cono con base de radio x y altura y es:
Como W = γV la fuerza interna en la sección es:
Desplazamiento.- El área de la sección transversal es también una función
de la posición y, figura 19b. Tenemos:
Aplicando la ecuación: Entre los límites y = 0 Y y = L se
obtiene:
Rpta.
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
118
Como verificación parcial de este resultado, note cómo las unidades de
los términos, al cancelarse, dan la deflexión en unidades de longitud c-
omo era de esperarse.
11. PROBLEMAS PROPUESTOS
El conjunto consta de una barra de acero CB y una barra de aluminio BA,
teniendo cada una un diámetro de 12 mm. Si la barra se somete a las cargas
axiales en A y en el cople B, determine el desplazamiento del cople B y del
extremo A. La longitud de cada segmento sin estirar se muestra en la figura.
Desprecie el tamaño de las conexiones en B y C, y suponga que son rígidas Ek =
200 GPa. Eal = 70 GPa.
Figura 64
La flecha compuesta que consiste en secciones de aluminio, cobre y acero, está
sometida a las cargas mostradas en la figura. Determine el desplazamiento del
extremo A con respecto al extremo D y el esfuerzo normal en cada sección. En la
figura se muestran el área de la sección transversal y el módulo de elasticidad
para cada sección. Desprecie el tamaño de los collarines en B y en C.
Determine el desplazamiento de B con respecto a C de la flecha compuesta del
problema 2.
Figura 65
TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
119
Una flecha de cobre está sometida a las cargas axiales que se muestran en la
figura. Determine el desplazamiento del extremo A con respecto al extremo D si
los diámetros de cada segmento son d AB = 0.75 pulg, dBC = 1 pulg. y dCD = 0.5
pulg. Tome Ecu = 18(103) klb/pulg2.
Figura 66
Una barra de acero A-36 está sometida a las cargas que se muestran en la
figura. Si el área de la sección transversal de la barra es de 60mm2, determine el
desplazamiento de B y de A. Desprecie el tamaño de los coples en B, C y D.
Figura 67
La barra de aluminio 2014-T6 tiene un diámetro de 30 mm y soporta la carga
mostrada. Determine el desplazamiento de A con respecto a E. Desprecie el
tamaño de los coples.
Figura 68
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
120
PROBLEMAS LEY DE HOOKE
PROBLEMA # 1
Determinar la deformación de una barra de acero de 0.5 m de longitud si su esfuerzo a
la compresión es de 1000 kg/cm2.
PROBLEMA # 2
Una columna de hormigón armado (acero mas hormigón) esta comprimida por una
fuerza P=30000 kg.
2.1 ¿Qué parte de esta carga actúa sobre el hormigón y que parte sobre el acero si la
sección recta de acero es solamente 1/10 de la sección recta del hormigón?
2.2 ¿Cuál es la relación de esfuerzos: ζ_AC/ζ_H? ¿Quién está sometido a mayor
esfuerzo?
PROBLEMA # 3
Un cuerpo rígido AB de peso “Q” cuelga de 3 alambres verticales simétricamente
colocados respecto al centro de gravedad “C” del cuerpo. Determinar la relación de
esfuerzos de tensión en los alambres de acero y cobre si el alambre del medio es el del
acero y los otros dos de cobre. Las secciones rectas de los tres alambres son iguales.
PROBLEMA # 4
4.1 Para dos barras iguales geométricamente pero de distintos materiales:
La que soporta más esfuerzo se deformará más. ( V ) ( F )
Porque:…………………………………………………………………………………………………………
La que tiene menor coeficiente de elasticidad se deformará más.
( V ) ( F )
Porque:…………………………………………………………………………………………………………
Si el esfuerzo de tracción de una barra es diferente que el esfuerzo de tracción de
la otra barra entonces está necesariamente soportando distintas fuerzas.
( V ) ( F )
Porque:…………………………………………………………………………………………………………
TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
121
Si una de las dos barras falla es porque está sujeto a una gran fuerza y no
necesariamente a gran esfuerzo.
( V ) ( F )
Porque:…………………………………………………………………………………………………………
Si una de las dos barras falla es porque está sujeto a una gran esfuerzo y no
necesariamente a gran fuerza.
( V ) ( F )
Porque:………………………………………………………………………………………………………….
PROBLEMA # 5
Si la carga distribuida sobre la columna compuesta de una barra circular embonada
dentro de una barra cuadrada es de 10 kg/cm2. Luego podemos afirmar:
PROBLEMA # 6
Indicar la(s) afirmaciones correctas
ζ_A>ζ_B
ζ_A<ζ_B
ζ_A=ζ_B
F_A=F_B
ζ_admA=ζ_admB
PROBLEMA # 7
La barra de acero A36 tiene forma tronco piramidal de sección cuadrada de lado a. Si
se somete a la acción de una fuerza constante F= 50 000 N. Determine el valor de la
deformación (mm).
E = 29,8 103 klb/pulg2 = 29,8 * 106 psi
De la relación:
δ=PL/EA
Para un esfuerzo que varía en función a la posición (ya que la fuerza se aplica a áreas
diferentes):
δ=∫_0^L▒P(x)dx/A(x)E
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
122
Para el problema P = Cte = 50000N
Para determinar A(x):
x A(x) (cm)
1 0 1,6129
2 1 0,403225
Luego:
A=-1,209675x + 1,6129
PROBLEMA # 8
Un miembro está hecho de un material que tiene un peso específico γ y un módulo
de elasticidad E. El miembro tiene la forma de un cono con las dimensiones mostradas.
Determine el desplazamiento de su extremo inferior bajo el efecto de su propio peso.
δ=∫_0^L▒P(x)dx/A(x)E
PROBLEMA # 9
La barra de acero A36 tiene forma cónica de sección transversal redonda de diámetro
D. Si se somete a la acción de una fuerza constante F= 40 000 N. Determine el valor
de la deformación (mm).
E = 2,1 * 106 kgf/cm2
δ=∫_0^L▒P(x)dx/A(x)E
PROBLEMA # 10
La barra de acero 1020 tiene forma cónica de sección transversal redonda de
diámetro D. Si está sostenida en el extremo B, y sujeta a una carga de tensión P = 5
ton en el extremo libre. Determine el alargamiento (mm).
E = 2,1 * 106 kgf/cm2
δ=∫_0^L▒P(x)dx/A(x)E
PROBLEMA # 11
En la figura inferior se representa un bloque triangular de espesor constante 100 mm
el cual se une rígidamente al techo. Dicho elemento es de cobre y se deforma debido a
su propio peso. Determine el alargamiento (mm).
E Cu = 119 GPa
TECSUP – PFR Resistencia de Materiales
123
γ_Cu=87,3 kN/m^2
PROBLEMA # 12
Determinar el diámetro “d“ (mm) de los pernos N de acero St 50 de una prensa para
una fuerza máxima P = 5000 Kg. Determinar el alargamiento total de los pernos si la
longitud entre sus cabezas es de 1.00 m
PROBLEMA # 13
Hallar las reacciones en A y B.
PROBLEMA # 14
Calcular el valor de d (mm) para que la columna pueda soportar la carga mostrada 2P
= 52 Ton.
PROBLEMA # 12
Encontrar: la deformación (mm) y verificar si soporta o no soporta las fuerzas
aplicados.
12.1
Deformación =
Soporta o no soporta =
12.2
Resistencia de Materiales TECSUP – PFR
124
Deformación =
Soporta o no soporta =
PROBLEMA # 15
Tres postes de aluminio de igual sección transversal soportan una carga de 15
toneladas como se muestra en la figura. Determinar la distancia X (mm) para que la
barra rígida permanezca horizontal.
X =
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