MATEMA`TIQUES 1

Preguntes de teoriaQP15

A la part F2 de lexamen final, corresponent a la segona part del curs (A`lgebra lineal), hi apareixera`una de les preguntes seguents:

1. - Expliqueu que` es una matriu elemental, digueu quants tipus de matrius elementals hi hai doneu-ne un exemple de cada tipus.

- Proveu que si una matriu es invertible, tambe ho es tota matriu equivalent a ella.

2. - Donats vectors qualssevol v1, . . . , vk dun espai vectorial E, expliqueu que` es el subespaigenerat per v1, . . . , vk (es denota per v1, . . . , vk) i digueu quins son els seus elements.

- Siguin u1, . . . , uk vectors dun espai vectorial E i suposeu que u1 es combinacio lineal deu2, . . . , uk. Demostreu que u1, u2, . . . , uk = u2, . . . , uk.

3. - Doneu la definicio de combinacio lineal i dindepende`ncia lineal.

- Demostreu que un conjunt de vectors es linealment dependent si i nomes si algun dellses pot escriure com a combinacio lineal dels altres.

4. - Doneu la definicio de base dun espai vectorial.

- Sigui B = {b1, . . . , bn} una base dun espai vectorial E. Demostreu que tot vector dEes pot expressar de manera unica com a combinacio lineal dels elements de B.

5. Siguin E i F dos espais vectorials i f :E F una aplicacio.- Digueu que` ha de satisfer f per tal de ser una aplicacio lineal.

- Demostreu que si U es un subespai vectorial dE i f es una aplicacio lineal, aleshoresf(U) es un subespai vectorial dF .

6. Sigui f : E F una aplicacio lineal entre espais vectorials.- Doneu la definicio de la matriu de f en unes bases B = {b1, . . . , bn} i W = {w1, . . . , wm}

de E i F , respectivament.

- Proveu que lantiimatge del vector zero de F es un subespai vectorial de E.

7. Sigui f :E F una aplicacio lineal. Demostreu que f es injectiva si i nomes si el vector zerode E es lunic vector de E que saplica per f al vector zero de F .

8. Sigui f : E E un endomorfisme dun espai vectorial E.- Definiu valor propi de f i vector propi de f de valor propi .

- Demostreu que E = {u E : f(u) = u} es un subespai vectorial dE.

1