7/26/2019 tarea3-015-sem1-2016
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Universidad Tecnica
Federico Santa Marıa
Departamento de Matematica
Casa Central - Valparaıso
Matematica V (Mat-015)Tarea #3
Analisis de FourierFecha de Entrega: 01/06/2016
1. Considere la funcion f (x) = x + 1 definida en 0 ≤ x ≤ π.
(i) Encuentre la serie de Fourier de la funcion f (x) en 0 ≤ x ≤ π.
(ii) Realice una extension impar de la funcion al intervalo −π ≤ x ≤ 0 y determine el desarrollo en series de
Fourier para la extension impar.(iii) Realice una extension par de la funcion al intervalo −π ≤ x ≤ 0 y determine el desarrollo en series de
Fourier para la extension par.
(iv) Grafique los desarrollos en series de Fourier para todos los casos anteriores, considere x ∈ [−5π, 5π].
(v) Usando un desarrollo en series de Fourier encontrar una solucion particular periodica para la ecuaciondiferencial no homogenea
y(x) + 3y(x) = f (x)
2. Se define la funcion periodica f (x) como
f (x) = 1 si − 2 < x < −1−1 si − 1 < x < 1
1 si 1 < x < 2
(i) Obtenga el desarrollo en serie de Fourier, es decir, escriba f (x) como
f (x) = a0 +
∞k=1
ak cos kπx
2 + bk sin
kπx
2 ,
(ii) Defina
f n(x) = a0 +
nk=1
ak cos kπx
2 + bk sin
kπx
2 ,
y grafique f 1(x) f 5(x) y f 10(x). Comente que sucede a medida que n aumenta y analice la convergencia
de la serie en los puntos donde la funcion es discontinua.
3. Para f (x) una funcion integrable en [a, b] y w = 2π
b − a
(i) Determine a0, ak y bk tal que
f n(x) = a0 +
nk=1
bk sin kwx + ak cos kwx,
minimice el error cuadratico medio, definido como
EC M = 1
2 1
0
(f (x) − f n(x))2dx
(ii) Calcular el error cuadratico mınimo para f (x) = x si n = 1 y n = 3.
4. Considere la familia de funciones Φ = {f n(x), gm(x)}∞n,m=0, donde
f n(x) = e−λx sinπnx
2
y gm(x) = e−λx cos
πmx
2
y λ es una constante positiva. Si se define el producto interno
f (x), g(x) =
40
f (x)g(x)e2λx dx
(i) Pruebe que la familia Φ es ortogonal respecto a dicho producto interno.
GCP
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(ii) Represente la funcion
f (x) =
xe−λx , si 0 < x < 2
e−λx , si 2 < x < 4
en serie de Fourier respecto a la base ortogonal Φ. ¿A cuanto converge la serie en x = 2?
5. Considere la familia de funciones
Φ =
1, x, 3x2 − 12
, 5x3 − 3x2
,
y el producto interno interno:
f (x), g(x) =
1−1
f (x)g(x) dx
(i) Pruebe que la familia Φ es ortogonal respecto a dicho producto interno.
(ii) Represente la funcion f (x) = ex en serie de Fourier respecto a la base ortogonal Φ.
(iii) Grafique la funcion f y la serie de Fourier.
6. Considere el siguiente problema de ecuaciones en derivadas parciales: Hallar u = u(x, t) tal que
∂ 2u
∂x2 + u =
∂u
∂t t > 0, −π < x < π,
u(−π, t) = u(π, t) t > 0,
∂u
∂x(−π, t) =
∂u
∂x(π, t) t > 0.
(i) Demuestre que la solucion de la ecuacion anterior es
u(x, t) =∞k=0
ake(1−k2)t sin kx + bke(1−k
2)t cos kx.
Observaci´ on: Asuma las hip´ otesis necesarias para la derivaci´ on de la serie.
(ii) Suponga que la solucion u(x, t) de la ecuacion anterior satisface la condicion inicial
u(x, 0) = f (x) − π < x < π.
Encuentre los coeficientes ak y bk de la solucion u(x, t) en terminos de f (x).
(iii) Encuentre explıcitamente los coeficientes ak y bk para
f (x) =
x + π − π < x ≤ 0,
π 0 < x ≤ π.
(iv) Exprese la solucion final u(x, t) de la ecuacion.
7. Considere la funcion f (x) = x2 definida en el intervalo [−π, π].
(i) Determine la serie de Fourier de f (x).
(ii) Calcule el valor de la serie∞k=1
1
k2
(iii) Calcule el valor de la serie∞k=1
1
k4
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