8/11/2019 Taller de Analisis Numerico # 2
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HERNAN CAMILO FRANCO NOVOA
VENJAMI IGIRIO ARRIETA
NATHALY MEDINA ABELLO
MARIA CAMILA GAMEZ TERAN
PROFESOR:
LEIDER ENRIQUE SALCEDO GARCIA
UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA
TALLER DE ANALISIS NUMERICO
8/11/2019 Taller de Analisis Numerico # 2
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TALLER DE ANALISIS NUMERICO
1. Para cada una de las siguientes matrices determine ), los valores característicos de A y .
a)
Solución:
-
A –
Valores característicos
Los valores característicos son:
Radio espectral:
|| || ||
b)
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Solución:
()
Valores característicos:
Radio espectral
| | | | | | | | 2. Para cada una de las siguientes matrices determina
‖ ‖
a)
Solución:
La matriz A es una matriz simétrica por lo tanto
Valores característicos:
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Radio espectral:
|| || || ‖ ‖
√
b)
Valores característicos
|| || || ||
‖ ‖ √
3. Aplique el método de Jacobi para resolver el sistema:
Use como vector inicial =
Solución:
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A=
=
+
+
, hallamos con operaciones fundamentales:
+
Luego:
=
;
=
=
=
Para hallar el polinomio característico de debemos hallar el ), donde:
)=
- =
Por tanto:
)=det ,
=- - +
Si multiplicamos cada una de las filas tanto de como de “” respectivamente, por ,
obtenemos
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( )=-( )- ( )+ ( )=
Es decir ( )=
Para hallar los valores característicos de
debemos resolver la ecuación
, es decir:
→
Los valores característicos de son ; ;
El radios espectral de es =max -=||
Si <1, entonces el método de Jacobi converge. Por tanto:
Si
||<1, entonces el método de Jacobi será convergente en el sistema, para que esto se cumpla:
||
<1 →
||>2
Por tanto d ∈
(-∞-2) U ∞ 6. Considere el siguiente esquema iterativo de Jacobi
* = * +
Pruebe que:
|| El método de Jacobi converge si ∈ ∞ ∞
Solución:
( )
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( )
* *
+ 2x + -2x +1
Para el radio espectral partimos del polinomio característico en función de x
{ } |||| ||
||
Para que converja
||
∞ ∞
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7. Considere el siguiente sistema:
Pruebe que:
La convergencia del método de Jacobi para este sistema requiere que (TJ)=√ <1
La convergencia del método de Gauss-Seidel para este sistema requiere que (TG)=| |<1
Solución;
A = = AL= AD= AU=
; =
Resolviendo al multiplicación de la matriz
= TJ
Ahora hallamos TJ – =
TJ –
TJ – Ahora se resuelve el determinante de 3*3
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El polinomio característico PTJ
Sus valores característicos son;
^ Por tanto multiplicando por -1 √
√ √
Por tanto el radio espectral P (TJ) es;
|| √ √
√ √
√
√
Ahora para probar la convergencia con Gauss – Seidel
Solución;
A = = AL= AD= AU=
=
Ahora hallamos la inversa de
=
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;
El polinomio característico es;
Ahora igualamos a cero para hallar los valores característicos
El radio espectral es || || ||
| |
| | | |
8. El número de condición de una matriz A está dado por:
‖ ‖ ‖ ‖
Pruebe que:
Demostración:
‖ ‖
Entonces
‖ ‖ ‖ ‖
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖‖
9. Dada la siguiente matriz:
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Pruebe que si entonces usando la norma F (norma de Frobenius), tenemos que:
‖ ‖
‖ ‖
‖ ‖
[ ]
‖ ‖ *
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10. halle el polinomio de Taylor de grado de la función √ respecto a . Use para
hallar una aproximación de √ . Trabaje con 4 dígitos de precisión.
Solución:
∑ ∑
√
√
√ √
√
11. determine el cuarto polinomio de Taylor
y su correspondiente termino residual para
, respecto a y use este polinomio para aproximar y ∫ . Trabaje con
4 dígitos de precisión.
Solución:
∑
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,
*
[ ]
*
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12. determine el cuarto polinomio de Taylor para la función ∫ respecto a , use el polinomio de para aproximar ∫
Solución:
-∫
∫ = -∫ ∫ =
-∫ =
∫ =
∑
Si
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| |
= 0,7833