SolucionParcial 4 Calculo Integral 20131 (1)
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1. Evaluar los siguientes lΓmites
a. limπββ π1/π SoluciΓ³n:
Sea πΏ = limπββ ln(π1/π) β πΏ = ππ ππππββ π1/π β ππππββ π1/π = ππΏ
Ahora πΏ = limπββ ln(π1/π) = ππππββ1
πln(π) = ππππββ
ln(π)
π. Aplicando LΒ΄Hopital
πΏ = ππππββ
1
π
1= ππππββ
1
π= 0, por lo tanto ππππββ π1/π = 1
b. limπββ4πβ3
2π
SoluciΓ³n:
Aplicando LΒ΄Hopital limπββ4πβ3
2π = limπββ4
ln(2)2π =4
ln(2)ππππββ
1
2
π
=4
ln 2 0 = 0.
2. Use los criterios de convergencia o divergencia de series de tΓ©rminos positivos para determinar la convergencia o divergencia de la serie
π!
10π
β
π=1
SoluciΓ³n:
ππ =π!
10π Luego ππ+1 =(π+1)!
10(π+1) Consideremos el lΓmite
πΏ = limπββ
ππ+1
ππ= lim
πββ
(π+1)!
10(π +1)
π!
10π
= limπββ
10ππ! (π + 1)
10π10π!= lim
πββ
(π + 1)
10= +β
Como πΏ > 1 entonces por criterio del cociente la serie π!
10πβπ=1 diverge
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Instituto de MatemΓ‘ticas
Cursos de Servicios para IngenierΓa y/o Facultad de QuΓmica FarmacΓ©utica
CALIFICACION
ALUMNO: CarnΓ©:
Asignatura: CΓ‘lculo Integral Profesor: Jorge IvΓ‘n LondoΓ±o
Parcial #4 Valor: 25% Fecha: Jueves 1 de agosto de 2013
3. Escriba la serie y luego encuentre el radio de convergencia, el intervalo de convergencia y el intervalo de convergencia absoluta
1 βπ₯
2+
π₯2
22β
π₯3
23+
π₯4
24β β―
SoluciΓ³n:
La serie correspondiente a la anterior expresiΓ³n es (β1)π π₯π
2πβπ=0
ππ = (β1)π π₯π
2π Consideremos el lΓmite
πΏ = limπββ ππ π = limπββ (β1)π π₯π
2π
π= limπββ
π₯
2=
π₯
2
Se concluye del criterio de la raΓz para convergencia absoluta que la serie
(β1)π π₯π
2πβπ=0 converge absolutamente si y solo si
π₯
2< 1, es decir si y solo si
π₯ < 2. Por lo tanto el radio de convergencia es π = 2
El intervalo de convergencia absoluta es β2,2 Ahora para hallar el intervalo de convergencia analizamos los extremos Si π₯ = β2 se obtiene la serie 1β
π=0 sea ππ = 1 luego limπββ ππ = 1 y asΓ por criterio de divergencia para series 1β
π=0 diverge
Si π₯ = 2 se obtiene la serie (β1)πβπ=0 sea ππ = (β1)π luego limπββ ππ no
existe y asΓ por criterio de divergencia para series (β1)πβπ=0 diverge
Por lo anterior El intervalo de convergencia es β2,2
4. Analice la convergencia absoluta, convergencia condicional o divergencia de la
serie alterna β1 π 3π
2π +8βπ=1
SoluciΓ³n:
ππ = β1 π 3π
2π +8 Consideremos el lΓmite
πΏ = limπββ ππ π = limπββ β1 π 3π
2π +8
π=
3
2limπββ
1
28 1/π
=3
2> 1
Se concluye del criterio de la raΓz para convergencia absoluta que la serie
β1 π 3π
2π +8βπ=1 diverge
5. Escriba los cinco primeros tΓ©rminos de la expansiΓ³n en una serie de Maclaurin
para la funciΓ³n
π π₯ = ππ₯π πππ₯ SoluciΓ³n:
Como ππ₯ = 1 + π₯ +π₯2
2!+
π₯3
3!+
π₯4
4!+
π₯5
5!+
π₯6
6! y
π πππ₯ = π₯ βπ₯3
3!+
π₯5
5!β
π₯7
7! Luego por producto de series
ππ₯π πππ₯ = 1 + π₯ +π₯2
2!+
π₯3
3!+
π₯4
4!+
π₯5
5!+
π₯6
6! π₯ β
π₯3
3!+
π₯5
5!β
π₯7
7!
= π₯ βπ₯3
3!+
π₯5
5!+ π₯2 β
π₯4
3!+
π₯6
5!+
π₯3
2!β
π₯5
2!3!+
π₯4
3!β
π₯6
3!3!+
π₯5
4!+
π₯6
5!β―
= π₯ + π₯2 +2π₯3
3!β
4π₯5
5!β
8π₯6
6!β―