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Sistema de ecuaciones algebraicas.Eliminacion de Gauss.
Curso: Metodos Numericos en IngenierıaProfesor: Dr. Jose A. Otero HernandezCorreo: [email protected]: http://metodosnumericoscem.weebly.comUniversidad: ITESM CEM
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Introduccion Eliminacion de Gauss Programas MATLAB
Topicos
1 IntroduccionEcuaciones algebraicas linealesSolucion de sistemas de ecuaciones pequenosEliminacion de Gauss
2 Eliminacion de GaussEliminacion de Gauss simple
3 Programas MATLABGauss SimpleGauss con Pivoteo Parcial
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1 IntroduccionEcuaciones algebraicas linealesSolucion de sistemas de ecuaciones pequenosEliminacion de Gauss
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Introduccion Eliminacion de Gauss Programas MATLAB
Ecuaciones algebraicas lineales
Forma General
a11 x1 + a12 x2 + · · ·+ a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · ·+ a2n xn = b2...
......
an1 x1 + an2 x2 + · · ·+ ann xn = bn
dondea y b son los coeficientes constantes,n es el numero de ecuaciones,x son las incognitas.
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Ecuaciones algebraicas lineales
Forma General
a11 x1 + a12 x2 + · · ·+ a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · ·+ a2n xn = b2...
......
an1 x1 + an2 x2 + · · ·+ ann xn = bn
dondea y b son los coeficientes constantes,n es el numero de ecuaciones,x son las incognitas.
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Solucion de sistemas de ecuaciones pequenos
Solucion de sistemas de ecuaciones pequenos (n ≤ 3)Metodo grafico,Regla de Cramer,Eliminacion de incognitas.
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Solucion de sistemas de ecuaciones pequenos
Solucion de sistemas de ecuaciones pequenos (n ≤ 3)Metodo grafico,Regla de Cramer,Eliminacion de incognitas.
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Solucion de sistemas de ecuaciones pequenos
Solucion de sistemas de ecuaciones pequenos (n ≤ 3)Metodo grafico,Regla de Cramer,Eliminacion de incognitas.
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Solucion de sistemas de ecuaciones pequenos
Solucion de sistemas de ecuaciones pequenos (n ≤ 3)Metodo grafico,Regla de Cramer,Eliminacion de incognitas.
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Introduccion Eliminacion de Gauss Programas MATLAB
Eliminacion de Gauss
Eliminacion de GaussEs una tecnica para resolver sistemas de ecuacionesalgebraicas,La metodologıa establece una combinacion entreecuaciones para eliminar las incognitas,Aunque es unos de los metodos mas antiguos pararesolver sistemas de ecuaciones algebraicas, continuasiendo uno de los algoritmos de mayor uso en muchospaquetes computacionales.
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Eliminacion de Gauss
Eliminacion de GaussEs una tecnica para resolver sistemas de ecuacionesalgebraicas,La metodologıa establece una combinacion entreecuaciones para eliminar las incognitas,Aunque es unos de los metodos mas antiguos pararesolver sistemas de ecuaciones algebraicas, continuasiendo uno de los algoritmos de mayor uso en muchospaquetes computacionales.
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1 IntroduccionEcuaciones algebraicas linealesSolucion de sistemas de ecuaciones pequenosEliminacion de Gauss
2 Eliminacion de GaussEliminacion de Gauss simple
3 Programas MATLABGauss SimpleGauss con Pivoteo Parcial
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Eliminacion de Gauss simple
Sistema general de n ecuaciones
a11 x1 + a12 x2 + · · ·+ a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 + · · ·+ a2n xn = b2
......
...an1 x1 + an2 x2 + · · ·+ ann xn = bn
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Eliminacion de Gauss simple
Eliminacion hacia adelante de incognitasPaso 1: Eliminar la primera incognita x1 desde la segundahasta la n-esima ecuacion. Para esto se multiplica la primeraecuacion por a21
a11,
a21 x1 +a21a11
a12 x2 + · · ·+a21a11
a1n xn =a21a11
b1
Ahora, esta ecuacion se resta de la segunda ecuacion(a22 −
a21a11
a12
)x2 + · · ·+
(a2n −
a21a11
a1n
)xn = b2 −
a21a11
b1
Reescribiendo esta ecuacion:
a(1)22 x2 + · · ·+ a
(1)2n xn = b
(1)2
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Eliminacion de Gauss simple
Eliminacion hacia adelante de incognitasPaso 1: Eliminar la primera incognita x1 desde la segundahasta la n-esima ecuacion. Para esto se multiplica la primeraecuacion por a21
a11,
a21 x1 +a21a11
a12 x2 + · · ·+a21a11
a1n xn =a21a11
b1
Ahora, esta ecuacion se resta de la segunda ecuacion(a22 −
a21a11
a12
)x2 + · · ·+
(a2n −
a21a11
a1n
)xn = b2 −
a21a11
b1
Reescribiendo esta ecuacion:
a(1)22 x2 + · · ·+ a
(1)2n xn = b
(1)2
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Eliminacion hacia adelante de incognitasPaso 1: Eliminar la primera incognita x1 desde la segundahasta la n-esima ecuacion. Para esto se multiplica la primeraecuacion por a21
a11,
a21 x1 +a21a11
a12 x2 + · · ·+a21a11
a1n xn =a21a11
b1
Ahora, esta ecuacion se resta de la segunda ecuacion(a22 −
a21a11
a12
)x2 + · · ·+
(a2n −
a21a11
a1n
)xn = b2 −
a21a11
b1
Reescribiendo esta ecuacion:
a(1)22 x2 + · · ·+ a
(1)2n xn = b
(1)2
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Eliminacion hacia adelante de incognitasPaso 1: Eliminar la primera incognita x1 desde la segundahasta la n-esima ecuacion. Para esto se multiplica la primeraecuacion por a21
a11,
a21 x1 +a21a11
a12 x2 + · · ·+a21a11
a1n xn =a21a11
b1
Ahora, esta ecuacion se resta de la segunda ecuacion(a22 −
a21a11
a12
)x2 + · · ·+
(a2n −
a21a11
a1n
)xn = b2 −
a21a11
b1
Reescribiendo esta ecuacion:
a(1)22 x2 + · · ·+ a
(1)2n xn = b
(1)2
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Eliminacion de Gauss simple
Eliminacion hacia adelante de incognitasAnalogamente, para eliminar x1 de la tercera ecuacion semultiplica la primera ecuacion por a31
a11y el resultado se resta de
la tercera ecuacion. Este proceso se repite con las ecuacionesrestantes y da como resultado el siguiente sistema:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · ·+ a1n xn = b1
a(1)22 x2 + a
(1)23 x3 + · · ·+ a
(1)2n xn = b
(1)2
a(1)32 x2 + a
(1)33 x3 + · · ·+ a
(1)3n xn = b
(1)3
......
...a(1)n2 x2 + a
(1)n3 x3 + · · ·+ a
(1)nn xn = b
(1)n
En el paso anterior:La primera ecuacion se llama ecuacion pivote,a11 se denomina coeficiente pivote, a11 6= 0.
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Eliminacion hacia adelante de incognitasAnalogamente, para eliminar x1 de la tercera ecuacion semultiplica la primera ecuacion por a31
a11y el resultado se resta de
la tercera ecuacion. Este proceso se repite con las ecuacionesrestantes y da como resultado el siguiente sistema:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · ·+ a1n xn = b1
a(1)22 x2 + a
(1)23 x3 + · · ·+ a
(1)2n xn = b
(1)2
a(1)32 x2 + a
(1)33 x3 + · · ·+ a
(1)3n xn = b
(1)3
......
...a(1)n2 x2 + a
(1)n3 x3 + · · ·+ a
(1)nn xn = b
(1)n
En el paso anterior:La primera ecuacion se llama ecuacion pivote,a11 se denomina coeficiente pivote, a11 6= 0.
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Eliminacion hacia adelante de incognitasAnalogamente, para eliminar x1 de la tercera ecuacion semultiplica la primera ecuacion por a31
a11y el resultado se resta de
la tercera ecuacion. Este proceso se repite con las ecuacionesrestantes y da como resultado el siguiente sistema:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · ·+ a1n xn = b1
a(1)22 x2 + a
(1)23 x3 + · · ·+ a
(1)2n xn = b
(1)2
a(1)32 x2 + a
(1)33 x3 + · · ·+ a
(1)3n xn = b
(1)3
......
...a(1)n2 x2 + a
(1)n3 x3 + · · ·+ a
(1)nn xn = b
(1)n
En el paso anterior:La primera ecuacion se llama ecuacion pivote,a11 se denomina coeficiente pivote, a11 6= 0.
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Eliminacion de Gauss simple
Eliminacion hacia adelante de incognitasPaso 2: Tomando como pivote la ecuacion 2 del sistematransformado y a
(1)22 como coeficiente pivote, eliminamos x2 de
la tercera hasta la n-esima ecuacion y da como resultado elsiguiente sistema:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · ·+ a1n xn = b1
a(1)22 x2 + a
(1)23 x3 + · · ·+ a
(1)2n xn = b
(1)2
a(2)33 x3 + · · ·+ a
(2)3n xn = b
(2)3
......
...a(2)n3 x3 + · · ·+ a
(2)nn xn = b
(2)n
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Eliminacion hacia adelante de incognitasPaso 2: Tomando como pivote la ecuacion 2 del sistematransformado y a
(1)22 como coeficiente pivote, eliminamos x2 de
la tercera hasta la n-esima ecuacion y da como resultado elsiguiente sistema:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · ·+ a1n xn = b1
a(1)22 x2 + a
(1)23 x3 + · · ·+ a
(1)2n xn = b
(1)2
a(2)33 x3 + · · ·+ a
(2)3n xn = b
(2)3
......
...a(2)n3 x3 + · · ·+ a
(2)nn xn = b
(2)n
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Eliminacion de Gauss simple
Eliminacion hacia adelante de incognitasPaso n− 1: Tomando como pivote la ecuacion n− 1 delsistema trasformado y a
(n−2)n−1,n−1 como coeficiente pivote,
eliminamos xn−1 de la n-esima ecuacion, llegamos a unsistema triangular superior:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · ·+ a1n xn = b1
a(1)22 x2 + a
(1)23 x3 + · · ·+ a
(1)2n xn = b
(1)2
a(2)33 x3 + · · ·+ a
(2)3n xn = b
(2)3
......
...a(n−1)nn xn = b
(n−1)n
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Eliminacion de Gauss simple
Eliminacion hacia adelante de incognitasPaso n− 1: Tomando como pivote la ecuacion n− 1 delsistema trasformado y a
(n−2)n−1,n−1 como coeficiente pivote,
eliminamos xn−1 de la n-esima ecuacion, llegamos a unsistema triangular superior:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · ·+ a1n xn = b1
a(1)22 x2 + a
(1)23 x3 + · · ·+ a
(1)2n xn = b
(1)2
a(2)33 x3 + · · ·+ a
(2)3n xn = b
(2)3
......
...a(n−1)nn xn = b
(n−1)n
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Eliminacion de Gauss simple
Eliminacion hacia adelante de incognitas
a(k)ij = a
(k−1)ij −
a(k−1)ik
a(k−1)kk
a(k−1)kj , i, j = k + 1, · · · , n
b(k)i = b
(k−1)i −
a(k−1)ik
a(k−1)kk
b(k−1)k , i = k + 1, · · · , n
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Eliminacion de Gauss simple
Eliminacion hacia adelante de incognitas
a(k)ij = a
(k−1)ij −
a(k−1)ik
a(k−1)kk
a(k−1)kj , i, j = k + 1, · · · , n
b(k)i = b
(k−1)i −
a(k−1)ik
a(k−1)kk
b(k−1)k , i = k + 1, · · · , n
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Eliminacion de Gauss simple
Sustitucion hacia atrasDe la ultima ecuacion obtenemos la solucion xn:
xn =b(n−1)n
a(n−1)nn
El resto de las soluciones xn−1, xn−2, · · · , x2, x1 se puedenobtener sustituyendo hacia atras, esto es:
xi =
b(i−1)i −
n∑j=i+1
a(i−1)ij xj
a(i−1)ii
, para i = n− 1, n− 2, · · · , 2, 1
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Eliminacion de Gauss simple
Sustitucion hacia atrasDe la ultima ecuacion obtenemos la solucion xn:
xn =b(n−1)n
a(n−1)nn
El resto de las soluciones xn−1, xn−2, · · · , x2, x1 se puedenobtener sustituyendo hacia atras, esto es:
xi =
b(i−1)i −
n∑j=i+1
a(i−1)ij xj
a(i−1)ii
, para i = n− 1, n− 2, · · · , 2, 1
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Eliminacion de Gauss simple
ProblemaEmplear la eliminacion de Gauss para resolver el sistema:
3x1 − 0.1x2 − 0.2x3 = 7.850.1x1 + 7x2 − 0.3x3 = −19.30.3x1 − 0.2x2 + 10x3 = 71.4
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1 IntroduccionEcuaciones algebraicas linealesSolucion de sistemas de ecuaciones pequenosEliminacion de Gauss
2 Eliminacion de GaussEliminacion de Gauss simple
3 Programas MATLABGauss SimpleGauss con Pivoteo Parcial
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Gauss Simple
Programa MATLAB
function gaussv2 (A,B)% gaussv2 : Nombre de l a func ion% Nota : Aqui se usa l a mat r i z ampliada% A: Mat r i z de l sistema ( Mat r i x cuadrada )% B: Vector de l sistema ( Vector columna )[m, n ] = size (A) ;i f m˜=n , error ( ’ Ma t r i z A debe ser cuadrada ’ ) ; endnb = n+1;C = [A B ] ;for k = 1:n−1 % El im inac ion hacia adelante
for i = k +1:nf a c t o r = C( i , k ) /C( k , k ) ;C( i , k : nb ) = C( i , k : nb )−f a c t o r∗C( k , k : nb ) ;
enddisp (C)
endx = zeros ( n , 1 ) ; % S u s t i t u c i o n hacia a t rasx ( n ) = C( n , nb ) /C( n , n ) ;Sal ida1 =[ ’ x ’ ,num2str ( n ) , ’ = ’ , num2str ( x ( n ) ) ] ;disp ( Sal ida1 )for i = n−1:−1:1
x ( i ) = (C( i , nb )−C( i , i +1:n )∗x ( i +1:n ) ) /C( i , i ) ;Sal ida2 =[ ’ x ’ ,num2str ( i ) , ’ = ’ , num2str ( x ( i ) ) ] ;disp ( Sal ida2 )
end
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Gauss Simple
ProblemaEmplear la eliminacion de Gauss para resolver el sistema:
3x1 − 0.1x2 − 0.2x3 = 7.850.1x1 + 7x2 − 0.3x3 = −19.30.3x1 − 0.2x2 + 10x3 = 71.4
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Gauss Simple
Programa MATLAB
>> A=[3 −0.1 −0.2;0.1 7 −0.3;0.3 −0.2 10] ,B=[7 .85; −19.3 ;71.4 ]A =
3.0000 −0.1000 −0.20000.1000 7.0000 −0.30000.3000 −0.2000 10.0000
B =7.8500
−19.300071.4000
>> gaussv2 (A,B)3.0000 −0.1000 −0.2000 7.8500
0 7.0033 −0.2933 −19.56170 −0.1900 10.0200 70.6150
3.0000 −0.1000 −0.2000 7.85000 7.0033 −0.2933 −19.56170 0 10.0120 70.0843
x3 = 7x2 = −2.5x1 = 3
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Gauss Simple
Problema
2x2 + 3x3 = 84x1 + 6x2 + 7x3 = −32x1 + x2 + 6x3 = 5
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Gauss con Pivoteo Parcial
Programa MATLAB
function gaussv3 (A,B)% gaussv3 : Nombre de l a func ion% Nota : Aqui se usa l a mat r i z ampliada y con p ivo teo p a r c i a l% A: Mat r i z de l sistema ( Mat r i x cuadrada )% B: Vector de l sistema ( Vector columna )[m, n ]= size (A) ;i f m˜=n , error ( ’ Ma t r i z A debe ser cuadrada ’ ) ; endnb=n+1;C=[A B ] ;for k = 1:n−1 % El im inac ion hacia adelante
[ mayor , i ]=max( abs (C( k : n , k ) ) ) % Pivoteo p a r c i a li p = i +k−1;i f i p ˜= k
C( [ k , i p ] , : ) =C( [ ip , k ] , : )endfor i = k +1:n
f a c t o r =C( i , k ) /C( k , k ) ;C( i , k : nb ) =C( i , k : nb )−f a c t o r∗C( k , k : nb ) ;
enddisp (C)
endx=zeros ( n , 1 ) ; % S u s t i t u c i o n hacia a t rasx ( n ) =C( n , nb ) /C( n , n ) ;Sal ida1 =[ ’ x ’ ,num2str ( n ) , ’ = ’ , num2str ( x ( n ) ) ] ; disp ( Sal ida1 )for i = n−1:−1:1
x ( i ) =(C( i , nb )−C( i , i +1:n )∗x ( i +1:n ) ) /C( i , i ) ;Sal ida2 =[ ’ x ’ ,num2str ( i ) , ’ = ’ , num2str ( x ( i ) ) ] ; disp ( Sal ida2 )
end
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