Geometría del espacio
Lic. Evaristo Huamaní Velásquez
SólidosSon figuras geométricas que encierran una región del espacio . y tiene tres dimensiones largo, ancho y alturaEjemplos.
Cubo Cono
Pirámide EsferaParalelepípedo
Cilindro
PIRAMIDES
CILINDROS
CONOCARGANDO UN PARALELEPIPEDO
CUBO
Esfera
0
R
0RR
Una esfera, en geometría, es un cuerpo sólido limitado por una superficie redondo cuyos puntos equidistan de otro punto interior llamado centro de la esfera. Tiene la forma de un balón
R
Área superficial de la esfera
2R2 R
2
2 .2
4
A R R
A R
0
R
R
R
Es el entorno superficial de la esfera y esta determinado por : 24A R
Veamos como sale: Si en la figura
el cilindro se pega a la esfera, formaría el entorno y luego descomponiendo el cilindro tal como vemos, tendría la otra forma con esas dimensiones como se observa, de donde se toma el área de la esfera
Si tomamos el rectángulo base por altura se tiene el área de la esfera
2R
Volumen de la esferaEs el espacio interno de la esfera y está determinado por:
34
3V R
Como se obtiene :
En la siguiente figura que observamos, si juntamos la Semiesfera y el Cono se formaría prácticamente el volumen del CilindroPero se sabe el volumen del Cono y del Cilindro
31
3Vc R 3Vcilindro R.V semiesfera
d
R
d
R
R
R
dR d
R
r
.Vs esf Vci Vc 3 31
.3
Vs esf R R
.Vs esf Vc Vci
332
: 2. 43
RLuego R
3 3 33 1 2: .
3 3
R R RDe donde Vs esf
Volumen de la esfera
0 R
R = 12 Cm
Problemas1. El diámetro de un balón de Vóley es 24 cm. Calcular su volumen
Resolución
En este caso, se sabe que el diámetro es doble radio, tal como observamos en el gráfico
Diámetro
34
3V R
Se sabe que R = 12 CmSustituyendo en la FORMULA se tiene:
3412
3V Cm
4
3V 1728 3Cm
34 576V Cm
32304V CmEs el Volumen del Balón
2. En la siguiente figura hallar el área y su volumen de la esfera
Resolución
T
P
O
30°
Observando la figura y formando un rectángulo notable se tiene
#
R60°
12
T
P
O
30°
12
3.l
2l l
3. 12l
4 3
Racionalizando
l :Ademas
R l
4 3R
Hallando el área de la esfera 24A R
24 4 3A 4 16.3A
2192A u Hallando el volumen de la esfera
34
3V R
344 3
3V
464 27
3V
4
3V 64.3 3
3256 3.V u
R
OH
3. En la siguiente figura hallar el área y su volumen de la esfera, si se sabe que el área del circulo H es
281 u
Resolución
OH
Observando la figura , se tiene que hallar el radio de la circunferencia H
R
2Ac R
Es el Radio de la Circunferencia y de la esfera a su vez
81 2R 281 R
81 R 9R Hallando el área de la esfera
24A R 24 9A 4 .81A
2324A uHallando el volumen de la esfera
34
3V R 34
93
V 4
3V . 729
3972V u
34 .243V u
4. De la figura hallar el área y su volumen de la esfera, si se sabe que la longitud de la circunferencia inscrita es . 24 cm
Resolución En este caso también se tiene que hallar el radio de la circunferencia .
2 . 24R cm
2. 24R cm
O
Y para eso se tiene que utilizar la longitud de la circunferencia inscrita .
24Lc cm
24 / 2R cm
12R cm
Hallando el área de la esfera 24A R
2576A cm
Hallando el volumen de la esfera
34
3V R 34
. 123
V cm
4
3V .12 3
3
.144
4 .4.144
cm
V cm32304 .V cm
OR
24 12A cm
R
0x
5. De la figura hallar el área de la esfera, si se sabe que la esfera está inscrita en el cilindro que tiene como área lateral
250 m
0x
Resolución Aquí el radio de la esfera es igual al del cilindro
R
R
Se sabe que el área lateral del cilindro es 2Al Rg
2100 2m Rg Pero Sustituyendo se tiene:
2R x
xy g
2100 2 . .2
xm x
100 2 2m .2
x.x
2 2100m x2100m x
10m xHallando el área de la esfera
24A R 24 10A m
24 .100A m2400 .A m
Volumen de la esfera
0
R
R
R
34
3V R
R
P30°
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