Teoria Algebra Lineal
1
MATEM ` ATIQUES 1 Preguntes de teoria QP15 A la part F2 de l’examen final, corresponent a la segona part del curs ( ` Algebra lineal), hi apareixer` a una de les preguntes seg¨ uents: 1. - Expliqueu qu` e´ es una matriu elemental, digueu quants tipus de matrius elementals hi ha i doneu-ne un exemple de cada tipus. - Proveu que si una matriu ´ es invertible, tamb´ e ho ´ es tota matriu equivalent a ella. 2. - Donats vectors qualssevol v 1 ,...,v k d’un espai vectorial E, expliqueu qu` e´ es el subespai generat per v 1 ,...,v k (es denota per hv 1 ,...,v k i) i digueu quins s´ on els seus elements. - Siguin u 1 ,...,u k vectors d’un espai vectorial E i suposeu que u 1 ´ es combinaci´ o lineal de u 2 ,...,u k . Demostreu que hu 1 ,u 2 ,...,u k i = hu 2 ,...,u k i. 3. - Doneu la definici´ o de combinaci´ o lineal i d’independ` encia lineal. - Demostreu que un conjunt de vectors ´ es linealment dependent si i nom´ es si algun d’ells es pot escriure com a combinaci´ o lineal dels altres. 4. - Doneu la definici´ o de base d’un espai vectorial. - Sigui B = {b 1 ,...,b n } una base d’un espai vectorial E. Demostreu que tot vector d’E es pot expressar de manera ´ unica com a combinaci´ o lineal dels elements de B. 5. Siguin E i F dos espais vectorials i f : E → F una aplicaci´ o. - Digueu qu` e ha de satisfer f per tal de ser una aplicaci´ o lineal. - Demostreu que si U ´ es un subespai vectorial d’E i f ´ es una aplicaci´ o lineal, aleshores f (U )´ es un subespai vectorial d’F . 6. Sigui f : E → F una aplicaci´ o lineal entre espais vectorials. - Doneu la definici´ o de la matriu de f en unes bases B = {b 1 ,...,b n } i W = {w 1 ,...,w m } de E i F , respectivament. - Proveu que l’antiimatge del vector zero de F ´ es un subespai vectorial de E. 7. Sigui f : E → F una aplicaci´ o lineal. Demostreu que f ´ es injectiva si i nom´ es si el vector zero de E ´ es l’´ unic vector de E que s’aplica per f al vector zero de F . 8. Sigui f : E → E un endomorfisme d’un espai vectorial E. - Definiu valor propi de f i vector propi de f de valor propi λ. - Demostreu que E λ = {u ∈ E : f (u)= λu} ´ es un subespai vectorial d’E. 1
-
Upload
eric-dacal-sanchez -
Category
Documents
-
view
213 -
download
0
description
xcsd
Transcript of Teoria Algebra Lineal
-
MATEMA`TIQUES 1
Preguntes de teoriaQP15
A la part F2 de lexamen final, corresponent a la segona part del curs (A`lgebra lineal), hi apareixera`una de les preguntes seguents:
1. - Expliqueu que` es una matriu elemental, digueu quants tipus de matrius elementals hi hai doneu-ne un exemple de cada tipus.
- Proveu que si una matriu es invertible, tambe ho es tota matriu equivalent a ella.
2. - Donats vectors qualssevol v1, . . . , vk dun espai vectorial E, expliqueu que` es el subespaigenerat per v1, . . . , vk (es denota per v1, . . . , vk) i digueu quins son els seus elements.
- Siguin u1, . . . , uk vectors dun espai vectorial E i suposeu que u1 es combinacio lineal deu2, . . . , uk. Demostreu que u1, u2, . . . , uk = u2, . . . , uk.
3. - Doneu la definicio de combinacio lineal i dindepende`ncia lineal.
- Demostreu que un conjunt de vectors es linealment dependent si i nomes si algun dellses pot escriure com a combinacio lineal dels altres.
4. - Doneu la definicio de base dun espai vectorial.
- Sigui B = {b1, . . . , bn} una base dun espai vectorial E. Demostreu que tot vector dEes pot expressar de manera unica com a combinacio lineal dels elements de B.
5. Siguin E i F dos espais vectorials i f :E F una aplicacio.- Digueu que` ha de satisfer f per tal de ser una aplicacio lineal.
- Demostreu que si U es un subespai vectorial dE i f es una aplicacio lineal, aleshoresf(U) es un subespai vectorial dF .
6. Sigui f : E F una aplicacio lineal entre espais vectorials.- Doneu la definicio de la matriu de f en unes bases B = {b1, . . . , bn} i W = {w1, . . . , wm}
de E i F , respectivament.
- Proveu que lantiimatge del vector zero de F es un subespai vectorial de E.
7. Sigui f :E F una aplicacio lineal. Demostreu que f es injectiva si i nomes si el vector zerode E es lunic vector de E que saplica per f al vector zero de F .
8. Sigui f : E E un endomorfisme dun espai vectorial E.- Definiu valor propi de f i vector propi de f de valor propi .
- Demostreu que E = {u E : f(u) = u} es un subespai vectorial dE.
1
