1. Evaluar los siguientes límites
a. lim𝑛→∞ 𝑛1/𝑛 Solución:
Sea 𝐿 = lim𝑛→∞ ln(𝑛1/𝑛) ⇒ 𝐿 = 𝑙𝑛 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑛1/𝑛 ⇒ 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑛1/𝑛 = 𝑒𝐿
Ahora 𝐿 = lim𝑛→∞ ln(𝑛1/𝑛) = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞1
𝑛ln(𝑛) = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
ln(𝑛)
𝑛. Aplicando L´Hopital
𝐿 = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
1
𝑛
1= 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
1
𝑛= 0, por lo tanto 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑛1/𝑛 = 1
b. lim𝑛→∞4𝑛−3
2𝑛
Solución:
Aplicando L´Hopital lim𝑛→∞4𝑛−3
2𝑛 = lim𝑛→∞4
ln(2)2𝑛 =4
ln(2)𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
1
2
𝑛
=4
ln 2 0 = 0.
2. Use los criterios de convergencia o divergencia de series de términos positivos para determinar la convergencia o divergencia de la serie
𝑛!
10𝑛
∞
𝑛=1
Solución:
𝑎𝑛 =𝑛!
10𝑛 Luego 𝑎𝑛+1 =(𝑛+1)!
10(𝑛+1) Consideremos el límite
𝐿 = lim𝑛→∞
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛= lim
𝑛→∞
(𝑛+1)!
10(𝑛 +1)
𝑛!
10𝑛
= lim𝑛→∞
10𝑛𝑛! (𝑛 + 1)
10𝑛10𝑛!= lim
𝑛→∞
(𝑛 + 1)
10= +∞
Como 𝐿 > 1 entonces por criterio del cociente la serie 𝑛!
10𝑛∞𝑛=1 diverge
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Instituto de Matemáticas
Cursos de Servicios para Ingeniería y/o Facultad de Química Farmacéutica
CALIFICACION
ALUMNO: Carné:
Asignatura: Cálculo Integral Profesor: Jorge Iván Londoño
Parcial #4 Valor: 25% Fecha: Jueves 1 de agosto de 2013
3. Escriba la serie y luego encuentre el radio de convergencia, el intervalo de convergencia y el intervalo de convergencia absoluta
1 −𝑥
2+
𝑥2
22−
𝑥3
23+
𝑥4
24− ⋯
Solución:
La serie correspondiente a la anterior expresión es (−1)𝑛 𝑥𝑛
2𝑛∞𝑛=0
𝑎𝑛 = (−1)𝑛 𝑥𝑛
2𝑛 Consideremos el límite
𝐿 = lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑛 = lim𝑛→∞ (−1)𝑛 𝑥𝑛
2𝑛
𝑛= lim𝑛→∞
𝑥
2=
𝑥
2
Se concluye del criterio de la raíz para convergencia absoluta que la serie
(−1)𝑛 𝑥𝑛
2𝑛∞𝑛=0 converge absolutamente si y solo si
𝑥
2< 1, es decir si y solo si
𝑥 < 2. Por lo tanto el radio de convergencia es 𝑅 = 2
El intervalo de convergencia absoluta es −2,2 Ahora para hallar el intervalo de convergencia analizamos los extremos Si 𝑥 = −2 se obtiene la serie 1∞
𝑛=0 sea 𝑎𝑛 = 1 luego lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 1 y así por criterio de divergencia para series 1∞
𝑛=0 diverge
Si 𝑥 = 2 se obtiene la serie (−1)𝑛∞𝑛=0 sea 𝑎𝑛 = (−1)𝑛 luego lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 no
existe y así por criterio de divergencia para series (−1)𝑛∞𝑛=0 diverge
Por lo anterior El intervalo de convergencia es −2,2
4. Analice la convergencia absoluta, convergencia condicional o divergencia de la
serie alterna −1 𝑛 3𝑛
2𝑛 +8∞𝑛=1
Solución:
𝑎𝑛 = −1 𝑛 3𝑛
2𝑛 +8 Consideremos el límite
𝐿 = lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑛 = lim𝑛→∞ −1 𝑛 3𝑛
2𝑛 +8
𝑛=
3
2lim𝑛→∞
1
28 1/𝑛
=3
2> 1
Se concluye del criterio de la raíz para convergencia absoluta que la serie
−1 𝑛 3𝑛
2𝑛 +8∞𝑛=1 diverge
5. Escriba los cinco primeros términos de la expansión en una serie de Maclaurin
para la función
𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 Solución:
Como 𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥2
2!+
𝑥3
3!+
𝑥4
4!+
𝑥5
5!+
𝑥6
6! y
𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑥 −𝑥3
3!+
𝑥5
5!−
𝑥7
7! Luego por producto de series
𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥2
2!+
𝑥3
3!+
𝑥4
4!+
𝑥5
5!+
𝑥6
6! 𝑥 −
𝑥3
3!+
𝑥5
5!−
𝑥7
7!
= 𝑥 −𝑥3
3!+
𝑥5
5!+ 𝑥2 −
𝑥4
3!+
𝑥6
5!+
𝑥3
2!−
𝑥5
2!3!+
𝑥4
3!−
𝑥6
3!3!+
𝑥5
4!+
𝑥6
5!⋯
= 𝑥 + 𝑥2 +2𝑥3
3!−
4𝑥5
5!−
8𝑥6
6!⋯